Chaos4 Oscillations :The swingYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  6.3K views 42 likes 1 dislikes   08 Jan 2013
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CAOS 4- L'altalena
カオス４　　　　　　　　ブランコ
Per cominciare, le cose semplici.
簡単なことから始めよう．
Galileo, nel XVI secolo,
16世紀，ガリレオは
osservava un lampadario che dondolava
ランプが揺れているのを観察し，
e misurava il periodo di oscillazione
自分の脈で
prendendosi il polso.
振動の周期を計った．
Come descrivere un pendolo che dondola?
振り子の振動はどのように記述されるのだろうか？
La sua estremità si muove su un cerchio
振り子の錘は，
qui disegnato di blu.
青色の円周の上を動く．
Mettiamo questo cerchio su un cilindro
この円周を，
come questo.
円柱面上に描こう．
Ogni punto del cerchio
円周の各点は，
rappresenta una posizione del pendolo.
振り子の錘の位置を表す．
Il punto rosso per esempio
例えば赤色の点は
denota la posizione più in basso.
最も低い位置を表す．
La velocità del pendolo,
赤色のベクトル，
il vettore rosso,
つまり錘の速度は，
è semplicemente descritta da un numero,
１つの実数で表される．
positivo se si muove in un senso,
１つの方向に回っているときは正で，
e negativo se si muove nell'altro.
反対方向は負である．
Possiamo rappresentare questo numero
この数値を円柱面上の
nella direzione verticale del cilindro.
垂直方向に描くことができる．
È quindi un punto del cilindro
こうして，円柱面上の点で，
che ci permette di descrivere posizione e velocità.
位置と速度を表すことができる．
La prima coordinata, sulla base,
水平な円周上の第１座標が，
ci dice dove si trova l'altalena
ブランコがどこにあるかを示し，
e la seconda, la verticale,
垂直な第２座標が，
ci dice a che velocità si muove.
ブランコの回る速度を示している．
Allora adesso,
では，
lasciamo la forza peso agire
重力を働かせて，
e osserviamo l'oscillazione.
振動を観察しよう．
Attenzione!
初めは，
Supponiamo per cominciare
摩擦力は全くないとしていることに
che non ci sia alcun attrito.
注意しよう．
L'oscillazione continua all'infinito...
振動はいつまでも続く…
Se la posizione iniziale è in basso
最初の位置が低く，
e se la velocità iniziale non è troppo grande,
速度があまり大きくないとすると，
si oscilla in modo periodico.
振り子は周期的に振動する．
Noi conosciamo tutto ciò.
みんなが知っている通りだ．
Se si lancia con più forza,
もっと勢いをつけて
troppo forte forse...
速過ぎるくらいで始めると…
si è partiti per un giro.
ぐるっと回ることになる．
È ancora periodico
これも周期的だが，
ma non allo stesso modo.
様子は異なる．
Guardate la traiettoria sul cilindro.
円柱面上の軌道を見てみよう．
Segue un campo vettoriale.
軌道はベクトル場に沿って描かれる．
Osserviamo la situazione, più realistica,
もっと現実的な，
dove supponiamo che ci sia dell'attrito.
摩擦力があるときを見てみよう．
L'oscillazione rallenta poco a poco
振動は段々遅くなり，
e poi infine...
ブランコは最後には…
l'altalena tende ad immobilizzarsi.
止まってしまう．
Vi ricordate della teoria d'Aristotele:
アリストテレスの考え方を思い出そう：
l'altalena è tornata
ブランコは，その本来の位置，
alla sua posizione naturale: in basso!
つまり一番低い位置に戻ったのだ！
Osservate il campo vettoriale
円柱面上の，対応する
corrispondente sul cilindro.
ベクトル場を観察しよう．
Le traiettorie finiscono per cadere giù,
軌道は最後には，不動点に
nella posizione d'immobilismo.
落ちていくのだ．
Diciamo che questa posizione d'equilibrio
この平衡点を，
è un attrattore stabile.
安定アトラクタと呼ぶ．
Un'altalena con attriti
だから摩擦のあるブランコは，
non è dopo tutto troppo divertente.
結局あまり面白くない．
Dopo un po', ci si ferma!
しばらくすると，静止してしまうからだ！
L'altalena è divertente quando la si spinge,
ブランコは，高くまでいくように
per farla arrivare in alto come si deve.
漕ぐから面白いのだ．
È d'altronde il punto di vista del gentiluomo
ところでこれは，フラゴナールが描いた
rappresentato dal pittore Fragonard
紳士の視線と同じだ．
che pare molto interessato da...
彼もブランコが…
l'altalena...
とてもお好きのようだ…
Più semplicemente,
少し簡単にして，
immaginiamo che il pendolo,
重力と摩擦力以外に，
oltre al peso e agli attriti,
小さな噴射管による
sia sottomesso a una forza di spinta,
推進力を持っている
trasmessa da un piccolo reattore.
ブランコを考えよう．
Un pendolo moderno
小型ジェットエンジン付きの
munito di un piccolo motore a reazione.
現代的ブランコだ．
Per esempio, esercitiamo una spinta
ここでは，推進力は，
ma soltanto se la velocità
速度と傾きの角度が
e l'angolo d'inclinazione
ある値より小さいときにだけ
non superano un certo valore.
働かせよう．
Se l'altalena parte lentamente,
ブランコがゆっくり動きだすときには，
essa viene spinta,
推進力が働いている．
accelera, accelera...
加速され，さらに加速され，
fino a che non la si spinge più
速度が大きくなり過ぎると
perché va troppo veloce.
推進力が止まる．
E allora gli attriti si mettono all'opera.
今度は摩擦力が加わるから，
rallenta, rallenta...
ブランコは減速され，さらに減速される…
finché la spinta
そうすると，また
viene di nuovo alla riscossa, etc.
推進力が加わる…
Infine,
最後には，
l'altalena si stabilizza
ブランコは周期的な体制になり
su un regime periodico.
安定する．
Poincaré parla di ciclo limite.
ポアンカレが言う極限サイクルだ．
Il contrario del caos in qualche modo.
カオスとは正反対のものだ．
Il regime periodico...
周期的な体制だ…
tutto il mondo a ritmo.
すべてが同期している．
Guardate ciò che si chiama
円柱面の上の
il ritratto di fase sul cilindro.
位相図と呼ばれる図を見てみよう．
In rosso... il ciclo limite.
赤色の軌道が…極限サイクルだ．
Si vede una traiettoria che volteggia.
巻きついている軌道がある．
Dopo un po',
少し時間がたつと
non la si distingue più
この軌道は周期軌道と
dalla traiettoria periodica.
見分けがつかない．
Ecco un semplice esempio
この状況の簡単な例が，
che mostra ciò in ecologia:
環境学に現れる：
il modello di Lotka-Volterra
1930年代に提案された
che risale agli anni '30.
ロトカ・ボルテラのモデルだ．
Due popolazioni condividono un territorio.
同じ地域に２つの種がいる．
D'abitudine, si parla di conigli e volpi.
よく使うたとえは，ウサギとキツネだ．
Immagineremo una situazione di fantasia:
我々は，幻想的な場面にして：
papere e ninfee.
アヒルとスイレンを考えるとしよう．
Immaginiamo che le papere mangino le ninfee.
アヒルはスイレンを食べるとしよう．
Quando ci sono poche papere,
アヒルの数が少なければ，
sono poche le ninfee che vengono mangiate.
アヒルは少ししかスイレンを食べない．
Le ninfee possono quindi prosperare
スイレンの数は，
a grande velocità.
どんどん増加することになる．
Quando ci sono molte ninfee
たくさんのスイレンがあるところに，
e poche papere,
少数のアヒルしかいなければ，
queste ultime si nutrono per bene
アヒルは十分な食べ物があるから，
ed il loro numero aumenta.
アヒルの数は増加する．
Ma ci stanno ancora troppe papere...
しかし，アヒルの数が多ければ…
le ninfee vengono mangiate.
スイレンは食べ尽くされてしまうのだ．
Se il numero di ninfee diventa troppo basso,
スイレンの数がとても少なくなると，
le papere non hanno più nulla da mangiare
アヒルは食べるものがなくなり，
ed il loro numero diminuisce.
アヒルの数は減る．
Il giro è completato
こうして，一回りが完成して，
e si ricomincia.
初めから繰り返すことになる．
Rappresentiamo la situazione ad un momento dato
ある時刻の様子を，
con un punto del piano:
平面上の１点で表すことができる：
la prima coordinata rappresenta
第１座標は
il numero di ninfee
スイレンの数を表し，
e la seconda il numero di papere.
第２座標はアヒルの数を表す．
In realtà, stiamo descrivendo
実際，平面上に
un campo vettoriale nel piano.
ベクトル場が描かれる．
Allo scorrere del tempo,
アヒルとスイレンは，
si deve seguire quindi
時間とともにこのベクトル場の
una traiettoria di questo campo
１つの軌道をたどり，
e otteniamo un ciclo limite.
極限サイクルに到達する．
Le popolazioni di ninfee e papere
アヒルとスイレンの数は，
finiscono per oscillare
最終的には，
in modo periodico.
周期的に振動することになる．
La credenza che i moti,
運動は，
magari dopo un corto periodo
短い過渡的な時間の後には，
di transizione,
停止するか，
alla fine si stabilizzano,
周期的に振動するようになり，
o fermandosi,
それが続いていく：
oppure oscillando in modo periodico,
科学において，その後長く
dominerà a lungo nella Scienza.
そう信じられるようになる．
Uno dei primi teoremi
19世紀末にポアンカレが示した，
della teoria dei sistemi dinamici,
初期の力学系理論の
fatto da Poincaré,
定理の１つは，
alla fine del XIX secolo,
それを立証しているようにも
ha parso giustificare questa affermazione.
思える．
Si tratta di campi vettoriali
平面上のベクトル場についての
nel piano.
定理である．
Immaginate un campo vettoriale come questo.
図のようなベクトル場を考えよう．
In realtà non lo conosciamo troppo bene.
ベクトル場の全体はわかっていなくて，
Sappiamo soltanto
この円周の近くの様子だけを
come si comporta vicino a questo cerchio.
知っているとしよう．
Prendete allora una traiettoria
円板に入っていく
che entra nel disco.
軌道を取ろう．
Dove può andare?
この軌道はどこへ行くだろうか？
Ebbene,
そうだね…
il teorema di Poincaré-Bendixson
ポアンカレ・ベンディクソンの定理によれば，
afferma che ci sono due possibilità,
２つの可能性がある．
esclusive.
第１の可能性は，
La traiettoria può avvicinarsi
軌道が平衡点に
molto vicino ad una posizione d'equilibrio,
近づいていくことだ．
come in questo caso.
こんなふうにだ．
È quello che abbiamo visto
これは，前に見た
per il pendolo smorzato.
結局は止まる振り子の場合だ．
Altrimenti,
第２の可能性は，
deve avvicinarsi ad un ciclo limite.
極限サイクルに近づいていくことだ．
Come si può dimostrare
このような定理をどうやって
un tal teorema?
証明するのだろうか？
Ecco l'idea principale.
主要な考え方は次のようなものだ．
Prendete un punto sul cerchio
円周の１点を取り，
e osservate la sua traiettoria
円板の内側に入っていく軌道を
penetrare all'interno.
観察しよう．
Stop!
ストップ！
Fermiamoci in un punto P.
Ｐという点で止まってみよう．
Osserviamo le traiettorie
点Ｐの近くの軌道を
in un intorno di P.
観察しよう．
È possibile che la traiettoria
軌道が将来，点Ｐの近くに
continui il suo cammino
戻ってくることが
e ritorni in questo intorno?
できるだろうか？
Supponiamo per esempio che ripassi effettivamente
実際に，点Ｐの近くの，
in un punto Q.
点Ｑを通ると仮定しよう．
Osserviamo l'arco di traiettoria tra P et Q
ＰとＱを結ぶ軌道と
seguito dal segmento QP.
線分ＱＰを合わせると，
Essi formano una curva chiusa
閉曲線が得られる．
che è il bordo di un certo dominio,
この閉曲線は，青色で示した領域の
disegnato in blu.
境界となる．
Lo si vede,
Ｑを出る軌道は
la traiettoria che parte da Q,
青色の領域に入り，
penetra nel dominio blu
そこからは
e non ne può più uscire.
出られないことがわかる．
È intrappolata.
軌道は罠に掛かってしまったのだ．
Per uscire,
外に出るためには，
dovrebbe attraversare l'arco di traiettoria PQ.
ＰＱを結ぶ軌道を
Ma due traiettorie
横切らなければならないが，
non possono incrociarsi.
２つの軌道は交わらないのだ．
Perché?
なぜだろうか？
Ebbene, se due traiettorie
２つの軌道が同じ点を
passassero per lo stesso punto,
通過することは，
sarebbe in contraddizione
コーシー・リプシッツの定理に
con il teorema di Cauchy-Lipschitz:
矛盾する．
un punto ha soltanto un'unica traiettoria.
「１点を通る軌道はただ１つである」という定理だ．
Oppure,
そうすると，
bisognerebbe che la traiettoria che parte da Q
Ｑを出る軌道は，線分ＱＰから
esca attraverso il segmento QP.
出ていかなければならないが，
ma, lungo QP,
線分ＱＰ上では
il campo vettoriale rientra,
ベクトル場は内向きで，
non esce.
外向きではない．
Vedete quindi
こうして，
che la traiettoria che parte da P
Ｐを出る軌道は，
può effettivamente tornare non troppo lontano da P
一度はＰの近くに戻ってくるかもしれないが，
ma che poi,
その後はＰの近くに
è condannata à mai più tornarci.
戻ってくることはできないのである．
Si dice che non c'è ricorrenza:
これを再帰性がないという：
È l'idea principale
これがポアンカレ・ベンディクソンの定理の
del teorema di Poincaré-Bendixson.
主要な考え方だ．
Questo teorema segna l'inizio
この定理は，
di quella che chiamiamo
いわゆる力学系の定性的理論の
la teoria qualitativa dei sistemi dinamici.
最初のものである．
Anche se si ha soltanto una conoscenza imperfetta
ベクトル場の不完全な情報からでも，
di un campo vettoriale,
しばしば，ベクトル場の
si può spesso capire
軌道の様子が
il comportamento delle sue traiettorie.
理解できるのである．
Nel caso del piano,
平面の場合には，
tutto va bene.
すべてがうまくいく．
Le traiettorie diventano periodiche
軌道はそのうちに
a lungo andare,
周期的になるか
oppure si avvicinano
平衡点に
ad una posizione di equilibrio.
近づくのである．
Ma Poincaré non tarderà a scoprire
しかし，ポアンカレはすぐに気がついた．
che il suo teorema è valido
この定理は，２次元のベクトル場，
soltanto per i campi in dimensione 2,
つまり非常に簡単なシステムで
ovvero per ogni piccolo sistema.
成立しているに過ぎないのだ．
A partire della dimensione 3,
３次元以上では，
vedremo che la situazione
状況はもっともっと
può essere molto, molto,
もっと豊かで…
molto più ricca... e bella.
美しいものとなる．
Fine dei cicli limiti gentili,
やさしい極限サイクルは終わりだ．
benvenuti nel regno del caos!
カオスの世界にようこそ！
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