Eulers formula Khan Academy English Korean

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- [Voiceover] So in this video we're goint to talk about

이번 영상에서는

Euler's formula.

오일러 공식에 대해 알아보려고 합니다

And one of the things I want to start out with is

시작하면서 한마디 하자면

why do we want to talk about this

왜 이런 이상한 공식을 알아보고 싶은 것일까요?

rather odd looking formula?

왜 이런 이상한 공식을 알아보고 싶은 것일까요?

What's the big deal about this?

어떤 중요한 의미를 가지고 있을까요?

And there is a big deal.

사실 아주 중요한 것이 있는데

And the big deal is e.

바로 e입니다

우리는 e를 사랑합니다

And I'll underline that twice.

두번 밑줄을 긋겠습니다

Now the reason is, because

e를 좋아하는 이유는

when we take a derivative of e

e의 도함수를 구하면

equals e to the x.

은 eˣ와 같습니다

그리고 d/dt eᵃˣ

그리고 d/dt eᵃˣ

so where a is anything

a가 임의의 상수일 때

equals ae to the ax.

aeᵃˣ와 같습니다

And so the property is that when you take a derivative

이 함수의 도함수의 중요한 성질 하나는

of the function, the same function comes out.

자기 자신이 나온다는 겁니다

Or, if you take a derivative of the function

혹은 도함수를 구할 때

a scaled version of the same function comes out.

원래 함수의 확대 또는 축소된 함수를 얻게 됩니다

And we love this, because why?

왜 이 성질을 좋아할까요?

Because when we do differential equations

왜냐하면 미분방정식을 풀 때

해답이 eˣ이기 때문입니다

is the solution.

해답이 eˣ이기 때문입니다

Almost every time.

거의 모든 경우에 말입니다

Whenever we did a circuit

회로를 다룰 때마다

e to the x was the answer.

답이 eˣ 였습니다

If you recall from when we were solving

미분방정식으로 간단한 회로 문제를 풀 때를 되돌아본다면

circuit simple circuits with differential equations

미분방정식으로 간단한 회로 문제를 풀 때를 되돌아본다면

that we always said something like

우리는 항상

well we're gonna guess that V of T

v(t)가 어떤 상수 곱하기 eˢᵗ 라고 가정했습니다

is some constant times e to the

v(t)가 어떤 상수 곱하기 eˢᵗ 라고 가정했습니다

v(t)가 어떤 상수 곱하기 eˢᵗ 라고 가정했습니다

That was a proposed solution.

이것이 추천된 풀이였습니다

This turned out to work every time.

모든 경우에 성립한다는 것을 볼 수 있었습니다

So there's something else we love, too.

그리고 우리가 사랑하는 것이 한 가지 더 있습니다

그것은 바로

사인 곡선이었습니다

Or, sines and cosines.

혹은 사인과 코사인 말입니다

우리는 이것들을 좋아합니다

And that gets two lines.

밑줄을 두 번 긋겠습니다

Now why do we love these?

왜 이것들을 좋아할까요?

Is because they happen in nature.

왜냐하면 자연에서 일어나기 때문입니다

휘파람을 불면

the air pressure looks like a sine wave.

공기 압력이 사인 곡선처럼 보입니다

If you ring a bell

종을 울리면

the bell moves in a sine wave.

사인 파동의 형태로 이동합니다

In any kind of music

어떠한 종류의 음악이라도

if you look at the notes in music

음악의 음정을 관찰한다면

the sound they make

음정이 만드는 소리의

the pressure waves look like

사인 곡선의 형태입니다

And circuits make sine waves, remember?

그리고 회로도 사인 파동을 만듭니다

We analyzed this circuit in great detail

이 회로를 자세히 분석했었는데

LC 회로였습니다

We looked at the natural response of this

이 회로의 자연 응답을 보면

and that was a sine wave.

사인 파동이었습니다

So, electric circuits make sine waves.

전자 회로는 사인 파동을 만듭니다

All these things make sine waves.

이 모든 것들이 사인 파동을 만듭니다

They occur in nature.

자연에서 일어나는 것들입니다

And we want to be able to analyze

그리고 사인 파동이 있을 때 일어나는 현상들을 분석하고 싶습니다

things that happen when sine waves are present.

그리고 사인 파동이 있을 때 일어나는 현상들을 분석하고 싶습니다

So, we have two things we love and we want

따라서 우리가 좋아하는 두 가지 항목이 있고

to relate these two things.

둘 사이의 관계를 알아보고 싶습니다

And these are going to be related

그리고 이들은 오일러의 공식을 통해 연관됩니다

그리고 이들은 오일러의 공식을 통해 연관됩니다

Euler's Formula.

그리고 이들은 오일러의 공식을 통해 연관됩니다

That's how we connect these two separate ideas.

이 두 아이디어를 연관짓는 방법입니다

Let me, let's go do that.

한번 해보겠습니다

So Euler's Formula says that

오일러의 공식은

eʲˣ=cos x + j sin x

eʲˣ=cos x + j sin x

eʲˣ=cos x + j sin x

X

eʲˣ=cos x + j sin x

eʲˣ=cos x + j sin x

j

eʲˣ=cos x + j sin x

eʲˣ=cos x + j sin x

Sal has a really nice video where he actually

Sal은 이 공식이 참이라는 것을 보인 좋은 비디오를 촬영했습니다

proves that this is true.

Sal은 이 공식이 참이라는 것을 보인 좋은 비디오를 촬영했습니다

And he does it by taking the MacLaurin

매클로린 급수를

series expansions of e,

and cosine, and sine

코사인, 사인으로 확장하여

and showing that this expression is true

나타낸 식을 비교하여 이 식이 참임을 보였습니다

by comparing those series expansions.

나타낸 식을 비교하여 이 식이 참임을 보였습니다

And I'm not going to repeat that here

여기에서 반복하지는 않을 것이고

we're just going to state that as fact.

사실로 받아들이겠습니다

And now we're going to look at this equation a little bit more.

이 식을 좀 더 자세히 보겠습니다

So, this is the expression that relates exponentials

이 식이 우리가 좋아하는 지수함수를

that we love, to sines and cosines that we love.

사인과 코사인으로 연관시켜줍니다

And part of the price of doing that is we introduce

그리고 이 편리함의 대가로

complex numbers into our world.

복소수를 사용하게 됩니다

Here's two complex numbers.

여기에 복소수 두 개가 있습니다

This is where complex numbers come into

이것이 전기공학에서 복소수를 사용하는 이유입니다

electrical engineering.

이것이 전기공학에서 복소수를 사용하는 이유입니다

So we have to mention the other form of

이 공식의 다른 형태를 볼텐데요

this formula which is

이 공식의 다른 형태를 볼텐데요

e to the, I put a minus sign in here,

e의 지수에 - 기호를 넣어

e to the minus jx.

And that equals

이것은 다음과 같습니다

cos x - j sin x

cos x - j sin x

cos x - j sin x

So these two expressions together

이 두 식을 함께

are Euler's Formula, or Euler's Formulas.

오일러 공식이라고 부릅니다

And we're gonna exploit this by taking

그리고 이 식을 다음과 같이 사용할텐데

we'll be able to take the cosines and sines

자연에서 찾을 수 있는 코사인과 사인을

that we find in nature

자연에서 찾을 수 있는 코사인과 사인을

we're going to be able to fashion them into exponentials.

지수함수로 변형시킬 수 있습니다

And these exponentials then go into our

그리고 여기서 구한 지수함수를

differential equations and give us solutions.

미분방정식에 대입하여 답을 구할 수 있습니다

And we're going to come back and pull out the cosines

그 후에 다시 코사인과 사인으로 치환하면 됩니다

그 후에 다시 코사인과 사인으로 치환하면 됩니다

That's the rhythm of how we're going to use this equation

이것이 우리가 이 공식을 사용하여 회로 문제를 해결하는 방법입니다

to help us solve circuits.

이것이 우리가 이 공식을 사용하여 회로 문제를 해결하는 방법입니다

One small point I want to share,

여기서 주목할 만한 작은 사실은

notice that in both these equations the sine comes first?

두 공식 모두 코사인이 먼저 온다는 점입니다

And the sine is over here

그리고 사인은

on the imaginary side.

허수 쪽에 있습니다

So the cosine is the real side.

즉 코사인은 실수 쪽입니다

This is the reason that we have a preference in the future

나중에 이 방법을 선호하는 이유입니다

we're going to have a preference

나중에 이 방법을 선호하는 이유입니다

if we're talking about our real world signals

실제 신호를 코사인 함수로 다룰 때

in terms of the cosine function.

실제 신호를 코사인 함수로 다룰 때

It's because in this Euler's Formula

오일러 공식에서

the cosine comes first, in both cases.

두 경우 모두 코사인이 먼저 오기 때문에

So what I want to do now is

제가 하고 싶은 것은

take a second and I want to see

다음을 확인하고 싶습니다

if we had our signal expressed in these exponentials

신호가 지수함수로 표현되었다면

how do we recover the cosine and the sine term?

이로부터 코사인항과 사인항을 어떻게 복원해야 할까요?

How do we flip these equations around

어떻게 공식을 뒤집어

so we can solve for the cosine and the sine?

코사인과 사인을 구할 수 있을까요?

It's a simple bit of algebra here.

간단한 연산입니다

It's good to see.

보기 좋습니다

All right, so if I want to isolate the cosine term.

코사인항을 따로 분리하고 싶습니다

If I want to isolate the cosine term

코사인항을 분리하려면

let me get rid of these guys here.

이 부분을 없애야 합니다

So now to isolate the cosine term

코사인항을 분리하려면

what I'm going to do is add these two equations together

이 두 등식을 서로 더할 것입니다

and that plus and minus are going to cancel out

더하기와 빼기가 서로 상쇄됩니다

this second term here.

여기 두번째 항 말입니다

That's what I'm going for.

제가 하고 싶은 것입니다

I'll get e to the jx

e to the minus jx

equals, cosine doubles,

는 2 cos x 와 같습니다

는 2 cos x 와 같습니다

And the two sine terms cancel out.

두 사인 항이 서로 상쇄되었습니다

이해가 됩니까?

So then I could write

그렇다면 이렇게 적을 수 있습니다

I'll write it over here.

여기에 적겠습니다

I can write, cosine of X

은 다음과 같습니다

e to the plus jx

(e⁺ʲˣ+e⁻ʲˣ)/2

plus e to the minus jx

(e⁺ʲˣ+e⁻ʲˣ)/2

(e⁺ʲˣ+e⁻ʲˣ)/2

이해가 됩니까?

So that's the expression

따라서 이 공식이

that's the expression for cosine in terms of

코사인을 지수함수의 형태로 나타내는 공식입니다

complex exponentials.

코사인을 지수함수의 형태로 나타내는 공식입니다

Okay, let's go back and see if we can get sine.

다시 사인도 구할 수 있는지 봅시다

So what I'm gonna do with sine

사인을 구하기 위해서

is I'm going subtract.

두 식을 서로 뺄 것입니다

And that gives me

그러면 결과로는

what that'll do is that'll get the cosine terms

코사인 항이 서로 상쇄됩니다

코사인 항이 서로 상쇄됩니다

그리고 저는

subtracting, right?

Minus e to the minus jx

은 다음과 같습니다

cosine terms, they subtract out.

코사인 항은 서로 상쇄됩니다

And I get two times

j

All right, and that means I can write

그렇다면 다음과 같이 적을 수 있습니다

는 다음과 같습니다

e to the plus jx

(e⁺ʲˣ-e⁻ʲˣ)/2j

minus e to the minus jx

(e⁺ʲˣ-e⁻ʲˣ)/2j

(e⁺ʲˣ-e⁻ʲˣ)/2j

And it's really easy

j가 분모에 있다는 사실을 까먹기 쉽습니다

that j term is down there.

j가 분모에 있다는 사실을 까먹기 쉽습니다

That's easy to forget sometimes.

j가 분모에 있다는 사실을 까먹기 쉽습니다

So I put a square around these guys

중요하므로 네모 표시를 해두겠습니다

'cause that's important.

중요하므로 네모 표시를 해두겠습니다

So there's the two expressions.

결과적으로 두 공식을 얻었습니다

That's the two expressions for

다음 경우에 사용하면 됩니다

if you have complex exponentials and you want

복소 지수함수로부터

to extract the cosine,

코사인을 추출하고 싶다면

this is how you do it.

이 공식을 사용하면 됩니다

And if you want to extract the sine

그리고 사인을 추출하고 싶다면

this is how you do it.

이 공식을 사용하면 됩니다

이해 되셨습니까?

And you can either

you can put these in your head or

이 두 공식을 암기하거나

probably easier for me,

혹은 더 간단하게

if you just remember

오일러 공식을 기억한다면 이 공식을 유도하기 쉽습니다

Euler's Formula, this is a pretty straightforward

오일러 공식을 기억한다면 이 공식을 유도하기 쉽습니다

quick derivation.

오일러 공식을 기억한다면 이 공식을 유도하기 쉽습니다

So the other thing we put a square around

또 네모 표시를 해 둘 것은

is this guy here.

이것입니다

So we have Euler's Formula.

따라서 오일러 공식이 있고

And basically the cosine and sine extracted

오일러 공식으로부터 사인과 코사인을 추출한 공식이 있습니다

from Euler's Formula.

오일러 공식으로부터 사인과 코사인을 추출한 공식이 있습니다

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