Introduction to Complexity: Logistic Map Complexity Explorer English Spanish (Argentina)

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Science & Technology 12.3K views 10 likes 0 dislikes 13 Sep 2018

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El mapa logístico

now let's turn to exploring the dynamics at the logistic model

Ahora vamos a comenzar a explorar la dinámica del modelo logístico

so you might remember that n of sub (t+1) is the population that time t + 1

Pueden recordar que n(t+1) es la población en el tiempo t+1

and that was equal to the birthrate – the death rate times the population at time t minus the numbers individuals who died

Y esto es igual a la tasa de nacimiento, menos la tasa de mortalidad

times the population that time T minus the numbers individuals who died due to overcrowding which is the population a time T-square divided by maximum population or the carrying capacity

multiplicada por la población en el tiempo t, menos el número de individuos que morirán debido a la sobrepoblación que es la población en t elevada al cuadrado, dividida por el máximo de la población o la capacidad de carga.

I'm going to start by reading this

in the simplest format. First I'm going to let

Voy a comenzar escribiendo esto en su forma más simple

R represents the birth rate minus the death rate

Primero voy a poner que R, representa la tasa de nacimiento menos

and I'm going to let K equal the maximum population. now I can write

la tasa de mortalidad Y voy a poner que K es la población máxima

this top equation using these new symbols now I'm going to do

Ahora puedo escribir esta ecuación usando estos símbolos nuevos

a little bit algebra so if you don't like algebra then just try and follow along and if you don't understand it doesn't really

Ahora voy a hacer un poquito de álgebra, por lo tanto si no te gusta el álgebra podés seguir de largo, si no se entiende, tampoco importa mucho

matter it's only the endpoint that you need to know. So I'm gonna do is divide

Es solamente el punto final que se debe conocer.

both sides of this equation by K

Lo que voy a hacer es dividir los dos lados de la ecuación

the carrying capacity. And now I'm gonna define

por K, la capacidad de carga

one more new symbol and that's going to be

Y ahora voy a definir un nuevo símbolo

X sub t it equals to n sub t over K. So now I can rewrite

y este va a ser Xt =Nt/k

this equation using my new symbol

Ahora puedo reescribir esta ecuación

X

usando mis símbolos nuevos

This equation represents the fraction the current population is of the carrying capacity

Esta ecuación representa la fracción de la población actual, de la capacidad

at a given time and that's equal to

de carga, en un tiempo dado

R times the fraction that the previous time step minus that same fraction square and this

y esto es igual a R veces la fracción al momento previo menos la misma fracción al cuadrado.

is known as the logistic

Y esto es conocido como

map. And this turns out to be

el mapa logísitico.

the most famous equation in the field of chaos theory.

Y esto resulta que es la ecuación más famosa en el campo de las teorías

Let's rewrite the logistic map here for clarity Really simple huh

del caos. Reescribamos el mapa logísitico aquí para clarificar.

as it happens though it's more interesting than it appears

Muy simple, no? Como sucede frecuentemente, es más interesante de lo que parece

many people have studied this equation in depth since Verhulst proposed

Mucha gente estudia esta ecuación de manera profunda desde que

Two prominent examples have people who have studied it our Lord Robert May a theoretical biologist who had a very influential

Verhulst la propuso Dos ejemplos prominentes de gente que la estudió son Lord Robert May un biólogo teórico que escribió un artículo muy influyente

paper about sequestering in the 1970s

sobre esta ecuación en la década de 1970

and Michelle Feigenbaum a theoretical physicist who worked extensively on this equation in the nineteen eighties

y Mitchell Feigenbaum un físico teórico que trabajó extensamente

as probably the person most commonly associated with it in the scientific

en esta ecuación en la década del 80. Y es probablemente la persona que más se asocia con esta ecuación

community note that X

en la comunidad científica.

is the population at time sometime divided by the carrying capacity

Notemos que X es la población en algún tiempo dado dividido por la capacidad de carga

for the maximum population so X always is a real number between 0&1

o el valor máximo de la población Por lo tanto X siempre un número real entre 0 y 1

this is why the question is called a map that is it takes

Es por esto que la ecuación es llamada mapa

in this on this side a current value of x between 0&1

esto es que toma, de este lado, un valor actual de X entre 0 y 1

and maps it into a new value of x which is also between 0&1 so let's look at an example let's let

que mapea en un nuevo valor de X que también está entre 0 y 1. Vamos a ver un ejemplo

are equal 2 at our initial population over carrying capacity X 0

Asignemos R = 2 y nuestra población inicial sobre la capacidad de carga

equal 0.2 that is our population is 20 percent at at the carrying capacity. Now i can

Xo = .2. Esto es nuestra población es un 20% de la capacidad de carga

iterate this map so get out a calculator let's calculate

Ahora podemos iterar este mapa, por lo tanto saquemos las calculadoras

x1. That's gonna be equal to 2. that's our value times 0.2 0.2^2 and

Calculemos X1 Esto será igual a 2, que es el valor de R multiplicado por .2 menos .2 al cuadrado

quite my calculator that's equal to 0.32

Y de acuerdo a mi cálculadora, esto es igual a .32

so we've gone from twenty percent are carrying capacity to 32 percent

Pasamos entonces de un 20% de la capacidad de carga

now what happens the next year. At the next year we have

a 32%. Ahora sucede que el año próximo

2 times well now we gotta take this value for our previous generation 0.32 minus 0.32^2

El año próximo tenemos 2 veces, Ahora utilizamos este valor, de nuestra previa interacción.

and that's equal 0.4352 (writing)

.32 menos .32 al cuadrado y esto es igual a .4352

okay let's keep going but a little faster now (writing) (writing) (writing)

Ok, sigamos, pero un poco más rápido ahora

and forever after will get .5 is our answer.

y para siempre vamos a obtener .5 como respuesta

This means that if your growth rate that is the

Esto implica que si su tasa de crecimiento que es la tasa de nacimiento

birthrate months the death rate or R is equal to 2

menos la tasa de mortalidad, o R

and you start out at twenty percent of the carrying capacity

es igual a 2 y comenzás al 20% de la capacidad de carga

under this model the population what always end up at fifty percent of the

bajo este modelo, la población siempre va a terminar en un 50%

carrying capacity. There are two things I should note here first I am using the term model

de la capacidad de carga. Hay dos cosas que debo hacer notar aquí: Primero, estoy usando el término modelo

here to refer to a mathematical equation that is

aquí para referirme a una ecuación matemática

the logistic map. This is the model. It's called the model because its simplified representation

Es decir, el mapa logístico, este es el modelo Se lo llama modelo porque es una representación simplificada

of real phenomenon of population growth, also refer to the computer programs we

del fenómeno real del crecimiento poblacional

Pero también me refiero al programa de computadora que escribimos

in NetLogo as models since they're also simplified representations of real

y usamos en netlogo, como modelos.

Son también representaciones simplificadas de los fenómenos reales

the word model is very general term in science for any simplified

La palabra "modelo" es un término muy general en ciencias para

representation of nature whether it be an equation, computer program, a drawing or what have you.

cualquier representación simplificada de la naturaleza Sea una ecuación, un programa de computadora, un dibujo

The second thing to note

o cualquier otra cosa

is that this value of .5 is called

La segunda cosa que debemos notar es que este valor de .5

se llama atractor

It's an attractor for the system because the system is in some sense attracted to it. It turns out that even if we had started

Es un atractor para este sistema porque el sistema está, en algún sentido, atraído a él.

with different initial population say

Resulta que aún si comenzamos con valores iniciales diferentes

x0 equals 0.8 the system would still end up with a value

de la población, por ejemplo X0 igual a .8, el sistema terminará

0.5 after some number of steps. When the system and sub

con el valor de .5, luego de un número determinado de pasos.

a single value like 0.5 this value is called

Cuando el sistema termina en en un solo valor, como .5

este valor es llamado un punto fijo

since the value with the point stays fixed Thus for this system 0.5

Este valor o el punto, permanece fijo

is called a fixed-point attractor and by this

Esto, para este sistema, .5 es llamado un atractor de punto fijo

system i mean again this equation with R equals to 2. Often the terms model and system are used to synonymously I hope this doesn't get too confusing.

Y por sistema me refiero, otra vez, a esta ecuación con R igual a 2 A veces el término modelo y sistema son usados como sinónimos

In any case we'll see some other kinds of attractor in the next subunit.

Espero que esto no los confunda En cualquier caso, podemos ver otras clases de atractores

Finally let's look at a different way of visualizing the dynamics at the logistic

en la próxima subunidad. Finalmente, veamos una forma diferente de visualizar la dinámica

del mapa logístico.

that is how it changes as you iterate it. I'm going to draw

Esto es, cómo cambia a medida que está iterando

a plot logistic map equation for R equals 2

Voy a dibujar un gráfico de la ecuación del mapa logístico para R igual a 2

now I am plotting down here is X sub t and I am plotting over here X sub t+1. OK, so

Ahora voy a graficar aquí, Xt; lo que voy a graficar aquí es Xt+1

not a great drawing but this is roughly what it looks like it's a parabola

Ok, entonces No es un gran dibujo, pero es más o menos así como se ve

and it goes between 0&1

es una parábola

here and here for E equals 2 right that goes between 0 and 0.5 just the maximum. Okay let's put 0.5 here on the x-axis and then we can follow

que va entre 0 y 1 aquí y aquí para R igual a 2, lo escribo va entre 0 y .5, que es lo máximo Ok, pongamos .5 aquí sobre el eje de las x

the steps we took before in calculating the values taken. Okay so our first value if you remember x1 was point 0.32 thats x1

Entonces podemos seguir los pasos para calcular los valores tomados Ok, nuestro primer valor, si lo recuerdan es X1 igual .32

we find this on the .32 to its about right here

Esto es X1 que es .32 y lo encontrarán aquí

and the y value for that on the parabola

y el valor correspondiente de Y en la parábola

was point 0.4352, that was x2 okay so this was the point

.4352, que es X2

Este es el punto X1, X2

then we take our value for X2 and we find it down here on that

Entonces tomamos el valor de X2

x-axis here because we're gonna calculate the next value

y encontramos aquí en el eje X, porque vamos a calcular el valor

of the function so

siguiente de la función

0.4352 you down here is around here and that corresponds up to

.4352 está aquí

this point on the problem that's X3

y se corresponde con este punto

.49160192 okay this point here is (X2,X3) Okay and we take our X3

sobre la parábola que es X3 .49160192, ok, este punto aquí es X2, X3, ok?

which was .49160192 We find that on the x-axis

y tomamos el X3 que es .49160192, lo encontramos en el eje de las X

to make up here to find X4 which was .4 999999... et cetera okay I keep doing that

y vamos aquí para hallar X4 que es .499999, etc.

and finally we get to you exactly .5 and .5 and once these are both .5 the system doesn't go anywhere

Si seguimos haciendo esto finalmente obtenemos exactamente .5 y .5 Y otra vez, es todo acerca de .5

you know it just stays at this point. So you can think of hopping

y el sistema ya no va a ningún lugar más Queda fijo en este punto.

from one point to another along

Podemos pensar que pasamos de un punto al otro

this parabola as an example of the dynamics of the system with this r-value and

a lo largo de esta parábola. Como un ejemplo de la dinámica del sistema. Este valor de R

are starting point and

es el punto inicial

that is called a trajectory. Now it's time for our next quiz.

y esto es llamado una "trayectoria".

You need a calculator for this quiz. Said R

Ahora es tiempo de una nueva pregunta Necesitarás una calculadora para responder a esta pregunta

equals 2.5 and X0 equals to that 0.2.

R es igual a 2.5 y X0 es igual a .2

then you see equation for the logistic map filling in

Use nuestra ecuación para el mapa logístico

2.5 for R and starting out with X0 of 0.2

llenando 2.5 para R y comenzando con X0 como .2

To calculate X1 X2 X3 and so on until you reach a fixed-point.

para calcular X1, X2, X3 y así sucesivamente hasta alcanzar

What is that fixed-point? and recall

el punto fijo. Cuál es ese punto fijo?

the fixed-point is the value of X

Y recuerden que el punto fijo es un valor de X tal que

such that X sub t is the same as X sub t+1

Xt es el mismo que Xt+1 Subtítulos por la comunidad de Amara.org

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