Heesch Numbers and Tiling - Numberphile Numberphile English Spanish

Heesch Numbers and Tiling - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 302.7K views 9.7K likes 88 dislikes 21 Feb 2019 Show Contributors 2

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Contributed subtitles

Spanish Carmin Alejandra Zangari

Portuguese Luan Arjuna Fraga Ramires

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I've got a shape for you, Brady. If you've got a shape you want to start putting it together.

Tengo una forma preparada para ustedes Si tienes una forma vas a comenzar a ponerlas juntas

So I've got just- these are copies of the same shape and I'm allowing myself to flip them over.

Entonces tengo estas copias de la misma forma Y estoy permitiéndome a mí mismo darlas vuelta

That's quite nice, I have covered the boundary of my original shape with copies of the same.

Eso está bastante bien. Ya he cubierto los bordes de mi figura original con copias

So we might ask,

de la misma. Entonces nos podríamos preguntar si puedo hacerlo de vuelta

well, can I do that again? Keeping going with the shape, if I had enough of these pieces

Continuar con la figura si tuviera

I could sort of- now, I can put some things round and maybe I can, I can sort of get myself into trouble.

suficientes de estas piezas. Podría entonces poner algunas alrededor y quizás puedo meterme en problemas,

I could get stuck. So - but maybe if I work hard enough, I could put another loop round, and maybe another one.

quedarme atascado. Quizás si trabajo duro lo suficiente puedo poner otra vuelta alrededor y quizás otra...

Maybe I could go on forever, maybe not. This tile was discovered by someone called Casey Mann.

Quizás puedo seguir así por siempre, quizás no. Este mosaico fue descubierto

He actually started knowing that this is a tile where you cannot go on forever. And the way we describe that is,

por alguien llamado Casey Mann. Él en realidad comenzó sabiendo que este es un mosaico en el que no podés seguir por siempre. Y la forma en la que describimos esto es diciendo que es

this is an unbalanced tile. So if you look at it, there's one part of this tile, this piece here, where you've got an arc of a circle,

un mosaico desbalanceado Entonces, si observas, hay una parte de este mosaico esta pieza aquí en la que tenés un arco de círculo

where I can fit something on, and it can sort of - but I can only fit the pieces of the tile that curve in onto the piece that curves out.

donde puedo encajar algo y esto puede servir... pero sólo puedo encajar las piezas del mosaico que se curvan hacia adentro con las que se curvan hacia afuera. Todos estos arcos

Now all these arcs are sort of in multiples of a sixth of a circle.

son algo así como múltiplos de un sexto de un círculo

And so if I sort of look round this shape, here I've got the positive piece, the convex piece, and that has four.

Por lo que, si empiezo a inspeccionar esta forma, acá tengo la pieza positiva, la pieza convexa y eso tiene 4, y luego aquí

And then here I have concave, and that's actually two there,

tengo concavidad y eso es de hecho:

I have one there.

2 ahí, tengo 1 ahí,

Here we have three,

aquí tenemos 3,

and here we have one. So if you notice the negatives: one, two, three, four, five, six, seven;

y aquí tenemos 1. Si prestás atención, los negativos (cuenta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

the positives are only four. And so as I keep on going, the amount of negative, relative to positive,

Los positivos son 4 Y así, mientras sigo, la cantidad de negativos relativos a los positivos va a ir creciendo y creciendo,

is going to grow and grow. And at some point it's going to overwhelm things.

y en cierto punto va a sobrepasar las cosas.

This is a tile we're gonna have to stop at some point and

Este es un mosaico en el que va a haber que detenerse en cierto punto y

the time where we stop, the number of rings we can do,

el tiempo en el que nos detenemos el número de anillos que podemos formar

is something called the Heesch number. (Brady: So what's the Heesch number for that shape?)

es algo que se llama el Número de Haesch. (otra voz:) -Y cuál es el Número de Haesch

So the Heesch number for this shape is, is 3. And here is something where we can show those rings.

para esa forma? - (retoma explicación) -El Número de Haesch para esta forma es 3 y aquí hay algo para mostrar esos anillos.

And so no matter how hard you try you can't go further than that with this particular tile.

Así que no importa que tan duro intentes, no podés ir más allá de eso

We can ask, well, what other numbers can be Heesch numbers? What about a circle?

con este mosaico en particular. Podríamos preguntarnos que otros números podrían ser Números de Haesch.

What's the Heesch number of a circle?

Qué pasa con un círculo? Cuál es su número de Haesch?

(Brady: So when you surround it, it has to also be touched at every edge? Right.) - Yep, you really need to surround it.

(otra voz:) -Entonces cuando lo rodeas, tiene que estar tocando cada borde? (retoma explicación:) -Sí, tienes que rodearlo.

So the circle, I've just written its Heesch number. It's zero.

Así que el círculo ya ha escrito su Número de Haesch.

Another simple example

Es cero. (otra voz:)-Ok Es cero. (otra voz:)-Ok

is

(retoma explicación:) -Otro ejemplo sencillo es el cuadrado

the square. - (Brady: You could do that forever)

(retoma explicación:) -Otro ejemplo sencillo es el cuadrado

(otra voz:)-Puedes hacer eso por siempre. (retoma expliacación:) -Sip

So the Heesch numbers's infinity. This shape here lies somewhere between

Por eso el Número de Haesch es infinito. Pero esta pieza de aquí está en algún lugar entre un círculo,

the circle, with zero, and the square with infinity. And obviously complete rings,

con cero, y un cuadrado, con infinito. Y obviamente, los anillos completos deben ser números enteros.

they have to be whole numbers. There's a fairly old

Este ejemplo bastante viejo que

example which looks like this. And this is an early example and it has Heesch number 1.

se ve así... y este es un ejemplo temprano y tiene 1 como número de Haesch.

So that means I can cover the boundary of this tile completely with copies of

Eso significa que puedo cubrir los bordes de este mosaico completamente con copias

this tile once, but then I can't go any further. We can have examples where you can do two rings,

de este mosaico una sóla vez. Pero después no puedo ir más lejos. Podemos tener ejemplos en los que podés hacer 2 anillos...

three rings like the example we started with, and four rings.

3 anillos como el ejemplo con el que empezamos y 4 anillos

You can even get up to doing five whole rings and

Puedes incluso tener hasta 5 anillos enteros y

you can see this shape does it. And you're seeing how this could be quite a complex operation here.

podés ver que esta forma lo hace. Y podés ver como esto puede ser una operación bastante compleja

This is not the natural way, necessarily you might feel. The obvious way

Esto no es necesariamente la forma natural en la que te puedes sentir, la forma obvia. Puedes meterte en problemas

you can get yourself into trouble in all sorts of places as you put things on. And in fact this tile with Heesch number five, also discovered by Casey Mann, is the world record holder. And just to give you a sense,

y todo tipo de lugares de acuerdo a cómo te pongas las cosas. Y de hecho este mosaico con Número de Haesch 5, también descubierto por Casey Mann, es el que sostiene el récord mundial. Y sólo para que tengan idea,

this is not an old problem because even Heesch number two was only found in 1991.

ésto no es sólo un problema viejo, porque incluso el Número de Haesch 2 fue encontrado en 1991.

The conjecture is all Heesch numbers, all whole numbers, are the Heesch number for some tile.

La conjetura es: "Todos los Números de Haesch, todos los números enteros son el Número de Haesch de algún mosaico"

That's what we believe, yet we only know examples up to five.

Eso es lo que creemos, pero sólo conocemos

(Brady: So if I said 4622)

ejemplos hasta 5. (otra voz:) -Si yo dijera 4622

(there could be a shape out there that will do it and then stop?) - Yeah, we believe that would be the case,

podría haber una forma por ahí que satisficiera y luego parar. (retoma explicación:) -Sip, creemos que ese sería el caso y ésto estaría ligado

this is linked to some other tiling problems. But we sort of had no idea how you'd even start to prove that or find examples.

a otro problemas de mosaicos; pero no tenemos idea de cómo ni siquiera empezar a probar esto o encontrar ejemplos. (otra voz:) -Cómo un problema

(Brady: How does a problem like this progress? This isn't like the Riemann hypothesis, is it, where everyone wants to solve it?)

como éste progresa? Es ésta otra Hipótesis de Riemann donde todo el mundo quiere resolverla? (retoma explicación:) -Hmmmm, sí.

This is a problem which now has a little bit of a knowledge about it,

Este es un problema que ahora tiene un poco de

so if you were to make significant progress on it then

conocimiento al respecto, entonces si estuvieras por hacer un progreso significativo sobre éste, entonces

people would look up and take note. Although significant progress is probably something a bit more than saying

la gente se fijaría y tomaría nota. Aunque progreso significativo probablemente

oh, I've just found a tile with Heesch number six.

es algo más que decir: "Ah, acabo de encontrar un mosaico con Número de Haesch 6"

And so both of the two examples from, from Casey Mann - this example with Heesch number three and the one with Heesch number five,

Por lo que ambos ejemplos de Casey Mann, este ejemplo con Número de Haesch 3 y el otro con Número de Haesch 5,

they are both part of a sort of more general study that he did

ambos son parte de un estudio más general que él hizo

looking at what you could do with polyhexes where you stick together

fijándose qué es lo que podrías hacer con polihexes, donde unís hexágonos

hexagons and then make some markings on the side. It might be that you could get some rich structure from that,

y luego hacés alguna marca en un costado. Puede que obtengas alguna estructura rica de eso, luego

you know, you could then get a result where you say, I can do every even number up to 50, and then that might be

podrías conseguir un resultado del que digas: "Puedo hacer cada número par hasta 50" Y luego, podría ser,

might be a more interesting result.

podría ser un resultado más interesante.

The other thing it's related to is a problem called the Einstein problem. Ein-stein as in one tile.

La otra cosa está relacionada con algo que se llama el Problema de Einstein Einstein como "un mosaico", y

And that asks if there is a single tile,

se pregunta si existe un único mosaico ("ein Stein"

Ein stein in German, so it's a bad pun, which will tile the plane, but not periodically.

en alemán, así que es un juego de palabras malo) que "mosaiquee" el plano, pero no periódicamente.

(Brady: So all the infinite tilings we know so far are periodic?)

(otra voz:) -Entonces todos los mosaicos infinitos que conocemos hasta ahora son periódicos?

No, we have things like the Penrose tiling. But that has two different shapes.

(retoma explicación:) -No, tenemos cosas como el mosaico de Penrose,

So you take your shape, you put it together in all possible ways, and you can cover the whole plane.

pero eso tiene dos figuras diferentes. Entonces vos tomás tu forma y las ponés juntas en todas las formas posibles y podés cubrir todo el plano.

But then none of them which are like the squares,

Pero ninguno de éstos es parecido al de los cuadrados,

the tiling of squares, which I can just pick up, shift and put down, and it's the same everywhere when I do that.

el mosaico de los cuadrados en que podés simplemente: tomar, cambiar y colocar de nuevo, y es igual en todas partes cuando hago esto.

So the - with the Einstein problem, you would find a single tile

Entonces con el problema de Einstein encontrarás un único mosaico

that can create tilings of the plane, but not periodically. You're asking for tilings that will only produce non-periodic tiling.

que puede crear mosaicos del plano, pero no periódicamente. Estás pidiendo por mosaicos que sólo produzcan

There is a slight cheat with the Einstein problem. Joan Taylor in Tasmania did her math degree and then raised a family,

mosaicos no periódicos. Hay una pequeña trampa en el Problema de Einstein; Joan Taylor de Tasmania, hizo sus estudios en Matemática

but always had an interest in mathematics, and spent in particular this problem.

y luego crió una familia, pero siempre tuvo intereses en la Matemáticas, y en particular en este problema,

And so about ten years ago now, she found a single tile that has this property.

así que hace casi 10 años atrás, ella encontró un único mosaico que tiene esta propiedad.

The only problem is that it's not a connected tile. I can draw some path we might set - you know,

El único problema es que no es un mosaico conectado. Puedo dibujar cierto camino...

this is a connected object. I can, if I'm somewhere on this island I can get anywhere else.

podríamos decir que éste es un objeto conectado; si estoy en algún lugar de esta isla, puedo llegar a cualquier otro lado.

But imagine if I say, "well my island is

Pero imaginen que digo: "Bueno,

officially going to be this piece and this piece."

mi isla oficialmente va a ser esta pieza

Now I can only move them around together. I can't move them freely. They stay in the same places

y esta pieza, entonces sólo puedo moverlas juntas, no las puedo mover libremente. Permanecen en los mismo lugares

so that's a single shape, but with two pieces.

Es una única forma con

And so she found a particular shape that has this property,

2 piezas Entonces ella encontró una forma en particular que tiene

you can see it there, and this will only tile non periodically.

esta propiedad. Lo podés ver acá. Y este "mosaiqueará"

But yeah, it's a slight cheat. It's, it's a really nice result because this was a problem that was like fifty or sixty years old.

no periódicamente, pero, es una pequeña trampa Es un muy buen resultado porque éste era un problema que tenía como 50 ó 60 años, como suele haber seguido en Matemáticas,

I think often in mathematics when you can't solve a problem for long enough,

donde no podés resolver un problema por bastante tiempo,

even a solution that's a little bit of a cheat can be a useful information.

incluso una solución que es un poco como una trampa, puede ser información útil

And it's a very valid cheat, if that makes sense,

Y es una trampa muy válida,

because you do have one shape that you can move around together. It's just the way it's defined

si eso tiene sentido, porque vos si tenés una sóla forma que podés mover juntas,

I couldn't laser cut it, which is why I'm not so keen.

es sólo la forma en que está definida. No la pude cortar con láser, esa es la razón por la que no lo estoy absorbiendo.

Dead mountain is a gripping account of the so called Dyatlov Pass Incident.

This is a true story from 1959 when nine young hikers, who were pretty experienced,

mysteriously died in the Ural Mountains

here in the Soviet Union. Now I don't want to give too much away,

but it's one of the great mysteries and it's still a very famous tale in Russia.

And it's the most recent book I've listened to on Audible. I really recommend it.

It's fascinating, well told and it's read by the author Donnie Eichar in a kind of dry but really engrossing way.

Audible are the sponsor of today's video, and they've got an unmatched range of books.

I personally really like mountaineering ones,

but there's always something you'll find to your taste.

Joining Audible means every month you get one credit, and you can use it on an audiobook,

plus two Audible originals from a changing selection of shows that you can't get anywhere else.

And if you ever download a book that, say you don't like,

you can exchange it. No charge. No questions asked.

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audible.com/numberphile or that SMS, the word numberphile, to 500 500. And my recommendation to get you started-

this one here. Dead Mountain. Really top story, really great audiobook.

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