Laplace Transform Explained and Visualized IntuitivelyYouTube↗  IA↗(long shot)
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Contributed subtitles
Japanese t fuka
Arabic ali ahmad
سمرة ابو الرياضيات
Turkish Şahin Çevik
Serbian Milan Nedić
Chinese (China) Bin Chen
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La transformation de Laplace joue un rôle essentiel dans l'ingénierie, la physique et les mathématiques.
the laplace transform plays a critical role in engineering physics and mathematics
La transformation de Laplace nous permet d'évaluer
the laplace transform allows us to
la stabilité et la réponse en fréquence d'un système.
evaluate the stability and frequency response of a system [Music]
Et la Transform Laplace nous donne une méthode pour résoudre facilement les équations différentielles.
and the laplace transform gives us a method for easily solving differential equations
Tout au long de cette vidéo, la couleur signifie la phase d'une fonction.
throughout this video the color signifies the phase of a function
La phase d'un nombre complexe est l'angle que le
the phase of a complex number is the
la ligne blanche en rotation fait avec l'axe réel positif.
angle that the rotating white line makes with the positive real axis
L'amplitude d'un nombre complexe est la longueur de la ligne blanche en rotation.
[Music] the magnitude of a complex number is the length of the rotating white line [Music]
Dans cette fonction, le temps n'existe pas.
in this function time does not exist
L'entrée de notre fonction est un nombre complexe
the input to our function is a complex
avec les valeurs réelles et imaginaires le long des deux axes.
number with the real and imaginary values along the two axes [Music]
La sortie de notre fonction est également un nombre complexe.
the output of our function is also a complex number
Il est représenté par la hauteur et par la couleur du graphique.
it's represented by the height and by the color of the graph [Music]
La hauteur du graphique à chaque point représente l'ampleur de la sortie.
the height of the graph at each point represents the magnitude of the output
La couleur du graphique à chaque point représente la phase de la sortie.
the color of the graph at each point represents the phase of the output
C'est la fonction où la sortie est exactement égale à l'entrée, "s".
this is the function where the output is exactly equal to the input s [Music]
C'est la fonction où la sortie est égale à un divisé par l'entrée.
this is the function where the output is equal to 1 divided by the input
Nous pouvons spécifier pour quelles valeurs de l'entrée, «s», la fonction existe.
we can specify for what values of the input s the function exists
Ici, la fonction existe là où
here the function exists where the real
la composante réelle de «s» est supérieure à zéro.
component of s is greater than zero
Voici un exemple de ce que nous appelons une fonction «domaine fréquentiel»,
this is an example of what we call a frequency domain
et cet exemple est associé à la fonction «domaine temporel» suivante.
function and this example is associated with the following time domain function
Une fonction du domaine temporel est simplement une fonction du temps.
a time domain function is simply a function of time
Chaque fonction de domaine temporel a une fonction de domaine fréquentiel associée,
every time domain function has an associated frequency domain function
que nous appelons sa «transformation de Laplace».
which we call its laplace transform [Music]
Il y a beaucoup de beauté dans cette transformation, mais pour la comprendre,
there is a lot of beauty in this transformation but to understand it we need to first
nous devons d'abord parler des sommes des exponentielles des nombres complexes.
talk about the sums of exponentials of complex numbers
Pour les fonctions de temps, la variable «s» est toujours une constante.
for functions of time the variable s is always a constant
Si nous augmentons la composante imaginaire de «s», la ligne blanche tournera plus vite.
if we increase the imaginary component of s the white line will rotate faster [Music]
Si nous augmentons la composante réelle de «s», la magnitude augmentera plus rapidement.
if we increase the real component of s the magnitude will increase more rapidly [Music]
Si la composante réelle de «s» est zéro, alors la grandeur restera constante.
if the real component of s is zero then the magnitude will stay constant
Nous pouvons multiplier notre fonction par une constante.
we can multiply our function by a constant
Dans cet exemple, la constante est le nombre réel 3,
in this example the constant is the real
mais la constante peut aussi être un nombre complexe.
number three but the constant can also be a complex number
Considérons maintenant ce qui se passe lorsque nous ajoutons des fonctions exponentielles comme celles-ci ensemble.
let's now consider what happens when we add exponential functions like these [Music] together
[Music] [Music] so [Music]
[Music] [Music] [Music]
Toutes les formes d'onde peuvent être créées en additionnant les fonctions exponentielles de cette manière.
all wave forms can be created by adding together exponential functions in this way
La transformation de Laplace d'une forme d'onde nous dit
the laplace transform of a waveform
combien de chaque fonction exponentielle ajouter.
tells us how much of each exponential function to add
Trouvons une ligne infinie comme indiqué.
let's draw an infinite line as shown
La ligne peut être à n'importe lequel de ces emplacements.
the line can be at any one of these locations [Music]
Avec la ligne fixée à un endroit, chacun de ces points représente l'un des
with the line fixed at one location each of these points represents
les fonctions exponentielles que nous allons additionner pour créer notre forme d'onde.
one of the exponential functions that we're going to add together to create our waveform [Music]
Le nombre complexe «s» est l'endroit où chaque point est situé le long des axes réel et imaginaire.
the complex number s is where each point is located along the real and imaginary axes
Pour chacun de ces points, nous allons ajouter la fonction exponentielle suivante du temps,
for each of these points we're going to add the following exponential function of time where s
où «s» est la constante représentée par ce point.
is the constant represented by that point [Music]
Chacune des fonctions exponentielles sera multipliée par un nombre complexe
each of the exponential functions will be multiplied by a complex number
c'est la valeur de la transformation de Laplace à ce point,
that is the value of the laplace transform at that point
comme cela était représenté par la hauteur et la couleur du graphique à cet endroit.
as was represented by the height and color of the graph at that location
Puisqu'il y a un nombre infini de points,
since there are an infinite number of
ajouter une fonction pour chacun de ces points totalisera l'infini,
points adding a function for each of these points will add up to infinity
sauf si nous multiplions aussi par le nombre extrêmement petit
unless we also multiply by the extremely
qui représente l'intervalle entre chacun de ces points.
small number that represents the interval between each of these points [Music]
Lorsque l'intervalle entre chacun des points s'approche de zéro,
as the interval between each of the points approaches zero
la somme de toutes ces fonctions exponentielles peut être représentée comme indiqué.
the sum of all these exponential functions can be represented as shown
Nous multiplions le résultat par la constante suivante.
we multiply the result by the following constant [Music]
Nous avons maintenant créé notre fonction originale du temps.
we've now created our original function of time [Music]
La constante de nombre réel «c» indique où se trouve la ligne.
the real number constant c indicates where the line is located [Music] [Music]
Puisque cette ligne peut être à un nombre infini d'emplacements différents,
since this line can be at an infinite number of different locations
il existe un nombre infini de façons différentes de créer notre forme d'onde originale.
there are an infinite number of different ways to create our original waveform
Si nous déplaçons la ligne ici où la composante réelle de «s» est zéro, alors c'est un cas particulier où nous allons générer la forme d'onde
if we move the line over here where the real component of s is zero then this is a special case where we will be generating the waveform
sur des ondes sinusoïdales, comme dans le cas d'une transformée de Fourier.
out of sine waves as in the case of a fourier transform [Music]
La transformée de Laplace est plus générale que la transformée de Fourier en ce que
the laplace transform is more general than the fourier transform
avec la Transform Laplace, nous pouvons également additionner
in that with the laplace transform we
«Ondes sinusoïdales» dont les magnitudes changent avec le temps.
can also add together sine waves whose magnitude changes with time [Music]
Et si nous savons déjà quelle est notre forme d'onde, et nous voulons trouver sa Transform Laplace?
what if we already know what our waveform is and we want to find its laplace transform
Considérez l'expression suivante,
consider the following expression where
où nous avons maintenant un signe négatif devant la constante «s».
we now have a negative sign in front of the constant s
Multipliez cette expression par la fonction de la forme d'onde
multiply this expression by the function
qui est Laplace Transform que nous souhaitons trouver.
of the waveform whose laplace transform we wish to find [Music]
Dans le résultat de la multiplication,
in the result of the multiplication each
chaque instant dans le temps est un nombre complexe représenté par une flèche.
moment in time is a complex number represented by an arrow
Additionnez toutes les flèches ensemble grâce à l'équation suivante.
add all the arrows together through the following equation [Music] do
Le résultat est un nombre complexe décrit par la flèche blanche, et c'est
the result is a complex number described by the white arrow
la valeur de la transformation de Laplace de notre forme d'onde pour cette valeur particulière de «s».
and this is the value of the laplace transform of our waveform for this particular value of s
Si le résultat de cette intégrale est infini, alors on dit que
if the result of this integral is infinite then we say that the laplace
la transformation de Laplace n'existe pas pour cette forme d'onde à cette valeur de «s».
transform does not exist for this waveform at this value of s [Music]
Cela peut arriver, par exemple, si le réel la composante de «s» est un grand nombre négatif.
this may happen for example if the real component of s is a large negative number [Music]
C'est pourquoi dans notre exemple,
this is why in our example the laplace
la transformation de Laplace n'existait pas là où la composante réelle de «s» était négative.
transform did not exist where the real component of s was negative
Pour décider où tracer notre ligne pour récupérer notre forme d'onde d'origine, nous devons
when deciding where to draw our line to recover our original waveform
dessinez-le toujours à un emplacement où la transformation de Laplace existe pour cette forme d'onde.
we need to always draw it in a location where the laplace transform exists for that waveform
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