Klein Bottles - Numberphile Numberphile English Greek

Klein Bottles - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 2.5M views 69.5K likes 1.9K dislikes 22 Jun 2015 Show Contributors 3

Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗

Contributed subtitles

English TheMerrine

Turkish Eren İnan

Greek Paradoxa Geometrias

Math ain't about numbers.

Αντικείμενο των μαθηματικών δεν είναι οι αριθμοί.

If you think math is about numbers, you probably think that Shakespeare is all about words.

Αν νομίζεις ότι τα μαθηματικά πραγματεύονται μόνο αριθμούς, μάλλον θα πιστεύεις ότι τα έργα του Σαίξπηρ δεν είναι τίποτα παραπάνω από λέξεις.

You probably think that dancing is all about shoes.

Μάλλον θα πιστεύεις ότι ο χορός έχει να κάνει μόνο με παπούτσια.

You probably think that music is all about notes.

Μάλλον θα πιστεύεις ότι η μουσική έχει να κάνει μόνο με νότες.

Math ain't about numbers.

Τα μαθηματικά δεν έχουν να κάνουν μόνο με αριθμούς.

Math is about logic, it's about beauty, it's about connections, it's about

Τα μαθηματικά πραγματεύονται τη λογική, την αισθητική, τους συσχετισμούς,

how you get from one place to another.

πραγματεύονται το πώς μεταβαίνεις από το ένα μέρος στο άλλο.

And for me,

Και για εμένα,

the cool thing about math is a part of it, called topology.

το ωραίο με τα μαθηματικά είναι ένας κλάδος τους, ονόματι τοπολογία.

I'm not even gonna tell you about topology because what I'm interested in

Δεν πρόκειται καν να σας μιλήσω για την τοπολογία, επειδή αυτό που με ενδιαφέρει

is a little section of topology called Non-Orientable Manifolds.

είναι ένας τομέας της τοπολογίας που λέγεται Μη-Προσανατολίσιμες Πολλαπλότητες.

More specifically, I'm interrested in Klein Bottles.

Πιο συγκεκριμένα, με ενδιαφέρουν τα Δοχεία του Klein.

This is a Klein Bottle.

Αυτό είναι ένα Δοχείο του Klein.

Wait a second. Wait a second.

Για μια στιγμή. Μια στιγμή.

We haven't even touched upon a Möbius Loop.

Δεν έχουμε καν μιλήσει για τη Λωρίδα του Möbius.

How can I talk about a Klein Bottle without talking about a Möbius Loop?

Πώς θα μπορούσα να μιλήσω για ένα Δοχείο του Klein χωρίς να έχω μιλήσει για μία Λωρίδα του Möbius;

I take a piece of paper

Παίρνουμε ένα χαρτί.

As everybody knows, if I have this piece of paper, it has two sides, four edges.

Όπως όλοι ξέρουν, ένα χαρτί έχει δύο πλευρές, και τέσσερις άκρες.

Turn around this way it becomes a cylinder, give it a half-twist, and a piece of tape.

Έτσι μετατρέπεται σε κύλινδρο, όμως του δίνουμε μία στροφή, και λίγη κολλητική ταινία...

Becomes a Möbius Loop.

...και μετατρέπεται σε Λωρίδα του Möbius.

Well, the cool thing about a Möbius Loop (then there is about fifty or sixty cool things about Möbius Loops)

Το ωραίο με τη Λωρίδα του Möbius, υπάρχουν 50-60 ωραία πράγματα σχετικά με τις Λωρίδες του Möbius,

is that, it's got one side, it's got one edge.

είναι ότι, έχει μία πλευρά, και μία άκρη.

Take two Möbius Loops, one left-handed one, the other right-handed one, and I try to connect them.

Παίρνουμε δύο Λωρίδες του Möbius, μία με αριστερή στροφή, και μία με δεξιά στροφή, και τις ενώνουμε.

Hey! This one has one edge, this one has one edge.

Εεε! Η μία έχει μία άκρη, και η άλλη έχει μία άκρη.

What happens if I take two Möbius Loops and sew their edges together?

Τι θα συμβεί αν πάρουμε δύο Λωρίδες του Möbius και ενώσουμε τις άκρες τους;

Well, I know from experience,

Λοιπόν, βασιζόμενοι στη εμπειρία γνωρίζουμε

that if I have four edges here and four edges here and I connect them.

ότι αν έχουμε τέσσερις άκρες εδώ και τέσσερις άκρες εκεί και τις ενώσουμε...

Oh! I'll get something that has fewer edges.

Ω! Θα προκύψει κάτι με λιγότερες άκρες.

So if I apply that to a Möbius Loop. I got one edge here, one edge here, sew them together.

Οπότε αν εφαρμόσουμε αυτό σε μία Λωρίδα του Möbius... Έχουμε μία άκρη εδώ, και μία άκρη εκεί, και τις ενώνουμε...

I should get something that has... oh.

Θα προκύψει κάτι με... χμ.

I'd lose this edge, I'd lose that edge. I ought to have something with no edges.

Θα χάσουμε τη μία άκρη, θα χάσουμε και την άλλη άκρη. Θα έπρεπε να προκύψει κάτι με μηδέν άκρες.

Cool.

Ωραία.

If I take two Möbius Loops, hook them together. I'll get something without any edges.

Αν πάρουμε δύο Λωρίδες του Möbius, και τις ενώσουμε, θα προκύψει κάτι δίχως καμία άκρη.

Okay, I'm gonna try it.

Ωραία, θα το δοκιμάσουμε.

HOT DAMN

far out

Here is a Möbius Loop, here is another Möbius Loop.

Εδώ έχουμε μία Λωρίδα του Möbius, και εδώ άλλη μία Λωρίδα του Möbius.

The cool thing is that if I take two Möbius Loops and try to sew them together.

Το ωραίο είναι ότι αν πάρουμε δύο Λωρίδες του Möbius και τις ενώσουμε,

I end up with a shape that requires four spacial dimensions to exist.

θα καταλήξουμε με ένα σχήμα που απαιτεί τέσσερις χωρικές διαστάσεις για να υπάρξει.

In that shape it's called a Klein Bottle

Και αυτό το σχήμα ονομάζεται Δοχείο του Klein.

Named after Felix Klein! Felix Klein! This guy in 1882 came up with the absolutely nifty idea,

Πήρε το όνομα του Felix Klein! Του Felix Klein! Αυτός ο τύπος σκέφτηκε το 1882 την καταπληκτική ιδέα,

that if you can take a cylinder, turn it around, and orient one end of it, and loop it through.

ότι αν πάρεις έναν κύλινδρο, τον γυρίσεις, και κατευθύνεις τη μία του κατάληξη μέσα του...

So, his idea was: take a cylinder, bring it through itself, and have the end of the cylinder welded to a base.

Η ιδέα του ήταν ότι να πάρεις ένα κύλινδρο, να τον περάσεις από μέσα από τον εαυτό του, και να έχεις την κατάληξη του κυλίνδρου ενωμένη με τη βάση του.

That this would have the cool property of having only one side. What do I mean by one side?

Ότι αυτό θα είχε την φοβερή ιδιότητα του να έχει μόνο μία πλευρά. Τι εννοώ λέγοντας μία πλευρά;

If I have an ant crawling around here. [The] ant or caterpillar crawls around.

Αν ένα μυρμήγκι προχωρούσε εδώ μέσα... έστω ότι ένα μυρμήγκι ή μία κάμπια προχωράει εδώ.

Oh, clearly it can cover this whole thing.

Είναι ξεκάθαρο ότι μπορεί να καλύψει ολόκληρο το πράγμα.

It can then slide continuously, over there, through this tube, and get to the other side of this piece of glass.

Μπορεί λοιπόν να προχωρήσει συνεχόμενα, από εδώ, μέσα από το σωλήνα, και να βρεθεί στην άλλη μεριά του γυαλιού.

We never cross an edge to get to the inside. Absolutely nifty.

Δεν υπάρχει καμία άκρη στο σχήμα αυτό. Καταπληκτικό.

In an ordinary... Let me get an ordinary bottle.

Σε ένα φυσιολογικό... μισό λεπτό να πάρω ένα φυσιολογικό δοχείο.

if I leave the cap on the bottle, clearly it has two sides.

Αν αφήσουμε το καπάκι στο δοχείο, είναι ξεκάθαρο ότι έχει δύο πλευρές.

Here's an outside...

Να η εξωτερική...

and the inside of the bottle is where I'm touching right now.

...και η εσωτερική πλευρά του δοχείου.

An ant walking around here couldn't get to the other side.

Αν ένα μυρμήγκι περπατούσε εδώ πάνω δεν θα μπορούσε να βρεθεί στην άλλη πλευρά.

If I take the top off, watch this.

Αν αφαιρέσουμε το καπάκι, δώστε προσοχή.

An ant walking along here can get to the other side, but he has to cross

Αν ένα μυρμήγκι περπατούσε εδώ πάνω θα μπορούσε να βρεθεί στην άλλη πλευρά,

a peculiar location called an edge.

αλλά θα έπρεπε να διασχίσει ένα παράξενο μέρος που ονομάζεται άκρη.

If I make this bottle arbitrarily thin,

Αν κάνουμε αυτό το δοχείο να είναι απροσδιόριστα λεπτό,

this edge becomes sharp,

η άκρη αυτή θα είναι κοφτερή,

and the ant cuts— cuts herself when she tries to walk from the outside to the inside.

και το μυρμήγκι κόβεται όταν προσπαθήσει να μεταβεί από το εξωτερικό στο εσωτερικό του δοχείου.

In other words, an ordinary bottle

Με άλλα λόγια, ένα δοχείο

has two sides: an outside that I'm touching,

έχει δύο πλευρές. Μία εξωτερική,

and an inside that my finger is touching right now.

και μία εσωτερική.

And they're separated by the lip of the bottle.

Και οι δύο αυτές πλευρές χωρίζονται από το χείλος του δοχείου.

And, okay, we all know this.

Και, ναι, όλοι το ξέραμε αυτό.

A Klein Bottle, meanwhile... watch this.

Ένα Δοχείο Klein όμως... δώστε προσοχή.

You'd walk around here just like [you'd] walk around here,

Θα περπατούσες εδώ πάνω, όπως θα περπατούσες και εδώ πάνω

but the other side of my finger

αλλά στην άλλη μεριά του δαχτύλου μου

I can get to without ever crossing a sharp edge,

μπορώ να πάω χωρίς να διασχίσω ποτέ κάποια κοφτερή άκρη,

by carefully walking along, never crossing an edge,

προχωρώντας προσεκτικά, χωρίς να διασχίσω κάποια άκρη,

going through this tube,

μέσα από το σωλήνα,

and getting to the place that's just on the other side of my finger,

και καταλήγοντας στο μέρος που είναι ακριβώς από την άλλη μεριά του δαχτύλου μου.

without ever crossing an edge.

χωρίς να συναντήσω ποτέ κάποια άκρη.

In other words: this is a bottle without an edge.

Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα δοχείο χωρίς καθόλου άκρες.

BRADY: Cliff, I'm comfortable with that, except you just told me that this wasn't possible in three dimensions.

[Brady Haran] Εντάξει, όμως μόλις είπες ότι αυτό δεν είναι δυνατό να υπάρξει σε τρεις διαστάσεις.

CLIFF: If we lived... Aw! If we lived in a universe with four spacial dimensions, four-space,

[Cliff Stoll] Αν ζούσαμε... Ω! Αν ζούσαμε σε ένα σύμπαν με τέσσερις χωρικές διαστάσεις,

this tube wouldn't have to intersect itself

ο σωλήνας αυτός δεν θα χρειαζόταν να διασχίσει τον εαυτό του.

This weird place where there is self intersection, right... *hard k* ...there.

Αυτό το περίεργο μέρος όπου ο σωλήνας διασχίζει τον εαυτό του, εδώ.

That would not self-intersect, and an ant walking along this way would go:

Δεν θα διέσχιζε ο σωλήνας τον εαυτό του, και ένα μυρμήγκι που περπατούσε από εδώ, θα πήγαινε

*boop* *boop* *boop* *boop* *boop* *boop* *voop* *voop* *voop* *voop* *voop* *voop* *voop*

εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί, εκεί

and would go right through this piece of glass right here and keep walking to the inside

και θα πήγαινε μέσα από το γυαλί εδώ και θα περπατούσε προς το εσωτερικό.

And an ant walking around this way:

Και ένα μυρμήγκι που περπατάει από εδώ,

*dg* *dg* *dg* *dg* *dg* *dg* *dg* *dg* *hard K*

εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ...

would go right through this and keep walking this way.

...θα προχωρούσε μέσα από εδώ και θα συνέχιζε προς αυτή την κατεύθυνση.

BRADY: Cliff! So that hole you've created there so the tube can get through is like the floor?

[Brady Haran] Οπότε η τρύπα που δημιούργησες εδώ ώστε να μπορεί ο σωλήνας να περάσει είναι σαν το δάπεδο;

CLIFF: This is worse than the floor. It's this place right here where the manifold... where the glass intersects itself

[Cliff Stoll] Είναι χειρότερα από το δάπεδο. Είναι το μέρος εδώ όπου η πολλαπλότητα... όπου το γυαλί διασχίζει τον εαυτό του.

It's a figment of living in a three dimensional universe

Είναι επειδή ζούμε σε ένα τρισδιάστατο σύμπαν.

If we live in four-space, we could go right through

Αν ζούσαμε σε τετρα-διάστατο σύμπαν, θα μπορούσαμε πάμε κατευθείαν στο εσωτερικό του δοχείου.

On the other hand, that guy Felix Klein showed that in three dimensions you have to have this intersection

Από την άλλη, ο Felix Klein έδειξε ότι στις τρεις διαστάσεις πρέπει να έχεις αυτή τη διασταύρωση του γυαλιού με τον εαυτό του.

In a quality universe that has four spacial dimensions, Klein Bottles would be terrific!

Σε ένα σύμπαν που έχει τέσσερις χωρικές διαστάσεις, τα Δοχεία του Klein θα ήταν φοβερά!

Here, unfortunately, my Klein Bottles has to have this self intersection.

Εδώ, δυστυχώς, τα δικά μου Δοχεία Klein πρέπει να έχουν αυτή τη διασταύρωση με τον εαυτό τους.

When I make Klein Bottle hats... Right? Here's a hat that is the same thing as that glass Klein Bottle.

Όταν φτιάχνουμε σκούφους σαν Δοχεία Klein... Να ένας σκούφος που είναι σαν το γυάλινο Δοχείο του Klein.

Instead of welding it together, I've knitted this hat so that the peak of the hat comes through itself.

Αντί να ενώσω το σκούφο με την κορυφή του, τον έπλεξα έτσι ώστε η κορυφή να περνάει από μέσα του.

So that the hat itself can... the loop of the hat can be pulled through itself

Έτσι ώστε ο ίδιος ο σκούφος να μπορεί... η κορυφή του σκούφου να μπορεί να τραβηχτεί μέσα από το σκούφο,

and turn it inside out. But I'd rather not do this because it takes about five minutes to do

και να βγει προς τα έξω. Θα προτιμούσα όμως να μην το κάνω αυτό, επειδή παίρνει γύρω στα 5 λεπτά να γίνει

and I'm stretching things that shouldn't be stretched

και πειράζω πράγματα τα οποία δεν θα έπρεπε να πειράζω.

but ultimately, I ought to be able to pull this sort of inside out. It's continuously deformable back to itself.

Βασικά, θα έπρεπε να είμαι σε θέση να τραβήξω την κορυφή του σκούφου μέσα από το σκούφο και προς τα έξω. Είναι διαρκώς εφικτή η επαναφορά στην αρχική του μορφή.

BRADY: Cool!

[Brady Haran] Ωραίο!

CLIFF: And, along with a matching Möbius scarf

[Cliff Stoll] Και, σε συνδυασμό με ένα ταιριαστό "Κασκόλ του Möbius".

Ah!

I'd like to say I'm ready for a California winter

Θα ήθελα να πω ότι είμαι έτοιμος για ένα χειμώνα στην Καλιφόρνια.

Look! Look! Look! Look! Look! Look!

Κοίτα! Κοίτα! Κοίτα! Κοίτα! Κοίτα! Κοίτα!

[A] friend of mine, Robert Leng, made a paper origami Klein bottle.

Ένας φίλος μου, ο Robert Leng, έφτιαξε ένα χάρτινο origami Δοχείο του Klein.

I mean, absolutely sweet. One sheet of paper: it's an origami Klein bottle

Είναι πάρα πολύ ωραίο. Ένα φύλλο χαρτί, είναι ένα origami Δοχείο του Klein.

One of the neat things about mathematical topology is that you don't care what size something is.

Ένα από τα ωραία της μαθηματικής τοπολογίας είναι ότι δεν έχει σημασία το μέγεθος ενός αντικειμένου.

I could expand this, contract it. I can make this... I could stretch it and it'll still have the same mathematical properties

Θα μπορούσαμε να το διαστείλω ή να το συστείλω... Και πάλι, θα είχε τις ίδιες μαθηματικές ιδιότητες.

Same number of sides, same number of holes, same number of handles.

Τον ίδιο αριθμό πλευρών, τον ίδιο αριθμό τρυπών, τον ίδιο αριθμό λαβών.

Instead of making a big one, I could make it smaller.

Αντί να φτιάξω ένα μεγάλο, θα μπορούσα να το κάνω μικρότερο.

I could make an even smaller Klein Bottle.

Θα μπορούσα να κάνω ένα ακόμη μικρότερο δοχείο του Klein.

I mean... I can make a Klein Bottle even smaller.

Θα μπορούσα να κάνω ένα Δοχείο του Klein ακόμα μικρότερο!

To a mathematician, these are all the same thing.

Για ένα μαθηματικό, όλα αυτά είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα.

And, of course, I can go in the other direction as well.

Βέβαια, μπορώ να κάνω το αντίθετο.

I can make 'em big!

Μπορώ να τα κάνω μεγάλα!

So, I had to put a thousand Klein Bottles some place, so I put 'em under my house.

Λοιπόν, έπρεπε να βάλω κάπου 1000 Δοχεία του Klein, οπότε τα τοποθέτησα κάτω από το σπίτι μου.

...and the wheels. You know? Their little motors drive the wheels around...

Και οι ρόδες, ξέρετε, οι μηχανές κινούν τις ρόδες εδώ γύρω...

*whirring*