Dirichlet Integral, proof using double integralsYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  14.7K views 238 likes 9 dislikes   04 Nov 2017
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Hallo und willkommen zu einem anderen Matefacil Video, in diesem Video
Hola y bienvenidos a otro vídeo de Matefacil, en este vídeo
Wir werden das Integral zeigen Null bis unendlich des Sinus von x zwischen
vamos a demostrar que la integral de cero al infinito del seno de x entre
x durch dx entspricht pi über zwei. Um dies zu erreichen Integral ist als Integral bekannt
x por dx es igual a pi sobre dos. A esta integral se le conoce como integral de
Dirichlet, und in diesem Video werden wir das tun Demonstration durch Doppelintegrale.
Dirichlet, y en este vídeo vamos a hacer la demostración mediante integrales dobles.
In einem anderen Video haben wir das gemacht Demonstration von transformiert von
Ya en otro video hicimos la demostración mediante transformada de
Laplace, das ist wirklich ein Sehr schnelle Demonstration, sehr praktisch,
Laplace, que realmente es una demostración muy rápida, muy práctica,
aber für den Fall, dass sie das Thema nicht beherrschen von Laplace verwandelt und lieber a sehen
pero por si no dominan el tema de transformada de Laplace y prefieren ver una
Technik mit doppelter Integration werde ich zeige ihnen hier, wie es gemacht wird.
técnica con integración doble voy a mostrarles aquí cómo es que se hace.
Um dieses Integral zu berechnen, gehen wir zu Beginnen Sie mit der Berechnung dieses anderen Integrals
Para calcular esta integral vamos a empezar calculando esta otra integral
Erstens, weil es sehr werden wird nützlich hier zu tun
primero, porque nos va a resultar muy útil aquí para hacer
etwas Ersatz Lassen Sie uns das Integral von Null bis zu berechnen
alguna sustitución. Vamos a calcular la integral de cero al
unendlich von e erhöht auf -x um y. Dies ist ein sehr einfaches Integral
infinito de e elevado a -x por y. Esta es una integral muy fácil
Das Integral dieser Exponentialfunktion ergibt weniger eins auf x pro ea
La integral de esta exponencial nos da como resultado menos uno sobre x por e a la
-xy, wie integrieren wir? Bezüglich "y" ist das x konstant
-xy, como estamos integrando respecto de "y", la x es constante
deshalb haben wir -1 auf x, es ist ein unmittelbares Integral.
por eso es que aquí nos queda -1 sobre x, es una integral inmediata.
Jetzt müssen Sie innerhalb der Grenzen von bewerten Integration von Null bis Unendlich.
Ahora hay que evaluar en los límites de integración de cero al infinito.
Die Auswertung im Unendlichen bedeutet, dass Sie das Limit nehmen müssen, wenn die Variable nach unendlich geht.
Evaluar en infinito significa que hay que tomar el límite cuando la variable tiende a infinito.
In diesem Fall ist die Variable, die wir nehmen, "y"
En este caso la variable que estamos tomando es "y"
das war mit dem, mit dem wir uns hier integrieren, dann werden wir es tun
que fue con la con la que integramos aquí, entonces vamos a
berechne das Limit wenn "und" neigt zur Unendlichkeit von ea -xy,
calcular el límite cuando "y" tiende a infinito de e a la -xy,
Dann müssen wir das abziehen exponentiell an der unteren Grenze bewertet
luego a eso le tenemos que restar la exponencial evaluada en el límite inferior
also anstelle des "und" Wir ersetzen eine 0
o sea que en lugar de la "y" sustituimos un 0.
Dann bleibt es Minus minus x durch 0. Beachten Sie auch, dass -1 auf x
Entonces queda menos sea la menos x por 0. Fíjense también que el -1 sobre x
wir lassen es einfach hier draußen Multiplikation dieser Subtraktion.
simplemente lo dejamos aquí afuera multiplicando a esta resta.
Was wir jetzt tun müssen ist berechne dieses Limit hier.
Ahora lo que tenemos que hacer es calcular este límite de aquí.
Diese Grenze gibt uns gleich Null, so können wir es abbrechen, solange
Este límite nos da igual a cero, o sea que lo podemos cancelar, siempre y cuando
das x, das der Koeffizient des ist Variable, von denen wir die nehmen
la x que es el coeficiente de la variable de la cual estamos tomando el
Grenze sei positiv. Denken Sie daran, dass es auf mindestens eins erhöht ist
límite sea positivo. Recuerden que e elevado a menos una
Konstante durch eine Variable ist gleich Null wenn diese Konstante
constante por una variable es igual a cero si esa constante
Es ist positiv. In diesem Fall Konstante ist x
es positiva. En este caso la constante es x
wenn wir davon ausgehen, dass dies positiv ist Limit ist Null. Und es wird uns dienen
si suponemos que es positiva este límite vale cero. Y nos va a servir de
alle Wege nehmen an, dass x positiv ist, weil in diesem Integral wir
todas maneras suponer que x es positiva, porque en ésta integral que nosotros
wir haben berechnet das x ist in der Bereich von Null bis unendlich, so die
tenemos calcular la x está en el intervalo de cero a infinito, o sea que la
x ist positiv, daher ist es gültig Hier sei angenommen, dass x positiv ist und
x es positiva, por lo tanto es válido aquí suponer que x es positiva y
dann ist diese Grenze gleich Null. Und hier Wir haben e auf 0 erhöht, was 1 ist.
entonces este límite es cero. Y aquí nos queda e elevado a 0, que es 1.
Dann bleibt -1 für -1 über x, was 1 gegenüber positivem x entspricht.
Entonces queda -1 por -1 sobre x, que es igual a 1 sobre x positivo.
Sehen wir uns nun an, wie man dieses Ergebnis in diesem Integral verwendet.
Ahora vamos a ver cómo utilizar este resultado en ésta integral.
Erstens ist es integral, wir können es schreiben
Primero, está integral la podemos escribir
auf diese Weise als das Integral von Null zu Unendlichkeit von eins über x durch den Sinus von x
de esta manera como la integral de cero a infinito de uno sobre x por el seno de x
von dx, und was wir gerade demonstriert haben hier ist, dass 1 / x gleich ist
por dx, y lo que acabamos de demostrar aquí arriba es que 1/x es igual
ein Integral von Null bis Unendlich von e erhöht um -xy durch dy.
a integral de cero a infinito de e elevado a -xy por dy.
Anstatt dieses 1 / x zu setzen, nehmen wir das Integral von Null bis Unendlich
Así que en lugar de poner este 1/x, vamos a poner la integral de cero a infinito
von e zu -xy von dy erhöht, und das multipliziert mit dem Sinus von x durch dx.
de e elevado a -xy por dy, y eso está multiplicando al seno de x por dx.
Was wir jetzt tun können, ist drücke das als Doppelintegral aus
Ahora lo que podemos hacer aquí es expresar esto como una integral doble de
auf diese Weise: das Integral von Null bis Unendlich des Integrals von Null bis unendlich von
esta manera: la integral de cero a infinito de la integral de cero a infinito de
e erhöht auf -xy durch den Sinus von x durch dx durch dy.
e elevado a -xy por el seno de x por dx por dy.
Nun, hier können wir erste dx und dann dy, wie ich es ausdrückte, oder zuerst
Bueno aquí podemos poner primero dx y luego dy, como lo puse yo, o primero
das dy und dann das dx. Aber in diesem Fall ist es bequem, die dx zuerst zu setzen,
la dy y luego la dx. Pero en este caso, conviene poner primero la dx,
weil es viel bequemer ist Beginnen Sie mit der Integration in Bezug auf x.
porque resulta mucho más conveniente empezar integrando respecto de x.
Seit wenn wir angefangen haben zu integrieren in Bezug auf "und"
Ya que si empezáramos integrando respecto de "y"
Wir würden die 1 über x bekommen Wir hatten anfangs.
volveríamos a obtener el 1 sobre x que teníamos inicialmente.
Lasst uns jetzt Respekt integrieren von der x.
Así que vamos a integrar ahora respecto de la x.
Also lasst uns das Integral von berechnen die exponentielle durch den Sinus in Bezug auf x.
Entonces vamos a calcular la integral de la exponencial por el seno respecto de x.
Um dieses Integral zu berechnen, können wir tu durch Integration nach Teilen.
Para calcular esa integral, lo podemos hacer por integración por partes.
Tatsächlich habe ich es bereits in einem anderen Video gelöst, durch Integration von Teilen,
De hecho ya lo tengo resuelto en otro vídeo, mediante integración por partes,
Wir können diese Formel bekommen, die sehr nützlich ist. Und um es im Falle von anzuwenden
podemos obtener esta fórmula que resulta muy útil. Y para aplicarla en el caso de
unser Integral, beachte, dass das "a" das ist Koeffizient von x
nuestra integral, fíjense que la "a" es el coeficiente de x
In diesem Fall die Variable von Integration ist x, das "a" ist der Koeffizient und
en este caso la variable de integracion es x, la "a" es el coeficiente y
das b ist der Koeffizient von x im Sinus, dann musst du einfach gehen
la b es el coeficiente de x en el seno, entonces simplemente hay que ir
Ersetzen Sie das in der Formel. In diesem Fall ist der Koeffizient von x, was ist
sustituyendo eso en la fórmula. En este caso el coeficiente de x, que es
die Integrationsvariable hier es ist auch weniger "und", und die
la variable de integración aquí también, es menos "y", y el
Koeffizient von x im Sinus ist 1, also dass wir haben "a" ist "-y" und das "b" ist 1.
coeficiente de x en el seno es 1, así que tendremos que "a" es "-y" y que "b" es 1.
Wir ersetzen einfach in der Formel und dann bekommen wir das.
Simplemente vamos sustituyendo en la fórmula y obtenemos entonces esto.
Und das bestätigen Sie, dass es einfach ersetzt wurde
Ya esto ustedes verifiquen que simplemente se sustituyó
in der Formel.
en la fórmula.
Es ist ein bestimmtes Integral von Null bis unendlich
Como es una integral definida de cero a infinito
Sie müssen den Wert noch berechnen in den Grenzen der Integration von Null bis Unendlich
Todavía hay que calcular el valor en los límites de integración de cero a infinito
dann müssen wir mit der Bewertung in der oberen Grenze beginnen, die unendlich ist.
entonces tenemos que empezar evaluado en el límite superior, que es infinito.
Das bedeutet, das Limit zu berechnen, wenn der Variable neigt zur Unendlichkeit.
Eso significa calcular el límite cuando la variable tiende a infinito.
In diesem Fall ist die Variable in Bezug auf das wir integriert haben war das x, also
En este caso, la variable respecto de la que integramos fue la x, así que
Wir haben begonnen, Limit zu nehmen, wenn x neigt für diese Funktion von unendlich
empezamos tomando límite cuando x tiende a infinito para esta función de
hier, und dann müssen wir subtrahiere diese Funktion, ausgewertet bei x = 0
aquí, y luego a eso le tenemos que restar esta función evaluada en x=0
Also haben wir anstelle von x eine 0 gesetzt
o sea que en lugar de la x ponemos un 0
an jeder Stelle wo x, und Jetzt müssen wir die Operationen durchführen.
en cada lugar donde aparece x, y ahora hay que hacer las operaciones.
Wir beginnen mit der Berechnung der Grenze.
Empezamos calculando el límite.
In diesem Fall ist die Variable "y" der Koeffizient des x
En este caso, la variable "y" que es el coeficiente de la x
es ist ein positiver Koeffizient, das heißt, wir haben wieder eine Grenze für die
es un coeficiente positivo, o sea tenemos de nuevo un límite en el
zu dem wir eine hohe Exponentialzahl haben eine Konstante für das -x, so
cual tenemos una exponencial elevado a una constante por el -x, como esa
Konstante ist positiv, Die Grenze dieser Exponentialfunktion ist 0.
constante es positiva, el límite de esa exponencial es 0.
Woher wissen wir, dass "und" positiv ist? Das ist weil
¿Cómo sabemos que "y" es positiva? Eso es porque
Wir integrieren von Null bis unendlich, Also ist "y" im Intervall
estamos integrando de cero al infinito, o sea que "y" está en el intervalo
von Null bis Unendlich, das heißt das "und" ist positiv.
de cero a infinito, eso quiere decir que "y" es positiva.
Also wird die Exponentialzahl 0 und mit dieser Funktion multipliziert, alles wird 0.
Así que la exponencial se hace 0 y multiplicado por esta función de aquí, todo se hace 0.
All das können wir entfernen. Dann hier
Todo esto lo podemos quitar. Luego aquí
Der Sinus von 0 ist 0 und wird mit diesem multipliziert Fraktion ist immer noch 0, also
el seno de 0 es 0, y multiplicado por esta fracción sigue siendo 0, así que
Dieser Begriff wird ebenfalls entfernt. Und hier ist "e" zu Exponent 0 1, also ist das alles 1.
este término también se quita. Y aquí "e" al exponente 0 es 1, así que todo esto es 1.
Und auch hier ist Kosinus von 0 1.
Y también aquí coseno de 0 es 1.
Das einzige, was bleibt, ist dieser Bruchteil mit dem Minuszeichen, aber
O sea que lo único que nos queda es esta fracción con el signo menos, pero
indem wir mindestens multiplizieren hier draußen ist es positiv.
al multiplicar por el menos que tenemos aquí afuera, queda positiva.
So läuft das alles auf die Integral von Null bis Unendlich, von diesem
Así que todo esto se reduce a la integral de cero al infinito, de este
außer wir hatten draußen, um -1 über "y" Quadrat +1. Wir multiplizieren weniger für weniger,
menos que teníamos afuera, por el -1 sobre "y" cuadrada +1. Multiplicamos menos por menos,
und das gibt uns mehr. Dann ist es positiv.
y eso nos da mas. Entonces ya queda positiva.
Und dieses Integral führt zum Arkustangens von "y", weil es ein unmittelbares Integral ist.
Y esta integral nos da como resultado el arcotangente de "y", pues es una integral inmediata.
Dann ist es tangentialer Bogen von "y", von Null bis unendlich ausgewertet.
Entonces es arco tangente de "y", evaluado de cero al infinito.
Wieder fangen wir an zu berechnen begrenzen, wenn "und" gegen unendlich geht
De nuevo empezamos calculando límite cuando "y" tiende a infinito
des tangentialen Bogens von "y", und dann subtrahieren wir den tangentialen Bogen, der in der unteren Grenze ausgewertet wird
de arco tangente de "y", y luego le restamos arco tangente evaluada en el límite inferior
was 0 ist Arcustangens von 0 ist Null.
que es 0. Arco tangente de 0 vale cero.
Also dieser Begriff ist schon entfernt, und die Grenze, wenn "und" zur Unendlichkeit neigt
Así que este término ya lo quitamos, y el límite cuando "y" tiende a infinito de
tangential arc von "y" ist gleich pi over zwei, das ist ein Ergebnis, das gelernt wird
arco tangente de "y" es igual a pi sobre dos, este es un resultado que se aprende en
Berechnung, also hier sagen wir es, es ist gleich Pi über 2, und so haben wir
cálculo, así que aquí lo ponemos, es igual a pi sobre 2, y así hemos
beendete die Demonstration. Wenn dir dieses Video gefallen hat, bitte hilf mir
terminado la demostración. Si les gustó este video apóyenme
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dass, wenn sie irgendeine Frage haben oder Vorschlag kann es in der verlassen
que si tienen cualquier pregunta o sugerencia pueden dejarla en los
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