Euler-Lagrange equation explained intuitively - Lagrangian MechanicsYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  122.5K views 3.6K likes 125 dislikes   18 Nov 2018
Physics Videos by Eugene Khutoryansky 1M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Indonesian Yuwanza Ramadhan
Japanese t fuka
Click to Play Video Click to Play Video
В классической ньютоновской физике лагранжиан система - это
In der klassischen Newtonschen Physik ist die Lagrange-Funktion eines Systems...
полная кинетическая энергия минус полная потенциальная энергия.
...die gesamte kinetische Energie minus der gesamten potentiellen Energie.
В квантовой теории поля эти простые отношения больше не верны
In der Quantenfeldtheorie gilt diese einfache Beziehung nicht mehr...
и лагранжиан уравнение в каждый момент времени
...und die Gleichung für die Lagrange-Funktion zu jedem Zeitpunkt...
это функция всех полей во всем пространстве.
...ist eine Funktion aller Felder im gesamten Raum.
Мы могли бы иметь дело с Теорией Относительности Эйнштейна
Wir könnten damit Einsteins Relativitätstheorie,...
или с квантовой теорией поля, или с законами движения Ньютона.
...die Quantenfeldtheorie, oder die Newtonsche Mechanik behandeln.
Когда физики предлагают новые фундаментальные законы физики,
Wenn Physiker neue grundlegende Gesetze der Physik aufstellen,...
они часто делают это, предлагая новое лагранжиан уравнение.
...tun sie das oft, indem sie eine neue Gleichung für die Lagrange-Funktion vorschlagen.
Поэтому мы хотим сосредоточиться
Worauf wir uns deshalb konzentrieren wollen, ist...
не на лагранжиан уравнении для какой-то одной конкретной теории,
...nicht die Gleichung für die Lagrange-Funktion in einer bestimmten Theorie,...
но как лагранжиан используется для предсказания поведения системы,
...sondern darauf, wie die Langrage-Funktion benutzt wird, um das Verhalten eines Systems vorherzusagen,...
поскольку это имеет универсальное практическое и философское значение.
...da dieser Formalismus universelle praktische und philosophische Bedeutung hat.
Предположим, мы знаем начальное состояние и конечное состояние системы.
Angenommen, wir kennen den Anfangszustand und den Endzustand eines Systems.
Мы хотим рассчитать путь между начальным и конечным состоянием.
Wir möchten den Weg zwischen dem Ausgangszustand und dem Endzustand berechnen.
Система может состоять из любого количества полей и частиц,
Das System kann aus beliebig vielen Feldern und Teilchen bestehen...
и система может содержать любое количество независимых переменных.
...und das System kann eine beliebige Anzahl unabhängiger Variablen enthalten.
Здесь мы просто показываем три независимых переменных,
Hier zeigen wir nur drei unabhängige Variablen,...
которые мы будем называть «X», «Y» и «Z».
...die wir "X", "Y" und "Z" nennen werden.
Давайте просто покажем переменную X.
Hier wird nur die Variable X gezeigt.
Переменная X может относиться к положению частицы вдоль одного измерения.
Die Variable X könnte sich auf die Position eines Teilchens entlang einer Dimension beziehen.
Чтобы рассчитать будущее поведение системы,
Um das zukünftige Verhalten eines Systems zu berechnen,...
нам нужно знать как положение, так и скорость.
...müssen wir sowohl dessen Position als auch dessen Geschwindigkeit kennen.
Мы будем ссылаться на скорость в направлении X
Wir beziehen uns auf die Geschwindigkeit in X-Richtung...
используя символ X с точкой над ним.
...wenn wir über das Symbol X einen Punkt setzen.
Предположим, у нас есть функция, которая зависит как от положения, так и от скорости.
Angenommen, wir haben eine Funktion, die sowohl von der Position, als auch von der Geschwindigkeit abhängt.
Мы будем называть этот график лагранжиан.
Wir bezeichnen diesen Graphen als die Lagrange-Funktion.
Лагранжиан также является функцией всех других независимых переменных.
Die Langrange-Funktion ist auch eine Funktion aller anderen unabhängigen Variablen.
Этот график также может быть функцией времени.
Dieser Graph könnte auch eine Funktion der Zeit sein.
Все уравнения, показанные в этом видео, будут действительными
Alle in diesem Video gezeigten Gleichungen sind trotzdem gültig,...
независимы от того, зависит ли график от времени.
...unabhängig davon, ob der Graph von der Zeit abhängt, oder nicht.
Для следующих анимаций
Für die folgenden Animationen...
мы покажем график, который не меняется со временем.
...zeigen wir einen Graphen, der sich nicht mit der Zeit ändert.
Мы не знаем путь между начальным и конечным состояниями,
Wir kennen zwar den Weg zwischen dem Ausgangszustand und dem Endzustand nicht,...
но давайте предложим один из возможных путей в качестве догадки.
...aber lassen Sie uns einen möglichen Weg als Vermutung vorschlagen.
Высота красного шара в каждый момент времени символизирует
Die Höhe des roten Balls zu jedem Zeitpunkt symbolisiert...
значение лагранжиана в каждый момент времени.
...den Wert der Lagrange-Funktion zu jedem Zeitpunkt.
Здесь цвет символизирует значение лагранжиана.
Hier symbolisiert die Farbe den Wert der Lagrange-Funktion.
Время не показано на этом графике, но мы можем изменить график
Die Zeit wird in diesem Graphen nicht angezeigt, aber wir können den Graphen ändern,...
так что он показывает значение лагранжиана как функцию времени.
...sodass er den Wert der Langrange-Funktion als eine Funktion der Zeit zeigt.
Скажем, область красного цвета считается «отрицательной»,
Wir betrachten es so, als hätte der rote Bereich einen "negativen Flächeninhalt"...
а область, выделенная зеленым цветом, считается «положительной».
...und der grüne Bereich gilt als „positiver Flächeninhalt“.
Общая площадь - это то, что мы будем называть «Действие».
Der Gesamtflächeninhalt ist das, was wir als "Wirkung" bezeichnen.
«Действие» является функцией всего пути в целом.
Die "Wirkung" ist eine Funktion, die vom gewählten Weg als Ganzes abhängt.
Если путь меняется, то «Действие» также меняется.
Wenn sich der Weg ändert, so ändert sich auch die "Wirkung".
Мы можем построить это на графике, как показано на рисунке.
Wir können das folgendermaßen in einem Graphen darstellen.
Рассмотрим наклон этого графика в каждой точке.
Betrachten wir die Steigung des Graphen an jedem Punkt.
Если мы имеем дело с физическими законами, где общая сделанная работа
Wenn wir es mit physikalischen Gesetzen zu tun haben, bei denen die verrichtete Gesamtarbeit...
зависит только от начального и конечного состояния системы,
...nur vom Anfangs- und Endzustand des Systems abhängt...
а не на пути между ними, то истинный фактический путь системы
...und nicht von dem Weg zwischen beiden, dann muss der real genommene Weg des Systems...
должен быть в точке, где наклон этого графика равен нулю.
...sich an einem Punkt im Graphen befinden, an dem die Steigung dieses Graphen null ist.
Единственное место, где наклон может быть нулевым, - это то, где Действие минимально.
Eine Stelle, an der die Steigung null sein kann, ist die Stelle, an der die Wirkung minimal ist.
По этой причине часто ссылаются на использование этого метода, чтобы найти путь,
Aus diesem Grund nennt man diese Methode, um den Pfad eines Systems zu finden,...
как «Принцип Наименьшего Действия».
...das "Prinzip der kleinsten Wirkung".
Тем не менее, более точное описание будет
Eine treffendere Bezeichnung hierfür wäre jedoch...
«Принцип Стационарного Действия», так как фактический путь
...das "Prinzip der stationären Wirkung", da der genommene Pfad...
должен быть в точке, где наклон этой синей линии равен нулю.
...nur ein Punkt sein muss, an dem die Steigung der blauen Linie null sein muss (also die Wirkung nicht unbedingt minimal sein muss).
Чтобы найти, где это происходит, нам нужно рассмотреть
Um herauszufinden, wo das passiert, müssen wir...
частные производные лагранжиана.
...die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion betrachten.
Наклон этой линии является
Die Steigung dieser Linie entspricht der...
частной производной лагранжиана по X.
...partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach X.
Здесь цвет представляет
Hier zeigt die Farbe die...
частную производную лагранжиана по X.
...Größe der partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach X an.
Давайте изменим цвет каждого шара, чтобы соответствовать
Ändern wir die Farbe der Bälle so, dass sie...
цвету графика в месте расположения шара.
...mit der Farbe des Graphen an der Stelle des jeweiligen Balls übereinstimmt.
Давайте теперь рассмотрим это как функцию времени.
Betrachten wir das Ganze nun als Funktion der Zeit.
Давайте изменим вертикальное положение каждого шара в зависимости от его цвета.
Und passen wir die vertikale Position eines jeden Balls an dessen Farbe an.
Теперь у нас есть функция времени,
Nun haben wir eine zeitabhängige Funktion...
частной производной лагранжиана по X.
...der partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach X.
Это только одна из частных производных, которые мы можем иметь.
Das ist aber nur eine der partiellen Ableitungen, die wie betrachten können.
Мы также можем иметь частную производную лагранжиана по
Wir können auch die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach...
переменной, обозначаемой X с точкой над ней, которую мы будем называть «X точка».
...der Variablen, die als X mit dem Punkt darüber dargestellt wird und welche wir "X Punkt" nennen, betrachten.
Здесь цвет представляет
Hier stellt die Farbe...
частную производную лагранжиана по «X точка».
...die Größe der partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach "X Punkt" dar.
Давайте изменим цвет каждого шара, чтобы соответствовать
Ändern wir wieder die Farbe eines jeden Balls so,...
цвету графика в месте расположения шара.
...dass die Farbe des Graphen mit der des jeweiligen Balls an derselben Stelle übereinstimmt.
Давайте рассмотрим это как функцию времени.
Betrachten wir dies wieder als Zeitfunktion.
Давайте изменим вертикальное положение каждой точки в зависимости от её цвета.
Ändern wir wieder die vertikale Position eines jeden Punktes basierend auf der Punktfarbe.
Теперь у нас есть функция времени,
Nun haben wir als zeitabhängige Funktion...
частной производной лагранжиана по «X точка».
...die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach "X Punkt".
Давайте представим наклон этой функции времени с новым набором цветов.
Stellen wir die Steigung dieser Zeitfunktion mit einem neuen Farbsatz dar.
Давайте снова изменим вертикальное положение каждой точки на основе её нового цвета.
Verändern wir wieder die vertikale Position eines jeden Punkts basierend auf der neuen Farbe.
Теперь у нас есть это новое выражение как функция времени.
Nun haben wir diesen neuen Ausdruck als Funktion der Zeit.
Теперь мы готовы использовать эти выражения, чтобы найти путь системы.
Wir sind nun in der Lage, diese Ausdrücke zu nutzen, um den Pfad des Systems zu finden.
Рассмотрим следующее выражение.
Betrachten wir den folgenden Ausdruck.
Чтобы наклон синей линии был ноль,
Damit die Steigung der blauen Linie null wird,...
это выражение также должно быть равно нулю.
...muss dieser Ausdruck auch null werden.
Давайте получим интуитивное понимание того, почему это должно быть правдой.
Suchen wir ein intuitives Verständnis, warum das wahr sein muss.
Нулевой наклон синей линии означает, что «Действие» будет
Wenn die Steigung der blauen Linie null wird, so heißt das, dass die "Wirkung"...
оставаться примерно такими же для любого чрезвычайно маленького изменения в пути.
...näherungsweise gleich bleibt, wenn man den Pfad nur ein wenig ändert.
Давайте рассмотрим простой пример.
Betrachten wir ein einfaches Beispiel.
Предположим, мы вносим небольшое изменение в путь, перемещая только одну из красных точек.
Nehmen wir an, wir ändern den Pfad ein kleines bisschen, indem wir nur einen der roten Punkte verschieben.
Количество, на которое лагранжиан изменится для этой точки
Die Änderung der Lagrange-Funktion an diesem Punkt...
равно частной производной лагранжиана по X.
...ist gleich der partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach X.
Следовательно, сумма, на которую увеличится Действие
Deshalb ist die Änderung in der Wirkung...
также равна этой сумме.
...von derselben Größe.
Рассмотрим, как изменилась скорость этой кривой.
Betrachte wir, wie sich die Geschwindigkeit des Pfades geändert hat.
Скорость этой кривой обозначена «X точка».
Die Geschwindigkeit dieses Pfades wird durch "X Punkt" dargestellt.
Следовательно, эти две другие красные точки должны двигаться, как показано.
Deshalb müssen sich diese beiden anderen roten Punkte wie gezeigt verschieben.
Здесь лагранжиан для одной точки возрастает,
Hier ändert sich die Lagrange-Funktion des einen Punkts nach oben...
и лагранжиан другой точки уменьшается на равную величину,
...und die Lagrange-Funktion des anderen Punktes um dieselbe Menge nach unten,...
в результате нет общего изменения в общем Действии.
...woraus keine Gesamtänderung der Wirkung resultiert.
Но давайте теперь рассмотрим случай, когда
Betrachten wir nun einen Fall, wenn...
частная производная лагранжиана по «X точка»
...die partielle Ableitung der Lagrang-Funktion nach X...
не та же самая в этих двух точках.
...an diesen beiden Punkten nicht gleich ist.
Теперь обе точки понизятся,
Nun nimmt die Funktion an beiden Punkten ab,...
в результате чего уменьшается общее Действие.
...was in einer Gesamtabnahme der Wirkung endet.
Уменьшение Действия - это скорость, с которой
Die Wirkungsabnahme ist gleich der Menge, mit der sich...
частная производная лагранжиана по «X точка»
...die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach "X Punkt"...
меняется со временем.
...mit der Zeit ändert.
Поэтому общее изменение в Действии равно уравнению, которое мы видели ранее.
Deshalb entspricht die Gesamtänderung der Wirkung der Gleichung, die wir früher betrachtet haben.
Если это уравнение равно нулю, то это означает,
Wenn diese Gleichung null ist, heißt das, dass...
что изменение в Действии равно нулю для любого чрезвычайно маленького изменения в пути.
...die Wirkungsänderung für jede genügend kleine Änderung des Pfades null ist.
И это происходит только в тех случаях, когда наклон синей линии равен нулю,
Und das passiert nur in Fällen, wenn die Steigung der blauen Linie null ist,...
что должно быть в случае истинного фактического пути.
...was nur erfüllt wird von Pfaden, die das System real durchläuft.
Переменная «X точка» представляет
Die Variable "X Punkt" steht für die...
частную производную переменной X по времени.
...partielle Ableitung der Variablen X nach der Zeit.
Для истинного фактического пути это уравнение также должно быть
Für den real durchlaufenen Pfad muss diese Gleichung auch...
истинно для любой независимой переменной системы
...für jede der unabhängigen Variablen des Systems stimmen;...
и нет ограничений на количество независимых переменных, которые может иметь система.
...und es gibt keine Grenze dafür, wie viele unabhängige Variablen ein System besitzen kann.
Если мы имеем дело с квантовой теорией поля, мы будем иметь
Wenn wir uns auf Quantenfeldtheorie beziehen, so behandeln wir...
переменные, представляющие каждое из полей во всем пространстве,
...eine Variable für jedes betrachtete Feld an jedem Punkt im Raum;...
и мы должны учитывать не только частные производные
...und wir müssen nicht nur die partiellen Ableitungen...
по времени, но также и частные производные
...nach der Zeit, sondern auch die partiellen Ableitungen...
по отношению к каждому из пространственных измерений.
...nach jeder Raumdimension betrachten.
Здесь начальные и конечные условия являются квантовыми полями
Hier sind die Anfangs- und Endzustände gegeben durch die Quantenfelder...
во всем пространстве в два разных момента времени
...im gesamten Raum zu zwei Zeitpunkten...
и уравнение ниже должно быть нулевым для описания того, как
...und die untere Gleichung muss null sein für den Pfad,...
каждое квантовое поле развивается во времени.
...den jedes Quantenfeld in der Zeit durchläuft.
Но визуализация квантовой теории поля - это тема для другого видео.
Aber die Visualisierung der Quantenfeldtheorie wird in einem anderen Video thematisiert.
Similar videos:

Differential Equations: Solutions (Level 1 of 4) | Interval of Definition, Solution Curves
Math Fortress
12.2K views 71 likes 2 dislikes 14 Apr 201328% match











[MatheFit] Differenzieren 1
iMooX at
483 views 0 likes 0 dislikes 17 Sep 201827% match

Calculus III: Three Dimensional Coordinate Systems (Level 9 of 10) | Sphere Examples III
Math Fortress
15.7K views 92 likes 1 dislikes 20 Aug 201227% match











PC12b Innere Energie & Erster Hauptsatz der Thermodynamik - Wie viel Energie steckt in einem System?
Physikalische Chemie by SciFox
9.9K views 77 likes 1 dislikes 16 Apr 201326% match

Velocity, speed and their average, physics, Ep.16
Fizyka od Podstaw
1.4K views 85 likes 4 dislikes 13 May 202026% match

Calculus III: Three Dimensional Coordinate Systems (Level 8 of 10) | Sphere Examples II
Math Fortress
16.7K views 85 likes 1 dislikes 12 Aug 201226% match











Calculus III: Three Dimensional Coordinate Systems (Level 2 of 10) | Equations
Math Fortress
56.8K views 381 likes 12 dislikes 08 Jul 201226% match











Displacement, path, position, physics, Ep 15
Fizyka od Podstaw
1.4K views 72 likes 4 dislikes 03 May 202026% match

3D viewer (expert)
Leica Geosystems AG
4.9K views 9 likes 0 dislikes 03 Jul 201526% match


Calculus III: The Cross Product (Level 9 of 9) | Torque Examples
Math Fortress
2.6K views 25 likes 2 dislikes 18 Sep 201626% match











Calculus -- The foundation of modern science
Physics Videos by Eugene Khutoryansky
761.2K views 15.8K likes 394 dislikes 10 Apr 201426% match


Differential Equations: Solutions (Level 3 of 4) | Verifying Solutions II
Math Fortress
3.1K views 23 likes 0 dislikes 28 Apr 201326% match











Calculus I: Derivatives of Polynomials and Natural Exponential Functions (Level 1 of 3) | Power Rule
Math Fortress
5.2K views 30 likes 2 dislikes 01 Sep 201326% match











Calculus III: The Cross Product (Level 8 of 9) | Torque
Math Fortress
3.7K views 30 likes 0 dislikes 11 Sep 201625% match











PC33b Phasengleichgewichte reiner Stoffe - Wie entstehen Dampfdruck und Oberflächenspannung?
Physikalische Chemie by SciFox
6K views 34 likes 2 dislikes 03 May 201325% match

Calculus III: Three Dimensional Coordinate Systems (Level 5 of 10) | Sphere Equation
Math Fortress
22.9K views 131 likes 3 dislikes 24 Jul 201225% match











Doppler effect formula for observed frequency | Physics | Khan Academy
Khan Academy
273K views 734 likes 32 dislikes 05 Jun 201025% match

pc018 Wie viel Chaos steckt in einem System? - Konzept der Entropie nach Boltzmann und Clausius
Physikalische Chemie by SciFox
8.6K views 65 likes 2 dislikes 12 Sep 201325% match


Settings Privacy About Contact Donate