Another arc length integration example Khan Academy Thai English

Another arc length integration exampleYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 115.5K views 144 likes 8 dislikes 12 Aug 2014 Show Contributors 1

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

Thai Tee Ponsukcharoen

Click to Play Video

ค่านี่ตรงนี้คือกราฟ

- [Voiceover] This right here is the graph

ของ y เท่ากับ x กำลัง 3 ส่วน 6

of Y is equal to X to the third over six

บวก 1 ส่วน 2x

plus one over two X.

และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ

And what I want to do in this video is

หาความยาวส่วนโค้งตามเส้นโค้งนี้

to figure out the arc length along this curve

ระหว่าง x เท่ากับ 1 กับ x เท่ากับ 2

between X equals one and X equals two.

และเราได้เน้นมัน

And so we've already highlighted that

ด้วยสีม่วง

in this purple-ish color.

ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้

So I encourage you to pause this video

แล้วลองทำด้วยตนเอง

and try it out on your own.

และผมจะให้คำใบ้คุณ

And I'll give you one hint.

ถ้าคุณใช้สูตรความยาวส่วนโค้ง

Assuming that you apply the arc length formula

ถูกต้อง มันจะต้องใช้พีชคณิตนิดหน่อย

correctly, it'll just be a bit of power algebra

เพื่อหาความยาวส่วนโค้ง

that you'll have to do to actually find the arc length.

ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

So I'm assuming you've had a go at it.

ลองทำไปพร้อมกันเลย

Let's work through it together.

ในวิดีโอก่อนๆ เราได้หา

So a few videos ago, we got a justification

สูตรความยาวส่วนโค้ง

for the formula of arc length.

เราได้ความยาวส่วนโค้ง ความยาวส่วนโค้งเท่ากับ

We got arc length, arc length is equal to

อินทิกรัลจากขอบล่างของ x

the integral from the lower boundary in X to

ถึงขอบบนของ x นี่ก็คือความยาวส่วนโค้ง

the upper boundary in X, and this is the arc length,

ถ้าเราคิดในรูปของ x เราก็

if we're dealing in terms of X we could actually

จัดการเทอมอื่นๆ ได้

deal in terms of other variables.

มันจะเท่ากับ 1 บวก f ไพรม์ของ x

And so it's going to be one plus F prime of X

กำลังสอง dx

แล้ว f ของ x นี้ที่เราต้องหา

So for this particular F of X we just need to figure out

ว่า f ไพรม์ของ x คืออะไร เราต้องกำลังสองมัน เราต้อง

what F prime of X is, we need to square it, we need to

บวก 1 เข้าไป แล้วเราต้องหารากที่สอง

add one to it, and then we have to take the square root

ของมัน

ลองทำไปทีละขั้นกัน

So let's do all of that step-by-step.

f ไพรม์ของ x จะเป็นเท่าใด?

So what is F prime of X going to be?

ลองดู x กำลัง 3, อนุพันธ์ของมัน

Let's see, X to the third, the derivative of that

คือ 3x กำลังสอง

is three X squared.

ได้ 3x กำลังสอง 3 ส่วน 6 จะเท่ากับ

So three X squared, three over six is going to be

x กำลังสองส่วน 2 และนี่คือ 1/2 x

X squared over two, and this is one half X to the

กำลังลบ 1 มันคือวิธีคิดอย่างหนึ่ง

negative one is one way to think about it.

แล้วมันจะเท่ากับลบ 1/2 x

And so that's going to be negative one half X

กำลังลบ 2

to the negative two.

ลบ 1/2 x ยกกำลังลบ 2

Negative one half X to the negative two power.

ทีนี้ f ไพรม์ของ x กำลังสองเป็นเท่าใด?

Now, what is F prime of X squared?

มันจะเท่ากับ

So it's going to be,

ลองเขียนออกมา 1 บวก f ไพรม์

Actually let's just write out what is one plus F prime

ของ x กำลังสองเป็นเท่าใด?

มันจะเท่ากับ

So it's going to be,

1, 1 บวก f ไพรม์ของ x

So one, one plus F prime of X,

f ไพรม์ของ x กำลังสอง

F prime of X squared

จะเท่ากับ

is going to be equal to

มันจะเท่ากับ 1 บวกอันนี้กำลังสอง

it's gonna be one plus this thing squared.

แล้วลองดู เทอมนี่ตรงนี้กำลังสอง

And so, let's see, this term right here squared

จะเท่ากับ x กำลัง 4 ส่วน 4

is going to be X to the fourth over four.

มันจะเท่ากับ x กำลัง 4 ส่วน 4

It's gonna be X to the fourth over four.

ทีนี้ ผลคูณของสองตัวนี้ คูณ 2 จะ

Now the product of these times two is going

เท่ากับลบ

to get us negative,

ลองดู x กำลังสองคูณ x กำลังลบสอง

Let's see X squared time X to the negative two

จะเท่ากับ 1

which is going to be one.

มันจะเท่ากับลบ 1/2

And so it's going to be negative one half.

ใช่ ผมหาผลคูณสองตัวนี้

Right, I just took the product of these two

แล้วคูณมันด้วย 2 ใช่

and then multiplied that by two, yep,

มันจะเป็นลบ 1/2

it's just gonna be negative one half.

แล้วเทอมนี่ตรงนี้กำลังสอง

And then this term right over here squared

จะเท่ากับบวก 1/4 x

is going to be positive one fourth X

กำลังลบ 4

to the negative four.

1/4 x กำลังลบ 4

One fourth X to the negative four.

ทีนี้ ลองดู เรามี 1 กับลบ 1/2

Now let's see we have one and a minus one half

เราก็จัดรูปมันได้หน่อย

so we can simplify them a little bit.

อันนี้จะเท่ากับ x กำลัง 4

This is going to be equal to X to the fourth

1 ลบ 1/2 คือบวก 1/2 บวก 1/4

One minus one half is plus one half plus one fourth,

บวก 1/4 x กำลังลบ 4

plus one fourth X to the negative four power.

ขอผมเขียนให้ชัดหน่อย

Let me make that a little bit clearer.

x ยกกำลังลบ 4

X to the negative four power.

อันนี้ดูแปลกหน่อย

So this seems a little bit strange.

เราจะต้องหารากที่สองของมัน

And we're going to have to take the square root of it.

บางที เราอาจจัดให้มันเป็นผลคูณ

But maybe we can set this up so that it's a product

ของกำลังสองสมบูรณ์ได้ เพราะมันดู

of perfect squares, because it does look,

คุณรู้ว่า x กำลัง 4 แล้วลองดูว่าเรา

you know X to fourth and let's see if we can

เขียนอันนี้ในรูปที่เราเห็นวิธี

write this in a way that we could recognize

แยกตัวประกอบได้ดีขึ้นหน่อยได้ไหม

how to factor it a little bit better.

ลองแยก 1/4 x

So let's factor out a one fourth X

กำลังลบ 4 กัน

to the negative fourth power.

อันนี้จะเท่ากับ

So this is going to be equal to

1/4 x กำลังลบ 4 คูณ

one fourth X to the negative four times,

ลองดู ผมแยกมันออกมา

let's see I factored that out,

ถ้าคุณแยก 1/4 x กำลังลบ

so if you factor one fourth X to the negative

4 ออกจากเทอมแรก และผม

fourth out of this first term, and I could

ใช้สีแทนความหมายมันได้

color-code 'em a little bit.

เทอมแรกนี้ เมื่อคุณแยกอันนี้ออก

This first term, when you factor this out

จะได้ x กำลัง 8

is going to be X to the eighth power.

ทีนี้ เทอมนี้ตรงนี้ ถ้าผมแยก

Now this term right over here, if I factored out

1/4 ออกมา มันจะเท่ากับ

a one fourth, it's going to be equal to

2x กำลัง 4

two X to the fourth.

เทอมนี่ตรงนี้

So this term right over here,

เหมือนเดิม คิดพีชคณิตไป

once again, this powering through the algebra part.

บวก 2x กำลัง 4

So plus two X to the fourth,

แล้วอันนี้ค่อนข้างตรงไปตรงมา

and then this one is pretty straight forward.

อันนี้จะเท่ากับ 1

This is just going to be equal to one.

และตอนนี้ มันดูน่าสนใจแล้ว

And now this is looking interesting.

เพราะอันนี้ อันนี้ตรงนี้

Because this one, this right over here

เราเขียนใหม่ได้เป็น 1/2 x กำลังลบ 2 กำลังสอง

we could rewrite as one half X to the negative two squared.

อันนี้เท่ากับ สีเดิม

This is equal to, that same color,

1/2 x กำลังลบ 2 กำลังสอง

one half X to the negative two squared.

และอันนี้ตรงนี้ เราเขียนใหม่ได้เป็น x

And this over here we could rewrite this as X

กำลัง 4 บวก

to the fourth plus,

เราก็เขียนมันแบบนี้

so we write it this way,

อันนี้จะเท่ากับ x กำลัง 4 บวก

this is going to be X to the fourth plus

1 กำลังสอง

เอาล่ะ x กำลัง 4 คูณ x กำลัง 4 ได้

Alright, X to the fourth times X to the fourth is

x กำลัง 8

X to the eighth.

1 กำลังสองได้ 1

One squared is one.

ผลคูณของพวกมัน คูณ 2 ได้ 2x กำลัง 4

The product of them times two is two X to the fourth.

แล้วอันนี้ตรงนี้ก็เท่ากับตัวนั้น

So this over here is the same thing as that.

ตอนนี้ ถ้าเราอยากหารากที่สอง

And so now if we wanted to take the square root

ของทั้งสองข้าง

ถ้าเราอยากบอกว่า รากที่สองของ 1 บวก f ไพรม์

So if we wanted to say the square root of one prime

ของ x กำลังสอง

plus X squared.

สังเกตว่าผมคิดแค่พีชคณิต

Notice I'm just focusing on the algebra.

สิ่งที่เราทำมาถึงตอนนี้ นี่คือ 1 บวก f ไพรม์

So what we've done so far this is one plus F prime

ของ x กำลังสอง

ทีนี้ เราอยาหารากที่สองของพจน์นั้น

Now we want to take the square root of that.

มันจะเท่ากับรากที่สองของตัวนี้

So that's going to be the square root of this.

แล้วมันจะเท่ากับ

And so that's going to be equal to

รากที่สองของตัวนี้คือ ขอผมใช้สีแทนความหมายนะ

square root of this is, let me just color code it,

นี่จะเท่ากับ 1/2 x กำลังลบ 2

this is going to be one half X to the negative two power

คูณ คูณ x กำลัง 4 บวก 1

times, times X to the fourth plus one.

คูณ x กำลัง 4 บวก 1

Times X to the fourth plus one.

x กำลัง 4 บวก 1

X to the fourth plus one.

ผมทำถูกแล้ว ใช่

I did that right, yep.

Or

ผม ตอนนี้ที่ผมทำทั้งหมดนี้

I could actually, now that I did all this

คือใส่มันในรูปที่ผม

to put this in a form that I could actually

สังเกตได้ ตอนนี้ผมแจกแจงมันกลับได้แล้ว

recognize, now I could distribute things back.

อันนี้จะเท่ากับ 1/2

This is going to be equal to one half,

x กำลังลบ 2 คูณ x กำลัง 4

X to the negative two times X to the fourth

ได้ x กำลัง 2

1/2 x กำลังสองบวก 1/2 x กำลังลบ 2

One half X squared plus one half X to the negative two.

และถ้าเราหา ถ้าเราหา

And if we're gonna take, if we're gonna take,

ขอผมเขียนอันนี้ใหม่นะ

Let me rewrite this.

มันคือ 1 บวก f ไพรม์ของ x กำลังสอง

That's one plus F prime of X squared.

ตอนนี้ลองหาอินทิกรัลจำกัดเขตกัน

Now let's take the definite integral.

ผมจะหาที่เขียน dx เพิ่ม

I'm going to give myself some space to write my D X.

เราจะหาอินทิกรัลจำกัดเขต

So we're gonna take the definite integral,

ในกรณีนี้ จาก x เท่ากับ 1

in this case, from X equals one

x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2

X equals one to X equals two.

นี่คืออินทิกรัลจำกัดเขตจาก x เท่ากับ 1

So this is the definite integral from X equals one

ถึง x เท่ากับ 2 ของ dx นี้

to X equals two of this D X.

มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตของตัวนี้

So it's going to be the definite integral of this

จาก x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2 dx

from X equals one to X equals two D X.

แล้วอันนี้ก็ตรงไปตรงมา

And so this is fairly straight forward.

ปฏิยานุพันธ์ของ 1/2 x กำลังสอง

The anti-derivative of one half X squared

มันจะเป็น เท่าใด?

that's going to be, what?

มันจะเท่ากับ 1 ลองดู มันคือ x กำลัง 3

That's going to be one, let's see it's X to the third

แล้วเราหารด้วย 3

and then we divide by three.

1/2 หารด้วย 3 เป็น 1/6

So one half divided by three is one sixth.

1/6 x กำลัง 3

One sixth X to the third.

แล้วอันนี้จะ

And then this is going to be,

เราจะเพิ่ม

we're going to increment,

อันนี้จะเป็น x กำลังลบ 1

this is gonna be X to the negative one.

เราจะหารมันด้วยตัวนั้น ลบ 1/2 x

We're gonna divide by that so minus one half X

กำลังลบ 1

to the negative one power.

มันถูกไหม?

ผมทำอย่างนั้นใช่ไหม?

ใช่ ลบ 1 เมื่อคุณนำมันมา ใช่ ลบ 2

Yep, negative one, when you take it, yep negative two

แล้วอันนี้ ใช่ มันดูดีแล้ว

and then this one, yep, that looks good.

และเราถึงเส้นชัยแล้ว

And we're in the homestretch.

เราจะหาค่ามัน

We're gonna evaluate it.

ที่ 2 และที่ 1

At two and at one.

เราจึงได้

เมื่อคุณหาค่ามันที่ 2 คุณจะได้

when you evaluate it at two, you get

2 กำลัง 3 ซึ่งก็คือ 8 ส่วน 6

two to the third, which is eight over six

ลบ 1/2 คูณ 1/2

minus one half times one half.

อันนี้จึงเป็นลบ 1/4

So this is minus one fourth.

และเมื่อคุณหาค่ามันที่ 1

And when you evaluate it at one,

คุณจะได้ลบ คุณจะลบ

you're gonna have minus so we're gonna subtract

ค่ามันที่ 1

evaluating it at one,

มันจะเท่ากับ 1/6 ลบ 1/2

it's gonna be one sixth minus one half)

และตอนนี้เราต้องหาค่าเศษส่วนนี้

And now we just have to evaluate these fractions.

อันนี้จะเท่ากับ ลองดู

So this is going to be, let's see

นี่คือ ถ้าเราหาร นี่คือ 4/3

This is, if we divide, this is four thirds,

4/3 ลบ 1/4 ลบ 1/6

four thirds minus one fourth minus one sixth

แล้วเรามีบวก บวก 1/2

and then we have plus plus one half.

ทีนี้ ลองดู ตัวส่วนร่วมตรงนี้จะเป็น 12

Now let's see the common denominator here would be 12.

นี่คือ 4/3 ส่วน 12 คือ

So this is be four thirds over 12 is

16 ส่วน 12

เอาล่ะ คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 4

Alright multiply the numerator and denominator by four.

ลบ 1/4 เหมือนกับ 3/12

Minus one fourth, the same thing as three over 12.

ทีนี้ อันนี้คือลบ 2 ส่วน 12

Now this is minus two over 12.

แล้วเรามีบวก 6 ส่วน 12

And then we have plus six over 12.

และนี่จะเท่ากับ

And so this is going to be equal to,

ผมว่าเราพร้อมตีกลองต้อนรับเบาๆ แล้ว

I think we deserve at least a little mini-drum roll

ตรงนี้

right over here.

16 ลบ 3 จะเท่ากับ 13 ลบ 2 เป็น 11

So 16 minus three is going to be 13 minus two is 11

บวก 6 เป็น 17

plus six is 17.

เราก็ได้คำตอบแล้ว

So there we have it.

ความยาวของส่วนโค้งนั้น

The length of that arc

ตามเส้นโค้งนี้

along this curve.

ระหว่าง x เท่ากับ 1 กับ x เท่ากับ 2

Between X equals one and X equals two.

ความยาวนั่นตรงนั้นคือ 17, 17/12

That length right over there is 17, 17 twelfths.

เราเสร็จแล้ว

Similar videos:

Equation of tangent line example 1 | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
259.4K views 68 likes 28 dislikes 27 Nov 201338% match

Disc method rotation around horizontal line | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
215.4K views 161 likes 9 dislikes 08 Jan 201336% match

Total distance traveled by a particle | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
228.3K views 306 likes 61 dislikes 30 Dec 201335% match

Washer method rotating around horizontal line (not x-axis), part 2 | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
111K views 63 likes 3 dislikes 08 Jan 201335% match

Power series of arctan(2x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
100.3K views 117 likes 6 dislikes 10 Oct 201435% match

_-substitution: definite integral of exponential function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
190.7K views 154 likes 12 dislikes 30 Apr 201434% match

Evaluating integral for shell method example | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
125K views 30 likes 1 dislikes 09 Jan 201334% match

First order homogeneous equations 2 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
434.6K views 843 likes 27 dislikes 31 Aug 200834% match

Example: Complex roots for a quadratic | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
499.8K views 1K likes 73 dislikes 12 Jul 201134% match

Area between curves with multiple boundaries
Khan Academy
264.8K views 389 likes 17 dislikes 28 Jan 201334% match

Worked example: arc length | Applications of definite integrals | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
348.8K views 701 likes 35 dislikes 11 Aug 201434% match

Equation for parabola from focus and directrix | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
636.8K views 1.4K likes 111 dislikes 26 Jan 201534% match

Repeated roots of the characteristic equations part 2 | Khan Academy
Khan Academy
148.7K views 287 likes 4 dislikes 02 Sep 200834% match

Power series of ln(1+x_) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
159.6K views 199 likes 15 dislikes 04 Apr 201434% match

2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 4 | Khan Academy
Khan Academy
397.2K views 785 likes 17 dislikes 01 Sep 200833% match

Partial fraction expansion to evaluate integral | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
521.1K views 1.4K likes 61 dislikes 18 Aug 201433% match

Example 5: Factoring quadratics with two variables (leading coefficient is 1) | Khan Academy
Khan Academy
426.5K views 745 likes 56 dislikes 05 Aug 201333% match

Binomial theorem | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 9.4K likes 395 dislikes 26 Mar 201433% match

Differentiating logarithmic functions using log properties | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
265.8K views 527 likes 30 dislikes 20 Mar 201433% match

Worked example: Riemann sums in summation notation | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
242.8K views 308 likes 15 dislikes 25 Jun 201432% match

Visualizing Taylor polynomial approximations | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
172.7K views 207 likes 6 dislikes 18 May 201132% match

Introduction to special products of binomials | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
388.9K views 1.2K likes 79 dislikes 09 Apr 201032% match

Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
113K views 149 likes 10 dislikes 10 Oct 201432% match

Factoring 5th degree polynomial to find real zeros | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
307.4K views 303 likes 24 dislikes 13 Dec 201332% match

Differentiating polynomials | Derivative rules | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
259.8K views 314 likes 11 dislikes 09 Jan 201332% match

Integration by parts: Âºx____dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
445.3K views 320 likes 7 dislikes 28 Jan 201332% match

Trig and U substitution together (part 1)
Khan Academy
184.2K views 126 likes 9 dislikes 11 Feb 201332% match

Definite integral of absolute value function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
120.4K views 380 likes 11 dislikes 28 Jul 201632% match

Line integral example 2 (part 2) | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
137.2K views 329 likes 14 dislikes 25 Feb 201032% match

Finding zeros of polynomials (1 of 2) | Mathematics III | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
355.3K views 539 likes 48 dislikes 16 Feb 201632% match

Settings Privacy About Contact Donate