The Mathematics of our Universe Zach Star English German

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English UCZPnoUFfSeBMH3PNAg5cmSg

Spanish Jesús Agustín Baigorria

Arabic UCZPnoUFfSeBMH3PNAg5cmSg

German Kingsley PvP

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In our everyday lives we experience and observe three spatial dimensions

In unserem täglichen Leben erleben und beobachten wir drei räumliche Dimensionen

We can move left to right up and down and then forward and back

Wir können uns von links nach rechts auf und ab und dann vorwärts und rückwärts bewegen

If you wanted to tell me to meet you somewhere even outside

Wenn du mir sagen wolltest, ich soll dich irgendwo draußen treffen

The earth three numbers is all I need but this isn't quite complete because if I wanted to meet you for lunch

Die drei Zahlen der Erde sind alles, was ich brauche, aber das ist nicht ganz vollständig, denn wenn ich dich zum Mittagessen treffen wollte

Let's say I would need three numbers like a longitude a latitude and the floor to meet you on but I'd also need a time

Nehmen wir an, ich würde drei Zahlen wie einen Längen- und Breitengrad und den Boden brauchen, um Sie zu treffen, aber ich würde auch eine Zeit brauchen

Because we need this fourth value to completely specify some event in the universe. We consider time to be the fourth dimension

Weil wir diesen vierten Wert benötigen, um ein Ereignis im Universum vollständig anzugeben. Wir betrachten die Zeit als die vierte Dimension

Now time is not a spatial dimension that extends beyond height length and width but rather it's called a temporal dimension

Jetzt ist Zeit keine räumliche Dimension, die über Höhe, Länge und Breite hinausgeht, sondern eine zeitliche Dimension

It doesn't behave like the other dimensions and we definitely can't point in the direction of time

Es verhält sich nicht wie die anderen Dimensionen und wir können definitiv nicht in die Richtung der Zeit zeigen

Let's say since we're embedded in 3d space

Nehmen wir an, wir sind in den 3D-Raum eingebettet

But in simplest terms since we need that fourth value of time to specify an event. We consider to be the fourth dimension

Aber im einfachsten Sinne, da wir diesen vierten Zeitwert benötigen, um ein Ereignis anzugeben. Wir betrachten als die vierte Dimension

Now we used to think space and time were totally independent, but then Einstein came along and found that's not the case

Früher dachten wir, Raum und Zeit seien völlig unabhängig, aber dann kam Einstein und stellte fest, dass dies nicht der Fall ist

They were in fact linked together and the mathematical model that fuses these two things became known as space-time

Sie waren tatsächlich miteinander verbunden und das mathematische Modell, das diese beiden Dinge miteinander verbindet, wurde als Raum-Zeit bekannt

What Einstein's general theory of relativity says is that massive objects curved space-time?

Was Einsteins allgemeine Relativitätstheorie besagt, ist, dass massive Objekte die Raumzeit gekrümmt haben?

This means that distances between points and also times between events are warped around massive objects

Dies bedeutet, dass Entfernungen zwischen Punkten und auch Zeiten zwischen Ereignissen um massive Objekte verzerrt werden

and this has strange consequences like time ticking differently on different planets and

und dies hat seltsame Konsequenzen wie das unterschiedliche Ticken der Zeit auf verschiedenen Planeten und

massless photons being bent by massive objects because of that curvature

Aufgrund dieser Krümmung werden masselose Photonen von massiven Objekten gebogen

The equations that describe all this can definitely look intimidating

Die Gleichungen, die all dies beschreiben, können definitiv einschüchternd aussehen

But really what you see is on one side of this equation is math regarding the geometry or curvature of space-time

Aber wirklich, was Sie auf einer Seite dieser Gleichung sehen, ist Mathematik in Bezug auf die Geometrie oder Krümmung der Raum-Zeit

And on the other side we have an expression has to do with mass and energy

Und auf der anderen Seite haben wir einen Ausdruck, der mit Masse und Energie zu tun hat

The famous saying by physicist John Wheeler is that space-time tells matter how to move and matter tells space-time how to curve

Das berühmte Sprichwort des Physikers John Wheeler lautet: Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegt, und Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmt

Now in order to understand more of the underlying mathematics behind how our universe really works

Nun, um mehr über die zugrunde liegende Mathematik zu verstehen, die dahinter steckt, wie unser Universum wirklich funktioniert

We need take a closer look at the word curvature

Wir müssen uns das Wort Krümmung genauer ansehen

Because in general we tend to think that something is curved if it's simply not flat

Weil wir im Allgemeinen denken, dass etwas gekrümmt ist, wenn es einfach nicht flach ist

So for example, most people would tell you this is curved but this is not

Zum Beispiel würden die meisten Leute Ihnen sagen, dass dies gekrümmt ist, dies jedoch nicht

However, there's more than one way to define curvature and something we're going to investigate. More of is Gaussian curvature

Es gibt jedoch mehr als einen Weg, die Krümmung zu definieren, und etwas, das wir untersuchen werden. Mehr von ist Gaußsche Krümmung

Which might not be exactly what you'd expect

Welches könnte nicht genau das sein, was Sie erwarten würden

For example when it comes to Gaussian curvature this and this are the exact same or something

Wenn es zum Beispiel um die Gaußsche Krümmung geht, sind dies und das genau gleich oder so

I'm sure many of you guys know is that you cannot have a world map that?

Ich bin sicher, dass viele von euch wissen, dass ihr keine Weltkarte haben könnt?

Perfectly represents a globe without some distortion and the reason behind this has to do with Gaussian curvature

Stellt perfekt einen Globus ohne Verzerrung dar und der Grund dafür liegt in der Gaußschen Krümmung

But moving to the actual math a piece of paper has zero Gaussian curvature, which is probably no surprise, but why is that?

Wenn man jedoch zur eigentlichen Mathematik übergeht, hat ein Stück Papier keine Gaußsche Krümmung, was wahrscheinlich keine Überraschung ist, aber warum ist das so?

It's because at any point if I draw a little line segment in any direction, it's completely flat. So we say that has zero curvature

Das liegt daran, dass es zu jedem Zeitpunkt, wenn ich ein kleines Liniensegment in eine beliebige Richtung zeichne, völlig flach ist. Wir sagen also, das hat keine Krümmung

Then if I draw another segment perpendicular we see the same thing zero curvature

Wenn ich dann ein anderes Segment senkrecht zeichne, sehen wir dieselbe Nullkrümmung

and when we multiply them we of course get 0 which is the Gaussian curvature at that point and that would apply to

und wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir natürlich 0, was die Gaußsche Krümmung an diesem Punkt ist und für die dies gelten würde

anywhere on the piece of paper, however

jedoch überall auf dem Blatt Papier

things change when we look at a sphere because now at any point if I draw a little segment

Dinge ändern sich, wenn wir eine Kugel betrachten, denn jetzt zu jedem Zeitpunkt, wenn ich ein kleines Segment zeichne

It's not easy to tell but that segment has curved outwards just a little bit and that outward curvature we say is positive Gaussian curvature

Es ist nicht leicht zu sagen, aber dieses Segment hat sich nur ein wenig nach außen gekrümmt und diese nach außen gerichtete Krümmung ist eine positive Gaußsche Krümmung

And if I do the same thing?

Und wenn ich das Gleiche mache?

Perpendicular that segment has curved outwards as well

Senkrecht hat sich dieses Segment ebenfalls nach außen gekrümmt

So since we have a positive times a positive

Also da haben wir eine positive mal eine positive

Then we say at that point there is positive Gaussian curvature

Dann sagen wir an diesem Punkt, dass es eine positive Gaußsche Krümmung gibt

And again the same would apply to any point on the sphere now for negative curvature

Und wieder würde das gleiche für jeden Punkt auf der Kugel gelten, der jetzt eine negative Krümmung aufweist

I really couldn't find much around my apartment, but I think my electric shaver will do the trick right at this point not everywhere

Ich konnte wirklich nicht viel in meiner Wohnung finden, aber ich denke, mein Elektrorasierer wird den Trick an dieser Stelle nicht überall richtig machen

But right here

Aber genau hier

If I draw a little segment here, it curved outwards gets that positive curvature

Wenn ich hier ein kleines Segment zeichne, erhält es nach außen gekrümmt diese positive Krümmung

But if we go this other way perpendicular to it

Aber wenn wir diesen anderen Weg senkrecht dazu gehen

It curves inwards so negative so that positive times negative curvature means at that point

Es krümmt sich so negativ nach innen, dass an diesem Punkt positive mal negative Krümmung bedeutet

there's a negative Gaussian curvature overall a

es gibt insgesamt eine negative Gaußsche Krümmung a

More general surface that has that negative Gaussian curvature would be something like a saddle shape or even the inside of a torus

Eine allgemeinere Oberfläche mit dieser negativen Gaußschen Krümmung wäre so etwas wie eine Sattelform oder sogar das Innere eines Torus

But now how do we figure this out for something like a cylinder? For example?

Aber wie können wir das für so etwas wie einen Zylinder herausfinden? Beispielsweise?

Because that any given point there are several segments I could draw through it that all curve a little differently

Da es an einem bestimmten Punkt mehrere Segmente gibt, könnte ich durch sie zeichnen, die alle etwas anders gekrümmt sind

So what's the official way to figure this out?

Wie kann man das offiziell herausfinden?

Well if I want to find the Gaussian curvature at that point

Nun, wenn ich an diesem Punkt die Gaußsche Krümmung finden möchte

I need to find the segment that goes through it with the most curvature and the moment the least and then multiply those together

Ich muss das Segment finden, das es mit der größten Krümmung und dem Moment am wenigsten durchläuft, und diese dann miteinander multiplizieren

So in this case, this is the segment with the most curvature curse outward just a little so it's got that positive curvature

In diesem Fall ist dies also das Segment mit dem größten Krümmungsfluch nach außen, nur ein wenig, sodass es diese positive Krümmung aufweist

Then this segment the one perpendicular to it has the least curvature

Dann hat dieses Segment, das senkrecht dazu ist, die geringste Krümmung

In fact, this didn't curve at all just went straight down the side. So it has zero curvature

Tatsächlich krümmte sich diese Kurve überhaupt nicht, sondern ging geradewegs die Seite hinunter. Es hat also keine Krümmung

That means we have positive times zero curvature which gives us zero Gaussian curvature at that point

Das heißt, wir haben eine positive Krümmung mal Null, was uns an diesem Punkt eine Gaußsche Krümmung von Null gibt

But the same thing could be said about any point on the lateral surface of the cylinder

Das Gleiche gilt jedoch für jeden Punkt auf der Seitenfläche des Zylinders

So yes, the cylinder is curved but it's Gaussian curvature is zero

Also ja, der Zylinder ist gekrümmt, aber seine Gaußsche Krümmung ist Null

So now we're ready for a theorem

Jetzt sind wir bereit für einen Satz

I found really interesting and that's the theorem agree geom which was discovered by Gauss and what this theorem says

Ich fand es wirklich interessant und das ist der Satz, der von Gauß entdeckt wurde und was dieser Satz sagt

Pretty much is that if you smoothly deform a surface its gaussian curvature at any point is not going to change

Wenn Sie eine Oberfläche glatt verformen, ändert sich die Gaußsche Krümmung an keiner Stelle

so because this has zero Gaussian curvature

also, weil dies keine Gaußsche Krümmung hat

The theorem says that this at every point has zero Gaussian curvature as well

Der Satz besagt, dass dies an jedem Punkt auch keine Gaußsche Krümmung aufweist

Which isn't too hard to see if we take any point

Was nicht allzu schwer zu sehen ist, wenn wir irgendeinen Punkt nehmen

Let's say right at the top any point there and find the gaussian curvature

Sagen wir ganz oben an einem beliebigen Punkt und finden die Gaußsche Krümmung

Well, yes one segment right here does curve has positive curvature

Ja, ein Segment hier hat eine Kurve mit positiver Krümmung

But remember we have to find the segment with the least curvature and that would be this one here

Aber denken Sie daran, wir müssen das Segment mit der geringsten Krümmung finden, und das wäre dieses hier

Which doesn't curve at all it's just a straight segment so that zero times positive curvature leaves us with zero

Was überhaupt nicht gekrümmt ist, ist nur ein gerades Segment, so dass die nullfache positive Krümmung uns mit Null belässt

Gaussian curvature overall at that point it didn't change and the same goes for any point on the surface

Die Gaußsche Krümmung hat sich zu diesem Zeitpunkt insgesamt nicht geändert, und das gilt auch für jeden Punkt auf der Oberfläche

So mathematically it now makes a little more sense why I can wrap a piece of paper

Mathematisch macht es jetzt etwas mehr Sinn, warum ich ein Stück Papier einwickeln kann

Around a cylinder without there being any wrinkles or anything like that

Um einen Zylinder herum, ohne dass es Falten oder ähnliches gibt

because we saw this is zero Gaussian curvature everywhere on the lateral surface and

weil wir gesehen haben, dass dies überall auf der Seitenfläche und keine Gaußsche Krümmung ist

when I deform this

wenn ich das deformiere

it's zero Gaussian curvature is not going to change at any point and

Es ist Null. Die Gaußsche Krümmung wird sich zu keinem Zeitpunkt ändern

As it smoothly maps onto the cylinder with no wrinkles or distortion or anything like that

Da es reibungslos auf den Zylinder abgebildet wird, ohne Falten oder Verzerrungen oder ähnliches

However, we saw that the sphere has

Wir haben jedoch gesehen, dass die Kugel hat

positive Gaussian curvature and

positive Gaußsche Krümmung und

Because this must maintain its zero curvature as I deform it

Weil dies seine Nullkrümmung beibehalten muss, wenn ich es verforme

Then I cannot wrap a piece of paper around the sphere and the masses if I were to try it's guaranteed

Dann kann ich kein Stück Papier um die Kugel und die Massen wickeln, wenn ich es versuchen würde, ist es garantiert

to crumple

zerknittern

and

und

If this were I don't know a map and I tried to wrap it around a globe

Wenn dies der Fall wäre, kenne ich keine Karte und habe versucht, sie um einen Globus zu wickeln

then work guaranteed to have Distortion and

dann arbeiten garantiert Verzerrung und

If I try to give a piece of paper negative curvature, you see the same thing happen

Wenn ich versuche, einem Stück Papier eine negative Krümmung zu geben, sehen Sie dasselbe

It's basically I have to give it positive curvature here, but then we got to bend it up this way

Im Grunde muss ich es hier positiv krümmen, aber dann müssen wir es auf diese Weise biegen

Which if you try it's just it's not gonna happen without it crumpling just a little bit

Was, wenn du es versuchst, einfach nicht passieren wird, ohne dass es ein bisschen zusammenbricht

Okay, now that we have some background with that it's time to talk about people living on these surfaces

Okay, jetzt, da wir einige Hintergrundinformationen haben, ist es Zeit, über Menschen zu sprechen, die auf diesen Oberflächen leben

And by the way, we're assuming that these surfaces are all very large

Übrigens gehen wir davon aus, dass diese Flächen alle sehr groß sind

Now to a small creature living on these surfaces

Nun zu einer kleinen Kreatur, die auf diesen Oberflächen lebt

Whether it's a giant sphere a flat plane or a saddle the area around you will appear to be flat and two-dimensional

Egal, ob es sich um eine riesige Kugel, eine flache Ebene oder einen Sattel handelt, der Bereich um Sie herum erscheint flach und zweidimensional

So my question is even though this is the case. Can we determine we're on a curved surface without leaving it?

Meine Frage ist also, obwohl dies der Fall ist. Können wir feststellen, dass wir uns auf einer gekrümmten Oberfläche befinden, ohne sie zu verlassen?

Like could we determine that the earth is not flat?

Wie könnten wir feststellen, dass die Erde nicht flach ist?

Without going into space or going all the way around

Ohne in den Weltraum zu gehen oder den ganzen Weg herumzugehen

The answer is yes, but especially for this first explanation you need very precise equipment

Die Antwort lautet ja, aber gerade für diese erste Erklärung benötigen Sie eine sehr präzise Ausrüstung

But let's assume the earth is a perfect sphere to figure that. In fact is not flat

Aber nehmen wir an, die Erde ist eine perfekte Kugel, um das herauszufinden. In der Tat ist nicht flach

One thing you could do is draw a circle on that surface of a known radius then from there

Eine Sache, die Sie tun können, ist, von dort aus einen Kreis auf die Oberfläche eines bekannten Radius zu zeichnen

You'd measure the distance around the circle or circumference and if the surface is curved

Sie würden den Abstand um den Kreis oder Umfang messen und ob die Oberfläche gekrümmt ist

You'd notice that the circumference does not have a length of 2 pi R as it should

Sie werden feststellen, dass der Umfang nicht wie vorgesehen eine Länge von 2 pi R hat

It actually be a little smaller if we're on a sphere

Es ist tatsächlich etwas kleiner, wenn wir uns auf einer Kugel befinden

Because remember in your eyes

Denn denk in deinen Augen

You just walked in a perfectly straight line to trace out or measure that radius, but in reality you curve just a little

Sie sind nur in einer perfekt geraden Linie gegangen, um diesen Radius zu ermitteln oder zu messen, aber in Wirklichkeit krümmen Sie sich nur ein wenig

That means the circle you drew would lie on a plane

Das heißt, der Kreis, den Sie gezeichnet haben, würde in einer Ebene liegen

Slightly inside the sphere and when those have a radius slightly smaller than the distance you walked

Etwas innerhalb der Kugel und wenn diese einen Radius haben, der etwas kleiner ist als die Entfernung, die Sie gegangen sind

Meaning the circumference will be 2 pi times a value slightly less than that red R

Dies bedeutet, dass der Umfang das 2-fache eines Wertes beträgt, der etwas kleiner als das rote R ist

which you thought was a flat line segment and from this you could conclude that you're on a surface with a

was Sie für ein flaches Liniensegment hielten und daraus schließen konnten, dass Sie sich auf einer Oberfläche mit einem befinden

positive curvature at least locally

positive Krümmung zumindest lokal

If on the other hand, the circumference was greater than 2 pi or you could conclude maybe you're on some saddle shape with negative curvature

Wenn andererseits der Umfang größer als 2 pi war oder Sie könnten schließen, dass Sie sich auf einer Sattelform mit negativer Krümmung befinden

Now yes, this would be a difficult task on such a large non

Nun ja, dies wäre eine schwierige Aufgabe für ein so großes Nicht

Perfect sphere like Earth, but there is more we can do without going around the entire thing or leaving it

Perfekte Kugel wie die Erde, aber wir können noch mehr tun, ohne das Ganze zu umgehen oder es zu verlassen

Because one of the biggest differences between curved surfaces is what you'll encounter when moving parallel to someone else

Denn einer der größten Unterschiede zwischen gekrümmten Oberflächen besteht darin, dass Sie sich parallel zu einer anderen Person bewegen

So if you and your friends start walking parallel to each other on a flat surface, you'd never get any closer or further apart

Wenn Sie und Ihre Freunde auf einer ebenen Fläche parallel zueinander laufen, kommen Sie nie näher oder weiter auseinander

But if you're on a sphere and you and your friends start walking perfectly straight you think you're walking parallel paths at first

Aber wenn Sie sich auf einer Kugel befinden und Sie und Ihre Freunde perfekt geradeaus laufen, denken Sie zunächst, dass Sie parallele Wege gehen

But you'd slowly notice you and your friend getting closer together until your paths would eventually cross

Aber Sie würden langsam bemerken, dass Sie und Ihr Freund näher zusammenrücken, bis sich Ihre Wege schließlich kreuzen würden

Even though you thought you're walking straight the entire time and this is something that happens when you have that positive curvature

Auch wenn Sie dachten, Sie gehen die ganze Zeit geradeaus und dies passiert, wenn Sie diese positive Krümmung haben

For another thing you'd see on a flat surface is that if you started walking perfectly straight then made a right turn

Eine andere Sache, die Sie auf einer ebenen Fläche sehen würden, ist, dass Sie rechts abbiegen, wenn Sie perfekt geradeaus laufen

Walk the same distance and repeated this it would take three turns before you got back to your original spot

Gehen Sie die gleiche Strecke und wiederholen Sie dies. Es würde drei Umdrehungen dauern, bis Sie wieder an Ihrem ursprünglichen Ort sind

But if you're on a sphere it'd be possible for you to make two right angle turns before returning to your original position

Wenn Sie sich jedoch auf einer Kugel befinden, können Sie zwei rechtwinklige Kurven fahren, bevor Sie zu Ihrer ursprünglichen Position zurückkehren

This wouldn't always be the case, of course, but it is true that on a positively curved surface

Dies wäre natürlich nicht immer der Fall, aber es ist wahr, dass auf einer positiv gekrümmten Oberfläche

The internal angles of triangles always add to more than 180 degrees

Die Innenwinkel von Dreiecken addieren sich immer zu mehr als 180 Grad

So if we go to brilliant sight the secret to a problem like this

Wenn wir also zu einem brillanten Anblick gehen, ist das Geheimnis eines solchen Problems

Where you have to find the sum of all interior angles is that longitudinal lines are always perpendicular to the equator

Die Summe aller Innenwinkel ergibt sich darin, dass Längslinien immer senkrecht zum Äquator stehen

Which is why they appear parallel at least when they're very close

Deshalb erscheinen sie zumindest dann parallel, wenn sie sehr nahe beieinander liegen

then since they meet at the top you have a triangle whose angles will definitely be greater than 180 and that excess will depend on

dann, da sie sich oben treffen, haben Sie ein Dreieck, dessen Winkel definitiv größer als 180 sind und von dem der Überschuss abhängt

That top angle in this case

Dieser obere Winkel in diesem Fall

Negatively curved surfaces on the other hand have internal angles that sum to less than 180

Negativ gekrümmte Flächen haben dagegen Innenwinkel, die sich auf weniger als 180 summieren

Which means if we want to see whether our universe is open closed or flat aka doesn't have negative positive or zero curvature

Das heißt, wenn wir sehen wollen, ob unser Universum offen, geschlossen oder flach ist, hat es keine negative positive oder Null-Krümmung

we could make a big triangle and measure the internal angle since that directly relates to that intrinsic curvature of our universe and

Wir könnten ein großes Dreieck bilden und den Innenwinkel messen, da dies direkt mit der intrinsischen Krümmung unseres Universums zusammenhängt und

scientists have done this before by looking at the Cosmic Microwave Background and they found that the universe is mostly

Wissenschaftler haben dies bereits zuvor getan, indem sie sich den kosmischen Mikrowellenhintergrund angesehen haben, und sie haben festgestellt, dass das Universum größtenteils aus dem Universum besteht

Flat as in parallel lines behave as expected if there's no curvature kind of the least exciting answer unfortunately

Flach wie in parallelen Linien verhalten sich wie erwartet, wenn es leider keine Krümmung der am wenigsten aufregenden Antwort gibt

But on top of the small margin of error the exact shape of our universe and its global topology are still up for debate

Neben der geringen Fehlerquote stehen die genaue Form unseres Universums und seine globale Topologie noch zur Debatte

So we found that geometry and spaces that aren't flat or non Euclidean geometry. It's really weird, but there's still more we haven't

Wir fanden also Geometrie und Räume, die nicht flach oder nicht euklidisch sind. Es ist wirklich komisch, aber es gibt noch mehr, was wir nicht haben

Like in flat space we know the shortest distance between two points is a straight line

Wie im flachen Raum wissen wir, dass der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine gerade Linie ist

However on a curved surface, we usually don't have straight lines

Auf einer gekrümmten Oberfläche haben wir jedoch normalerweise keine geraden Linien

so we called the shortest path and point A to point B along a surface a geodesic as

Also nannten wir den kürzesten Weg und Punkt A bis Punkt B entlang einer Oberfläche eine geodätische als

an example on a sphere the shortest path between two points or the geodesic is always part of a great circle a

ein Beispiel auf einer Kugel Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten oder der Geodät ist immer Teil eines Großkreises a

Great circle is basically the largest circle you can draw around a sphere

Der Großkreis ist im Grunde der größte Kreis, den Sie um eine Kugel zeichnen können

So what you see here or the equator would be examples of that

Was Sie hier oder am Äquator sehen, wären Beispiele dafür

You can think of geodesics as the paths we perceive to be straight as we walk along a surface at least when that surface is

Sie können sich Geodäten als die Pfade vorstellen, die wir als gerade wahrnehmen, wenn wir entlang einer Oberfläche gehen, zumindest wenn diese Oberfläche vorhanden ist

Very large like if you went outside and started walking perfectly straight right now in any direction

Sehr groß, als ob Sie nach draußen gegangen wären und gerade jetzt in jede Richtung perfekt geradeaus gegangen wären

Assuming an ideal sphere you'd be walking along some great circle of the earth

Unter der Annahme einer idealen Kugel würden Sie entlang eines großen Erdkreises gehen

These are also what we see for flight paths planes are traveling along geodesics

Dies ist auch das, was wir für Flugwege sehen, die Flugzeuge entlang der Geodäten fliegen

If you want to fly from New York to Madrid

Wenn Sie von New York nach Madrid fliegen möchten

You would not fly along the latitude line as that's part of a small circle

Sie würden nicht entlang der Breitengradlinie fliegen, da dies Teil eines kleinen Kreises ist

Which is not a geodesic and therefore not the shortest path

Welches ist keine geodätische und daher nicht der kürzeste Weg

You'd instead take a slightly different path, which is part of a great circle

Sie würden stattdessen einen etwas anderen Weg einschlagen, der Teil eines großen Kreises ist

But on a cylinder for example a geodesic looks more like a spiral

Aber auf einem Zylinder zum Beispiel sieht eine Geodät eher wie eine Spirale aus

in fact

eigentlich

I know this is a geodesic because if you were to unroll a cylinder back to a flat plane

Ich weiß, dass dies eine Geodät ist, denn wenn Sie einen Zylinder zurück in eine flache Ebene rollen würden

The geodesic should remain the shortest path aka a straight line

Die Geodät sollte der kürzeste Weg bleiben, auch bekannt als gerade Linie

But to relate this back to the universe you first need to know that light

Aber um dies wieder mit dem Universum in Verbindung zu bringen, muss man zuerst dieses Licht kennen

Naturally travels the path not of shortest distance but of shortest time

Natürlich fährt der Weg nicht von kürzester Entfernung, sondern von kürzester Zeit

When light travels from air to a new medium like glass we notice it will refract bending at a different angle

Wenn Licht von Luft zu einem neuen Medium wie Glas gelangt, bemerken wir, dass es die Biegung in einem anderen Winkel bricht

The reason is because that is the path that will make light go from point A to point B the fastest

Der Grund dafür ist, dass dies der Weg ist, auf dem das Licht am schnellsten von Punkt A nach Punkt B gelangt

Light doesn't travel as fast and glass compared to air. So although this may be the shortest path

Licht bewegt sich nicht so schnell und Glas im Vergleich zu Luft. Obwohl dies der kürzeste Weg sein kann

It doesn't minimize time because in this case the light spends more time in the glass where it's moving slower

Die Zeit wird nicht minimiert, da das Licht in diesem Fall mehr Zeit im Glas verbringt, wo es sich langsamer bewegt

Now when light moves through the vacuum of space to minimize time it travels along geodesic curves, which are typically straight lines

Wenn sich Licht nun durch das Vakuum des Raums bewegt, um die Zeit zu minimieren, bewegt es sich entlang geodätischer Kurven, die typischerweise gerade Linien sind

but around massive objects light bends and

aber um massive Objekte biegt sich Licht und

Because light follows geodesics we can say that mass bends those geodesic lines or really we can say that space is curved

Da Licht der Geodäten folgt, können wir sagen, dass die Masse diese geodätischen Linien biegt, oder wir können wirklich sagen, dass der Raum gekrümmt ist

simply put if geodesics are not lines and there's some indication that the space is curved and

Einfach ausgedrückt, wenn Geodäten keine Linien sind und es Hinweise darauf gibt, dass der Raum gekrümmt ist und

This was a huge breakthrough improving that general ativy was in fact

Dies war ein großer Durchbruch, der die allgemeine Ativie tatsächlich verbesserte

Correct. Seeing that it wasn't just things with mass that were affected by gravity

Richtig. Zu sehen, dass nicht nur Dinge mit Masse von der Schwerkraft beeinflusst wurden

Okay, so far we've gone over Gaussian curvature

Okay, bisher haben wir die Gaußsche Krümmung untersucht

geodesics and some non Euclidean geometry

Geodäten und einige nichteuklidische Geometrie

But we need one more thing. We need a way to calculate the distance between nearby points on curved surfaces

Aber wir brauchen noch eine Sache. Wir brauchen eine Möglichkeit, den Abstand zwischen nahe gelegenen Punkten auf gekrümmten Oberflächen zu berechnen

because when it comes to a flat plane

denn wenn es um ein flaches Flugzeug geht

This is really easy to do just give me any two points and I can use the Pythagorean theorem to find the distance between them

Dies ist wirklich einfach, geben Sie mir einfach zwei beliebige Punkte und ich kann den Satz von Pythagoras verwenden, um den Abstand zwischen ihnen zu finden

But if we want to be able to do this on curved surfaces, we need something else and that brings us to the metric tensor

Aber wenn wir dies auf gekrümmten Oberflächen tun wollen, brauchen wir etwas anderes, und das bringt uns zum metrischen Tensor

The metric tensor was discovered by a mathematician named dream on and it's this

Der metrische Tensor wurde von einem Mathematiker namens dream on entdeckt und das ist es

Mathematical tool that allowed Einstein to complete his general theory of relativity

Mathematisches Werkzeug, mit dem Einstein seine allgemeine Relativitätstheorie vervollständigen konnte

Now if we have a flat plane and a vector going from the origin to 3 comma 4 which will dis label with this notation

Wenn wir nun eine flache Ebene und einen Vektor haben, der vom Ursprung zu 3 Komma 4 geht, werden diese mit dieser Notation beschriftet

Finding the length of that vector isn't very hard

Die Länge dieses Vektors zu finden ist nicht sehr schwierig

We know that X component is 3 which I labeled Delta X and the y component is 4 which I'll label Delta Y

Wir wissen, dass die X-Komponente 3 ist, die ich als Delta X bezeichnet habe, und die y-Komponente 4, die ich als Delta Y bezeichnen werde

Now I'm just going to deal with distances squared here. So I don't have to have any square roots, but this doesn't change anything

Jetzt werde ich mich nur noch mit den quadratischen Entfernungen befassen. Ich muss also keine Quadratwurzeln haben, aber das ändert nichts

Anyways, we all know the general solution to find that distance squared is Delta x squared times a constant plus another constant

Wie auch immer, wir alle kennen die allgemeine Lösung, um herauszufinden, dass der Abstand im Quadrat Delta x im Quadrat mal eine Konstante plus eine weitere Konstante ist

times Delta X Delta Y

mal Delta X Delta Y.

Plus another constant times Delta Y Delta X plus another constant times the change in Y squared

Plus eine weitere Konstante mal Delta Y Delta X plus eine weitere Konstante mal die Änderung von Y im Quadrat

Ok, I know that was probably frustrating since of course

Ok, ich weiß, dass das wahrscheinlich seitdem frustrierend war

The distance squared is just Delta x squared plus Delta Y squared the good old Pythagorean theorem

Das Quadrat im Abstand ist nur Delta x im Quadrat plus Delta Y im Quadrat des guten alten Satzes von Pythagoras

Which would tell us that the distance squared is 25 or the distance is 5

Was uns sagen würde, dass der quadratische Abstand 25 oder der Abstand 5 beträgt

but the equation I put is still technically correct so long as we assign values of 1

Aber die Gleichung, die ich formuliere, ist technisch immer noch korrekt, solange wir Werte von 1 zuweisen

0 0 and 1 to the constants respectively, but ok. Why did I add those terms in?

0 0 und 1 zu den Konstanten, aber ok. Warum habe ich diese Begriffe hinzugefügt?

It's because the Pythagorean theorem only works in a flat space when you define your basis vectors, very nicely

Dies liegt daran, dass der Satz von Pythagoras nur dann in einem flachen Raum funktioniert, wenn Sie Ihre Basisvektoren sehr gut definieren

For this example, these were our basis vectors

In diesem Beispiel waren dies unsere Basisvektoren

Which I'll label a 1 and E 2 just the unit vector in the X and y direction

Welches ich eine 1 und E 2 nur den Einheitsvektor in der X- und y-Richtung beschriften werde

so when I said 3 comma 4 was the vector that just meant we take 3 e ones combined with 4 e 2 s

Als ich sagte, 3 Komma 4 sei der Vektor, bedeutete das nur, dass wir 3 e eins in Kombination mit 4 e 2 s nehmen

And find the distance from the tail of the first to the tip of the last

Und finden Sie den Abstand vom Schwanz des Ersten bis zur Spitze des Letzten

But now what if instead we use these as our basis vectors to describe any point

Was aber, wenn wir diese stattdessen als Basisvektoren verwenden, um einen beliebigen Punkt zu beschreiben?

Because now that same coordinate would be considered 1/2 e 1 + 2 e 2

Denn jetzt würde dieselbe Koordinate als 1/2 e 1 + 2 e 2 betrachtet

Now if you want to find the distance the Pythagorean theorem will not work

Wenn Sie nun die Entfernung ermitteln möchten, funktioniert der Satz von Pythagoras nicht

1/2 squared + 2 squared won't get us even close to 25

1/2 Quadrat + 2 Quadrat bringt uns nicht einmal in die Nähe von 25

But if we use the general equation from before we can make it work

Aber wenn wir die allgemeine Gleichung von früher verwenden, können wir sie zum Laufen bringen

The Delta X and Delta Y are really just II 1 and E 2 you see here, so I'll just plug those in

Das Delta X und das Delta Y sind wirklich nur II 1 und E 2, die Sie hier sehen, also werde ich diese einfach anschließen

Yeah, it's not very good notation. Since it's not really a Delta X or Delta Y, but I'm just going to keep those consistent

Ja, es ist keine sehr gute Notation. Da es nicht wirklich ein Delta X oder Delta Y ist, werde ich diese nur konsistent halten

ok, now I wasn't going to do this but for anyone who just needs to know where this almost Pythagorean theorem looking equation comes from

ok, jetzt wollte ich das nicht tun, aber für jeden, der nur wissen muss, woher diese fast pythagoreische Satzgleichung kommt

Here's a quick explanation

Hier ist eine kurze Erklärung

When we have a vector like 3 comma 4 just like we saw earlier

Wenn wir einen Vektor wie 3 Komma 4 haben, wie wir es zuvor gesehen haben

Which I'll write with I hat and J hat components now

Was ich jetzt mit I hat und J hat Komponenten schreiben werde

To find the length squared we can take the dot product of the vector with itself

Um die Länge im Quadrat zu finden, können wir das Punktprodukt des Vektors mit sich nehmen

to do this

um dies zu tun

Most of you guys know we multiply the X or I hat terms together and then add that to the Y or J hat terms

Die meisten von euch wissen, dass wir die X- oder I-Hut-Begriffe miteinander multiplizieren und diese dann zu den Y- oder J-Hut-Begriffen hinzufügen

multiplied together yielding a distance squared of 25 just like before and

multipliziert zusammen ergibt ein Abstand von 25 wie zuvor und

When we have technically the same thing with those strange basis vectors now to find the distance squared we still do the dot product

Wenn wir jetzt technisch dasselbe mit diesen seltsamen Basisvektoren haben, um den quadratischen Abstand zu finden, machen wir immer noch das Punktprodukt

But it will look a little different at first

Aber es wird zunächst etwas anders aussehen

Because technically to do the dot product we have to essentially foil

Denn technisch gesehen müssen wir für das Punktprodukt im Wesentlichen folieren

Making it 1/2 e 1 dot 1/2 e 1 the first terms plus 1/2 e 1 dot 2 e 2 the outer terms

Machen Sie es 1/2 e 1 Punkt 1/2 e 1 die ersten Terme plus 1/2 e 1 Punkt 2 e 2 die äußeren Terme

then the same thing with the inner terms and then the last

dann das gleiche mit den inneren Begriffen und dann das letzte

This is how we find the vector length squared and know that these are dot products not multiplication symbols

Auf diese Weise finden wir die quadratische Vektorlänge und wissen, dass dies Punktprodukte und keine Multiplikationssymbole sind

In fact, this is what we did beforehand. The three times three came from 3i 3i

Genau das haben wir vorher getan. Die drei mal drei kamen von 3i 3i

And sixteen came from four J dot four J

Und sechzehn kamen von vier J Punkt vier J.

But we forgot the outer terms of 3i for J. And the inner terms of for J dot 3i

Aber wir haben die äußeren Terme von 3i für J und die inneren Terme von für J Punkt 3i vergessen

It's just that since the I hat and J hat or X and y direction are at right angles to each other

Es ist nur so, dass der I-Hut und der J-Hut oder die X- und Y-Richtung rechtwinklig zueinander stehen

When we do a dot product those terms would just come out to 0

Wenn wir ein Punktprodukt erstellen, werden diese Begriffe nur auf 0 gesetzt

So in summary the 1/2 and 1/2 or 1/2 and 2 and so on

Also zusammenfassend die 1/2 und 1/2 oder 1/2 und 2 und so weiter

correspond to the Delta X and Delta Y

entsprechen dem Delta X und Delta Y.

whereas the actual dot product of e 1 and e or e1 and e2

während das tatsächliche Punktprodukt von e 1 und e oder e1 und e2

correspond to the constants

entsprechen den Konstanten

I'll put more detailed links down below, but just to get to the point

Ich werde unten detailliertere Links einfügen, aber nur um auf den Punkt zu kommen

These are the constants that make everything work for this choice in basis vectors

Dies sind die Konstanten, die alles für diese Auswahl in Basisvektoren funktionieren lassen

You can go ahead and do the math, but it will come out to 25

Sie können weitermachen und rechnen, aber es wird 25

Those constants of 16 2 2 and 17 force

Diese Konstanten von 16 2 2 und 17 Kraft

I'll organize a little better in a matrix because this here is our metric tensor and

Ich werde mich in einer Matrix etwas besser organisieren, da dies hier unser metrischer Tensor ist und

What we saw before with the Pythagorean theorem where the constants were 1 0 is 0 1. Well, that's also a metric tensor

Was wir zuvor mit dem Satz von Pythagoras gesehen haben, bei dem die Konstanten 1 0 waren, ist 0 1. Nun, das ist auch ein metrischer Tensor

Now this is kind of a boring example because both metric tensors dealt with flat space

Dies ist ein langweiliges Beispiel, da sich beide metrischen Tensoren mit flachem Raum befassten

but it showed the general idea and that is when the Pythagorean theorem fails whether it be for weird basis vectors or

aber es zeigte die allgemeine Idee, und dann versagt der Satz von Pythagoras, ob es sich um seltsame Basisvektoren handelt oder nicht

More importantly those right triangles being on curved surfaces

Noch wichtiger ist, dass sich diese rechtwinkligen Dreiecke auf gekrümmten Flächen befinden

The metric tensor makes the necessary Corrections allowing us to find those distances and fully describe the curvature of that surface

Der metrische Tensor nimmt die erforderlichen Korrekturen vor, damit wir diese Abstände finden und die Krümmung dieser Oberfläche vollständig beschreiben können

You'll find the metric tensor is typically written with the letter G and some subscripts in order to describe higher dimensional surfaces

Sie werden feststellen, dass der metrische Tensor normalerweise mit dem Buchstaben G und einigen Indizes geschrieben wird, um höherdimensionale Oberflächen zu beschreiben

we just expand the matrix for three-dimensional space the metric tensor would look like this, but we can keep going as

Wir erweitern nur die Matrix für den dreidimensionalen Raum, in dem der metrische Tensor so aussehen würde, aber wir können so weitermachen

For four-dimensional space-time, it looks like this

Für die vierdimensionale Raumzeit sieht es so aus

16 numbers which is really just 10 because of the symmetry these 1/2 is all we need at each point in

16 Zahlen, was aufgrund der Symmetrie wirklich nur 10 ist, diese 1/2 ist alles, was wir an jedem Punkt in brauchen

four-dimensional space to completely describe how that space is curved so

vierdimensionaler Raum, um vollständig zu beschreiben, wie dieser Raum so gekrümmt ist

Again this identity matrix represents flat space where there is no curvature as this is where the Pythagorean theorem holds but this extends to higher

Wiederum repräsentiert diese Identitätsmatrix einen flachen Raum, in dem es keine Krümmung gibt, da hier der Satz von Pythagoras gilt, der sich jedoch auf einen höheren erstreckt

Dimensions where this 3 by 3 identity matrix just leads to the distance formula in three dimensional flat space

Dimensionen, bei denen diese 3 x 3-Identitätsmatrix nur zur Abstandsformel im dreidimensionalen flachen Raum führt

And although it's not really a topic for this video. We can see something similar in the Minkowski metric

Und obwohl es nicht wirklich ein Thema für dieses Video ist. Wir können etwas Ähnliches in der Minkowski-Metrik sehen

It's not exactly the identity but it is used for flat Euclidean space time in four dimensions

Es ist nicht genau die Identität, aber es wird für eine flache euklidische Raumzeit in vier Dimensionen verwendet

And it encompasses the postulates of special relativity like the speed of light being the same in all reference frames

Und es umfasst die Postulate der speziellen Relativitätstheorie, wie die Lichtgeschwindigkeit, die in allen Referenzrahmen gleich ist

But when it comes to general relativity space time is now curved leading to a more complex metric

Aber wenn es um die allgemeine Relativitätstheorie geht, ist die Raumzeit jetzt gekrümmt, was zu einer komplexeren Metrik führt

Although that is of course beyond a video like this in Einstein's equations

Obwohl das natürlich über ein Video wie dieses in Einsteins Gleichungen hinausgeht

We saw earlier on the side that represents the curvature of space-time. We see the metric tensor that help make that possible

Wir haben früher auf der Seite gesehen, die die Krümmung der Raumzeit darstellt. Wir sehen den metrischen Tensor, der dies ermöglicht

Now once general relativity was accepted in the scientific community. It completely changed the way we understood gravity

Jetzt wurde einmal die allgemeine Relativitätstheorie in der wissenschaftlichen Gemeinschaft akzeptiert. Es hat die Art und Weise, wie wir die Schwerkraft verstanden haben, völlig verändert

You may have heard before that gravity is in fact, not a force and this was a result of general relativity

Sie haben vielleicht schon einmal gehört, dass die Schwerkraft tatsächlich keine Kraft ist und dies ein Ergebnis der allgemeinen Relativitätstheorie war

We used to think of gravity is some magical force between two objects that happens over a distance

Früher dachten wir, die Schwerkraft sei eine magische Kraft zwischen zwei Objekten, die über eine Distanz geschieht

But now we say there is no force. It's just the curvature of space-time

Aber jetzt sagen wir, dass es keine Kraft gibt. Es ist nur die Krümmung der Raumzeit

So like when you throw a ball through the air, we like to think it's accelerating downward due to the force of gravity

Wenn Sie also einen Ball durch die Luft werfen, denken wir gerne, dass er aufgrund der Schwerkraft nach unten beschleunigt

But Einstein said this is the wrong way to look at it. In fact, since there's no force

Aber Einstein sagte, dies sei die falsche Sichtweise. In der Tat, da es keine Kraft gibt

We can say the object is moving along a straight line in space-time

Wir können sagen, dass sich das Objekt in der Raumzeit entlang einer geraden Linie bewegt

Well, this may sound crazy

Nun, das mag verrückt klingen

This comes from the fact that flat space is being warped by the mass of the earth

Dies liegt an der Tatsache, dass der flache Raum durch die Masse der Erde verzogen wird

Curving space-time around it. The parabolic path. We see is just an illusion because we can't perceive that underlying curvature

Raum-Zeit darum krümmen. Der parabolische Weg. Wir sehen, ist nur eine Illusion, weil wir diese zugrunde liegende Krümmung nicht wahrnehmen können

So hopefully you're seeing that the mathematics or our universe runs pretty deep and of course we haven't even scratched the surface

Hoffentlich sehen Sie, dass die Mathematik oder unser Universum ziemlich tief geht und wir natürlich noch nicht einmal die Oberfläche zerkratzt haben

But what about those mind-bending theories regarding our universe and what goes beyond it? Like what about the math?

Aber was ist mit diesen umwerfenden Theorien über unser Universum und was geht darüber hinaus? Wie wäre es mit der Mathematik?

That only works in 26 dimensions or the shapes that theoretical physicists think could describe higher dimensions of space-time

Das funktioniert nur in 26 Dimensionen oder in den Formen, von denen theoretische Physiker glauben, dass sie höhere Dimensionen der Raumzeit beschreiben könnten

Well, all that stuff is coming in the next video

Nun, all das kommt im nächsten Video

But if you made it this far you probably enjoy this kind of content and if you're looking to gain a deeper understanding of what?

Aber wenn Sie es bis hierher geschafft haben, genießen Sie wahrscheinlich diese Art von Inhalten und möchten ein tieferes Verständnis dafür erlangen, was?

We covered here. I highly recommend checking out brilliant org who I'd like to thank for sponsoring this video

Wir haben hier behandelt. Ich empfehle dringend, sich die brillante Organisation anzusehen, der ich für das Sponsern dieses Videos danken möchte

Brilliant is an educational platform that hosts over 50 interactive math and science courses

Brilliant ist eine Bildungsplattform, auf der über 50 interaktive Mathematik- und Naturwissenschaftskurse angeboten werden

They not only teach you the technical information. You need to know for the various subjects, but they also challenge you with interactive practice problems

Sie vermitteln Ihnen nicht nur die technischen Informationen. Sie müssen die verschiedenen Themen kennen, aber sie fordern Sie auch mit interaktiven Übungsproblemen heraus

Programming and just in general more hands-on approach. So you have a real fundamental understanding of what you're learning

Programmierung und generell mehr praktische Herangehensweise. Sie haben also ein grundlegendes Verständnis für das, was Sie lernen

If you're like me and really enjoyed the unique applications of mathematics, then you won't be disappointed by what they have to offer

Wenn Sie wie ich sind und die einzigartigen Anwendungen der Mathematik wirklich genossen haben, werden Sie nicht enttäuscht sein von dem, was sie zu bieten haben

If you like the topics in this video, for example, then their astronomy course would definitely be something you'd enjoy

Wenn Ihnen zum Beispiel die Themen in diesem Video gefallen, würde Ihnen der Astronomiekurs auf jeden Fall gefallen

It starts off by going over the essential technical information to get you started with astronomy and astrophysics topics

Zunächst werden die wesentlichen technischen Informationen durchgesehen, um Ihnen den Einstieg in die Themen Astronomie und Astrophysik zu erleichtern

But then it goes more into what you saw earlier such as geodesics

Aber dann geht es mehr um das, was Sie früher gesehen haben, wie zum Beispiel Geodäten

Services with different curvature and the mathematics of non Euclidean geometry as it pertains to the shape of the universe

Dienstleistungen mit unterschiedlicher Krümmung und der Mathematik der nichteuklidischen Geometrie in Bezug auf die Form des Universums

Then they go much further covering dark matter dark energy black holes and more if you're looking to understand more of the strange mystery

Dann gehen sie viel weiter und bedecken dunkle Löcher mit dunkler Energie und dunkler Energie und mehr, wenn Sie mehr von dem seltsamen Geheimnis verstehen wollen

It's about our universe. I highly recommend checking this out and they're adding new courses all the time

Es geht um unser Universum. Ich empfehle dringend, dies zu überprüfen und sie fügen ständig neue Kurse hinzu

like recently they came out with a puzzle science course where anyone can develop foundational physics knowledge while playing around with fun interactive puzzles and

Wie vor kurzem haben sie einen Puzzle-Wissenschaftskurs herausgebracht, in dem jeder grundlegende physikalische Kenntnisse entwickeln kann, während er mit lustigen interaktiven Rätseln herumspielt

For the more advanced people they have things like differential equations courses that go beyond what I even saw my college curriculum

Für die fortgeschritteneren Leute gibt es Dinge wie Differentialgleichungskurse, die über das hinausgehen, was ich selbst in meinem College-Lehrplan gesehen habe

So there's something for everyone to learn

Es ist also für jeden etwas zu lernen

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