Reverse chain rule example Khan Academy Thai English

Reverse chain rule exampleYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 151.8K views 143 likes 26 dislikes 24 Oct 2014 Show Contributors 1

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

Thai Tee Ponsukcharoen

Click to Play Video

ลองดูกันว่าเราหาค่าอินทิกรัล

- [Voiceover] Let's see if we can evaluate the indefinite

ไม่จำกัดเขตของ x ส่วน 2 ไซน์ของ

integral x over two times sine of

2x กำลังสองบวก 2 dx ได้ไหม

two x squared plus two, dx.

ลองหยุดวิดีโอแล้ว

And try to pause the video and

ดูว่าคุณทำเองได้หรือเปล่า

see if you can work through it on your own.

ลองดูสิ่งที่เกิดขึ้นตรงนี้

So, let's see what is going on here.

ผมมี x ส่วน 2 นี่ แล้วผมมี

So, I have this x over two, and then I have

ไซน์ของ 2x กำลังสองบวก 2

sine of two x squared plus two.

ทีนี้ ถ้าเราหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ

Now, if I were just taking the indefinite integral of

ไซน์ของ x อันนี้ก็ตรงไปตรงมา

sine of x, that is pretty straightforward.

อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของไซน์ของ x

The indefinite integral of sine of x.

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของโคไซน์ของ x

Well, we know that the derivative of cosine of x

เท่ากับลบไซน์ของ x

is equal to negative sine of x.

ถ้าเราหาอนุพันธ์ของลบโคไซน์ของ x

So if I were to take the derivative of negative cosine of x,

มันจะเท่ากับบวกไซน์ของ x

that's going to be positive sine of x.

มันจะเท่ากับลบโคไซน์ของ x

So this is just going to be negative cosine of x.

และผมทำให้มันชัดขึ้นได้

And I could have made that even clearer.

ผมใส่ลบตรงนี้ แล้วก็ลบตรงนี้ได้

I could have put a negative here and then a negative here.

แล้วคุณก็เห็นได้ว่า ปฏิยานุพันธ์

And you see, well look, the anti-derivative of

ของลบไซน์ของ x ก็คือโคไซน์ของ x แล้วผมมี

negative sine of x is just cosine of x, and then I have

ลบข้างนอกนี่ตรงนี้ ลบโคไซน์ของ x

this negative out here, negative cosine of x.

แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ผมมีตรงนี้

But that's not what I have here.

ผมไม่มีไซน์ของ x

I don't have sine of x.

ผมมีไซน์ของ 2x กำลังสองบวก 2

I have sine of two x squared plus two.

แต่ผมมีอีกตัวที่มี x ตรงนี้

But then I have this other thing with an x here,

แล้วสิ่งที่สมองผมทำ

and so what your brain might be doing, or it's good

เมื่อคุณฝึกมาพอ สมองคุณ

once you get enough practice when your brain

ก็เริ่มทำแบบว่า โอเค อันนี้น่าสนใจ

will start doing this, say okay, this is interesting.

อันนี้ดูเหมือนอนุพันธ์ของตัวนี้

This kind of looks like the derivative of this.

และอันนี้ ถ้าเราเรียกอันนี้ --

And this is, if we were to call this...

ผมเบื่อสีส้มแล้ว

I'm tired of that orange.

ถ้าเราเรียก

If we were to call a...

ทำไมผมทำอย่างนี้นะ เปลี่ยนสี --

Why am I doing this, color changing this...

ถ้าเราเรียกอันนี้ว่า f ของ x

If we were to call this f of x.

ถ้า 2x กำลังสองบวก 2 คือ f ของ x

If two x squared plus two is f of x,

2x กำลังสองบวก 2 คือ f ของ x

Two x squared plus two is f of x.

f ไพรม์ของ x จะเป็นอะไร?

What is f prime of x?

f ไพรม์ของ x, f ไพรม์ของ x

Well, then f prime of x, f prime of x

จะเท่ากับ 4x

is going to be four x.

และอันนี้ตรงนี้ไม่ใช่ 4x พอดี

And this thing right over here isn't exactly four x,

แต่เราทำให้มันเป็นได้ เราจัดเรียงเล็กน้อย

but we can make it, we can do a little rearranging,

คูณและหารด้วยค่าคงที่

multiplying and dividing by a constant,

ให้มันกลายเป็น 4x

so this becomes four x.

ถ้าเกิด ถ้าเกิดเรา --

What if, what if we were to...

ถ้าเกิดเราคูณและหารด้วย 4

What if we were to multiply and divide by four,

เราคูณด้วย 4 ตรงนี้แล้วเราหารด้วย 4

so we multiply by four there and then we divide by four,

แล้วเราเอามันออกมาจากเครื่องหมายอินทิกรัล

and then we take it out of the integral sign.

ยิ่งกว่านั้น ลองเอา 2 นี่ออกมา ลองทำดู

And even better let's take this two out so let's just take.

ลองเอา 1/2 ออกมาตรงนี้

So, let's take the one half out of here,

อันนี้จะเท่ากับ 1/2

so this is going to be one half.

แล้วผมก็เขียนอินทิกรัลเดิมใหม่ได้เป็น

And so I could have rewritten the original integral as

1/2 คูณ 1/4 มันก็คือ 1/8

one half times one fourth, so it's one eighth

คูณอินทิกรัล คูณอินทิกรัล

times the integral, times the integral

คูณไซน์

ของ 2x กำลังสองบวก 2, dx

of two x squared plus two, dx.

ทีนี้ อันนี้น่าสนใจ

Well, now this is interesting,

เพราะถ้านี่คือ f ของ x ถ้า --

because if this is f of x, if...

ถ้าตัวนี่ตรงนี้ ถ้า f ของ x

If this business right over here if f of x,

เราก็แค่หาไซน์ของ f ของ x

so we're essentially taking sine of f of x,

ตัวนี่ตรงนี้ก็คือ

then this business right over here is

f ไพรม์ของ x ซึ่งเป็นสัญญาณที่ดี ที่บอกเราว่า เฮ้

f prime of x, which is a good signal to us that, hey,

กฎลูกโซ่ย้อนกลับใช้ได้นะ

the reverse chain rule is applicable over here.

เราเขียนอันนี้ใหม่ได้ เราเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น

We can rewrite this, we can also rewrite this as,

อันนี้จะเท่ากับ 1

this is going to be equal to one.

เราเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น เหมือนกับ 1/8 --

We can rewrite this as, the same things as one eighth...

พวกมันเป็นสีเดียวกัน

They're the same colors.

ผมจะใช้โปรแกรม Art อันใหม่แล้ว บางครั้งการเปลี่ยนสี

I'm using a new art program, and sometimes the color

ก็ไม่ชัดเจนเท่าที่ควร

changing isn't as obvious as it should be.

1/8 คูณอินทิกรัลของ f ไพรม์ของ x

So one eighth times the integral of f prime of x,

f ไพรม์ของ x

คูณไซน์

ไซน์ของ f ของ x

sine of f of x,

ไซน์ของ f ของ x, dx

sine of f of x, dx,

โยน f ของ x ลงไปในนั้น

throw that f of x in there.

ไซน์ของ f ของ x

So, sine of f of x.

แล้วเมื่อคุณมองมันแบบนี้ คุณก็บอกว่า เฮ้

And so when you view it this way, you say, hey,

จากกฎลูกโซ่ย้อนกลับ ฉันมี --

by the reverse chain rule, I have...

ฉันมีฟังก์ชัน และฉันมีอนุพันธ์ของมันตรงนี้ ฉันก็

I have a function, and I have its derivative here, so I can

หาปฏิยานุพันธ์เทียบกับตัวนี้ได้

really just take the antiderivative with respect to this.

นี่ก็คือสิ่งที่เราทำในการแทนที่ u

This is essentially what we're doing in u-substitution.

คุณทำการแทนที่ u ตรงนี้ก็ได้ คุณให้ u

You could do u-substitution here, you could set u

เท่ากับตัวนี้ได้ แล้ว du จะเท่ากับ 4x dx

equalling this, and then du is going to be four x dx.

แต่ตอนนี้ เราจะฝึก เริ่มฝึก

But now we're getting a little practice, starting to do a

คิดในใจกันหน่อย

little bit more in our heads.

แล้วช่วงนี้ อินทิเกรตออกมาเป็นอะไร?

So, what would this interval integrate out to be?

อันนี้จะเท่ากับ 1/8 คูณ --

Well, this would be one eighth times...

ถ้าคุณหาปฏิยานุพันธ์ของไซน์ของ f ของ x

Well, if you take the antiderivative of sine of f of x

เทียบกับ f ของ x เราเห็นไปแล้วว่า

with respect to f of x, well, we already saw that

มันคือลบไซน์ของ x อันนี้จึง

that's negative cosine of x, so this is going to be

เป็นคูณลบโคไซน์

times negative cosine,

ลบโคไซน์ของ f ของ x

negative cosine of f of x.

ลบโคไซน์ของ f ของ x

Negative cosine of f of x,

ลบโคไซน์ของ f ของ x

negative cosine of f of x.

โอ๊ะ ผมใช้สีฟ้าตรงนี้

Woops, I was going for the blue there.

แล้วแน่นอน คุณมีบวก c

And then of course you have your plus c.

แล้วอันนี้จะเป็นเท่าใด?

So what is this going to be?

แทนที่จะบอกว่า f ไพรม์ --

Well, instead of just saying f pri..

แทนที่จะบอกว่า ในรูปของ f ของ x เราอยากบอกว่ามัน

Instead of saying in terms of f of x, we just say it

อยู่ในรูปของ 2x กำลังสอง

in terms of two x squared.

อันนี้จะเท่ากับ --

This is going to be...

หรือ 2x กำลังสองบวก 2 จะเป็น 1/8

Or two x squared plus two is going to be one eighth.

คูณ ผมมีฟังก์ชันและผมมีอนุพันธ์ของมัน

Times, I have a function and I have its derivative,

ผมก็อินทิเกรตเทียบกับ

so I can really just integrate with respect

ฟังก์ชันนั้นได้ มันจึงเท่ากับคูณ

to that function, so it's going to be times

ลบ ลบ โคไซน์

negative negative cosine

ของ 2x กำลังสองบวก 2

of two x squared plus two,

2x กำลังสองบวก 2

two x squared plus two,

แล้ว แน่นอน ผมมี --

and then, of course, I have my...

ผมเปลี่ยนสีอยู่เรื่อย

I keep switching to that color.

ผมมีบวก c และแน่นอน ผมเอาลบออกมาได้

I have my plus c, and of course, I could just take the

มันจะเป็นลบ 1/8 โคไซน์

negative out, it would be negative one eighth cosine

ของตัวนี้แล้วบวก c

of this business and then plus c.

เราก็เสร็จแล้ว

And we're done.

แล้วแค่ใช้กฎลูกโซ่ย้อนกลับ

We have just employed the reverse chain rule.

เราใช้การแทนที่ก็ได้ แต่หวังว่า

We could have used substitution, but hopefully

คุณคงได้ฝึกฝนแล้วตรงนี้

we're getting a little bit of practice here.

เฮ้ ฉันเห็นอะไรบางอย่างตรงนี้ และฉันเห็น

Hey, I'm seeing something here, and I'm seeing

อนุพันธ์ของมัน งั้นขอฉันอินทิเกรตเทียบ

it's derivative, so let me just integrate with respect

กับอันนี้ ซึ่งก็คือสิ่งที่คุณจะให้

to this thing, which is really what you would set

เป็น u อินทิเกรตเทียบกับ u

u to be equal to here, integrating with respect to the u,

แล้วคุณได้ du ตรงนี้

and you have your du here.

นี่คูณ นี่คือ du คุณก็บอกว่า

This times this is du, so you're, like,

อินทิเกรต ไซน์ของ u, du

integrating sine of u, du.

ผมแนะนำให้คุณลองใช้การแทนที่ u ตรงนี้

I encourage you to try to use u-substitution here,

แล้วคุณจะเห็นว่ามันเหมือนกับสิ่งที่เราเพิ่งทำไป

and you'll see it's the exact same thing that we just did.

Similar videos:

Trig identities for trig integral
Khan Academy
136.4K views 255 likes 15 dislikes 24 Oct 201440% match

Reverse chain rule introduction
Khan Academy
188.3K views 300 likes 41 dislikes 24 Oct 201437% match

Using trig identity to use u substitution
Khan Academy
127.9K views 86 likes 0 dislikes 23 Oct 201436% match

Logarithmic functions differentiation | Advanced derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
72K views 66 likes 0 dislikes 25 Jul 201636% match

Integral of tan x
Khan Academy
138.6K views 321 likes 10 dislikes 24 Oct 201435% match

Doing u-substitution twice (second time with w)
Khan Academy
159K views 275 likes 7 dislikes 28 Dec 201234% match

Dividing expressions to evaluate integral | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
132.4K views 51 likes 2 dislikes 18 Aug 201433% match

Integration by parts: Âº___cos(x)dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
393.1K views 567 likes 21 dislikes 28 Jan 201333% match

_-substitution: definite integral of exponential function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
190.7K views 154 likes 12 dislikes 30 Apr 201432% match

Trig functions differentiation | Derivative rules | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
71.3K views 86 likes 6 dislikes 25 Jul 201632% match

Worked example: Area enclosed by cardioid | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
99.7K views 122 likes 5 dislikes 18 Aug 201432% match

Definite integrals of sin(mx) and cos(mx)
Khan Academy
145.8K views 321 likes 17 dislikes 04 Aug 201631% match

Derivatives of inverse functions: from table | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
69.1K views 46 likes 0 dislikes 25 Jul 201631% match

Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200831% match

Exponential functions differentiation | Advanced derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
77.9K views 50 likes 2 dislikes 25 Jul 201631% match

Worked example: Derivative of ÃÂ(3x_-x) using the chain rule | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
443.8K views 196 likes 10 dislikes 28 Jan 201331% match

Worked example: Derivatives of sin(x) and cos(x) | Derivative rules | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
66.6K views 34 likes 0 dislikes 20 Jul 201631% match

Integration by parts: Âºln(x)dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
727.9K views 800 likes 52 dislikes 13 Feb 201331% match

Integration by parts: Âºx____dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
445.3K views 320 likes 7 dislikes 28 Jan 201331% match

Trig and U substitution together (part 1)
Khan Academy
184.2K views 126 likes 9 dislikes 11 Feb 201331% match

_-substitution: multiplying by a constant | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
502.3K views 580 likes 9 dislikes 28 Dec 201231% match

Integral of odd powered trig function with u substitution
Khan Academy
90K views 70 likes 3 dislikes 24 Oct 201431% match

Calculating average value of function over interval | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
256.1K views 416 likes 19 dislikes 16 Jul 201430% match

Derivative of sin(ln(x_)) | Advanced derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
165.8K views 88 likes 3 dislikes 28 Jan 201330% match

Partial fraction expansion to evaluate integral | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
521.1K views 1.4K likes 61 dislikes 18 Aug 201430% match

Arc length intro | Applications of definite integrals | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
162.8K views 326 likes 4 dislikes 11 Aug 201430% match

Finding specific antiderivatives: rational function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
87.7K views 40 likes 1 dislikes 28 Jul 201630% match

Antiderivative of hairier expression
Khan Academy
407.8K views 222 likes 6 dislikes 25 Jan 201330% match

Derivative of inverse tangent | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
157.8K views 239 likes 13 dislikes 01 May 201430% match

Another u-subsitution example
Khan Academy
248K views 458 likes 14 dislikes 08 Feb 200930% match

Settings Privacy About Contact Donate