Ramanujan SummationYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  276.5K views 7K likes 106 dislikes   01 May 2016
singingbanana 228K subscribers United Kingdom YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Spanish B. Bel
Dutch Angela Flierman
Click to Play Video Click to Play Video
Hoi, allemaal!
¡Hola a todos!
Welkom bij deze derde video
Bienvenidos a este tercer video
in mijn serie over Ramanujan.
en mi serie sobre Ramanujan
De laatste keer had ik je beloofd dat deze video
La última vez os prometí que este video
enigszins controversieel zou zijn.
seria un poco polémico
Sommigen van jullie hebben zelfs misschien al geraden waar ik het over ga hebben.
algunos de vosotros habéis adivinado de qué iba a hablar hoy
Het is een resultaat dat Ramanujan
Es algo que Ramanujan
voor het eerst ontdekte toen hij nog in India woonde,
descubrió estando aún en la India,
voordat hij naar Cambridge kwam,
antes de venir a Cambridge,
maar dat hij pas voltooide
pero es algo que perfeccionaría
met de hulp van G.H. Hardy.
con la ayuda de G.H. Hardy
Het is een antwoord op
Un trabajo acerca de
de som van alle hele getallen.
la suma de todos los enteros
Dus 1 plus 2 plus 3 plus 4,
Esto es, uno, mas dos, mas tres, mas cuatro...
eeuwig doorgaand.
hasta el infinito
Gezond verstand zegt ons dat dit
El sentido común nos dice
neigt naar
que esto llega
oneindigheid.
al infinito.
Maar Ramanujan had een ander antwoord.
Pero Ramanujan dio una respuesta distinta
En zijn antwoord is steekhoudend, vanuit het juiste
y su respuesta tiene sentido, desde
perspectief.
si lo ves desde el punto de vista correcto
Maar je zult het niet leuk vinden!
¡Pero no te va a gustar!
Ramanujan's antwoord
El resultado de Ramanujan
op de som van alle hele getallen
a la suma de todos los enteros
was -1/12.
fué -1/12
Dat is krankzinnig, toch? Het klinkt toch als waanzin?
Lo cual es un disparate, ¿no? suena a locura, ¿cierto?
Als je het niks vind, ik geef je geen ongelijk
Si no te gusta... no te culpo
als je het niks vind.
Si no te gusta
Zelfs Ramanujan vond
Incluso Ramanujan pensó
dat het idioot was.
que era una locura
Hij schreef een brief aan G.H. Hardy
El escribió algunas cartas a G.H. Hardy
waarin hij hem dit resultaat stuurde,
con este resultado
en zei "Stuur me alsjeblieft niet naar het gekkenhuis."
pero diciendo " Por favor, no me mandes al manicomio"
Het klinkt dus inderdaad als waanzin,
Esto parecia una locura
zeker als je het vergelijkt met de klassieke formule
especialmente si lo comparas con la clásica fórmula
om hele getallen 1 tot n op te tellen.
de sumar enteros desde 1 hasta n
Dit is een eindige som, waar we
Se trata de una suma finita, donde te encuentras con
1 plus 2 plus 3, tot en met n hebben.
uno, mas dos, mas tres... hasta llegar a n
Dit wordt een driehoeksgetal genoemd,
Es lo que se conoce como un número triangular
als je je voorstelt dat je
Si puedes imaginarte
een rij van één, een rij van twee, een rij van drie,
una fila de un número, una fila de dos, una fila de tres
een rij van vier hebt--die vormen een driehoek.
una fila de cuatro... podrias hacer una forma triangular
Er is een formule om een driehoeksgetal te berekenen.
Pues bien, hay una fórmula para trabajar con estos números triangulares
Als je het eerste getal neemt,
Considera tomar el primer número
en dat optelt bij het laatste getal,
y sumárselo al último número
krijg je n plus 1.
Obtendrías n+1
Als je het tweede getal neemt,
Si tomas el segundo número
en dat optelt bij het één na laatste getal,
y le sumas el penúltimo número
krijg je weer n plus 1.
obtienes, de nuevo, n+1
In feite, als je steeds in paren optelt
De hecho, si sigues sumando pares de números
op die manier,
de esa forma
is elk paar
cada pareja
n plus 1
suma n+1
En hoeveel paren hebben we dan?
¿Y cuántas parejas tenemos?
Nou, dan krijgen we n gedeeld door 2 paren.
Bueno, tenemos n entre dos parejas
Dus alles bij elkaar genomen, de som
así que, en conjunto, la suma
is n gedeeld door 2 maal n plus 1.
es n entre dos multiplicado por n+1
En je krijgt deze formule voor driehoeksgetallen.
Obteniendo, así, la fórmula para números triangulares
En je kunt zien dat de driehoeksgetallen
Y puedes comprobar a simple vista que los números triangulares
groter en groter en groter worden.
son cada vez más y más grandes
Wat Ramanujan deed
Lo que hizo Ramanujan
was in wezen nadenken over het oneindige
fue básicamente considerar el
driehoeksnummer,
numero triangular infinito
en hij kreeg dit vreemde antwoord--
Y llegó a esta extraña respuesta
- 1/12.
-1/12
Het punt is,
La cosa está
Ramanujan was niet de eerste
en que Ramanujan no fue
wiskundige die dit antwoord zag.
el primer matemático en descubrir esa respuesta
Andere wiskundigen hadden het ook gezien.
Otros matemáticos llegaron a la misma conclusión, también
Euler kwam met dit antwoord.
Euler llegó a esa respuesta
Riemann had het gezien.
Riemann llegó a esa respuesta
Wat nieuw was,
La novedad
was Ramanujan's methode
era el método de Ramanujan
om dit antwoord te krijgen.
para obtener esa solución
En dat is wat ik in deze video wil uitleggen.
y eso es lo que quiero explicar en este video
En ik hoop dat je door deze uitleg
Y espero que explicándolo
beter begrijpt
Apreciéis mejor
waar dat antwoord vandaan komt.
de donde viene esa solución
Maar ik zal je nu vast,
Pero, os aviso ahora
vooraf,
por adelantado
vertellen wat ik wil dat je van deze video meeneemt.
lo que quiero que aprendáis de este video
Wat Ramanujan deed,
Lo que Ramanujan hizo
zijn methode, kan toegepast worden
su método, puede aplicarse
op traditionele sommen.
a sumas normales
en als je het toepast op traditionele sommen,
Y si lo aplicas a estas sumas
krijg je het antwoord dat je verwacht.
Obtienes el resultado que esperarías
Maar, als je Ramanujan's methode toepast
Pero entonces, si aplicas el método de Ramanujan
op, zeg, de som van alle hele getallen,
para obtener la suma de todos los enteros
dan krijg je die -1/12.
obtienes -1/12
Dus wat Ramanujan had gedaan,
Lo que Ramanujan hizo
is dat hij het idee van een som generaliseerde.
es generalizar el concepto de suma
Ramanujan's methode was gebaseerd op
Su método se basó
het schatten van het oppervlak onder een kromme.
en estimar el area bajo una curva
Je kunt het oppervlak
Así puedes estimar
onder een kromme schatten
el área bajo la curva
met gebruik van rechthoeken.
usando rectángulos
Elke rechthoek heeft een breedte van slechts één eenheid,
Cada rectángulo tiene una longitud de sólo una unidad
en de hoogte van de rechthoek
y la altura del rectángulo
wordt aangegeven door de waarde
viene dada por la imagen
van de functie in hele getallen.
de la función que integras
Dus het totale oppervlak van die rechthoeken
El área total de esos rectángulos
is gewoon de som van de functie in hele getallen,
es la suma de las imágenes de los enteros
tot en met een heel getal, n.
hasta el entero n
Er zal een verschil zijn tussen
Existirá una diferencia entre
die waarde en het werkelijke oppervlak
ese valor y el área real
onder de kromme.
bajo la curva
Maar er is een formule voor dat verschil.
Pero existe una fórmula para esa diferencia
Die wordt de Euler-Maclaurin formule genoemd
Se conoce como la formula de Euler-Maclaurin
en het zegt ons
y nos dice
dat het verschil tussen de som
que la diferencia entre la suma
en het integraal
y la integral
wordt verkregen
viene dada por
door de functie herhaaldelijk
las derivadas sucesivas
te differentieren
de la función
en dan te bepalen voor n,
y entonces evaluarlas en n
min de waarde op nul.
y restarle la evaluación en cero
Deze termen, aangemerkt als B,
Esos términos, llamados B
worden Bernoulli getallen genoemd.
se llaman números de Bernoulli
De reeks van Bernoulli getallen
La secuencia de estos números
ziet er zo uit:
es la siguiente:
en helemaal aan het eind
y al final
hebben we een kleine rest
Tenemos este pequeño término independiente
en die is klein genoeg
y es lo suficientemente pequeño
om te kunnen negeren.
como para ignorarlo
Als je alle termen neemt die niet afhankelijk zijn van n,
Si tomas los términos que no dependen den
krijg je iets dat Rananujan
obtienes lo que Ramanujan llamó
"de constante van de functie" noemde.
"la constante de la función"
Dus dit is een constante.
esta constante
Dit blijft altijd hetzelfde
Siempre tendrá el mismo valor
in de Euler-Maclaurin formule,
in nuestra fórmula de Euler-Maclaurin
als n richting oneindig gaat.
conforme n tiende a infinito.
Op Numberphile, gaf Edward Frenkel
Edward Frenkel, en Numberphile
hier een prachtige omschrijving voor.
nos dio esta adorable definición
Hij omschreef deze constante als
Definió esta constante como
een 'goudklompje', omgeven door oneindigheid.
una pepita de oro, rodeada por el infinito.
G.H. Hardy wees
G.H. Hardy señaló
Ramanujan erop
a Ramanujan
dat als je deze methode wilt gebruiken om sommen te vinden,
que si quisieras usar este metodo para calcular sumas
dat als de functie een convergerende functie is,
entonces esa función f es una función convergente
die gelijk zou moeten zijn aan de traditionele som.
y esto deberia ser lo mismo que una suma tradicional
Dus Hardy paste het idee aan,
Así que Hardy modificó la idea
en gaf dit als de constante in plaats daarvan.
y le dio esto como constante en su lugar.
Dus dit is nog steeds een constante,
Esto sigue siendo constante
maar die is afhankelijk van je keuze voor (a).
pero depende del valor de (a)
En (a) is meestal nul
y (a) suele ser cero
of oneindig.
o infinito
Als f convergerend is, gebruik je oneindig.
Si f es convergente, entonces deberias usar infinito
En in die Euler-Maclaurin formule,
y en la formula de Euler-Maclaurin,
verdwijnen een hoop termen feitelijk--
un montón de términos desaparecen
omdat f convergerend is
ya que f es convergente
gaat het richting nul.
tiende a cero
Dus een hoop termen verdwijnen,
Así que un monton de elementos desaparecen
en je zal zien dat
y te encuentras con que
de aangepaste constante
la constante modificada
gelijk is aan de traditionele som.
es igual a una suma tradicional
Als f divergerend was
si f fuera divergente
zou dat niet bepaald zijn.
entonces no podríamos definirla
Dus in plaats daarvan, berekenen we de constante op nul,
Así que en su lugar, evaluamos la constante en cero
en in dat geval, krijg je Ramanujan's constante.
y , en ese caso, obtienes la constante de Ramanujan
Dus laten we aan de slag gaan!
¡Así que vamos a hacerlo!
Laten we de constante berekenen
vamos a encontrar la constante
voor de som 1 tot oneindig.
para la suma desde uno hasta el infinito
In dat geval
En ese caso
is de functie gewoon x.
la función sera simplemente x.
En als we Ramanujan's constante daarop toepassen,
Y si aplicamos la constante de Ramanujan a eso
zullen we het zelfde antwoord krijgen als hij.
obtendremos la misma respuesta que el
Je zult zien dat het gelijk is aan
Y te encontraras con que es igual a
-1/12.
-1/12
Dit is niet de enige methode
Pero este no es el único método
die dit antwoord geeft--
que resuelve en esa respuesta
het -1/12 antwoord.
que es -1/12
Bijvoorbeeld,
Por ejemplo,
je kunt de Riemann zeta functie gebruiken
puedes usar la función zeta de Riemann
en die geeft je ook
y también te dará
-1/12.
-1/12
Dus dit is geen pure onzin.
Asi que no se trata de un sinsentido
En tegenwoordig gebruiken wetenschappers dit in hogere natuurkunde.
Y, a día de hoy, científicos lo usan en física avanzada
Naar het schijnt wordt het gebruikt in de snaar-theorie.
En principio, ellos lo usan en teoría de cuerdas
Maar vraag me daar niks over--
pero no me preguntes por eso
klinkt moeilijk.
suena complicado.
Als je nog niet blij bent,
Si aun no estas satisfecho
denk er dan nog at langer over na.
piensa un poco mas acerca de ello
Maar als het helpt,
Pero, si te ayuda,
laat me je dit zeggen:
déjame decirte esto:
Wiskunde draait om problemen oplossen
Las matemáticas están para resolver problemas
door middel van abstractie.
a través de la abstracción
Zoals de driehoeksgetallen due we eerder bekeken hebben,
Como esos números triangulares que vimos antes,
dat zijn eindige sommen,
son sumas finitas
maar die konden we onmiddellijk berekenen,
pero podemos trabajar fácilmente con ellas
omdat we een formule hadden
porque tenemos una fórmula
om driehoeksgetallen te berekenen.
para trabajar con números triangulares
Wat we daar deden
lo que hicimos aquí
is dat probleem omvormen
es convertir el problema
tot een meer abstract probleem.
en un problema mas abstracto
Als we dan nog één stap verder gaan,
Si llevamos eso un paso mas allá
kunnen we oneindige sommen ook berekenen.
podemos resolver sumas infinitas, también
Dus convergerende oneindige sommen
Asi que las sumas convergentes infinitas
zijn diegenen waarbij je dichter en dichteer
son aquellas en las que te vas acercando mas y mas
bij een waarde komt.
a un determinado valor
En dan nemen we die waarde als de som
y tomamos este valor como la suma
van de serie.
de la serie
En ze gedragen zich sterk als eindige sommen.
Y se comportan como sumas finitas
Je kunt ze optellen en vermenigvuldigen
Puedes sumarlas, multiplicarlas
net als met eindige sommen.
de igual manera que con las sumas finitas
En wellicht voel je je al op je gemak met dat soort sommen.
y puedes sentirte cómodo con este tipo de sumas
Misschien ben je ze al eens tegengekomen,
Quizá las hayas visto antes
op school misschien.
en la escuela, a lo mejor
Dus dat voelt wel goed.
Y te sientes bien con esto
Maar die hebben hun eigen
Pero entonces vienen con sus propias
oneindige eigenaardigheden.
rarezas infinitas
Bijvoorbeeld, in een eerdere video,
Por ejemplo, en un video anterior
hebben we gekeken naar Leibniz's pi-formule.
echamos un vistazo a la formula de pi de Leibniz
Wat we daar hebben is
Lo que tenemos aqui es
dat je rationele getallen optelt.
una suma de números fraccionarios
Als je twee rationele getallen bij elkaar optelt
y si sumas dos numeros fraccionarios
krijg je een rationeel getal.
obtienes un numero racionario
Dus als we rationele getallen blijven optellen,
así que si seguimos sumando numeros fraccionarios
dan zouden we
deberíamos obtener
een rationeel getal moeten krijgen.
un numero fraccionario
Maar met deze formule,
pero en esta fórmula
Krijgen we pi in het antwoord-- we krijgen
tenemos pi ahí
een irrationeel getal.
que es un número irracional
En dat is zeer vreemd.
lo cual es realmente extraño
Het blijkt
y resulta
dat als je kijkt naar de reeks van deelsommen,
que si consideras la secuencia de sumas parciales
het uiteindelijke antwoord
entonces la respuesta final
geen deel hoeft uit te maken
no tiene por que ser parte
van die reeks.
de esa secuencia
Dus oneindige gekkigheid bestaat al.
Así que nos encontramos otra rareza sobre el infinito
Als we dan gewoon nog één stap verder gaan,
Si podemos llevar esto un paro mas allá,
één stap abstracter,
un paso mas en la abstracción
dan kunnen we de waardes
entonces podemos trabajar con valores
van allerlei soorten oneindige sommen berekenen,
de todo tipo de sumas infinitas
zelfs als die niet dichter
incluso aquellos que no se acercan
en dichter bij een waarde komen.
mas y mas a un valor
Maar het belangrijkste is,
Pero lo importantes es
elke methode die we hebben
que cualquier metodo que tenemos
moet neerwaarts toepasbaar zijn.
debe de poder aplicarse descendentemente
Dus het moet mogelijk zijn om die methode
asi que deberíamos poder aplicar ese método
op, zeg, convergerende sommen toe te passen,
a, por ejemplo, sumas convergentes
en nog steeds het verwachte antwoord te krijgen.
y obtener la respuesta esperada.
je moet gewoon
Solo tienes que abrazar
de oneindige gekkigheid omarmen.
la rareza del infinito.
Dit was mijn derde video over Ramanujan,
Este ha sido mi tercer video sobre Ramanujan
geïnspireerd door de release van de nieuwe film,
inspirado por el lanzamiento de la película
"The Man Who Knew Infinity",
"The man who knew infinity" ( el hombre que conoció el infinito)
die over het leven van Ramanujan gaat.
todos sobre la vida de Ramanujan
Misschien maak ik nog een video over de film zelf,
Creo que volveré con otro video sobre la película en sí,
maar tot die tijd,
pero hasta entonces,
als je dat deed,
Gracias por ver el video
dank voor het kijken.
Similar videos:

ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
Numberphile
8.3M views 102.9K likes 0 dislikes 09 Jan 201431% match

Pi and the Mandelbrot Set - Numberphile
Numberphile
739.9K views 15.7K likes 154 dislikes 01 Oct 201529% match

Double integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
449.7K views 1.7K likes 20 dislikes 13 Aug 200829% match

Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201128% match






Maths Puzzle: The self descriptive number solution
singingbanana
175.1K views 4.8K likes 42 dislikes 09 Jan 201627% match

Functions (Part III)
Khan Academy
322.7K views 1.1K likes 28 dislikes 18 Mar 200727% match



Problems with Zero - Numberphile
Numberphile
5.2M views 72.9K likes 1.5K dislikes 25 Oct 201227% match

Subtraction 2 | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
708.6K views 887 likes 142 dislikes 19 Jan 201027% match






Lambda Functions Debut In Excel - 2381
MrExcel.com
17.3K views 531 likes 9 dislikes 04 Dec 202027% match



Add 500 To Each Number In an Excel Cell - Duel 192
MrExcel.com
1.5K views 94 likes 0 dislikes 21 Aug 202027% match



11.11.11 - Numberphile
Numberphile
913.2K views 15.3K likes 251 dislikes 08 Nov 201127% match

CA Algebra I: Quadratic equation | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
56.4K views 28 likes 3 dislikes 01 Jan 200927% match






Introduction to conic sections | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
936K views 4.2K likes 139 dislikes 15 Jun 200926% match



Where Are The Matching Cells? - Duel 194
MrExcel.com
1.4K views 91 likes 3 dislikes 04 Sep 202026% match



Basic subtraction | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 1.1K likes 213 dislikes 10 Jul 200826% match









The mole and Avogadro's number | Atoms, compounds, and ions | Chemistry | Khan Academy
Khan Academy
2.4M views 9K likes 688 dislikes 27 Aug 200926% match




Why Don't These Cells Match In Excel - 2384
MrExcel.com
3.5K views 222 likes 1 dislikes 26 Jan 202126% match



Graphing logarithmic functions | Exponential and logarithmic functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
965.1K views 2.4K likes 97 dislikes 08 Nov 201126% match

More examples of factoring quadratics with a leading coefficient of 1 | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
2.2M views 6.2K likes 289 dislikes 09 Apr 201026% match




COMO EU GANHEI 13 MIL COM UM VIDEO DE FORMA PASSIVA | COMO VOCÊ PODE COPIAR ESTA IDEIA
Escola de Negócios Digitais - Siméia Avellar
3.6K views 426 likes 6 dislikes 23 Oct 202026% match

Evaluating with function notation | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
467.6K views 1.2K likes 79 dislikes 05 Apr 201026% match


Vector transformations | Matrix transformations | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
338K views 689 likes 19 dislikes 20 Oct 200926% match


Reacting To My Padel Video Bloopers #PadelFun
Otro Nivel Padel
2.3K views 108 likes 0 dislikes 16 Jan 202126% match

Expand Year Range To Individual Rows - Duel 195
MrExcel.com
1.8K views 114 likes 4 dislikes 18 Sep 202026% match



Ordering numeric expressions | Decimals | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
224.6K views 139 likes 20 dislikes 08 Apr 200726% match




Zero Factorial - Numberphile
Numberphile
4M views 74.8K likes 1.3K dislikes 08 Jun 201326% match


Derivatives: Crash Course Physics #2
CrashCourse
1.6M views 22.8K likes 1K dislikes 07 Apr 201626% match


Variables and Scope
CS50
29.6K views 68 likes 4 dislikes 07 Oct 201526% match










Bakersfield to Stockton via Excel Hash - 2386
MrExcel.com
1.5K views 73 likes 2 dislikes 02 Feb 202126% match



Ex101x - 5.1 - Array Basics
DelftX Data Analysis to the MAX
31.7K views 3 likes 1 dislikes 04 May 201526% match


Settings Privacy About Contact Donate