Solid of Revolution (part 6)YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  170K views 304 likes 18 dislikes   27 Apr 2008
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Describe your problem in detail if it's not obvious

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---
In the last video we took essentially the length of y
Im letzten Video habe wir im wesentlichen die Länge von
equals x square, not the length, but we went from zero
<i>y=x²</i> behandelt. Nicht die Länge aber wir gingen von Null
to 1 on the x-axis and you can view it as this area.
zur Eins auf der <i>x</i>-Achse und das kann man als diese Fläche betrachten.
And we rotated around the y-axis to get this figure here
Und wir rotierten das ganze um die <i>y</i>-Achse um diese Figur hier zu erhalten
and we figured out the volume, I think our answer if I
und wir kamen auf das Volumen, ich denke unsere Antwort war,
remember was pi over 2.
wenn ich mich erinnere <i>π/2</i>.
And we use what I called and what everyone calls
Und wir verwenden, die sogenannte
the Shell method.
Schalen-Methode.
I want to show you that you could actually used
Ich möchte euch zeigen, dass ihr hier auch
the disk method here.
die Scheiben-Methode anwenden könnt.
But then we'll just have to switch the ys and xs.
Dazu müssen wir nur <i>y</i> und <i>x</i> tauschen.
Instead of writing this the function as a function of x,
Anstatt diese Funktion als Funktion von <i>x</i> zu schreiben,
we'll just take the inverse of it and write it
nehmen wir einfach die Umkehrfunktion davon und schreiben sie
as a function of y.
als Funktion von <i>y</i>.
so this curve y equals x squared, what it can also be
Also kann diese Kurve <i>y=x²</i> auch folgendermaßen
written as, we can just take the squared root of both
geschrieben werden: wir nehmen die Quadratwurzel der beiden
sides as x is equal to the square root of y.
Seiten als <i>x=√y</i>.
Just take the square root of both sides.
Nimm einfach die Wurzeln beider Seiten.
And now we can use this information to do the disk
Jetzt können wir diese Information benutzen um die
method, but everywhere where we had an x in the past
Scheiben-Methode anzuwenden, aber überall wo wir vorher <i>x</i> hatten
we'll now have a y.
haben wir jetzt <i>y</i>.
So let's think about how we would do it.
Nun lasst uns überlegen wie wir das tun würden.
Once again it's this area-- really the hardest thing about
Nochmal: dieser Bereich -- das schwierigste an
all of these problems is just the visualization.
all diesen Problemen ist die Visualisierung.
I think that's why they do it.
Ich denke deßwegen benutzt man diese Methode.
Just to make sure that you know how to visualize things and
Einfach um sicher zu stellen, dass ihr versteht wie man sich die Dinge vorstellt und
maybe understand the calculus.
dann auch die Rechnung versteht.
It's more visualization then calculus really.
Es geht mehr um Visualisierung als um die Rechnung.
So we're still dealing with-- if we take a cross section, if
Also wenn wir einen Querschnitt nehmen, wenn
we were to cut this figure this area would be the
wir diese Figur in diesem Bereich teilen, wäre dieser Bereich
cross section.
der Querschnitt.
And we're still rotating around the y-axis just like we
Und wir drehen immer noch um die <i>y</i>-Achse genau wie
did in the last video.
in dem letzten Video.
We're still rotation around the y-axis, we get this figure.
Wir rotieren noch um die <i>y</i>-Achse und erhalten diese Figur.
So how would we deal with disks.
Wie würden wir nun mit Scheiben umgehen.
Well a disk would look like this at some point-- let
Also die Scheibe würde ungefähr so aussehen --
me pick another color.
ich nehem eine andere Farbe.
At some point we'd have a disk like that.
Wir hätten nun eine Scheibe wie diese.
That would be the top of the disk, and it would have some
Dies wäre die obere Fläche unserer Scheibe und diese hätte
depth like we did before.
eine Tiefe, wie wir das schon zuvor gemacht haben.
And its height, or the radius of that disk,
Und die Höhe bzw. der Radius der Scheibe
would be equal to x.
wäre gleich <i>x</i>.
It's equal to x.
Er ist gleich <i>x</i>.
I know you're thinking it looks like the shell method.
Ich weiß, du denkst, dass es wie die Schalen-Methode aussieht.
But what is x equal to?
Aber zu was ist <i>x</i> gleich?
It's equal to the square root of y.
Es ist gleich <i>√y</i>.
It equals the square root of y.
Es ist gleich <i>√y</i>.
And what would be the width of that disk?
Und was wäre die Breite der Scheibe?
Now we are making everything as a function of y, so the width
Da wir jetzt die Funktion von <i>y</i> verwenden, ist die Breite
would be just a very small distance d y, the
nur eine sehr kleine Stecke *d y*, das
differential y.
differenzielle <i>y</i>.
That's essentially all we need to know.
Das ist im wesentlichen alles, was wir wissen müssen.
So the volume of that disk would be the radius squared
Das Volumen der Scheibe wäre also
times pi times d y.
*r² π d y* .
Hopefully that makes a little bit sense, but there's another
Hoffentlich das war verständlich, aber es gibt eine weitere
hitch on this problem.
Schwierigkeit bei dieser Problematik.
This is actually similar to what we did two videos ago.
Dies ist eigentlich ähnlich zu dem was wir zwei Videos vorher getan haben.
Because when you view it in the y-axis, from this y frame of
Denn wenn man es auf der <i>y</i>-Achse anschaut bzw. dieser Referenzrahmen von <i>y</i>
reference, what we're going to do is we're going to take the
was wir jetzt tun werden, wir setzen das
volume, we take the volume of x is equal to 1.
Volumen, wir setzen das Volumen von <i>x=1</i>.
So what would be the volume of x is equal to 1 rotated
Also was wäre das Volumen, wenn <i>x=1</i> ist und
around the x-axis?
um die <i>x</i>-Achse rotiert wird?
It would just be the entire cylinder.
Es wäre natürlich der gesamte Zylinder.
It's really important that you visualize this
Es ist wirklich wichtig, dass du dir vorstellen kannst
right, what we're doing.
was wir jetzt tun.
We're going to figure out this volume, volume
Wir werden dieses Volumen herausfinden, das Volumen
of x is equal to 1.
wenn <i>x=1</i> ist.
Let me draw the axis just so you know what we're doing.
Ich zeichne noch die Achse ein, damit du weißt was ich hier tue.
So this would be the y-axis, that would be the x-axis
So, dies wäre die <i>y</i>-Achse, das wäre die <i>x</i>-Achse
as best as I can draw.
so gut, wie ich malen kann.
Originally, we can figure out the volume of
Ursprünglich, wir bestimmen das Volumen des
the entire cylinder.
gesamten Zylinders.
This is x is equal to 1, x is equal to 1 from what y points?
Dies ist <i>x=1</i>, <i>x=1</i> von welchem <i>y</i> Punkt aus?
From the point, well what is this?
Von welchem Punkt, also was ist das hier?
This is y equals 1.
Dies ist <i>y=1</i>.
y equal 1 to zero.
<i>y=1</i> bis zur <i>0</i>.
So we would figure out this volume from y equals 1 to zero.
Wir ermitteln also das Volumen von <i>y=1</i> bis zur <i>0</i>.
And how would we do that?
Und wie würden wir das tun?
What would be the integral?
Was wäre das Integral?
Remember everything is in y now, so it might seem
Erinnere dich, dass jetzt alles in <i>y</i> ist, es könnte alles
a little confusing.
ein wenig verwirrend sein.
For each of these disks, this is going to be made up of
Jede dieser Scheiben wird aus mehreren schmaleren
a bunch of disks, let me draw one of them.
Scheiben gebildet, ich zeichne mal eine davon ein.
Let me draw the top one.
Ich zeichne die obere ein.
The top disk, and it has a width, it's not going to be
Die obere Scheibe, die hat eine Breite, es wird nicht der
this entire cylinder, its width is d y, its width
ganze Zylinder sein, die Breite ist *d y*, die Breite
is just going to be this.
ist dieses hier.
d y, a very small sliver.
*d y*, ein sehr kleinen "Splitter".
d y, and its radius is x or you could say f of y.
Der Radius ist <i>x</i> oder man könnteauch <i>f(y)</i> sagen.
What would be the volume of that disk?
Was wäre das Volumen von dieser Scheibe?
What would be the surface area of the top?
Was wäre der obere Flächeninhalt?
It would be f of y squared.
Es wäre <i>f(y)²</i>
Remember we're dealing everything with y. f of y
Denk daran, dass wir alles mit <i>y</i> machen.
squared times pi, that gives the area of the top.
*f(y)² π* - das ist der Flächeninhalt hier oben,
Put the pi outside of the integral times d y.
<i>π</i> kommt neben das Integral - mal *d y*.
d y, and we said y is going from zero to 1.
*f(y)² π d y*, und wir sagten, dass <i>y</i>
y is going from zero to 1.
zwischen <i>0</i> und <i>1</i> liegt.
So that's that entire cylinder.
Alos der gesamte Zylinder.
And what we'll want to do is subtract out, essentially cut
Und was wir jetzt tun, wir subtrahieren heraus, bzw. schneiden
out the volume of the inner bowl.
das Volumen der inneren Schale raus.
So minus.
Also minus.
How would we figure out the inner bowl?
Wie würden wir die innere Schale herausfinden?
That's where we will deal with the x is equal to the
Dafür beschäftigen wir uns nun mit der
square root of y function.
<i>x=√y</i> Funktion.
Because here, what's each disk?
Denn hier, was ist jede Scheibe?
Once again it's f of y.
Es ist wieder <i>f(y)</i>.
I wrote this generally, this is f of y of the outside.
Ich schreib es mal hin, es ist <i>f(y)</i> für die Außenseite.
I'm going to now do it for the inside.
Jetzt das ganze für die Innenseite.
I'm going to cut out the inside volume and because I kept
Ich werde das innere Volumen raus schneiden
it general I could do it.
es allgemeine konnte ich es nicht.
We're still going from zero to 1, from y equals
Wir gehen immer noch von 0 bis 1, von y ist gleich
zero to y equals 1.
Null bis y ist gleich 1.
Remember we're doing with y now.
Denken Sie daran, dass wir jetzt mit y machen.
I will take f of the inside f of y squared d of y.
Ich nehme f der inneren f y kariert d y.
You can imagine in this case the inside function, we're
Sie können sich vorstellen in diesem Fall innen Funktion, wir sind
going to take the volume.
jetzt die Lautstärke an.
That original disk I drew is actually one of the disks
Die original-Datenträger zog ich ist tatsächlich eine der Festplatten
for the inside function.
für die innere Funktion.
Where the height of that disk is d y, that should be d y.
Wo die Höhe von diesem Datenträger d y, das d y sein sollte.
The radius of the disk is f of y.
Der Radius der Scheibe ist f y.
And of course the area of the top of the desk is pi
Und natürlich ist der Bereich des oberen Teils der Rezeption pi
times the radius squared.
Zeiten der Radius kariert.
How do we apply it to this particular situation?
Wie anwenden wir es auf dieser besonderen Situation?
What is the outside function?
Was ist die äußere Funktion?
f of y, x is equal to f of y.
f y, X ist gleich y f.
We are just switching the variables.
Wir sind nur die Variablen wechseln.
We say that x is equal to 1.
Wir sagen, dass x gleich 1.
This is just a big cylinder, right?
Ist dies nur ein großer Zylinder, richtig?
So f of i is equal go to 1 in this function, so we get pi--
So f i gleich ist in dieser Funktion auf 1 gehen Sie, so wir Pi bekommen--
let me switch colors-- times from zero to 1.
lassen Sie mich Farben--mal zwischen 0 und 1 zu wechseln.
1 squared d y minus pi, and we're still going
1 kariert d y abzüglich Pi, und wir gehen noch
from zero to 1.
von 0 auf 1.
Remember, that's the y boundaries.
Denken Sie daran, das ist die y-Grenzen.
What's f of y?
Was ist f y?
Here f of y is square root of y squared d y.
Hier ist f y Quadratwurzel der quadrierten d y y.
Let's take the pi out.
Nehmen wir die Pi heraus.
So pi times, well 1 squared is 1.
Also pi mal, gut 1 kariert 1.
What's the anti-derivative of 1?
Was ist die Anti-derivative von 1?
What function's derivative is 1?
Welche Funktion Ableitung ist 1?
It's x, right?
Es ist X, richtig?
x, that's the anti-derivative there.
X, die Anti-derivative dort ist.
We can merge these.
Wir können diese zusammenführen.
We took the pi out.
Wir nahmen die Pi heraus.
This square root of y squared, this is just y.
Diese Wurzel von y kariert, ist dies nur y.
Sorry, we have that derivative 1.
Sorry, haben wir diese Ableitung 1.
See, even I get quite confused here.
Sehen Sie, dass auch ich hier ziemlich verwirrt.
We're taking this with respect to y, right?
Nehmen wir dies in Bezug auf y, richtig?
The anti-derivative of 1 now is y.
Die Anti-derivative von 1 jetzt ist y.
We are setting up a bunch of ys.
Wir sind ein Haufen von Ys einrichten.
I'm sorry.
Es tut mir leid.
I find this even a little perplexing when I start
Ich finde das auch ein wenig verwirrend, wenn ich starte
switching x and y.
Wechsel x und y.
The second function.
Die zweite Funktion.
Remember, we can merge these because it's the same
Denken Sie daran, dass wir diese zusammenführen kann, weil es die gleiche
boundaries and they're both in respect to y.
Grenzen und sie sind beide in Bezug auf y.
Square root of y squared is y.
Quadratwurzel von y kariert ist y.
What's the anti-derivative of y, the function y or y d y.
Was ist die Anti-derivative des y die Funktion y bzw. y d y.
Was y squared over 2, minus y squared over 2.
War, dass y mehr als 2, abzüglich y über 2 kariert kariert.
We are going to evaluate that at 1 and zero.
Wir wollen, dass auf 1 und 0 (null) ausgewertet.
So what does that get us?
Also kommt was, das uns?
We get pi-- we get 1 minus 1/2 minus zero minus zero
Wir bekommen Pi--erhalten wir 1 1/2 minus Null minus Null
minus zero plus 0/2.
abzüglich 0 plus 0/2.
Whatever these are zero.
Was auch immer dies NULL sind.
1 minus 1/2 that's 1/2 and times pi is
1 1/2, das 1/2 und Pi mal ist
equal to pie over 2.
Torte über 2 gleich.
Which is the exact same result.
Das ist genau dasselbe Ergebnis.
And I was worried, because you never know when you might make
Und ich war besorgt, weil Sie nie wissen, wann Sie machen könnte
a careless mistake as I often do.
ein unvorsichtige Fehler als ich oft tun.
We got the exact same result as I got in the previous video
Wir haben das exakte gleiche Ergebnis, wie ich im vorherigen video
when we used the shell method.
Wenn wir die Schale-Methode verwendet.
The hardest thing here is just remembering that you're doing
Hier das schwierigste ist nur daran erinnern, dass du tust
everything in terms of y.
alles in Bezug auf y.
When we did the disk method traditionally, the disks
Wann haben wir traditionell die Disk-Methode, die Festplatten
were vertical disks.
vertikale Platten waren.
Now they're horizontal disks but it's the exact same thing.
Jetzt sind sie horizontale ist Platten, aber es genau das gleiche.
You just have to get your brain around the idea that we're
Sie müssen nur Ihr Gehirn rund um die Idee zu erhalten, die wir sind
dealing with the ys, that the boundaries on the integrals
Umgang mit der Ys, dass die Grenzen auf die integrale
are now y values.
sind nun y-Werte.
We're taking the width of the disks, or the height of the
Wir nehmen die Breite der Datenträger oder die Höhe der
disks are d y and the radius is now the function of y.
Festplatten sind d y und der Radius ist nun die Funktion von y.
Hopefully I didn't confuse you too much.
Hoffentlich verwirrt nicht ich Sie zu sehr.
My own brain malfunctioned a bit when I took the
Mein eigenes Gehirn eine Fehlfunktion ein bisschen, wenn ich nahm die
anti-derivative of 1 d y, it should have been y.
Anti-derivative 1 d y, es hätte y.
I will see you in the next video where we will do even
Wir sehen uns im nächsten Video in dem wir noch
more complicated problems, where I'm sure I'll make
komplizierter Probleme angehen, wo ich sicherlich
even more mistakes.
noch mehr Fehler mache.
See you soon.
Bis bald.
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