Dimensions Chapter 5YouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  54.1K views 183 likes 13 dislikes   17 Nov 2010
Jos Leys 19.6K subscribers N/A YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
Kompleksiluvut.
Olen Adrien Douady.
Sou Adrien Douady.
Kompleksiluvut olivat koko matemaattisen työni
Toda minha obra matemática é centrada
keskipisteessä.
em torno dos números complexos.
Tutkimuspanokseni edistivät algebrallista geometriaa
Contribuí para o progresso da geometria algébrica
ja dynaamisten systeemien teoriaa.
e da teoria dos sistemas dinâmicos.
Kompleksilukujen historia on pitkä.
Esses números têm uma longa história.
Vasemmalla näette Tartaglian ja Cardanon,
Vocês vêem aqui, à esquerda, Tartaglia e Cardano,
jotka olivat renessanssin aikaisia edelläkävijöitä.
os pioneiros, que viveram durante o Renascença.
Oikealla Cauchy ja Gauss,
À direita, Cauchy e Gauss,
jotka vakiinnuttivat teorian 19. vuosisadalla.
que consolidaram a teoria, no século dezenove.
Kompleksiluvut eivät ole niin monimutkaisia
Os números complexos não são
kuin voisi kuvitella!
tão complexos assim como se poderia crer !
Alkuun niitä sanottiin "mahdottomiksi luvuiksi"
Eles foram primeiramente chamados de “números impossíveis”
ja edelleen niitä kutsutaan joskus "imaginaarisiksi".
e são ainda chamados, às vezes, de “imaginários”.
Tarvitaanhan niiden kanssa tietenkin jonkin verran mielikuvitusta...
Porque, na verdade, é preciso um pouco de imaginação...
mutta nykyään kompleksiluvut ovat levittäytyneet kaikkialle luonnontieteeseen
Hoje em dia, porém, esses números invadiram a ciência
eivätkä ole enää niin salaperäisiä.
e não são mais realmente misteriosos.
Erityisesti niiden ansiosta voimme muodostaa
É, em particular, graças a eles que se pode
kauniita fraktaalisia joukkoja,
construir belos conjuntos fractais
ja työskentelin tämän aiheen parissa paljon.
e tenho trabalhado muito nesse assunto.
Tein elokuvankin "The dynamics of the rabbit",
Cheguei mesmo a realizar um filme: A dinâmica do coelho,
joka oli yksi ensimmäisistä matemaattisista animaatioista.
um dos primeiros filmes de animação matemática.
Selitän kompleksilukuja ensin taululla.
Vou, em primeiro lugar, explicar os números complexos no quadro.
Matemaatikot kirjoittavat mielellään liidulla...
Os matemáticos gostam muito de escrever com giz...
Huomaatte pian, että viivaimeni, kulmaviivaimeni ja harppini
Vocês verão que a régua, o esquadro e o transferidor
käyttäytyvät ajoittain hieman oudosti...
têm, por vezes, comportamentos estranhos...
Piirretään taululle viiva ja jaetaan se tasavälisesti.
Tracemos uma reta graduada no quadro.
Yksi matematiikan kauneimmista ideoista
Uma das mais belas idéias da matemática
on yhdistää geometria ja algebra.
é ligar a geometria à álgebra.
Tämä on algebrallisen geometrian lähtökohta.
É o ponto de partida da geometria algébrica.
Pisteitä voi laskea yhteen kuten lukuja.
Da mesma forma como se juntam os números, pode-se juntar pontos.
Tässä on punainen piste suoralla ja toinen, sininen piste.
Eis um ponto vermelho sobre a reta e um outro ponto azul.
Lasketaan nämä pisteet yhteen.
Somemos esses dois pontos.
Tulos on vihreä piste: 1+2=3.
É o ponto verde ! Um mais dois igual a três !
Jos punainen ja sininen piste liikkuvat,
Se os pontos vermelho e azul se deslocam,
niin vihreä piste, joka on niiden summa, liikkuu myös.
sua soma é ainda o mesmo ponto verde.
Vielä mielenkiintoisempaa on, että pisteitä voi kertoa keskenään.
Mais interessante ainda, pode-se multiplicar pontos.
Tarkastellaa esimerkiksi pisteellä -2 kertomista.
Observemos, por exemplo, a multiplicação por -2.
Se muuttaa pisteen 1 pisteeksi -2, totta kai.
Ela transforma o ponto 1 no ponto -2, certamente.
Jos kerromme uudestaan pisteellä -2,
E, se se multiplica ainda por -2,
toistamme saman liikkeen:
deve-se fazer o mesmo movimento :
puoli vaihtuu origon suhteen
mudar de lado em relação à origem e
ja etäisyys origoon kaksinkertaistuu.
dobrar a distância à origem.
Tulos on tietenkin 4.
Obtém-se 4, com certeza.
Jos kerromme kaksi kertaa peräkkäin pisteellä -2,
Se se multiplica duas vezes em seguida por -2,
olemme kertoneet pisteellä 4.
multiplicou-se por 4.
Pisteellä -1 on helppo kertoa:
A multiplicação por -1 é mais simples.
Jokainen piste siirretään pisteeseen,
Cada ponto é levado no seu simétrico
joka on symmetrinen origon suhteen.
em relação à origem,
Toisin sanoen teemme puolikierroksen
isto significa que é preciso efetuar uma meia volta,
tai 180 asteen kierron, jos haluamme sanoa niin.
uma rotação de 180 graus, se preferir.
Jos kerromme luvun itsellään,
Se se multiplica um número por ele mesmo,
tulos on aina positiivinen.
o resultado é sempre positivo.
Esimerkiksi luvulla -1 kertominen,
Por exemplo, se se multiplica por -1,
tarkoittaa puolikierroksen tekemistä;
gira-se de uma meia volta ;
Jos kerromme vielä toisen kerran,
então, se fizermos uma segunda vez,
palaamme siihen pisteeseen, josta lähdimme.
volta-se ao ponto de partida !
Tästä syystä -1 x -1 = +1,
E é por isso que -1 vezes -1 é igual a +1,
yksinkertaista.
simplesmente.
Näette, että luvulla -1 kertominen
Vocês vêem, por exemplo, que a multiplicação por -1
lähettää luvun 2 luvuksi -2
leva 2 em -2
ja jos kerromme vielä kerran luvulla -1,
e, que se multiplicamos ainda uma vez por -1,
palaamme lukuun 2.
volta-se a 2.
Tämä on selvää, eikö totta?
Evidente, não?
Ei siis ole lukua,
Não há, no entanto, nenhum número que,
joka itsellään kerrottuna antaa -1.
multiplicado por ele mesmo dê -1.
Toisin sanoen luvulla -1 ei ole neliöjuurta.
Dito de outra forma, -1 não tem raiz quadrada.
Mutta nyt emme ota huomioon
Mas, certamente, isso seria não contar
matemaatikoiden mielikuvitusta!
com a imaginação dos matemáticos !
Robert Argandilla oli loistava ajatus 19. vuosisadan alussa.
Robert Argand teve uma bela idéia no começo do século 19.
Hän sanoi itselleen: "Koska luvulla -1 kertominen
Ele disse : “se multiplicar por menos 1,
vastaa 180 asteen kiertoa,
é girar de 180 graus,
niin sen neliöjuuri kiertää puolet siitä, 90 astetta.
sua raiz quadrada é girar pela metade, 90 graus.
Jos kierrän kaksi kertaa neljänneskierroksen,
Se eu girar duas vezes de um quarto de volta,
teen puolikierroksen!
giro de meia volta !
Neljänneskierron neliö on puolikierto siis -1."
O quadrado de um quarto de volta é uma meia volta, portanto menos um.”
Asiat ovat helppoja, kun ne on oivaltanut!
Bastava pensar nisso!
Argand päätteli siis, että luvun -1 neliöjuuri
Argand declara, então, que a raiz quadrada de -1
on luvun 1 kuva 90 asteen kierrolla.
corresponde ao ponto que é a imagem de 1 pela rotação de 90 graus.
Mutta tämä pakottaa meidät jättämään vaakasuoran viivamme,
Certamente, isso nos força, porém, a sair de nossa reta horizontal,
ja päädyimme liittämään numeron tason pisteeseen,
e acabamos por atribuir um número
joka ei ole suoralla.
a pontos do plano que não estão na reta !
Koska tämä on hieman outo konstruktio,
Como essa construção é um tanto bizarra,
sanomme, että tämä luku, luvun -1 neliöjuuri, on imaginaariluku
diz-se que esse ponto, raiz quadrada de -1, é um número imaginário
ja matemaatikot kutsuvat sitä nimellä i.
e os matemáticos o denotam por i.
Mutta nyt, kun olemme uskaltautuneet suoran ulkopuolelle,
Assim, uma vez que ousamos sair da reta,
loppu on helppoa.
a continuação fica fácil.
Voimme esittää luvut 2i, 3i, ja niin edelleen...
Podemos representar 2i, 3i, etc.
Jokaista tason pistettä vastaa kompleksiluku
A todos os pontos do plano corresponde um número complexo
ja kääntäen, jokainen kompleksiluku määrää tason pisteen.
e, reciprocamente, todo número complexo define um ponto do plano.
Tason pisteistä on tullut todellakin lukuja!
Todos os pontos do plano tornam-se números !
Näitä lukuja voi laskea yhteen kuten tavallisia lukuja.
Esses números podem ser somados como números comuns.
Punainen piste on 1+2i.
Observem o ponto vermelho, que é o número 1 + 2i.
Lisätään siihen sininen piste 3+i.
Adicionemos a ele 3+i, que é o ponto azul.
Voimme laskea ne yhteen
Pois bem, pode-se simplesmente fazer a adição,
tavalliseen tapaan
como se aprende na escola.
ja saamme 4+3i.
Isso dá 4 + 3i.
Geometrisesti tämä vastaa vektorien yhteenlaskua.
Do ponto de vista geométrico, essa é a adição de vetores.
Kompleksilukujen yhteenlasku sujuu siis ilman ongelmia.
Vocês vêem que os números complexos se somam sem problema !
Mutta vieläkin mielenkiintoisempaa on, että
Mas, bem mais interessante ainda,
kompleksilukuja voi kertoa keskenään
é que esses números complexos podem também se multiplicar
aivan kuten reaalilukuja.
como os números reais.
Katsotaanpa.
Vejamos ...
Osaamme esimerkiksi kertoa kompleksiluvun kahdella.
Sabemos multiplicar um número complexo por 2, por exemplo.
2 kertaa 1+i on
Duas vezes 1 + i, isso vai dar, com certeza,
tietenkin 2+2i.
2 + 2i etc.
Geometrisesti luvulla 2 kertominen on helppoa:
Do ponto de vista geométrico, é fácil multiplicar por 2:
venytetään kertoimella 2:
é justamente uma expansão por 2 :
Kaksi kertaa punainen piste on vihreä piste.
o dobro do ponto vermelho, é o ponto verde !
Luvulla i kertominenkaan ei ole vaikeaa,
Multiplicar por i, não é mais difícil
koska tiedämme, että i vastaa neljänneskiertoa.
pois sabemos que i corresponde a um quarto de volta.
3+i kerrotaan siis luvulla i,
Para multiplicar 3 + i por i,
kiertämällä sitä neljänneskierroksen verran.
é suficiente, então, fazer girar o ponto de um quarto de volta.
Saamme tulokseksi -1+3i.
Encontra-se -1 + 3i.
Eiväthän kompleksiluvut olekaan kovin monimutkaisia!
Não tão complexos esses números complexos !
Ja lopulta voimme kertoa mitkä tahansa kaksi kompleksilukua
E, finalmente, é possível multiplicar dois números complexos
ongelmitta.
quaisquer sem problema.
Kokeillaan esimerkiksi kertoa luvut 2+1.5 i ja -1+2.4 i.
Tentemos, por exemplo, multiplicar 2 + 1,5 i por -1 + 2,4 i.
Teemme kuten tavallista.
Como se faz habitualmente,
Kerromme ensin luvulla 2 ja sitten luvulla 1,5 i ja laskemme tulokset yhteen.
multiplica-se, antes, por 2, depois por 1,5 i e somam-se os resultados.
Saamme siis
Obtém-se, então :
"kaksi kertaa..."
“duas vezes etc...”
Siis
Tem-se, então
-2 + 4.8 i - 1.5 i + 3.6 i×i
-2 + 4,8 i - 1,5 i + 3,6 i vezes i
Muistetaan nyt, että luvun i neliö on -1,
Mas, lembremos que i ao quadrado é igual a -1,
koska i keksittiin juuri tätä tarkoitusta varten.
pois foi por isso que ele foi inventado !
Saamme
Isto resulta
-2 -3.6 ...jne,
-2 + 4,8 i mais etc…
Järjestetään hieman. Saamme
Organizemos um pouco tudo isso. Encontra-se
-2 -3.6 + 4.8 i - 1.5 i,
-2 -3,6 + 4, 8 i - 1,5 i,
siis
isto é,
-5.6 + 3.3 i.
-5,6 + 3,3 i.
Noin. Nyt osaamme
Pois bem, eis que somos agora capazes
kertoa kompleksilukuja keskenään,
de multiplicar números complexos,
toisin sanoen osaamme kertoa tason pisteitä keskenään.
ou, dito de outro modo, sabemos multiplicar pontos do plano !
Uskomatonta!
Isso é incrível,
Ajattelimme, että taso on 2-ulotteinen,
acreditávamos que o plano fosse de dimensão 2
koska pisteen määrittämiseen
porque são necessários dois números
tarvitaan kaksi lukua
para descrever a posição de um ponto qualquer,
ja nyt sanonkin, että yksi luku riittää!
e agora, digo a vocês que é suficiente, de fato, um só número !
Mutta muutimme tietysti lukuja
Certamente, mudamos nossos números !
ja puhumme nyt kompleksiluvuista!
E se trata agora de números complexos !
On aika määritellä kaksi käsitettä:
Esta é a ocasião para definir duas noções :
kompleksiluvun moduli ja argumentti eli vaihekulma.
o módulo e o argumento de um número complexo.
Kompleksiluvun z moduli on yksinkertaisesti
O módulo de um número complexo z,
etäisyys origosta vastaavaan tason pisteeseen.
é simplesmente a distância à origem do ponto correspondente do plano.
Mitataan viivaimella punaisen pisteen,
Tomemos a régua para medir o módulo do ponto vermelho,
luvun 2+1.5 i, moduli.
isto é, de 2 + 1,5 i
Katsotaanpa, viivotin antaa 2.5.
Vejamos, o comprimento é de 2,5.
Luvun 2+1.5 i moduli on siis 2.5.
O módulo de 2 + 1,5 i é, portanto, 2,5.
Siniselle pisteelle saamme 2.6.
Para o ponto azul, acha-se 2,6.
Ja vihreälle pisteelle,
E, para o ponto verde, que é o produto
joka on punaisen ja sinisen pisteen tulo,
dos dois pontos, vermelho e azul,
saamme 6.5.
acha-se 6,5.
Tämä on yleispätevä sääntö: Kahden kompleksiluvun tulon moduli
Esse é um fato geral : o módulo do produto de dois números complexos
on näiden lukujen modulien tulo.
nada mais é do que o produto dos módulos dos dois números.
Kompleksiluvun argumentti
O argumento de um número complexo
saadaan mittaamalla abskissa-akselin
obtém-se medindo o ângulo entre o eixo das abscissas
ja pisteen ja origon kautta kulkevan suoran välinen kulma.
e a reta que une a origem ao ponto.
Tässä esimerkissä punaisen kompleksiluvun argumentti
Aqui, por exemplo, o argumento do número complexo vermelho
on 36.8 astetta.
é igual a 36,8 graus.
Sinisen pisteen argumentti on 112.6 astetta.
O do ponto azul é 112,6 graus.
Ja tulon, vihreän pisteen, argumentti on 149.4 astetta,
E o do produto, o ponto verde é 149,4 graus :
joka on sinisen ja punaisen luvun argumenttien summa.
é a soma dos argumentos dos dois números...
Kun kerromme kaksi kompleksilukua,
Quando se multiplicam dois números complexos,
niiden modulit kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään toisiinsa.
os módulos se multiplicam e os argumentos se somam.
Päätämme ensimmäisen kohtaamisemme kompleksilukujen kanssa
Terminemos nosso primeiro encontro com os números complexos
stereografisella projektiolla.
com a projeção estereográfica.
Otetaan pallo, joka sivuaa tasoa origossa.
Tomemos uma esfera tangente ao quadro na origem.
Stereografisessa projektiossa
Pela projeção estereográfica,
jokaista taulun pistettä,
a cada ponto do plano do quadro,
siis jokaista kompleksilukua,
isto é, a cada número complexo,
vastaa pallon pinnan piste.
corresponde um ponto da esfera.
Ainoastaan pohjoisnapaa,
Só o pólo norte da esfera,
siis pistettä, josta projisoidaan,
isto é, o pólo da projeção,
ei vastaa mikään kompleksiluku.
não está associado a nenhum número complexo.
Sanomme, että sitä vastaa ääretön.
Diz-se que ele está associado ao infinito.
Siksi matemaatikot sanovat, että
Assim, os matemáticos dizem que a esfera
pallon pinta on kompleksinen projektiivinen viiva.
é uma reta projetiva complexa.
Miksi viiva?
Por que reta ?
Koska sen pisteet voidaan kuvata yhdellä luvulla!
Porque é necessário um só número para descrever seus pontos !
Miksi kompleksinen?
Por que complexa ?
Koska käytämme kompleksilukuja.
Porque esse número é complexo.
Miksi projektiivinen?
Por que projetiva ?
Koska lisäsimme äärettömyyspisteen projektion avulla.
Porque nós juntamos um ponto no infinito ao projetar.
Outoa väkeä nämä matemaatikot,
Um tanto bizarros esses matemáticos
jotka nyt sanovat, että pallon pinta on suora!
que dizem, agora, que a esfera é uma reta ?
Similar videos:

Capítulo 5: Números Complexos
diadematematicatube
2.7K views 47 likes 0 dislikes 21 Apr 2013100% match

Matemática Imaginária - S05/09
A Matemática do Jorge Krug
8.3K views 19 likes 2 dislikes 28 May 2011100% match

Chapters 5: Complex Numbers 第五章: 复数
黑猫白鼠
2.1K views 15 likes 0 dislikes 08 Aug 2011100% match

维度 数学漫步 5 复数
WK L
3.4K views 20 likes 0 dislikes 24 Jul 2012100% match

Part 5 - Complex numbers | Dimensions by Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez
VonDamniel
105 views 1 likes 0 dislikes 30 Aug 2018100% match

dim.5 Números complejos (1ª parte)

43.3K views 389 likes 5 dislikes 18 Jan 2013100% match

Geometry Dimensions 5
John Clark
6K views 35 likes 0 dislikes 31 Jul 201095% match

Dimensions | Chapter 5
It's so blatant
2.2K views 36 likes 0 dislikes 12 Sep 201395% match

Dimensions - ממדים - פרק 5 - מספרים מרוכבים
מכון דוידסון - סרטוני מדע
3.8K views 12 likes 0 dislikes 20 Dec 201294% match

Dimensions: Liczby zespolone
Michał Drzał
13.2K views 82 likes 0 dislikes 01 Jun 201185% match

Dimensions Ep.5 - Complex numbers I
Space X 2022
23.1K views 255 likes 9 dislikes 17 Dec 201084% match

Dimensions Chapter 7
Jos Leys
29.6K views 108 likes 2 dislikes 17 Nov 201034% match



Dimensions Chapter 6
Jos Leys
39.2K views 184 likes 2 dislikes 17 Nov 201033% match



Dimensions Chapter 9
Jos Leys
30.7K views 98 likes 5 dislikes 17 Nov 201030% match



Chaos6 Chaos and the horseshoe
Jos Leys
6.8K views 39 likes 2 dislikes 08 Jan 201329% match



Chaos6 Chaos et le fer à cheval
Jos Leys
17.4K views 0 likes 0 dislikes 08 Jan 201329% match



Dimensions Chapter 3
Jos Leys
63.4K views 244 likes 5 dislikes 17 Nov 201029% match



Geometry: Measurement of Segments (Level 2 of 4) | Examples I
Math Fortress
7.4K views 51 likes 4 dislikes 11 Apr 201728% match











Adding and subtracting fractions | Fractions | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
2.6M views 9.1K likes 1.1K dislikes 08 Jan 200728% match





Introduction to cube roots | Numbers and operations | 8th grade | Khan Academy
Khan Academy
825.7K views 1.7K likes 161 dislikes 28 Apr 201528% match


e to the pi i, a nontraditional take (old version)
3Blue1Brown
2.4M views 36.3K likes 2.7K dislikes 04 Mar 201528% match


Solid of Revolution (part 2)
Khan Academy
299.1K views 832 likes 29 dislikes 25 Apr 200828% match


Chaos4 Oscillations :The swing
Jos Leys
6.3K views 42 likes 1 dislikes 08 Jan 201328% match



Chaos4 Oscillations : La balançoire
Jos Leys
22.3K views 0 likes 0 dislikes 08 Jan 201328% match



Chaos7 Attracteurs étranges : L'effet papillon
Jos Leys
35.5K views 0 likes 0 dislikes 08 Jan 201327% match



Dimensions Chapter 1
Jos Leys
180.6K views 757 likes 15 dislikes 17 Nov 201027% match



Statistics: Variance of a population | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
901.3K views 3K likes 97 dislikes 19 Jan 200927% match


Complex Numbers - Mathematics - Calculus - TU Delft
Mathematics TU Delft
3.6K views 3 likes 0 dislikes 19 Jul 201627% match

Two-variable linear equations and their graphs | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
778.8K views 3.1K likes 211 dislikes 06 Aug 201527% match

Der Kreis - Entstehung und Definition + Kreiszahl Pi
Matheretter
13.2K views 141 likes 6 dislikes 20 Jun 201727% match


Settings Privacy About Contact Donate