Introduction to trigonometric substitutionYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  292K views 773 likes 12 dislikes   04 Mar 2015
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Thai Tee Ponsukcharoen
Click to Play Video Click to Play Video
สมมุติว่าเราอยากหาค่า
-נניח שאנחנו רוצים להעריך
อินทิกรัลไม่จำกัดเขตนี่ตรงนี้
את האנטגרל הלא מסוים כאן.
และคุณบอกทันทีว่า เฮ้ นายมีรากที่สอง
ואתם מיד אומרים היי, יש לך את השורש הריבועי
ของ 4 ลบ x กำลังสองในตัวส่วน
של ארבע מינוס x בריבוע במכנה
นายลองใช้การแทนที่ได้นี่
אתם יכולים לנסות להשתמש בהצבה,
แต่มันไม่ช่วยให้ง่ายลงนัก
אבל זה באמת לא מתפשט בשום
ในกรณีนี้
דרך סבירה.
คุณจะจัดการมันอย่างไร?
איך אתם מתמודדים עם זה?
แนวคิดที่คุณอาจนึกถึงคือว่า
ותובנה שאולי יש לך היא טוב
อันนี้ รากที่สองของ 4 ลบ x กำลังสอง
הדבר הזה, שורש ריבועי של ארבעה מינוס X בריבוע,
อันนี้ดูเหมือนสิ่งที่ผมอาจจะได้
זה נראה כמו משהו שאני יכול לקבל
ถ้าผมใช้ทฤษฎีบทพีทากอรัส
אם אני מתמודד עם משפט פיתגורס,
ถ้าผมแก้หาด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
אם אני פותור עבור צדדים ללא היתר
ของทฤษฎีบทพีทากอรัส
של משפט פיתגורס,
ยิ่งถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
במיוחד אם את אורך היתר
เป็น 2 อันนี้จะเป็น 2 กำลังสอง
הוא שתיים , זה יהיה שניים בריבוע
แล้วอีกด้านคือ x
ואז הצד השני הוא X,
แล้ว 2 กำลังสองลบ x กำลังสอง
אז שתיים בריבוע מינוס X בריבוע,
อันนี้จะเป็นความยาวของอีกด้าน
זה יהיה האורך של הצד השני.
ลองใช้มันดู
ובכן בואו פשוט נרוץ עם זה אז.
ถ้าเรามี
אז, אם יש לנו,
ถ้าเรามี
אם יש לנו,
ถ้าคุณนึกไม่ออกในทันที
ואם מישהו מכם לא להרגיש בפנים מיד,
ไม่เป็นไร
זה בסדר.
เพราะจริงๆ แล้ว ผมก็คิดไม่ถึง
כי אם להיות כנה, אני בעצם לא הרגישתי
ในครั้งแรกที่ผมเจออะไรแบบนี้
בתוך כנראה בפעמים הראשונות שראיתי דברים כאלה.
สมมุติว่าคุณมีสามเหลี่ยมมุมฉาก
אז נניח שיש לכם משולש ישר זווית.
ลองนึกภาพแนวคิดที่เราพูดถึงกัน
אז בואו רק נדמיין את התובנה שדיברנו עליה.
ถ้าความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2
אז אם היתר של משולש ישר זווית הוא באורך של שתיים,
ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2
היתר באורך של שתיים,
ด้านตรงตรงข้ามมุมฉากยาว 2
היתר הוא באורך שתים
และสมมุติว่า ด้านนี้ตรงนี้
ובואו נגיד שהצד הזה, ממש כאן.
ที่จริง ขอผมทำด้านนี้นะ
למעשה, תנו לי לעשות את הצד הזה.
สมมุติว่าด้านนี้ --
נניח הצד הזה ...
ที่จริง ผมจะทำด้านนี้ดีกว่า
למעשה, אני הולך עם הצד הזה.
ด้านนี่ตรงนี้ยาว x
בצד הזה, הוא באורך X.
ด้านนี่ตรงนี้ยาว x
הצד הזה, כאן הוא באורך X.
ค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณ เพราะโดยทั่วไป
זהו קצת נגש האינטואיציה , כי בדרך כלל
เรามักให้ด้านตรงนี้เป็น y
אנו מקשרים את הצד הזה כאן עם Y,
แต่ใช้มันไปเถอะ
אבל בואו פשוט נלך עם זה.
ด้านนี่ตรงนี้ยาว x
הצד הזה, כאן הוא באורך X.
แล้วด้านนี้ตรงนี้จะเป็นเท่าใด?
אז מה היה לנו בצד ימין ?
ความยาวด้านที่ไม่ได้ตรงข้ามมุมฉากอีกด้าน จะยาวเท่าใด?
מה היה אורך היתר?
ถ้าคุณแก้หามันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทากอรัส
ובכן, רק אם אתם פותרים עבורו באמצעות משפט פיתגורס
คุณจะได้มันเท่ากับ
אתם מקבלים כי זה הולך להיות
รากที่สองของด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง
השורש הריבועי של יתר בריבוע,
2 กำลังสอง ก็แค่ 4
שני בריבוע, וזה ארבע,
ลบอีกด้านกำลังสอง
מינוס הצד השני בריבוע.
ลบ x กำลังสอง
אז מינוס X בריבוע.
แล้วมันน่าสนใจ นั่นคือพจน์นี้
ובכן זה מעניין, כי הוא הביטוי הזה
แนวคิดนั้น สัญชาตญาณนั้นที่เรา
התובנה הזו,ה אינטואיציה שאנחנו
มีเวลาเราเห็นพจน์นี่ตรงนี้
אולי הייתה לנו כשראינו את זה פה,
แต่มันช่วยอะไรเราได้?
אבל עדיין, איך זה יכול לעזור לנו?
อันนี้คือจุดที่ตรีโกณมิติเข้ามา
ובכן זה המקום שבו הטריגונומטריה מגיעה.
เพราะถ้าเรากำหนด
כי אם נגדיר,
ถ้ามุมนี่ตรงนี้
אם הזווית הזו ממש כאן,
เราบอกว่านี่คือมุมเธต้า
נגיד היא תטא,
แล้วไซน์กับโคไซน์ของเธต้าจะเท่ากับ
אז מהו סינוס וקוסינוס של תטא
อะไรในรูปของมุมเหล่านี้?
מבחינת הצדדים האלה?
ลองดูกัน
ובכן, בואו נראה,
ไซน์ของเธต้า
הסינוס של תטא,
ไซน์ของเธต้าเท่ากับด้านตรงข้าม
סינוס של תטא שווה להפך
ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
חלקי היתר.
เท่ากับ x ส่วน 2
שווה ל X חלקי שתים.
หรือถ้าคุณอยากแก้หา x
או אם אתם רוצים לפתור עבור X,
เราจะได้ x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
אנחנו מקבלים ש X שווה לשני סינוס תטא.
มันน่าสนใจดี
ובכן זה מעניין.
แล้วโคไซน์ของเธต้าล่ะ?
מה לגבי קוסינוס של תטא?
โคไซน์ของเธต้าเท่ากับด้านประชิด
קוסינוס של תטא שווה לצד הסמוך,
รากที่สองของ 4 ลบ x กำลังสอง
השורש הריבועי של ארבע מינוס X בריבוע
ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
חלקי ליתר.
หรือถ้าคุณอยากแก้หาด้านนี้
או אם אתם רוצים לפתור עבור הצד הזה,
มันจะได้
זה הולך להיות,
เราบอกได้ว่า รากที่สองของ 4
נוכל לומר כי השורש הריבועי של ארבעה
ลบ x กำลังสองจะเท่ากับ
מינוס X בריבוע זה הולך להיות שווה
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คูณโคไซน์ของเธต้า
ליתר כפול קוסינוס של תטא.
มันน่าสนใจ
אז זה מעניין.
ถ้า x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
אם X שווה שני תטא סינוס,
แล้วด้านอีกด้าน พจน์ทั้งพจน์นี้
אז הצד השני זה, אז הביטוי הזה כולו
จะลดรูปเหลือ 2 โคไซน์เธต้า
מפושט לשני קוסינוס של תטא.
และมันดูน่าสนใจแล้วตอนนี้
וזה נראה די מעניין עכשיו.
ลองทำการแทนที่กัน
אז בואו נבצע את ההצבה.
สมมุติว่า x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
נניח ש X שווה לשני סינוס תטא .
และถ้า x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
ואם X שווה לשני סינוס של תטא,
แล้ว dx จะเท่ากับ
אז DX הולך להיות שווה
2 โคไซน์เธต้า d เธต้า
לשני קוסינוס תטא D תטא.
แล้วถ้าเรามี x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
ואז אם יש לנו X שווה לשני סינוס תטא,
แล้วอันนี้ตรงนี้จะเท่ากับอะไร?
אז מה זה הדבר הזה, כאן?
เราแค่หา
ובכן אנחנו פשוט הבנו,
อันนี้คือ 2 โคไซน์เธต้า
שהדבר הזה הוא שני קוסינוס תטא.
อันนี้เท่ากับ 2
הדבר הזה שווה לשני,
ที่จริง ขอผมใช้สีส้มนะ
למעשה, תנו לי לעשות את זה בצבע כתום.
2 โคไซน์เธต้า
שני קוסינוס תטא.
อันนี้เท่ากับ 2 โคไซน์เธต้า
זה שווה לשני קוסינוס תטא.
และเราทำอันนี้ได้
ויכולנו לעשות זאת,
วาดสามเหลี่ยมมุมฉากและใช้
לצייר משולש ישר זווית כזה ונשתמש
นิยาม SOH-CAH-TOA ของฟังก์ชันตรีโกณฯ เหล่านี้
בהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות האלה,
และแน่นอน เราใช้วงกลมหน่วยก็ได้
וכמובן נוכל להשתמש ביחידות מעגל,
มันเป็นการขยายต่อจากนิยามนี้
זה סוג של הרחבה של אלה.
แต่คุณทำได้ถ้าคุณบอกว่า
אבל אתה גם יכולים לעשות את זה אם אתם אומרים
เฮ้ ดูสิ ถ้านี่คือ 2 ไซน์เธต้า
היי, נראה שאתם יודעים, אם מדובר בשני סינוס תטא
คุณก็ใช้ทฤษฎีบทพีทากอรัสได้
אתם יכולים להשתמש בזהות פיתגורס,
เอกลักษณืตรีโกณมิติของเรา และคุณก็
ובזהויות הטריגונומטריות שלנו ואתם
เห็นว่าทั้งพจน์นี้
תראו שהביטוי הזה כולו,
ถ้าคุณทำแบบนี้ มันจะลดรูปเหลือ 2 โคไซน์เธต้า
אם אתם עושים את זה ככה, יפושט לשני קוסינוס תטא.
แต่ตอนนี้ลองทำต่อไป
אבל עכשיו בואו פשוט נרוץ קדימה
ดูว่าเราหาค่ามัน
ובואו לראות אם אנחנו יכולים להעריך את זה
โดยใช้การแทนที่นี้ได้ไหม
באמצעות ההצבה הזו.
อันนี้จะเท่ากับอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
אז זה הולך להיות האינטגרל הלא מסוים,
dx, 1 คูณ dx, มันจะเเท่ากับ
אז DX, אז אחת כפול DX, זה הולך להיות
dx คือ 2 โคไซน์เธต้า d เธต้า
dx הוא שני קוסינוס תטא D תטא
ขอผมเเขียนมัน นั่นคือ
אז תנו לי את זה, כי
2 โคไซน์เธต้า
זה שני קוסינוס תטא
d ผมจะเขียน d เธต้าข้างนอกนี้
D אני אכתוב את הD תטא שלנו פה
แล้วตัวส่วนคืออะไร?
ואז מה המכנה?
รากที่สองของ 4 ลบ x กำลังสองหรือเปล่า?
שורש ריבועי של ארבע מינוס x בריבוע?
นั่นคือ 2 โคไซน์เธต้าเหมือนเดิม
ובכן זה שני קוסינוס תטא שוב.
นั่นคือ 2
אז זה שני
โคไซน์เธต้า
קוסינוס תטא.
อันนี้ดูจะออกมาสวยงาม
ובכן זה מסתדר די יפה.
ถ้าคุณมี 2 โคไซน์เธต้า ส่วน 2 โคไซน์เธต้า
אם שני קוסינוס תטא חלקי שני קוסינוס תטא ,
มันจะเท่ากับ 1
זה פשוט הולך להיות אחד.
อันนี้ลดรูป
זה מפושט.
อันนี้ลดรูปเหลือ
זה מתפשט ל
d เธต้า ซึ่งก็คือ ถ้าคุณหาค่านี้
D תטא ,שזה, אם אתם רק מחשבים את זה
อันนี้จะเท่ากับ
זה פשוט הולך להיות שווה
เธต้าบวก c
לתטא בתוספת C
อันนี้สวยดี แต่เรายังไม่เสร็จ
ובכן, זה די נחמד, אבל אנחנו עדיין לא סיימנו.
เราอยากได้อินทิกรัลไม่จำกัดเขต
אנחנו רוצים את האינטגרל הבלתי מסוים שלנו
ในรูปของ x
במונחים של X.
ตอนนี้ ลองแก้หา x กัน
אז עכשיו בואו פשוט נפתור עבור X כאן.
ถ้า x คือ 2 โคไซน์เธต้า
אז אם X הוא שני קוסינוס תטא,
โทษที ถ้า x คือ 2 ไซน์เธต้า
מצטער, אם X הוא שני סינוס תטא ,
x จึงเท่ากับ 2 ไซน์
כך ש X שווה לשני סינוס,
x เท่ากับ 2 ไซน์เธต้า
X שווה לשני סינוס תטא
ลองดู ลองหารทั้งสองข้างด้วย 2
אז בואו נראה, נחלק את שני האגפים בשתיים
x ส่วน 2 เท่ากับไซน์เธต้า
X חלקי שתיים שווה לסינוס תטא
แล้วถ้าเราอยากแก้หาเธต้า
ואז אם אתם רוצים לפתור עבור תטא,
เธต้าคือมุมที่หากคุณหาไซน์ของมัน
הזווית של תטא שאם אתם לוקחים את הסינוס של זה
คุณจะได้ x ส่วน 2
אתם מקבלים X חלקי שתים.
เราก็บอกได้ว่า
אז נוכל לומר,
ลองหาที่เขียนอีกหน่อย
בואו ניתן לעצמנו קצת יותר שטח,
เธต้า
התטא הזו
เท่ากับอินเวอร์สไซน์
שווה להיפוך של סינוס,
อินเวอร์สไซน์ของตัวนี้
היפוך הסינוס של הדבר הזה,
x ส่วน 2
X חלקי שתיים.
เราเขียนมันแบบนั้นได้
אנחנו יכולים לכתוב את זה ככה,
หรือเราเขียนได้ว่า เธต้า
או שאנחנו יכולים לכתוב את התטא הזו
เท่ากับอาร์คไซน์
שווה לארקסינוס.
อาร์คไซน์ของ
הארקסינוס של,
อาร์คไซน์ของ x ส่วน 2
הארקסינוס של X חלקי שתיים.
อันนี้จึงเท่ากับ
אז זה הולך להיות שווה,
เธต้าคืออาร์คไซน์ของ x ส่วน 2
תטא היא ארקסינוס של X חלקי שתיים,
ลองทำกันดู
אז בואו פשוט נעשה את זה.
อาร์คไซน์ของ x ส่วน 2
ארקסינוס של X חלקי שתיים
บวก c
בתוספת C
เราก็เสร็จแล้ว
ואנחנו סיימנו.
เราได้หาค่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตนั่นแล้ว
רק הערכנו את האינטגרל הלא מסוים.
ทีนี้ พวกคุณบางคนอาจเห็นอะไรบางอย่าง
עכשיו חלקכם אולי שמתם לב למשהו.
ผมปัดมันผ่านไปเร็วๆ
שחלפתי עליו ממש מהר
เพื่อให้คุณเห็นภาพใหญ่
רק כדי לתת לכם את,
เห็นภาพรวมทั้งหมด
כדי לראות את היער מרוב העצים,
แต่ยังมีรายละเอียดที่น่าสนใจ
אבל יש כמה פרטים מעניינים
และผมว่า มันน่าขุดค้น
וזה, אני חושב, שווה חפירה
ลงไปอีกหน่อยตรงนี้
קצת כאן.
อย่างแรกคือว่า คุณอาจเห็นว่า
אז הראשון הוא, אולי ראיתם שזה נראה
ข้อจำกัดของ x ตรงนี้
ההגבלה על X כאן,
หรือโดเมนตรงนี้บนพจน์นี้
או התחום כאן על הביטוי הזה
ถูกจำกัด
מוגבל.
ลองตามดูกัน
אז בואו פשוט נעקוב אחרי זה
เพื่อให้แน่ใจว่า เราไม่ได้ทำอะไรแปลกๆ
כדי לוודא שאנחנו לא עשינו שום דבר מוזר
เวลาเราทำการแทนที่
כשעשינו את החלפה כי.
โดเมนตรงนี้ x ต้องเป็น
אז התחום כאן, X צריך להיות
x ต้องมากกว่าลบ 2
X צריך להיות גדול ממינוס שני
และน้อยกว่า 2
ופחות משתיים.
ถ้าค่าสัมบูรณ์ของ x เท่ากับ 2
אם הערך המוחלט של X היה שווה לשתים,
แล้วคุณจะได้ 0 ในตัวส่วน
אז יהיה לכם אפס במכנה.
ถ้าค่าสัมบูรณ์ของ x มากกว่า 2
אם הערך המוחלט של X גבוה משתיים,
แล้วคุณจะได้ลบในตัวเศษ
אז יהיה לכם שלילי במכנה
และมันจะไม่นิยาม
וזה לא מוגדר.
ตัวนี้ตรงนี้จึงเป็นโดเมน
אז הנה התחום.
ลองดูให้แน่ใจกันว่าการแทนที่ของเรา
אז בואו נוודא כי ההצבה שלנו
ไม่ได้ทำอะไรแปลกๆ กับเงื่อนไขนั้น
לא עשיתי משהו מוזר עם זה.
ถ้า x ต้องอยู๋ระหว่างลบ 2 กับ 2
אז אם X צריך להיות בין שתיים למינוס שתיים,
และเรากำลังบอกว่า x คือ 2 ไซน์เธต้า
ואנחנו אומרים ש X הוא שני סינוס תטא ,
นั่นหมายความว่า 2 ไซน์เธต้าต้อง
המשמעות היא ששני סינוס תטא יצטרך להיות
อยู่ระหว่างลบ 2 กับ 2
בין מינוס שתיים לשתיים.
ลบ 2 จะต้องน้อยกว่า
אז מינוס שתיים יצטרך להיות פחות מ
2 ไซน์เธต้า
שני סינוס תטא.
2 ไซน์เธต้า
שני סינוס תטא .
ซึ่งต้องน้อยกว่า 2
שהיה צריך להיות פחות משני.
เราก็หารส่วนต่างๆ ของอสมการ
אנחנו יכולים לחלק את כל החלקים שונים של זה
ประกอบนี้ด้วย 2
לתרכובת של אישיווין על ידי 2
แล้วคุณจะได้ลบ 1 น้อยกว่าไซน์เธต้า
ואתם הולכי לקבל מינוס אחד שפחות מסינוס תטא.
น้อยกว่าไซน์เธต้า
פחות מסינוס תטא,
ซึ่งน้อยกว่า 1
אשר הוא פחות מאחד.
และวิธีที่เราทำได้ คือว่าถ้าเธต้า
והדרך שבה אנו יכולים לעשות זאת היא אם תטא
น้อยกว่า พายส่วน 2
הוא פחות מ pi חלקי השנייה.
ที่พายส่วน 2 ไซน์ของเธอต้าจะเท่ากับ 1
בפאי חלקי שתיים, סינוס של תטא יהיה שווה ל 1.
และถ้าเธต้ามากกว่าลบพายส่วน 2
ואם תטא גדול ממינוס פאי חלקי שתיים.
ถ้าเรากำหนดมันอย่างนี้
אז אם נגביל אותו בדרך הזו,
ถ้าเราบอกว่าเธต้าจะอยู่
אם אנחנו אומרים שתטא הולכת להיות
ในช่วงนี่ตรงนี้
בטווח הזה ממש כאן,
แล้วเราจะกำหนดโดเมนได้อย่างถูกต้อง
אז אנחנו מגבילים את התחום בצורה סבירה.
และอันนี้ใช้ได้ดี เพราะอันนี้คือ
וזה מסתדר טוב בגלל שזה בדרך כלל
ช่วงของฟังก์ชันอาร์คไซน์
הטווח עבור פונקצית ארקסינוס.
เราจึงรู้สึกพอใจแล้ว
אז נוכל להרגיש טוב עם זה.
ทีนี้ คำถามอีกอย่างที่คุณอาจสงสัย
עכשיו עוד שאלה שאולי יש לכם
คือว่า โอเค ดูนะ เราหาร
היא אוקיי בסדר תראו, אתם יודעים שחילקנו
ด้วยโคไซน์ของเธต้าตรงนี้ แต่มันไม่เป็นไร
על ידי קוסינוס של תטא כאן, אבל זה בסדר
ตราบใดที่โคไซน์ของเธต้าไม่เท่ากับ 0
כל עוד קוסינוס של תטא אינו שווה לאפס,
เพราะคุณไม่อยากได้ 0 ในตัวส่วน
כי אתם לא רוצים אפס במכנה.
และข้อบังคับของเธต้ามีข้อดีตรงที่
וזה מה שיפה במגבלה הזו על תטא
มันจำเธต้ามากกว่า
היא שכל עוד תטא עולה
ลบพายส่วน 2 และน้อยกว่าพายส่วน 2
ממינוס פאי חלקי שתיים ופחות מפאי חלקי שתיים,
โคไซน์ของเธอต้าจะ
קוסינוס של תטא הולך להיות,
ไม่เท่ากับ 0 และ
זה לא הולך להיות אפס, ולמעשה
มันจะเป็นบวก
זה הולך להיות חיובי.
ถ้าเป็นลบพายส่วน 2 หรือพายส่วน 2 ได้
אם מינוס פאי חלקי שתיים או פאי חלקי שתיים הורשו,
คุณจะได้ 0 ข้างล่างตรงนี้
אז הייתם מקבלים את אפס כאן
และเราต้องคิด
והיינו צריכים לחשוב
วิธีจำกัดสิ่งต่างๆ แบบอื่น
על הגבלת הדברים בכמה דרכים אחרות.
ทุกอย่างจึงดูลงตัวแล้ว
אז זה נראה כאילו הכל בסדר.
เราได้คุ้นลึกลงไป
חפרנו קצת יותר לעומק.
และเราบอกว่าโอเค เราไม่ได้ทำอะไร
אמרנו, בסדר לא עשינו משהו
แปลกๆ กับโดเมน
מוזר לתחום או ל,
หรือปล่อยให้มันมีค่าแปลกๆ
לא הגבלנו את זה באיזושהי דרך מוזרה,
เราจึงรู้สึก
וכך אנו יכולים לחוש,
เราจึงรู้สึกพอใจ
אנחנו יכולים להרגיש טוב לגבי,
เราจึงรู้สึกพอใจกับคำตอบนี้
אנחנו יכולים להרגיש טוב עם זה,
คำตอบนี้
עם זה,
คำตอบนี้ที่เราได้
זו התשובה שקיבלנו.
Similar videos:

Trig and U substitution together (part 1)
Khan Academy
184.2K views 126 likes 9 dislikes 11 Feb 201344% match

Integrals: Trig Substitution 1
Khan Academy
702.3K views 1.5K likes 70 dislikes 14 Oct 200940% match


Introduction to trig substitution
Khan Academy
93.6K views 108 likes 5 dislikes 13 Feb 201340% match

Another substitution with x=sin (theta)
Khan Academy
181.1K views 69 likes 3 dislikes 12 Feb 201339% match

Trig and U substitution together (part 2)
Khan Academy
110.2K views 112 likes 5 dislikes 11 Feb 201339% match

Integrals: Trig Substitution 2
Khan Academy
310.1K views 554 likes 20 dislikes 14 Oct 200938% match


Doing u-substitution twice (second time with w)
Khan Academy
159K views 275 likes 7 dislikes 28 Dec 201238% match

_-substitution: definite integral of exponential function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
190.7K views 154 likes 12 dislikes 30 Apr 201437% match

Improper integral with two infinite bounds | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 559 likes 14 dislikes 13 Feb 201337% match

Worked example: Riemann sums in summation notation | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
242.8K views 308 likes 15 dislikes 25 Jun 201436% match

Integration by parts: º___cos(x)dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
393.1K views 567 likes 21 dislikes 28 Jan 201336% match

Optimization: sum of squares | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
285K views 119 likes 5 dislikes 31 Jan 201335% match

Derivative of inverse tangent | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
157.8K views 239 likes 13 dislikes 01 May 201435% match

Trig limit using double angle identity | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
106.6K views 98 likes 5 dislikes 13 Jul 201635% match

Using trig identity to use u substitution
Khan Academy
127.9K views 86 likes 0 dislikes 23 Oct 201435% match

Integrals: Trig Substitution 3 (long problem)
Khan Academy
262.9K views 494 likes 17 dislikes 14 Oct 200935% match


Local linearization | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
440.1K views 1.2K likes 49 dislikes 02 May 201435% match

Trapezoidal sums | Accumulation and Riemann sums | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
443.3K views 940 likes 20 dislikes 24 Jan 201334% match

Showing explicit and implicit differentiation give same result | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
228.5K views 280 likes 28 dislikes 30 Jan 201334% match

(2^ln x)/x Antiderivative Example
Khan Academy
208.2K views 262 likes 10 dislikes 22 Oct 200934% match


Optimization: box volume (Part 2) | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
284K views 154 likes 3 dislikes 31 Jan 201334% match

Integration by parts: ºx____dx | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
445.3K views 320 likes 7 dislikes 28 Jan 201334% match

Definite integral of absolute value function | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
120.4K views 380 likes 11 dislikes 28 Jul 201634% match

Derivative of inverse sine | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
287.4K views 854 likes 23 dislikes 30 Apr 201434% match

Finding absolute extrema on a closed interval | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
235.7K views 362 likes 12 dislikes 21 Mar 201433% match

Related rates: balloon | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
236.7K views 409 likes 18 dislikes 01 Feb 201333% match

Optimization: box volume (Part 1) | Applications of derivatives | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
376.9K views 289 likes 15 dislikes 31 Jan 201333% match

Proof of fundamental theorem of calculus | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
292.4K views 2K likes 50 dislikes 08 Feb 201333% match

Using the convolution theorem to solve an initial value prob | Laplace transform | Khan Academy
Khan Academy
198.5K views 524 likes 13 dislikes 07 Oct 200933% match

IIT JEE trigonometry problem 1 | Trig identities and examples | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
230.1K views 419 likes 11 dislikes 13 Dec 201033% match


Settings Privacy About Contact Donate