Solving equations with zero product propertyYouTube↗  IA↗(long shot)
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Contributed subtitles
German Don Bilbo
Thai DorDek Kiddy
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- [Instructor] Let's say that we've got the equation
Wir haben folgende Gleichung:
two X minus one
(2x - 1) * (x + 4) = 0.
times X plus four
(2x - 1) * (x + 4) = 0.
is equal to zero.
(2x - 1) * (x + 4) = 0.
Pause this video and see if you can figure out
Pausiert das Video und versucht, die x-Werte zu ermitteln, welche diese Gleichung auflösen können.
the X values that would satisfy this equation,
Pausiert das Video und versucht, die x-Werte zu ermitteln, welche diese Gleichung auflösen können.
essentially our solutions to this equation.
Pausiert das Video und versucht, die x-Werte zu ermitteln, welche diese Gleichung auflösen können.
Alright, now let's work through this together.
Ok, jetzt rechnen wir es mal zusammen.
So at first, you might be tempted
Normalerweise könnte man hier z.B. jetzt einfach anfangen, das hier auszumultiplizieren.
to multiply these things out,
Normalerweise könnte man hier z.B. jetzt einfach anfangen, das hier auszumultiplizieren.
or there's multiple ways
Normalerweise könnte man hier z.B. jetzt einfach anfangen, das hier auszumultiplizieren.
that you might have tried to approach it,
Es gäbe auch andere Methoden.
but the key realization here
Aber der Schlüssel hierbei ist, dass zwei Dinge miteinander multipliziert werden und 0 ergeben.
is that you have two things being multiplied,
Aber der Schlüssel hierbei ist, dass zwei Dinge miteinander multipliziert werden und 0 ergeben.
and it's being equal to zero.
Aber der Schlüssel hierbei ist, dass zwei Dinge miteinander multipliziert werden und 0 ergeben.
So you have the first thing being multiplied
Wir haben also diesen Ausdruck, (2x - 1), der mit dem anderen Ausdruck, (x + 4) multipliziert wird.
is two X minus one.
Wir haben also diesen Ausdruck, (2x - 1), der mit dem anderen Ausdruck, (x + 4) multipliziert wird.
This is expression is being multiplied
Wir haben also diesen Ausdruck, (2x - 1), der mit dem anderen Ausdruck, (x + 4) multipliziert wird.
by X plus four,
Wir haben also diesen Ausdruck, (2x - 1), der mit dem anderen Ausdruck, (x + 4) multipliziert wird.
and to get it to be equal to zero,
Um 0 zu erhalten, muss mindestens eine der beiden Ausdrücke gleich 0 sein.
one or both of these expressions
Um 0 zu erhalten, muss mindestens eine der beiden Ausdrücke gleich 0 sein.
needs to be equal to zero.
Um 0 zu erhalten, muss mindestens eine der beiden Ausdrücke gleich 0 sein.
Let me really reinforce that idea.
Lasst mich dies verdeutlichen.
If I had two variables,
Wir haben zwei Variablen, a und b.
let's say A and B,
Wir haben zwei Variablen, a und b.
and I told you A times B
a mal b sei gleich 0.
is equal to zero.
a mal b sei gleich 0.
Well, can you get the product of two numbers
Kann man nun das Produkt zweier Zahlen auf 0 bringen, wenn keine der beiden Zahlen gleich 0 ist?
to equal zero
Kann man nun das Produkt zweier Zahlen auf 0 bringen, wenn keine der beiden Zahlen gleich 0 ist?
without at least one of them
Kann man nun das Produkt zweier Zahlen auf 0 bringen, wenn keine der beiden Zahlen gleich 0 ist?
being equal to zero?
Kann man nun das Produkt zweier Zahlen auf 0 bringen, wenn keine der beiden Zahlen gleich 0 ist?
And the simple answer is no.
Ganz einfach: Nein!
If A is seven,
Wenn a gleich 7 sei, wäre der einzige Weg, auf 0 zu kommen, für b gleich 0 anzunehmen.
the only way that you would get zero
Wenn a gleich 7 sei, wäre der einzige Weg, auf 0 zu kommen, für b gleich 0 anzunehmen.
is if B is zero,
Wenn a gleich 7 sei, wäre der einzige Weg, auf 0 zu kommen, für b gleich 0 anzunehmen.
or if B was five,
Wenn b gleich 5 wäre, müsste a gleich 0 sein, um insgesamt auf 0 zu kommen.
the only way to get zero
Wenn b gleich 5 wäre, müsste a gleich 0 sein, um insgesamt auf 0 zu kommen.
is if A is zero.
Wenn b gleich 5 wäre, müsste a gleich 0 sein, um insgesamt auf 0 zu kommen.
So you see from this example,
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
either, let me write this down,
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
either A
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
or B or both,
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
'cause zero times zero is zero,
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
or both must be zero.
Man sieht also in diesem Beispiel, dass entweder a oder b oder beide 0 sein müssen, "da 0 mal 0 gleich 0 ist".
The only way that you get the product of two quantities,
Der einzige Weg, um ein Produkt zweier Zahlen auf 0 zu bringen, ist, wenn eine oder beide gleich 0 sind.
and you get zero,
Der einzige Weg, um ein Produkt zweier Zahlen auf 0 zu bringen, ist, wenn eine oder beide gleich 0 sind.
is if one or both of them is equal to zero.
Der einzige Weg, um ein Produkt zweier Zahlen auf 0 zu bringen, ist, wenn eine oder beide gleich 0 sind.
I really wanna reinforce this idea.
Ich möchte das noch einmal verdeutlichen, indem ich dies rot einrahme.
I'm gonna put a red box around it
Ich möchte das noch einmal verdeutlichen, indem ich dies rot einrahme.
so that it really gets stuck in your brain,
Es soll euch im Gedächtnis hängen bleiben und ihr sollt euch Gedanken machen, warum dies so ist.
and I want you to think about why that is.
Es soll euch im Gedächtnis hängen bleiben und ihr sollt euch Gedanken machen, warum dies so ist.
Try to come up with two numbers.
Nehmt zwei Zahlen und versucht sie so zu multiplizieren, dass deren Produkt 0 ergibt.
Try to multiply them so that you get zero,
Nehmt zwei Zahlen und versucht sie so zu multiplizieren, dass deren Produkt 0 ergibt.
and you're gonna see that one of those numbers
Jetzt seht ihr, dass eine der beiden Zahlen gleich 0 sein muss.
is going to need to be zero.
Jetzt seht ihr, dass eine der beiden Zahlen gleich 0 sein muss.
So we're gonna use this idea right over here.
Dieses Prinzip wenden wir nun auch hier an.
Now this might look a little bit different,
Das sieht jetzt ein wenig anders aus, aber man kann (2x - 1) als unser a und (x + 4) als unser b betrachten.
but you could view two X minus one as our A,
Das sieht jetzt ein wenig anders aus, aber man kann (2x - 1) als unser a und (x + 4) als unser b betrachten.
and you could view X plus four as our B.
Das sieht jetzt ein wenig anders aus, aber man kann (2x - 1) als unser a und (x + 4) als unser b betrachten.
So either two X minus one needs to be equal to zero,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
or X plus four needs to be equal to zero,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide )gleich 0 sein.
or both of them needs to be equal to zero.
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
So I could write that as two X minus one
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
needs to be equal to zero,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
or X plus four,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
or X, let me do that orange.
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
Actually, let me do the two X minus one
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
in that yellow color.
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
So either two X minus one is equal to zero,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
or X plus four is equal to zero.
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
X plus four is equal to zero,
Es muss entweder (2x - 1) oder (x + 4) (oder beide) gleich 0 sein.
and so let's solve each of these.
Lösen wir nun beide dieser Ausdrücke einzeln.
If two X minus one could be equal to zero,
2x - 1 = 0, wir addieren 1 auf beiden Seiten und erhalten 2x = 1.
well, let's see, you could add one to both sides,
2x - 1 = 0, wir addieren 1 auf beiden Seiten und erhalten 2x = 1.
and we get two X is equal to one.
2x - 1 = 0, wir addieren 1 auf beiden Seiten und erhalten 2x = 1.
Divide both sides by two,
Beide Seiten durch 2 dividieren.
and this just straightforward
Das ist eine direkte Methode, eine lineare Funktion zu lösen.
solving a linear equation.
Das ist eine direkte Methode, eine lineare Funktion zu lösen.
If this looks unfamiliar,
Falls euch das nicht vertraut ist, schaut bitte Videos zum Thema "Lösen linearer Funktionen" auf der Khan Academy an.
I encourage you to watch videos
Falls euch das nicht vertraut ist, schaut bitte Videos zum Thema "Lösen linearer Funktionen" auf der Khan Academy an.
on solving linear equations on Khan Academy,
Falls euch das nicht vertraut ist, schaut bitte Videos zum Thema "Lösen linearer Funktionen" auf der Khan Academy an.
but you'll get X is equal to 1/2 as one solution.
Hier erhalten wir x = 1/2.
This is interesting
Das ist interessant, da wir zwei Lösungen haben.
'cause we're gonna have two solutions here,
Das ist interessant, da wir zwei Lösungen haben.
or over here, if we wanna solve for X,
Hier subtrahieren wir 4 von beiden Seiten und erhalten x = -4.
we can subtract four from both sides,
Hier subtrahieren wir 4 von beiden Seiten und erhalten x = -4.
and we would get X is equal to negative four.
Hier subtrahieren wir 4 von beiden Seiten und erhalten x = -4.
So it's neat.
Sehr hübsch.
In an equation like this,
In einer Gleichung wie dieser kann man prinzipiell zwei Lösungen haben.
you can actually have two solutions.
In einer Gleichung wie dieser kann man prinzipiell zwei Lösungen haben.
X could be equal to 1/2,
x kann gleich 1/2 oder gleich -4 sein.
or X could be equal to negative four.
x kann gleich 1/2 oder gleich -4 sein.
I think it's pretty interesting
Es ist interessant, einer der beiden Lösungen hier einzusetzen.
to substitute either one of these in.
Es ist interessant, einer der beiden Lösungen hier einzusetzen.
If X is equal to 1/2,
Wenn x gleich 1/2 ist, was passiert dann?
what is going to happen?
Wenn x gleich 1/2 ist, was passiert dann?
Well, this is going to be two times 1/2 minus one,
Das ist dann 2 * 1/2 - 1.
two times 1/2 minus one.
Das ist dann 2 * 1/2 - 1.
That's going to be our first expression,
Das ist unser erster Ausdruck.
and then our second expression is going to be 1/2 plus four.
Unser zweiter Ausdruck ist dann 1/2 + 4.
And so what's this going to be equal to?
Was ergibt das?
Well, two times 1/2 is one.
Nun, 2 * 1/2 ist gleich 1.
One minus one is zero,
1 - 1 ist gleich 0.
so I don't care what you have over here.
Es ist also egal, was man hier hat.
Zero times anything is going to be equal to zero.
0 mal irgendwas ist gleich 0.
So when X equals 1/2,
Wenn x gleich 1/2 ist, wird der erste Ausdruck 0, was dazu führt, dass das Ganze, das Produkt, 0 wird.
the first thing becomes zero,
Wenn x gleich 1/2 ist, wird der erste Ausdruck 0, was dazu führt, dass das Ganze, das Produkt, 0 wird.
making everything, making the product equal zero.
Wenn x gleich 1/2 ist, wird der erste Ausdruck 0, was dazu führt, dass das Ganze, das Produkt, 0 wird.
And likewise, if X equals negative four,
Genauso bei x = -4.
it's pretty clear that this second expression
Es ist ziemlich klar, dass dieser zweite Audruck gleich 0 wird.
is going to be zero,
Es ist ziemlich klar, dass dieser zweite Audruck gleich 0 wird.
and even though this first expression
Selbst wenn dieser erste Ausdruck ungleich 0 ist, ergibt irgendwas mal 0 gleich 0 in diesem Fall.
isn't going to be zero in that case,
Selbst wenn dieser erste Ausdruck ungleich 0 ist, ergibt irgendwas mal 0 gleich 0 in diesem Fall.
anything times zero is going to be zero.
Selbst wenn dieser erste Ausdruck ungleich 0 ist, ergibt irgendwas mal 0 gleich 0 in diesem Fall.
Let's do one more example here.
Noch ein weiteres Beispiel dazu.
So let me
Zunächst alles geschriebene hier löschen.
delete out everything that I just wrote here,
Zunächst alles geschriebene hier löschen.
and so I'm gonna involve a function.
Nehmen wir jetzt folgende Funktion:
So let's say someone told you
f(x) = (x - 5) * (5x + 2)
that F of X is equal
f(x) = (x - 5) * (5x + 2)
to X minus five, times five X, plus two,
f(x) = (x - 5) * (5x + 2)
and someone said, "Find the zeros of F of X."
"Finde nun die Nullstellen für f(x)."
Well, the zeros are, what are the X values
Nun, die Nullstellen sind die x-Werte, für die f(x) gleich 0 wird.
that make F of X equal to zero?
Nun, die Nullstellen sind die x-Werte, für die f(x) gleich 0 wird.
When does F of X equal zero?
Wann wird f(x) = 0?
For what X values
Für welche x-Werte wird f(x) = 0?
does F of X
Für welche x-Werte wird f(x) = 0?
equal zero?
Für welche x-Werte wird f(x) = 0?
That's what people are really asking
Das ist es, wonach gesucht wird, wenn gefragt wird: "Finde die Nullstellen für f(x)."
when they say, "Find the zeros of F of X."
Das ist es, wonach gesucht wird, wenn gefragt wird: "Finde die Nullstellen für f(x)."
So to do that, well, when does F of X equal zero?
Wann wird also f(x) gleich 0?
Well, F of X is equal to zero
Nun, f(x) ist gleich 0, wenn dieser Ausdruck hier gleich 0 ist.
when this expression right over here
Nun, f(x) ist gleich 0, wenn dieser Ausdruck hier gleich 0 ist.
is equal to zero,
Nun, f(x) ist gleich 0, wenn dieser Ausdruck hier gleich 0 ist.
and so it sets up just like the equation we just saw.
Das ist also genauso wie bei der vorherigen Gleichung, die wir gesehen haben.
X minus five
(x - 5) * (5x + 2), wann wird das gleich 0?
times five X plus two,
(x - 5) * (5x + 2), wann wird das gleich 0?
when does that equal zero?
(x - 5) * (5x + 2), wann wird das gleich 0?
And like we saw before,
Das ist genau wie das, was wir vorher gesehen haben.
well, this is just like what we saw before,
Daher bitte ich euch, das Video zu pausieren, und die Aufgabe zunächst selbständig zu lösen.
and I encourage you to pause the video,
Daher bitte ich euch, das Video zu pausieren, und die Aufgabe zunächst selbständig zu lösen.
and try to work it out on your own.
Daher bitte ich euch, das Video zu pausieren, und die Aufgabe zunächst selbständig zu lösen.
So there's two situations
Es gibt zwei Situationen, in denen die Gleichung 0 ist.
where this could happen,
Es gibt zwei Situationen, in denen die Gleichung 0 ist.
where either the first expression equals zero,
Entweder ist der erste Ausdruck gleich 0 oder der zweite, oder, in einigen Fällen, beide gleich 0.
or the second expression,
Entweder ist der erste Ausdruck gleich 0 oder der zweite, oder, in einigen Fällen, beide gleich 0.
or maybe in some cases,
Entweder ist der erste Ausdruck gleich 0 oder der zweite, oder, in einigen Fällen, beide gleich 0.
you'll have a situation where both expressions equal zero.
Entweder ist der erste Ausdruck gleich 0 oder der zweite, oder, in einigen Fällen, beide gleich 0.
So we could say either X minus five is equal to zero,
Wir können also sagen: x - 5 = 0 oder 5x + 2 = 0.
or five X plus two is equal to zero.
Wir können also sagen: x - 5 = 0 oder 5x + 2 = 0.
I'll write an, or, right over here.
Wir können also sagen: x - 5 = 0 oder 5x + 2 = 0.
Now if we solve for X,
Beim Auflösen nach x addieren wir 5 zu beiden Seiten dieser Gleichung.
you add five to both sides of this equation.
Beim Auflösen nach x addieren wir 5 zu beiden Seiten dieser Gleichung.
You get X is equal to five.
Wir erhalten: x = 5.
Here, let's see.
Hier lösen wir nach x auf,
To solve for X,
Hier lösen wir nach x auf,
you could subtract two from both sides.
man kann 2 von beiden Seiten subtrahieren und erhält dadurch: 5x = -2.
You get five X is equal to negative two,
man kann 2 von beiden Seiten subtrahieren und erhält dadurch: 5x = -2.
and you could divide both sides by five
Nun kann man beide Seiten durch 5 dividieren und erhält damit: x = -2/5.
to solve for X,
Nun kann man beide Seiten durch 5 dividieren und erhält damit: x = -2/5.
and you get X is equal to negative 2/5.
Nun kann man beide Seiten durch 5 dividieren und erhält damit: x = -2/5.
So here are two zeros.
Hier sind also die beiden Nullstellen.
You input either one of these into F of X.
Man setzt eine der beiden in f(x) ein.
If you input X equals five,
Wenn man x = 5 einsetzt,
if you take F of five,
Wenn man x = 5 einsetzt,
if you try to evaluate F of five,
Wenn man x = 5 einsetzt,
then this first expression's gonna be zero,
wird der erste Ausdruck zu 0.
and so a product of zero and something else,
Ein Produkt aus 0 und irgendwas anderem, egal ob 27 oder etwas anderes, wird immer zu 0.
it doesn't matter that this is gonna be 27.
Ein Produkt aus 0 und irgendwas anderem, egal ob 27 oder etwas anderes, wird immer zu 0.
Zero times 27 is zero,
0 mal 27 ist 0.
and if you take F of negative 2/5,
Wenn man x = -2/5 nimmt, ist es egal, was der zweite Ausdruck ist.
it doesn't matter what this first expression is.
Wenn man x = -2/5 nimmt, ist es egal, was der zweite Ausdruck ist.
The second expression right over here
Der zweite Audruck hier ist gleich 0.
is gonna be zero.
Der zweite Audruck hier ist gleich 0.
Zero times anything is zero.
0 mal irgendwas ist 0.
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