Infinite Series - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
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So I'd like to talk about three Infinite series so sums of infinitely many numbers
Me gustaría hablar de tres series infinitas. Sumas de infinitos números.
So here's the first one 1 plus 1/2 plus 1/4 plus 1/8 plus
Así que aquí está la primera 1 más 1/2 más 1/4 más 1/8 más
Blah blah blah. What's that? And the answer is it's 2 this is the problem of Achilles and the tortoise
Bla, bla, bla. ¿Qué es esto? Y la respuesta es que es 2, este es el problema de Aquiles y la tortuga.
Achilles is to
Aquiles está a un
Stadio or whatever the unit of length is in ancient Greece from The Tortoise
estadio, o lo que sea la unidad de longitud en la antigua Grecia, de La Tortuga.
Well after a while Achilles gains on the tortoise one unit, and so the remaining distance is only 1
Bueno, después de un tiempo, Aquiles le gana a la tortuga una unidad, por lo que la distancia restante es de solo 1.
then after a while Achilles gains
Luego, después de un tiempo, Aquiles gana
Half of the distance to the tortoise and now the distance to the tortoise is 1/2
La mitad de la distancia a la tortuga y ahora la distancia a la tortuga es 1/2.
After a little while Achilles gains another 1/4 of the distance to the tortoise and so on and so on and so on
Después de un rato, Aquiles gana otro 1/4 de la distancia a la tortuga y así sucesivamente.
The story according to Zeno's paradoxes is that achilles never catches the tortoise? Well, of course
La historia según las paradojas de Zenón es que Aquiles nunca atrapa a la tortuga. Bueno por supuesto
Achilles never catches the tortoise at any of these times
Aquiles nunca atrapa a la tortuga en ninguno de estos tiempos.
But if you just wait a little longer
Pero si esperas un poco más
Achilles will have caught the tortoise the total length that Achilles gains on the tortoise is 2 and that's why this is true
Aquiles habrá atrapado a la tortuga, la longitud total que gana Aquiles sobre la tortuga es 2 y por eso es cierto.
Now, let's look at 1
Ahora, veamos 1
plus 1/2 plus 1/3
más 1/2 más 1/3
Plus 1/4 plus 1/5 plus 1/6 plus 1/7 plus 1/8 and so on and this never ends. How big is that?
Más 1/4 más 1/5 más 1/6 más 1/7 más 1/8 y así sucesivamente, y esto nunca termina. ¿Qué tan grande es?
What is that what I mean is if I stop after?
Lo que quiero decir es, si me detengo después de
Many many many terms so I can so I'm adding some huge finite list of numbers
muchos, muchos, muchos términos, así que estoy sumando una gran lista finita de números.
How big is that and what happens when I add more and more and more of them and the answer is this is infinity
Qué tan grande es eso y qué sucede cuando agrego más y más y más de ellos y la respuesta es que esto es infinito
Why well, let me group the terms. Here's the first one here are the next two
Pues bien, déjame agrupar los términos. Aquí está el primero, aquí están los siguientes dos.
Here are the next for the next eight would end with 1 over 15, and this goes on forever
Aquí están los siguientes cuatro y los próximos ocho terminan en 1/15, y esto continúa para siempre.
I don't want to mark up my desk
No quiero marcar mi escritorio. Brady: Profesor ¿cómo se interpreta que sea infinito? Porque no es un número ¿verdad?
Well, so what exactly does this mean you give me any number at all
Bueno, ¿qué significa esto exactamente? Me das un número
50 trillion and I can stop this series and say ok. I will only go this far
50 trillones y puedo parar esta serie y decir ok. Solo iré hasta aquí
I'm adding only a finite number of numbers together, but that sum will be more than D trillion. That's true
Solo estoy sumando un número finito de números, pero esa suma será mayor que 50 trillones.
Not only for 50 trillion
Eso es verdad no solo para 50 trillones.
But for any number you name no matter how big and that's what it means that the sum of the series is infinity
Para cualquier número que nombres, no importa lo grande que sea y eso es lo que significa que la suma de la serie es infinita
So it's blowing up. It's like exactly
Brady: Así que está explotando. Exactamente
Exactly. We say that the series diverges. So let's look at the first term. Well, it's 1. Thank you
Exactamente. Decimos que la serie diverge. Así que echemos un vistazo al primer término. Bueno, es 1. Gracias.
How about these next two terms? Well, you know what? This one is bigger than 1/2
¿Qué hay de estos dos próximos términos? Bueno, ¿sabes qué? Este es más grande que 1/2
Each one of these terms is bigger than 1/4
Cada uno de estos términos es mayor que 1/4.
1/2 is bigger than 1/4 1/3 is bigger than 1/4 and there are two terms. So this is bigger than
1/2 es más grande que 1/4 y 1/3 es más grande que 1/4 y hay dos términos. Así que esto es más grande que
2/4 which is again 1/2. How about these four terms?
2/4 que es de nuevo 1/2. ¿Qué hay de estos cuatro términos?
They're all bigger than 1/8 and there are 4 of them. So if I add these guys it's bigger than
Todos son más grandes que 1/8 y hay 4 de ellos. Así que si sumo estos chicos es más grande que
4 eighths which is 1/2
4 octavos, que es 1/2
If I look at the next eight terms, they're all bigger than 1/16 and they're eight of them
Si veo los siguientes ocho términos, todos son más grandes que 1/16 y son ocho
so the sum is bigger than
entonces la suma es más grande que
8/16 which is 1/2 if I stop far enough
8/16 que es 1/2 si me detengo lo suficientemente lejos
this sum will be more than 1/2 plus 1/2 plus 1/2 plus 1/2 plus 1/2 and
esta suma será más de 1/2 más 1/2 más 1/2 más 1/2 más 1/2 más 1/2 y
I can go on as many times as I like
Puedo seguir tantas veces como quiera
Accumulating what have until I get to more than 50 trillion. So sooner or later
acumulando lo que tengo hasta llegar a más de 50 trillones. Tarde o temprano
The sum of these numbers will be more than 50 trillion
la suma de estos números será más de 50 trillones.
The catch is that I have to go enormous ly far out in order to do it, but let's not worry about that now
El problema es que tengo que ir enormemente lejos para poder hacerlo, pero no nos preocupemos por eso ahora
Okay, never mind. Just how enormous that's let's leave it there for this sum which has a name. It's called the harmonic series
OK, no importa qué tan enorme sea. Esta suma que tiene un nombre. Se llama la serie armónica.
I'd like to explain how to use the harmonic series to stack dominoes
Me gustaría explicar cómo usar la serie armónica para apilar dominós
Well, actually I don't have dominoes in my office, but I have lots of issues of the annals of mathematics. Oh, yes
Bueno, en realidad no tengo dominós en mi oficina, pero tengo muchos volumenes con los anales de las Matemáticas. Oh si,
I have lots and lots and lots. So we're going to use copies of the annals of mathematics as dominoes
Tengo muchos y muchos y muchos. Así que vamos a utilizar copias de los anales de las Matemáticas como dominós.
Let's just take two of them first if I move this one here, it's going to collapse
Tomemos dos de ellos primero, si muevo éste aquí, va a colapsar.
but if I move it so that its center of gravity is
Pero si lo muevo para que su centro de gravedad sea,...
Let's see if that works I'm being a little conservative
a ver si funciona, estoy siendo un poco conservador.
The center of gravity of this guy is sitting over that guy and so it does not collapse
El centro de gravedad de este chico está situado sobre ese chico y, por lo tanto, no se colapsa.
now
Ahora,
Let's take these two and put them very carefully on top of the third one
tomemos estos dos y pongámoslos con mucho cuidado encima del tercero
taking care that the center of gravity of this whole guy is above this issue of the annals of mathematics and therefore
cuidando que el centro de gravedad de todo este chico esté por encima de esta edición de los anales de las matemáticas y por lo tanto
looks
Luce
precarious
precario
Ok there. It does not collapse
Ok, ahí no colapsa
And now perhaps I could put these three on top of a fourth and if I succeed in doing that I will not tempt fate
Y ahora tal vez podría poner estos tres encima de un cuarto y, si logro hacer eso, no tentaré al destino.
I will just declare that that we have succeeded
Solo declararé que hemos tenido éxito.
Whoop. So, let's see. How are we doing?
Entonces, veamos. ¿Cómo vamos?
It hasn't collapsed
No se ha derrumbado
Mm-hmm looks a little flaky
Mm-hmm se ve un poco desflecado
It hasn't collapsed
No se ha derrumbado
how far can we make this guy stick out suppose that I have all those copies of the annals of
¿Hasta qué punto podemos hacer que este chico sobresalga? Supongamos que tengo todas esas copias de los anales de
Mathematics or perhaps all the copies of the annals of mathematics ever printed from the beginning of time to the end of time
Matemáticas o tal vez todas las copias de los anales de las Matemáticas impresas desde el principio de los tiempos hasta el final.
Wonder how many that will be
Me pregunto cuántos serán.
Anyway, we have all of them and we stack them up and we demand that the pile cannot collapse
De todos modos, los tenemos todos y los apilamos y exigimos que la pila no pueda colapsar
Well, this is merely paper. So sooner or later if there's too much of a load it will be crushed but nevermind these are
Bueno, esto es meramente papel. Así que tarde o temprano, si hay demasiada carga, será aplastado, pero no importa que estas sean...
imaginary
imaginemos
rigid Domino's
rígidas fichas de dominó
can we ever make the top guy so far out that it is not resting on the bottom guy at all that this edge is
¿Alguna vez podremos hacer que la ficha de arriba esté tan lejos que no se apoye sobre la que está abajo del todo?
Not lying at all over this book, but has come out farther
¿Que no esté en absoluto sobre este libro? Brady: Que haya sobresalido más lejos.
Exactly and the answer is oh, yes. In fact, you can make this this pile come out in that direction as
Exactamente. Y la respuesta es oh, sí. De hecho, puedes hacer que este montón salga en esa dirección
far as you like
tan lejos como quieras
Because if you look at it
Porque si lo miras.
but if you have any copies of the annals of mathematics and you do an absolutely perfect job in an ideal world the
Si tiene algunas copia de los anales de las matemáticas y haces un trabajo absolutamente perfecto en un mundo ideal,
Distances that they are slid out from one another are in the proportions
las distancias que se deslizan entre sí están en las proporciones
1/2 1/2 to 1/3 to 1/4 to 1/5 to 1/6 and so on
1, 1/2 a 1/3 a 1/4 a 1/5 a 1/6 y así sucesivamente
to one over N if there are n copies of the annals of math or maybe n plus one copies of the
hasta 1/n si hay n copias de los anales de Matemáticas o tal vez n más una copia de los
annals of math and so the fact that the harmonic series diverges
anales de Matemáticas y por lo tanto el hecho de que la serie armónica diverge
Tells you that you can eventually make this pile come out as far as you like
te dice que eventualmente puedes hacer que esta pila salga tan lejos como quieras
because 1 plus 1/2 plus 1/3 plus 1/4 plus and so on if
porque 1 más 1/2 más 1/3 más 1/4 más y así sucesivamente si
you stop way way far out after a gazillion for a large enough value of a gazillion will be more than 50 billion and
te detienes muy lejos, después de un billón o por un valor suficientemente grande más grande que un billón será más de 50 mil millones y
Therefore this distance out. There will be more than 50 billion times the height of the annals of mathematics
por lo tanto, esta distancia se aleja. Habrá más de 50 mil millones de veces la altura de los anales de las Matemáticas.
All right, let's put the annals of mathematics aside. Now. Let's do the same thing to
De acuerdo, pongamos a un lado los anales de las Matemáticas. Ahora. Hagamos lo mismo para
the series 1 plus 1/2
la serie 1 más 1/2
squared plus
al cuadrado más
1/3 squared plus
1/3 al cuadrado más
1/4 squared plus let me keep going
1/4 al cuadrado más, déjame seguir,
Squared ok, blah blah. Now, let's try to do the same thing. We're gonna take the first term. All right, so that's 1
ok bla bla. Ahora, tratemos de hacer lo mismo. Vamos a tomar el primer término. Muy bien, así que eso es 1
Thank you. Let's look at the next two terms
Gracias. Veamos los siguientes dos términos.
Now this is 1 over 1/2 squared
Ahora esto es 1/2 al cuadrado.
This is smaller than 1 over 1/2 squared
Esto es más pequeño que 1/2 al cuadrado
So we've got two terms and they're each smaller than 1/2 times 1/2. So that's smaller than 2
Así que tenemos dos términos y cada uno es más pequeño que 1/2 por 1/2. Así que eso es más pequeño que 2
times 1/2 times 1/2
por 1/2 por 1/2
That's smaller than 1/2. Let's look at the next four terms. Here. They are
Eso es más pequeño que 1/2. Veamos los siguientes cuatro términos. Aquí. Son
They're all 1 over 4 squared or smaller
todos 1 sobre 4 al cuadrado o más pequeños
So they are smaller than 1/4 squared plus 1/4 squared plus 1/4 squared
Así que son más pequeños que 1/4 al cuadrado más 1/4 al cuadrado más 1/4 al cuadrado
Plus 1/4 squared there are 4 terms there. And so these guys together are no bigger than 4 times
Más 1/4 al cuadrado hay 4 términos allí. Y así, estos chicos juntos no son más grandes que 4 veces
1/4 squared that's 4 times 1/4 times 1/4 and that's 1/4
1/4 al cuadrado. Eso es 4 por 1/4 por 1/4 y eso es 1/4
So this whole thing is less than 1/4 if I looked at the next eight terms and played the same game
Así que todo esto es menos de 1/4. Si miro los siguientes ocho términos y juego de la misma manera.
I would find that that's less than 1/8 and so on
Me parece que eso es menor a 1/8 y así sucesivamente
So now look if I go out to a gazillion terms
Así que ahora miremos si tomamos una gran cantidad de términos.
I'm guaranteed that what I've got is less than 1 plus 1/2 plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16
Tengo la garantía de que lo que tengo es menos de 1 más 1/2 más 1/4 más 1/8 más 1/16
plus
más
Something-or-other. I stopped at 1 over some power of 2. Hey, wait a minute remember first result
Una cosa u otra. Me detuve en 1 por una potencia de 2. Hey, espera un minuto, recuerda el primer resultado
This series never be the sum of these guys is never more than 2 the sum of all these numbers is 2 and the sum
La suma de estos chicos nunca es más que 2. La suma de todos estos números es 2 y la suma
Of the first gazillion numbers will be slightly less than 2
de los primeros millones de estos números serán ligeramente inferior a 2.
So therefore I'm guaranteed that no matter how many terms of this guy I take
Por lo tanto, tengo la garantía de que no importa cuántos términos tomo,
It will be
será
less than 2 so it doesn't run off to infinity the
menos de 2. Entonces no se escapa al infinito
the harmonic series does and in fact, you could wonder what is the value of the sum of all of these terms and
La serie armónica lo hace y, de hecho, podría preguntarse cuál es el valor de la suma de todos estos términos y
that was a
eso fue un
Famous unsolved problem of the 18th century and the answer is PI squared over 6
famoso problema no resuelto del siglo XVIII y la respuesta es PI al cuadrado sobre 6.
Pi creeps in where you would least expect it
Pi se desliza en donde menos te lo esperas.
I was exactly here this place and I was having an interview than the phone rings
Estaba exactamente aquí, en este lugar y estaba teniendo una entrevista que suena el teléfono.
Hello and the voice was saying hello, this is Las Navas from Budapest
Hola y la voz decía hola, soy László Lovász de Budapest.
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