Trigonometry word problems (part 1)YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  192K views 416 likes 19 dislikes   03 Nov 2007
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
-
.
ตอนนี้เรารู้เรื่องตรีโกณฯ บ้างแล้ว, ลองใช้
Biraz trigonometri biliyoruz.
ตรีโกณมิติแก้โจทย์แบบคำบ้าง
Şimdi de trigonometriyi kullanarak problem çözelim.
ลองเริ่มด้วย -- น่าตื่นเต้นดี
.
นี่เป็นปัญหาการสำรวจ
Bu bir yol bulma problemi.
ผมมีเรือที่ต้องไปจากจุด A ยังจุด B
A noktasından B noktasına gitmesi gereken bir gemim var.
ขอผมวาดหน่อยนะ
Şimdi çizelim.
ผมจะไปจากจุด A, คือจุดนั้น
A noktasından B noktasına gidiyorum.
ยังจุด B
.
ขอผมวาดสามเหลี่ยมสวย ๆ ใหญ่ -- ไม่ใหญ่เกินไป
Büyük bir üçgen çizeyim.
ใหญ่พอดี
.
ได้แล้ว
İşte bu.
เพราะผมต้องการที่ไว้ทดเลขด้วย
.
ขอผม -- ลองดูกัน
.
นี่คือจุด A
Burası A noktası.
จุด A ผมวาดด้วยสีม่วงนะ
Leylak rengiyle çiziyorum.
จุด A ถึงจุด B
A noktasından B noktasına.
เรือลำนี้ต้องไปจากจุด A ถึงจุด B
Geminin A noktasından B noktasına gitmesi gerekiyor.
โจทย์นี้บอกเราว่าระยะระหว่างจุด A
Problemin bize verdiği bilgiye göre A noktasının B noktasına olan uzaklığı 10 kilometre.
กับจุด B เป็น 10 กิโลเมตร
.
-
.
นายคนนี้ออกเรือไป, ไม่ว่าด้วยสาเหตุใด
Bu gemi yola çıkıyor.
เขาเป็นนักสำรวจที่แย่ หรือน้ำไหล
Gemiyi kullanan adam ya kötü bir denizci ya da akıntı kuzey yönünde daha hızlı.
เร็วขึ้นขึ้นไปทางเหนือ
.
บางทีน้ำกำลังไหลไปทางนี้
Su akışı bu yönde olabilir.
ขอผมวาดด้วยสีฟ้าแสดงทิศของ
Akıntının yönünü göstermek için maviyle çizeyim.
น้ำ -- สมมุติกระแสไหลไปทางนั้น
.
แล้วเขาก็ออกนอกเส้นทาง
Denizci rotadan çıkıyor.
ที่จริงเขาไป, หลังจาก 5 กิโลเมตร -- เขา
5 kilometre yol alıyor.
เดินทางไป 5 กิโลเมตร
.
ขอผมใช้สีเขียวฟ้านี่นะ
Turkuazla çiziyorum.
เขาเดินทางไป 5 กิโลเมตร และหลังจาก 5 กิโลเมตร, เขารู้ตัว
5 kilometre yol alıyor ve rotadan çıktığını fark ediyor.
ว่าเขาออกนอกเส้นทางแล้ว
..
แล้วด้วยวิธีใดก็ตาม -- ไม่รู้สิ บางทีเขาใช้แอสโตรแลบ
Belki de usturlabını kullanarak fark ediyordur.
ผมไม่รู้ว่ามันคืออะไร, แต่นั่นคือสิ่งที่คนใช้
Ne olduğunu tam olarak ben de bilmiyorum ama sanırım insanlar denizde yollarını bulmak için kullanıyorlar.
ตอนอยู่บนเรือเพื่อหาว่าเขาอยู่ตรงไหนแล้ว
.
-- เขารู้ตัวว่าเขาออกนอกทิศไป 15 องศา
Denizci rotadan 15 derece saptığını görüyor.
นั่นหมายความว่าเขา -- ระหว่างเส้นทาง
Yani rotasıyla, aldığı yol arasındaki açı 15 derece.
ที่เขาไปกับเส้นทางที่ควรไป ทำมุม 15 องศา
.
อย่างน้อยนั่นคือสิ่งที่ผมตีความ
Yani benim yorumlama şeklim bu.
นี่คือ 15 องศา
Sonuç olarak burası 15 derece ve denizci yanlış yönde 5 kilometre yol almış.
และแน่นอน, เขาเดินทางไป 5 กิโลเมตร
.
ในทางที่ผิด
.
ทิศผิดไป 15 องศา
Yanlış yönde 15 derece.
สิ่งที่เขาอยากรู้ก็คือ -- นี่คือ -- ขอผม
Bilmesi gereken şey şu:
วาดเรือลำน้อยสักหน่อย
önce küçük bir gemi çizeyim.
นี่คือทีที่เรืออยู่ตอนนี้
Şu an geminin bulunduğu nokta burası.
นั่นคือเรือผม
.
ทีนี้เจ้านี่, กัปตันที่น่าสงสาร, เขาถามว่า ฉันต้อง
Bu adamcağız hala B noktasına gitmek zorunda.
ไปไกลแค่ไหนถึงจะถึงจุด B?
.
ขอผม - เขาอยากรู้ว่าอีกไกลแค่ไหน -- ขอผมเลือกสีดี ๆ
Gideceği yolun kaç kilometre olduğunu bulmak zorunda.
หน่อย -- ระยะทางนี่ตรงนี้ไกลเท่าไหร่?
Bu mesafe ne kadar?
-
.
นี่อาจเกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ
Trigonometri kullanarak bu problemi çözebiliriz.
แล้วเราจะหาระยะนี่ได้อย่างไร?
Bu mesafeyi nasıl bulacağız?
ลองแยกออกมาว่าเรารู้อะไรบ้าง
Şu ana kadar ne bildiğimizi hatırlayalım.
นั่นคือวิธีที่ผมแก้โจทย์ตรีโกณฯ
.
ผมทำมันมั่วไปเรื่อย ๆ จนได้
Doğru cevabı bulana kadar ne yapabilirim diye düşünüyorum.
คำตอบที่ถูกต้อง
.
งั้นลองดูว่าเราจะแก้ปัญหานี่แบบนั้นได้ไหม
Bakalım problemi bu yoldan çözebilecek miyiz.
เราหาอะไรได้บ้าง?
Şimdi, nasıl hesaplayabiliriz?
เรารู้ว่านี่คือ 5 กิโลเมตร
Burasının 5 kilometre olduğunu biliyoruz.
ด้านนี้คือ 5 กิโลเมตร
Bu kenar 5 kilometre.
เรารู้ว่านี่คือ 10 กิโลเมตร
Burası da 10 kilometre.
เรารู้มุมนี้
Ayrıca açıyı da biliyoruz.
สิ่งนึงที่เรารู้ว่าหาได้คือ -- ลองตั้ง
İşe yarayacağını düşündüğüm bir yol var. Birkaç dik açı yaratalım böylece soruyu trigonometri kullanarak çözebiliriz.
มุมฉากเราจะได้ใช้ตรีโกณมิติได้
.
ขอผมวาดมุมฉากตรงนี้นะ
Buraya bir açı çizelim.
ผมแค่ลากมันลงตรง ๆ
Sadece dümdüz aşağı indiriyorum.
-
.
ผมจะหาด้านนี่ตรงนี้ได้ไหม?
Böylece bu kenarın kaç kilometre olduğunu bulabilir miyim?
ขอผมวาดอีกสีนึงนะ
Farklı bir renkle çiziyorum.
สีน้ำตาลแล้วกัน
Kahverengi olsun.
ผมหาได้ไหมว่าด้านนี่ตรงนี้คืออะไร?
Bu kenarın kaç kilometre olduğunu bulabilir miyim?
-
.
ด้านนี้จะเป็นเท่าไหร่?
Bu kenar kaç kilometre olacak?
นี่คือ -- หากเราดูที่มุมนี้, นี่ประชิด
Eğer açıya bakarsak bu komşu kenar ve bu da hipotenüs.
กับมุม และนี่คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
.
หากเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก, เรารู้มุม,
Yani hipotenüsü ve açıyı biliyorsak hangi trigonometrik fonksiyonu kullanarak komşu kenarı bulabiliriz?
เราอยากหาด้านประชิด, เราควรใช้ฟังก์ชันตรีโกณฯ ไหน?
.
ขอผมเขียนออกมานะ -- SOH CAH TOA
.
-
.
เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก
Hipotenüsü biliyoruz.
เราอยากหาด้านประชิด
Komşu kenarı bulmak istiyoruz.
อะไรเกี่ยวข้องกับด้านประชิดและด้านตรงข้ามมุมฉากบ้าง?
Hangi fonksiyon hipotenüs ve komşu kenarı kapısıyor?
CAH, หรือโคไซน์
kosinüs
เราก็รู้ว่าโคไซน์ของ 15 องศา -- ผมจะเขียน
15 derecenin kosinüsünü biliyoruz. Fazla yer kaplamaması için buraya yazıyorum.
ตรงนี้จะได้ไม่เปลืองที่ -- โคไซน์ของ 15
.
องศา เท่านั้นด้านสีน้ำตาลนี่
15 derecenin kosinüsü bu kahverengi kenara eşit.
งั้นเรียกนี่ว่า -- ไม่รู้สิ
Buraya "x" diyorum
ผมเรียกมันว่า x, ดีไหม?
.
นี่ก็เท่ากับ x ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ส่วน 5, จริงไหม?
Kosinüs 15 eşittir x bölü hipotenüs yani x bölü 5.
หากเราแก้หา x, เราจะได้ x เท่ากับ 5
Eğer "x" i yalnız bırakırsak, 5 kosinüs 15 e eşit olur.
โคไซน์ของ 15 องศา
.
เราทำอะไรได้บ้างแล้ว
.
บางทีอาจไม่ได้อะไร
.
ลองต่อไป
Tamam, şimdi deneyelim.
โอเค
.
ทีนี้ลองดูว่าเราจะหาด้านนี้
Bu kenarı bulup bulamayacağımızı görelim.
ของสามเหลี่ยมได้ไหม
.
นี่ก็คือ, เทียบกับมุมนี้, นี่คือด้านตรงข้าม, จริงไหม?
Bu kenar 15 derecenin karşısında değil mi?
นี่คือด้านตรงข้าม
.
แล้วเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก
Hipotenüsü de biliyoruz.
แล้วฟังก์ชันตรีโกณใดที่เรา -- เราควรใช้
Eğer açıyı ve hipotenüsü biliyorsak ve karşı kenarı bulmak istiyorsak hangi trigonometrik fonksiyonu kullanmalıyız?
ฟังก์ชันตรีโกณฯ ใด?
.
ทีนี้หากเรารู้ด้านตรงข้าม -- ทีนี้หากเราอยากหา
.
ด้านตรงข้าม และเรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ
.
รู้มุม
.
ฟังก์ชันตรีโกณฯ ใด ที่เกี่ยวข้องกับข้าม -- ผมจะบอก
.
ว่า ฉาก
.
แต่ช่างเถอะ
.
ฟังก์ชันตรีโกณฯ ใด เกี่ยวกับข้าม และฉาก?
Hangi fonksiyon karşı kenar ve hipotenüsle ilgili?
มันคือไซน์, จริงไหม?
Sinüs.
งั้นไซน์ -- เราเรียกนี่ว่า y
Buraya "y" diyelim.
เรารู้ว่า y เท่ากับ -- ทีนี้, ทำแบบเดิม
Aynı yöntemle yapalım.
ไซน์ -- 5 ไซน์ของ 15 องศา
5 çarpı 15 derecenin sinüsü.
ผมข้ามขั้นไป, ใช่ไหม?
Bir adımı atladım.
เพราะเราบอกว่า ไซน์ของ 15 องศา เท่ากับ
Çünkü sinüs 15 eşittir y bölü 5.
ด้านตรงข้าม, y, ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ส่วน 5
.
แล้วขั้นนั้นพาเรามาตรงนี้
.
เราแค่คูณทั้งสองข้างด้วย 5
Sadece iki tarafı da 5le çarptım.
คุณได้ y เท่ากับ 5 ไซน์ของ 15 องศา
y de 5 çarpı kos 15e eşit oldu.
เจ๋งมากเลย
.
เรารู้ y นี่
Artık y yi biliyoruz.
เรารู้ x
x i de biliyoruz.
เราหาได้ไหมว่านี่ยาวเท่าไหร่?
Bu uzunluğu bulabilir miyiz peki?
ขอผมเขียนอีกสีนึงนะ
Bunu da farklı bir renkle çizeyim.
เราหาความยาวของด้านนี้ได้ไหม?
Bu kenarın uzunluğunu bulabilir miyiz?
เรารู้จากโจทย์ว่าทั้งหมดนี่
Buranın tamamının 10 kilometre oluğunu biliyoruz.
ยาว 10 จริงไหม?
.
เรารู้ความยาวทั้งหมดเป็น 10
.
และเรารู้ว่าส่วนเล็ก ๆ ของมันคือ x, เท่ากับ
Bu küçük parçanın yani x in de 5 cos (kos) 15e eşit olduğunu biliyoruz.
เราหาได้เป็น 5 โคไซน์ของ 15 องศา
.
เรียกมันว่า z แล้วกัน
Buraya z diyelim
เรารู้ว่า z เท่ากับ 10 ลบ x, จริงไหม?
z eşittir 10 eksi x.
เพราะทั้งหมดนี่ยาว 10
Çünkü buranın tamamı 10.
เจ้านี่คือ x
Ve küçük parça da x.
z เลยเท่ากับ 10 ลบ x
z eşittir 10 eksi x.
และเราหาแล้วว่า x เท่ากับอะไร
x in ne olduğunu zaten bulmuştuk.
z เท่ากับ 10 ลบอันนี้
10dan bunu çıkaracağız.
นั่นคือ x
x bu.
เราไม่ต้องใช้ตัวแปร x เลยก็ได้
x i hesaplamak zorunda değiliz.
เราเขียนแบบนั้นก็ได้
Direkt olarak böyle yazabiliriz.
งั้น 10 ลบ 5 โคไซน์ของ 15 องศา, จริงไหม?
Yani bu kenar 10 eksi 5 kos 15.
นั่นคือด้านนี้
.
z เท่ากับ 10 ลบ 5 โคไซน์ของ 15 องศา
z eşittir 10 eksi 5 kos 15
เรารู้ z
yani z yi biliyoruz.
เรารู้ y
y yi de biliyoruz
นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก
Bu bir dik üçgen
เรากำลังหาด้านสีเหลือง, อะไรก็ตาม
ve biz sarı kenarı bulmak istiyoruz.
ที่อยากเรียก
.
นั่นคือคำตอบของโจทย์นี้
Bu da zaten problemin cevabı.
นี่เริ่มดูง่ายแล้ว
Problem daha da kolay görünmeye başladı.
นี่ก็แค่ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
Sadece pisagor teoremi yapmak kaldı.
สมมุติว่า -- y กำลังสอง บวก z กำลังสอง จะเท่ากับ
y nin karesi artı z nin karesi eşittir, buraya m diyelim, m nin karesi
-- เรียกนี่ว่า
.
ไม่รู้สิ
.
เรียกมันว่า m
.
เลือกอักษรตามใจเรา
.
เรียกมันว่า m
.
งั้น y กำลังสอง บวก z กำลังสอง จะเท่ากับ m กำลังสอง
.
เราเลยบอกว่า -- ลองเขียนลงไปกัน
.
ผมไม่รู้ว่าทำไมผมถึงเลือก m
.
แค่ให้คุณงงมั้ง, ผมว่า
.
m กำลังสองจะเท่ากับ -- ทีนี้ y กำลังสองคืออะไร? y กำลังสอง
Yani m kare eşittir, y nin karesi yani 5 sin 15 in karesi artı znin karesi yani 10 eksi 5 kos 15 in karesi.
คือ 5 ไซน์ของ 15 องศา
.
มันเท่ากับ - ขอผมใช้สีนั้นนะ
.
5 ไซน์ของ 15 องศา กำลังสอง บวก -- z กำลังสองคืออะไร?
.
z คือนี่, จริงไหม?
.
z กำลังสอง บวก -- ผมจะไม่มีที่เขียนแล้ว -- 10 ลบ 5
.
โคไซน์ของ 15 องศา กำลังสอง
.
ตอนนี้ผมต้องจัดรูปนี้หน่อย
Şimdi sadeleştirme yapacağım.
หากคุณมีเครื่องหมาย คุณก็ทำได้โดย
Hesap makineniz varsa sadeleştirmeye gerek kalmadan da sonucu bulabilirsiniz.
ไม่ต้องจัดรูป
.
แต่ผมอยากจัดรูปให้ง่ายที่สุดเท่าที่ทำได้
Ama yine de yapabiliğim kadar sadeleştirmek istiyorum.
ขอผม -- นี่กำลังสองเป็นเท่าไหร่?
Bunun karesi ne?
นี่จะเท่ากับ -- ขอผมลากเส้นหน่อยเพราะผม
Şuraya bir çizgi çekeyim çünkü çok karışsın istemiyorum.
ไม่อยากให้มันเลอะเกินไป
.
ผมต้องใช้พื้นที่ทั้งหมดนี้
ve şu alana ihtiyacım var.
-
.
นี่จะเท่ากับ -- ผมใช้สีอะไรอยู่นะ?
Bu eşittir , hatırlayın, buraya m nin karesi demiştim.
นี่เท่ากับ -- จำไว้, นี่คือ m กำลังสอง
.
เราต้องหาสแควร์รูทของทั้งหมดนี้ใน
Sonunda m yi bulabilmek için hepsinin karekökünü alacağım.
ตอนท้ายเพื่อหา m
.
นี่เท่ากับ 25 ไซน์กำลังสอง 15 องศา, หรือไซน์
5 sin 15 in karesi eşittir 25 sin kare 15.
ของ 15 องศา ทั้งหมดกำลังสอง
.
นั่นคือวิธีที่คุณเขียน
Bunu böyle yazabilirsiniz.
แล้วเราก็กระจายพจน์นี้
Burada da karesini almamız gerekiyor.
งั้นบวก 100 ลบ -- นี่แค่กระจายพจน์นี้
100 eksi 100 cos 15 artı 25 kos kare 15.
-- ลบ 100 โคไซน์ของ 15 องศษ บวก 25 โคไซน์
.
กำลังสองของ 15 องศา
.
ที่ผมทำแค่กระจาย
Hepsinin karesini aldım.
ผมบอกว่า, พจน์นี้ทั้งหมดกำลังสอง เท่ากับ
Bu ifadenin açılımını şöyle buldum: 10 un karesi eksi 2 çarpı bu ikisinin çarpımı yani 100 cos 15 artı son terimin karesi yani 25cos kare 15.
นี่กำลังสอง ลบ 2 คูณสองตัวคูณกัน
.
นั่นคือ 100 โคไซน์ของ 15 องศา
.
แล้วผมก็กำลังสองเทอมสุดท้าย, ได้บวก
.
25 โคไซน์ของ 15 องศา
.
หากนั่นทำให้คุณงง, คุณคงต้องไปทบทวนเรื่อง
Eğer kafanız karıştıysa çarpanlara ayırma konusunu tekrar edebilirsiniz.
การคูณพจน์สักหน่อย
.
ลองดูว่าเราจัดรูปได้อีกไหม
Şimdi bunu daha fazla sadeleştirebiliyor muyuz görelim.
หากเราเอาเทอมนี่กับเทอมนี้มา, เราก็จัดรูป
Şu iki terimi 25 çarpı sin kare 15 artı kos kare 15 şeklinde sadeleştirebiliriz.
นี่เป็น 25 คูณไซน์กำลังสองของ 15 องศา บวก
.
โคไซน์กำลังสองของ 15
.
คุณอาจข้ามขึ้นพวกนี้แล้วใช้เครื่องคิดเลข
Hesap makinesi kullanıp kesin değerlerini bularak tüm bu adımları atlayabilirsiniz.
เพื่อหาค่าจริงเลยก็ได้
.
แต่ผมจะทำต่อเพราะ
Ama ben hesap makinesi kullanmadan önce yapabildiğim kadar sadeleştiriyorum.
ผมอยาได้รูปที่ง่ายที่สุดก่อนที่จะ
.
ใช้เครื่องคิดเลข
.
แล้วเทอมนั้นกับเทอมนั้น คืออันนั้น
Şu iki terimi de bir araya getirirsek 100 eksi 100 cos 15 olur değil mi?
แล้วมันบวกก้อนนี้
.
บวก 100 ลบ 100 โคไซน์ของ 15 องศา, จริงไหม?
.
แล้วก็ -- ไซน์กำลังสองของ 15 บวก
sin kare 15 artı kos kare 15 nedir?
โคไซน์กำลังสองของ 15 เป็นเท่าไหร่?
.
มันคือสมบัติพื้นฐานที่สุดอันนึง, จริงไหม?
Bu da temel eşitliklerden biri.
นั่นคือสมบัติปีทาโกรัส
Pisagor teoreminin eşitliği.
ไซน์กำลังสองของ x บวกโคไซน์กำลังสองของ x, หรือ
sin kare x artı kos kare x eşittir 1.
ทีต้า, ก็แค่ 1, จริงไหม?
.
เทอมนี้กลายเป็น 1
.
ผมหมดเวลาแล้ว
Şimdi zamanım doluyor.
ผมจะมาต่อในวิดีโอหน้าแล้วกัน
Sonraki videoda devam edeceğim.
Similar videos:

Proof of the law of cosines | Trig identities and examples | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
521.1K views 1.7K likes 103 dislikes 05 Nov 200739% match


Polar coordinates 2 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
423.7K views 870 likes 26 dislikes 02 Feb 200932% match

Polar coordinates 3 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
341.8K views 642 likes 17 dislikes 02 Feb 200931% match


Polar coordinates 1 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
804.1K views 2.2K likes 86 dislikes 02 Feb 200931% match


Trig identities part 3 (part 5 if you watch the proofs) | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
171.2K views 340 likes 7 dislikes 28 Oct 200731% match

Trig identities part 2 (part 4 if you watch the proofs) | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
320K views 614 likes 28 dislikes 28 Oct 200731% match

Definite Integrals (part 4)
Khan Academy
217.3K views 466 likes 18 dislikes 22 Oct 200730% match

Point distance to plane | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
283K views 424 likes 52 dislikes 28 Dec 201030% match

Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200930% match


Trigonometry identity review/fun | Trig identities and examples | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
661.7K views 2.2K likes 76 dislikes 07 Oct 200930% match


(2^ln x)/x Antiderivative Example
Khan Academy
208.2K views 262 likes 10 dislikes 22 Oct 200930% match


Basic trigonometry II | Basic trigonometry | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
1.8M views 4.2K likes 122 dislikes 15 Feb 201130% match





Proof: cos(a+b) = (cos a)(cos b)-(sin a)(sin b)
Khan Academy
179.3K views 508 likes 30 dislikes 28 Oct 200730% match

Line integral example 2 (part 1) | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
256.9K views 768 likes 18 dislikes 25 Feb 201030% match

IIT JEE trigonometry problem 1 | Trig identities and examples | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
230.1K views 419 likes 11 dislikes 13 Dec 201030% match

Unit Circle Definition of Trig Functions
Khan Academy
864.8K views 3.5K likes 181 dislikes 20 Aug 200730% match

Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
Khan Academy
328.2K views 859 likes 50 dislikes 27 Oct 200730% match

Double integrals 6 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
196.4K views 470 likes 7 dislikes 14 Aug 200829% match


Snell's law example 2 | Geometric optics | Physics | Khan Academy
Khan Academy
146.3K views 339 likes 6 dislikes 08 Dec 201029% match

Parametric equations 3 | Parametric equations and polar coordinates | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
361.2K views 826 likes 14 dislikes 28 Jul 200929% match

Complex roots of the characteristic equations 1 | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
430.2K views 876 likes 39 dislikes 01 Sep 200829% match


The Pythagorean theorem intro | Right triangles and trigonometry | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
2.5M views 15.2K likes 825 dislikes 09 Aug 201029% match




Pythagorean theorem | Right triangles and trigonometry | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
684.3K views 461 likes 39 dislikes 17 Apr 201029% match




Calculus: Derivatives 2 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 5.9K likes 202 dislikes 03 Oct 200729% match


Inverse trig functions: arccos | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
451.3K views 713 likes 19 dislikes 01 Oct 200929% match


Pythagorean theorem proof using similarity | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
197.7K views 506 likes 20 dislikes 04 Oct 201129% match


Distance formula | Analytic geometry | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.1K likes 149 dislikes 18 Apr 201029% match



Similar triangles (part 2) | Similarity | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
139.4K views 440 likes 23 dislikes 10 Nov 200729% match


Intro to 30-60-90 triangles | Right triangles and trigonometry | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
561K views 712 likes 86 dislikes 15 May 200729% match


Partial derivatives 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 652 likes 10 dislikes 09 Aug 200829% match


Settings Privacy About Contact Donate