Dimensions Chapter 6 Jos Leys English Persian

Dimensions Chapter 6YouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 39.2K views 184 likes 2 dislikes 17 Nov 2010

Jos Leys 19.6K subscribers N/A YouTube↗

Click to Play Video

Complex numbers...continued

ادامه اعداد مختلط

I'm going to show you some transformations.

.حالا می‌خواهم چند «تبدیل» نشانتان بدهم

Transforming what?

تبدیلِ چه؟

Well, if you don't mind,

اگر مخالفتی نداشته باشید

we'll transform my portrait.

.عکس مرا «تبدیل» خواهیم کرد

Let's begin with something simple:

:بیایید با یک تبدیل ساده شروع کنیم

the transformation z goes to z/2.

.می‌فرستد z/2 را به z با تبدیلی که

Each point on the photo corresponds to a complex number z

هر نقطه‌ای از عکس متناظرِ عددی مختلط است

that's divided by 2.

.که به ۲ تقسیم می‌شود

We get another point, its image by the transformation,

،به این ترتیب عدد مختلط دیگری به‌دست می‌آوریم ، که تصویر آن نقطه تحت این تبدیل است

hence a new picture.

.به این ترتیب عکس جدیدی خواهیم داشت

You see, no surprise,

می‌بینید که فقط آب رفته‌ام

I just shrank to half my size

تعجبی هم ندارد

since each z has been divided by 2!

.به ۲ تقسیم شده‌است z چون هر

This transformation is called a dilation.

.این تبدیل «تجانس» نامیده می‌شود

How about the multiplication by i ...

.i خوب، حالا برویم سراغ ضرب کردن در

!ساده است

We know that multiplying by i,

،i می‌دانیم که ضرب کردن در

is just a quarter turn.

.یک‌چهارم دور است

Note that the modulus doesn't change

توجه کنید که اندازه‌ها تغییری نمی‌کند

but the argument increases by 90 degrees.

.فقط آرگومان ۹۰ درجه بیشتر می‌شود

Indeed this is quite a sophisticated way of saying

به بیان ساده‌تر

that we just rotated the picture!

.تصویر را چرخانده‌ایم

Well, a bit more complicated...

… خوب حالا کمی پیچیده‌ترش کنیم

Multiplication by 1+i.

.۱+ i ضرب کردن در

Look at the complex number 1+i ,

.نگاهی به این عدد مختلط بیاندازید

corresponding to the point with abscissa 1 and ordinate 1.

:این عدد متناظر با نقطه‌ای به طول ۱ و عرض ۱ است

Its argument is 45 degrees

آرگومانش ۴۵ درجه است و

and its modulus is the square root of 2,

،اندازه‌اش، بنا بر قضیه فیثاغورس

using the Pythagorean Theorem.

.جذر ۲ است

Hence, multiplication by 1+i

۱+ i بنابراین، ضرب کردن در

amounts to first multiplying its modulus by the square root of 2,

،معادل این است که ابتدا اندازه را در جذر ۲ ضرب کنیم

and then adding 45 degrees to the argument.

.سپس ۴۵ درجه به آرگومان اضافه کنیم

In simple words, you have to combine a dilation and a rotation.

.به بیان ساده‌تر، ترکیبی از تجانس و دوران داریم

This is called a similarity.

.این نوع تبدیل «تشابه» نامیده می‌شود

More interesting!

.حالا باز هم جالب‌ترش کنیم

We are going to transform the points z into their squares

،z ضرب‌در z را به مجذورش، یعنی z هر نقطه

.تبدیل می‌کنیم

Let's begin by placing the photo in a suitable place;

بگذارید ابتدا عکس را جای مناسبی بگذاریم

flush against the coordinate axes.

.مثلا چسبیده به محورهای مختصات

Then, I zoom a little bit

حالا کمی نزدیک‌تر برویم

since the squaring process will change the size of things

از آنجا که مجذور کردن، اندازه همه چیز را تغییر می‌دهد

and I need enough space to show you this.

.برای نشان دادنش به شما به فضای زیادی نیاز دارم

OK, now, we can transform the photo progressively.

.خوب، حالا می‌توانیم عکس را به‌تدریج تبدیل کنیم

Notice that the argument of z squared

z توجه کنید که آرگومانِ مجذورِ

is twice the argument of z,

است z دو برابرِ آرگومانِ

so that the right angle on the lower left of the photo

بنابراین زاویه قائمه گوشه پائینی سمت چپ عکس

is doubled under the transformation.

.تحت این تبدیل دو برابر می‌شود

It's turned into a 180 degrees angle.

.یعنی زاویه‌ای ۱۸۰ درجه‌ای می‌شود

Let me place the photo somewhere else

بگدارید جای عکس را عوض کنم

and let's look again at the same transformation z squared.

.را بررسی کنیم z بعد دوباره همان تبدیل مجذورِ

You'll notice again the same argument doubling.

.باز همان دوبرابر شدن آرگومان را خواهید دید

Look for instance at my index finger.

.مثلا به انگشت اشاره‌ام توجه کنید

Before the transformation, its argument is about 45 degrees

قبل از تبدیل، آرگومانش تقریبا ۴۵ درجه بود

and after the transformation, it points upward, at 90 degrees.

.بعد از تبدیل روبه‌بالا، یعنی ۹۰ درجه، شده است

But you can also observe that moduli are squared.

.علاوه بر این، می‌بینید که اندازه‌ها مجذور می‌شوند

Now let's go to a new transformation,

حالا نوبت یک تبدیل دیگر است که

sending the point z to -1/z.

.را به قرینه وارونش می‌برد z نقطه

Don't forget, with complex numbers,

فراموش نکنید که اعداد مختلط را می‌توان

one can add, multiply, but also divide

با هم جمع، درهم ضرب و همین‌طور به هم تقسیم کرد

(not by zero, of course!)

(!واضح است که به صفر نمی‌شود تقسیم کرد)

Doesn't this image remind you of the Sistine Chapel?

این تصویر شما را به یاد «نمازخانه سیستین» نمی‌اندازد؟

Large complex numbers, with a large modulus,

،اعداد مختلط بزرگ، با اندازه‌های بزرگ

become small when one takes their inverses, and conversely.

.وقتی معکوسشان کنید، کوچک می‌شوند، و برعکس

Here is a similar transformation.

.این هم یک تبدیل مشابه دیگر

Look at the formula.

.به معادله نگاه کنید

The value of k changes slowly.

.به تدریج تغییر می‌کند k مقدار

Some parts are expanded,

،بعضی قسمت‌ها گسترش می‌یابند

others are contracted, but if one looks closely,

،برخی دیگر منقبض می‌شوند، ولی اگر بیشتر دقت کنید

the shape is preserved, even though lengths are not.

.با این‌که طول‌ها عوض می‌شود، شکل حفظ می‌شود

A circle remains circular, even though it might grow:

:دایره، با این‌که ممکن است بزرگ شود، مدور می‌ماند

my hand grew, my face became smaller

دستم بزرگ‌تر شد، صورتم کوچک‌تر

but you can still recognize me!

!با این‌حال هنوز هم می‌شناسیدم

One more transformation, more involved.

،حالا برویم سراغ یک تبدیل دیگر

Well, this one's not really...

… راستش این یکی

a weight-loss program for me!

!چندان روش مناسبی برای وزن کم کردن نیست

But note once more that, even though I got bigger,

،ولی، این بار هم، با این‌که من بزرگ‌تر شده‌ام

the shape of small parts did not change:

:اجزا کوچک تغییر شکل ندادند

if you look for instance at a button on my shirt;

مثلا اگر به یکی از دکمه‌های پیراهنم نگاه کنید

it keeps a circular shape.

.می‌بینید که گردی‌اش را حفظ می‌کند

One says that these transformations are con-formal or holo-morphic,

،این تبدیل‌ها «همدیس» خوانده می‌شوند

rather complicated Latin and Greek words

به این معنی که

for saying that one preserves shapes!

.شکل را حفظ می‌کنند

Indeed, with complex numbers,

در حقیقت با اعداد مختلط

one can do quite a lot;

،خیلی کارها می‌شود کرد

one can even take the exponential,

،حتی می‌توان با آن‌ها تابعِ نمایی تعریف کرد

if you know what this means!

!اگر این تابع‌ را بشناسید

But, even if you don't know,

حتی در غیر این‌صورت هم می‌توانید

look at the treatment I have to suffer from the exponential!

!ببینید که تابع نمایی مرا چگونه زجر می‌دهد

Has my head disappeared?

سَرَم ناپدید شد؟

No! If you looked through a microscope, near the origin,

،نه! اگر با میکروسکوپ نزدیک مبدأ را نگاه کنید

you could see my beard.

.می‌توانید ریشم را ببینید

Now that you know about complex numbers

حالا که اعداد مختلط را شناختید

and have seen some transformations,

،و تبدیل‌های مختلفی دیدید

I'll explain some of the objects I've been studying.

.برایتان درباره اشیایی که مطالعه و بررسی می‌کنم، توضیح خواهم داد

Here, you see a number of points

این‌جا تعدادی نقطه می‌بینید

Some are blue, inside the unit disc,

آن‌ها که داخل قرصِ واحدند، آبی

and some are yellow, outside.

.و آن‌ها که خارجش هستند، زردند

Let's perform the transformation z squared several times

را چند بار اِعمال کنیم z بگذارید تبدیل مجذور

and look at the result.

.و ببینیم چه می‌شود

You can see that the blue points stay inside the disc

همان طور که می‌بینید، نقطه‌های آبی داخل «قرص» می‌مانند

while the yellow points

،و نقطه‌های زرد، بالعکس

escape from the disc, and even escape from the screen.

.از قرص، و حتی از صفحه نمایش، می‌گریزند

One says that the blue disc is the filled-in Julia set

قرص آبی، «مجموعه ژولیای پرشده» تبدیلِ

of the transformation z squared.

.نامیده می‌شود z مجذور

Points outside the Julia set

وقتی تبدیل را بی‌نهایت بار تکرار کنید

escape to infinity when one repeats the transformation indefinitely.

.نقاط خارجِ مجموعه ژولیا به سوی بی‌نهایت می‌گریزند

But, we can play the same game with other transformations;

عین همین کار را می‌شود با تبدیل‌های دیگر هم کرد

like for instance those of the form z squared plus c

c به‌علاوه z مثلا با تبدیل‌هایی به صورت مجذور

where c is a complex number, that we can choose at will.

.عددی مختلط است که هرطور که بخواهیم انتخاب می‌کنیم c که در آن

For each complex number c, we get a Julia set

مجموعه‌ ژولیایی خواهیم داشت ،c بنابراین، برای هر عدد مختلط

whose shape changes when c changes.

.تغییر شکل می‌دهد ،c که با تغییر

You can see a few examples here.

.این‌جا می‌توانید چند مثال ببینید

Here's the one I called "the rabbit"!

!من اسم این یکی را «خرگوش» گذاشتم

In order to understand how these shapes change,

،برای فهمیدن این‌که این شکل‌ها چگونه تغییر می‌کنند

I'll show you several things in parallel.

.چیزهای مختلفی را به موازاتِ هم نشانتان می‌دهم

On the left hand side, the red side,

در شکل سمت چپ که قرمز است

you can see a point that will start to move:

می‌توانید نقطه‌ای را ببینید که شروع به حرکت می‌کند

this is the point c.

.است c این نقطه

On the right hand side, you see the corresponding Julia set:

سمت راست، مجموعه ژولیای متناظرش را می‌بینید

c که با تغییر تدریجیِ

as c slowly changes.

.تغییر شکل می‌دهد

But sometimes, for some values of c,

،c اما گاهی، برای برخی مقادیر

the Julia set seems to disappear,

به نظر می‌رسد که مجموعه ژولیا ناپدید می‌شود

and we can't see anything on the screen anymore,

،و دیگر چیزی روی صفحه نمایش دیده نمی‌شود

like now, for instance.

.مثلاً حالا

The truth is that the Julia set

حقیقت این است که مجموعه ژولیا

blew up into an infinite number of pieces

به بی‌نهایت فطعه بسیار کوچک متلاشی می‌شود

so small that you don't see anything on the screen.

.و دیگر روی صفحه نمایش قابل مشاهده نیست

Benoit Mandelbrot, who popularized fractal sets,

بُنوا مَندلبرات»، که فراکتال‌ها را عمومی کرد»

suggested the study of this set, drawn in red,

پیشنهادِ مطالعه مجموعه‌ای را که این‌جا قرمز شده ارائه کرد

that describes the values of c for which

است c این مجموعه شامل همه مقادیر

one can see the Julia set clearly on the screen

که می‌شود مجموعه ژولیایشان را به روشنی روی صفحه دید

in other words, those for which the Julia set

به عبارت دیگر، مقادیری که مجموعه ژولیایشان

does not blow up in multiple pieces.

.به فطعات متعدد متلاشی نشده است

Of course, this red set is called

طبیعتاً، این مجموعه قرمز

the Mandelbrot set, and I spent quite a lot of time studying it.

.مجموعه مَندلبرات» نامیده می شود و من وقت زیادی صرف مطالعه‌اش کرده‌ام»

To finish, let's look closely

در پایان پیشنهاد می‌کنم از خیلی نزدیک

very closely, at this Mandelbrot set,

.نگاهی به مجموعه مَندلبرات بیاندازیم

and zoom inside

آن را زیر ذره‌بین می‌گذاریم

so you can appreciate how beautiful it is...

.تا ببینید چقدر زیباست

Let's go, here it is!

!بفرمایید

.تحسین برانگیز است

For once, I won't explain everything.

.این‌بار، من توضیح نمی‌دهم

Imagine the Mandelbrot set as a black island,

مجموعه مَندلبرات را به صورت جزیره‌ای سیاه

surrounded by a tropical sea,

در میان آب‌های گرمسیری تجسم کنید

and that you can see the bottom of it.

.که میتوانید کف آن را ببینیید

Really, you're looking at

در واقع دارید جزئیات میکروسکپی را

truly microscopic details...

… می‌بینید

If the Mandelbrot set were the size of a soccer field,

اگر مجموعه مَندلبرات به اندازه زمین فوتبال باشد

we'd be looking at details of the size of a single atom,

.دارید جزئیاتی به اندازه یک اتم را می‌بینید

on the order of millionth of a millimeter!

.چیزی در حد یک میلیونیم میلی‌متر

Maybe you're wondering

احتمالا دارید فکر می‌کنید

why I got interested in this?

.چه شد که من به این موضوع علاقه‌مند شدم

First of all, because it's beautiful

اول این که بسیار زیباست

and because understanding these objects

و فهمیدن این اشیا برایم

gave me much pleasure.

.بسیار لذت‌بخش بود

For me this is reason enough to spend time on these questions.

.برای من همین دلیل کافی است که روی این مسأله وقت بگذارم

But also, because in these transformations

اما علاوه بر این، در این تبدیل‌ها

that look so simple;

،که این‌قدر ساده به نظر می‌رسند

one can find the essence of chaos,

،می‌توان ماهیت آشوب

such a fundamental concept in modern science.

.این مفهوم بسیار اساسی علم مدرن، را یافت

Simple things generating rich structures!

!اشیائی ساده با ساختاری بسیار غنی

To study complicated phenomena

مطالعه پدیده‌های پیچیده

through their simplest incarnation,

… از طریق ساده‌ترین نمودهایشان

this is often the role of the mathematician.

.نقش ریاضی‌دان معمولا همین است

Similar videos:

Dimensions Chapter 8
Jos Leys
25K views 96 likes 0 dislikes 17 Nov 2010100% match

Capítulo 6: Números Complexos e as Transformações
diadematematicatube
4.1K views 52 likes 2 dislikes 21 Apr 2013100% match

Chapters 6: Complex Numbers 第六章复数
 黑猫白鼠
1.4K views 9 likes 1 dislikes 08 Aug 2011100% match

Part 6 - Complex numbers | Dimensions by Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez
VonDamniel
36 views 0 likes 0 dislikes 30 Aug 2018100% match

维度数学漫步 8 分形
 WK L
2.9K views 12 likes 0 dislikes 24 Jul 2012100% match

dim.6 Números complejos (2ª parte)

19.9K views 284 likes 1 dislikes 18 Jan 2013100% match

Chapters 8 : Fibration 第八章：纤维丛
 黑猫白鼠
747 views 5 likes 0 dislikes 08 Aug 2011100% match

Matemática Imaginária - S0609
A Matemática do Jorge Krug
4.7K views 13 likes 0 dislikes 28 May 2011100% match

Dimensions - ממדים - פרק 6 - מספרים מרוכבים - המשך
מכון דוידסון - סרטוני מדע
1.9K views 7 likes 0 dislikes 10 Jan 201396% match

Dimensions | Chapter 6
It's so blatant
2.5K views 52 likes 0 dislikes 12 Sep 201394% match

Geometry Dimensions 6
John Clark
5.4K views 46 likes 0 dislikes 01 Aug 201094% match

维度数学漫步 6 复数
 WK L
2.4K views 15 likes 1 dislikes 24 Jul 201294% match

Dimensions: Liczby zespolone cd.
Michał Drzał
5.8K views 50 likes 0 dislikes 01 Jun 201190% match

Dimensions Ep.6 - Complex numbers II
Space X 2022
15.1K views 174 likes 1 dislikes 17 Dec 201090% match

Dimensions Chapter 5
Jos Leys
54.1K views 183 likes 13 dislikes 17 Nov 201033% match

Dimensions Chapter 7
Jos Leys
29.6K views 108 likes 2 dislikes 17 Nov 201032% match

Chaos6 Chaos and the horseshoe
Jos Leys
6.8K views 39 likes 2 dislikes 08 Jan 201329% match

Chaos6 Chaos et le fer à cheval
Jos Leys
17.4K views 0 likes 0 dislikes 08 Jan 201329% match

Dimensions Chapter 3
Jos Leys
63.4K views 244 likes 5 dislikes 17 Nov 201029% match

RIDES [INCROYABLE] Comment Supprimer Rides du Front et du Lion Massage Magique Visage
Reflexology and Natural Health
279.2K views 7.4K likes 0 dislikes 22 Jun 201828% match

Blaise Aguera y Arcas demos augmented-reality maps
TED
41.4K views 549 likes 177 dislikes 18 Feb 201028% match

How quantum computers are different! | Alireza Shabani | TEDxUCLA
TEDx Talks
57K views 574 likes 39 dislikes 08 Jul 201628% match

Dermal Fillers for Men (Again!) What kind of work do they get done?
Dr Sarah Tonks
6.8K views 356 likes 3 dislikes 22 Mar 201928% match

Triangle of Power
3Blue1Brown
661.2K views 23.6K likes 556 dislikes 25 Jun 201628% match

Chaos7 Attracteurs étranges : L'effet papillon
Jos Leys
35.5K views 0 likes 0 dislikes 08 Jan 201327% match

❌ ONE PIECE 1000 ¡¡Errores en la traducción!!
Anime Site
28K views 679 likes 68 dislikes 04 Jan 202127% match

The Most Important Painting Technique I Learned in Art School
César Córdova
4M views 44.3K likes -1 dislikes 26 Sep 202027% match

3-1 Your First Project: Creating & Project Settings in LumaFusion
Create with LumaTouch
15.2K views 140 likes 3 dislikes 16 Jan 202027% match

Introduction to cube roots | Numbers and operations | 8th grade | Khan Academy
Khan Academy
825.7K views 1.7K likes 161 dislikes 28 Apr 201527% match

Chaos2 Vector fields : The lego race
Jos Leys
14.5K views 72 likes 4 dislikes 08 Jan 201327% match

Settings Privacy About Contact Donate