All possible pythagorean triples, visualized 3Blue1Brown English Italian

All possible pythagorean triples, visualizedYouTube↗ IA↗(long shot)
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When you first learned about the pythagorean theorem that the sum of the squares of the two shorter sides on a right triangle always equals the square of its hypotenuse

La prima volta che hai sentito parlare del teorema di Pitagora, del fatto che la somma dei quadrati dei due lati più corti di un triangolo rettangolo è sempre uguale al quadrato della sua ipotenusa,

I'm guessing that you came to be pretty familiar with a few examples like the 3-4-5 triangle

immagino che tu abbia preso familiarità con alcuni esempi: come il triangolo 3 4 5,

Or the 5-12-13 triangle, and I think it's easy to take for granted that these even exist

o il triangolo 5 12 13. E penso che sia facile dare per scontato che esempi come questi esistano del tutto.

Examples were the sum of two perfect squares happens to be a perfect square

Esempi in cui la somma di due quadrati perfetti capiti essere un quadrato perfetto.

But keep in mind for comparison if you were to change that exponent to any whole number

Ma tieni a mente, per confrontare, che se cambiassi quell'esponente con qualsiasi numero intero

Bigger than 2 you go from having many integer solutions to no solutions whatsoever. This is Fermat's famous last theorem

più grande di due andresti da avere molte soluzioni intere a non averne del tutto. Questo è il famoso ultimo teorema di Fermat.

Now there's a special name for any triplet of whole numbers ABC where a squared plus B. Squared equals C

C'è un nome speciale per una tripla di numeri interi (a,b,c) dove a al quadrato più b al quadrato è uguale a c

Squared it's called a pythagorean triple

al quadrato; si chiama una tripla pitagorica.

And what we're going to do here is find every single possible example and moreover

E quello che faremo qui è trovare ogni singolo possibile esempio, ed inoltre

We'll do so in a way where you can visualize how all of these triples fit together

lo faremo in un modo tale che tu possa visualizzare come tutte queste triple si lochino fra di loro.

this is an old question pretty much as old as they come in math there are some babylonian clay tablets from

Questa è una domanda vecchia più o meno quanto possa esserlo in matematica; ci sono alcune tavole di argilla babilonesi del

1800 BC more than a millennium before pythagoras himself that just lists these triples and

1800 BC, più di un millennio prima di Pitagora stesso, che elencano queste triple.

By the way while we're talking about the pythagorean theorem

A proposito, già che parliamo del teorema di Pitagora,

It would be a shame not to share my favorite proof for anyone who hasn't already seen this

sarebbe un peccato non condividere la mia dimostrazione preferita, per chi non l'avesse già vista:

you start off by drawing a square on each side of the triangle and

inizi disegnando un quadrato su ogni lato del triangolo,

If you take that C square and add four copies of the original triangle around it

e se prendi il quadrato di c e gli aggiungi attorno quattro copie del triangolo originale,

You can get a big square whose side lengths are a plus b

ottieni un quadrato grande le cui lunghezze dei lati sono a più b.

But you can also arrange the a square in the b square together with four copies of the original triangle

Ma puoi anche disporre il quadrato a ed il quadrato b assieme a quattro copie del triangolo originale

To get a big square whose side lengths are a plus b

per ottenere un quadrato grande le cui lunghezze dei lati sono a più b.

What this means is that the negative space in each of these diagrams the area of that big square?

Questo significa che lo spazio nero in ciascuno di questi diagrammi, cioé l'area del nuovo quadrato grande (a+b),

Minus 4 times the area of the triangle is from one perspective

meno quattro volte l'area del triangolo, è da un punto di vista

Clearly a squared plus b squared but from another perspective it's C squared

chiaramente a al quadrato più b al quadrato, ma da un altro punto di vista è c al quadrato.

Anyway back to the question of finding whole number solutions?

Comunque, torniamo al problema del trovare soluzioni intere.

Start by reframing the question slightly

Cominciamo riformulando leggermente la domanda.

Among all of the points on the plane with integer coordinates

Fra tutti i punti del piano a coordinate intere,

That is all of these lattice points where gridlines cross

cioé tutti i punti del reticolo dove si incontrano le linee della griglia,

Which ones are a whole number distance away from the origin?

quali sono ad un numero intero di distanza dall'origine?

for example the point 3 4 is a distance 5 away from the origin and

Per esempio, il punto (3,4) è a distanza 5 dall'origine,

The point 12 5 is a distance 13 away from the origin the question of finding pythagorean triples is

e il punto (12,5) è a distanza 13 dall'origine. Il problema del trovare le triple pitagoriche

completely equivalent to finding lattice points which are a whole number distance away from the origin of

è completamente equivalente a trovare punti del reticolo che sono ad un numero intero di distanza dall'origine.

Course for most points like 2 1 the distance from the origin is not a whole number

Chiaramente, per la maggior parte dei punti come (2,1) la distanza dall'origine non è un numero intero

but it is at least the square root of a whole number in this case 2 squared plus 1 squared is 5

ma, almeno, è la radice quadrata di un numero intero. In questo caso 2 al quadrato più 1 al quadrato è 5,

so that distance that hypotenuse there is the square root of 5

quindi quella distanza -- quell'ipotenusa, lì, è la radice quadrata di 5.

Now taking what might seem like a strange step but one

Ora, facendo quello che potrebbe sembrare un passo strano,

Which will justify itself in just a moment think of this as the complex plane

ma uno che si giustificherà fra un attimo, pensa a questo (piano) come al piano complesso,

so that every one of these points like 2-1 here is actually an individual complex number in this case 2 plus 𝓲

cosicché ognuno di questi punti come (2,1), qui, sia in realtà un singolo numero complesso; in questo caso, 2+i.

What this gives is a surprisingly simple way to modify it to get a new point whose distance away from the origin is

Ciò che si ottiene, è un modo sorprendentemente semplice di modificarlo, per ottenere un nuovo punto la cui distanza dall'origine

Guaranteed to be a whole number just square it

è garantita essere un numero intero; basta elevarlo al quadrato.

algebraically when you square a complex number

Algebricamente, quando si eleva al quadrato un numero complesso,

Expanding out this product and matching up all of the like terms because everything here just involves multiplying and adding integers

sviluppando questo prodotto e raccogliendo i termini comuni, poiché si sta solo moltiplicando e sommando interi,

each component of the result is guaranteed to be an integer in this case you get 3 plus 4𝓲

ogni componente del risultato è garantito essere un intero. In questo caso, ottieni 3+4i.

but you can also think of complex multiplication more geometrically you take this line drawn from the origin to the number and

Ma puoi anche pensare alla moltiplicazione complessa in modo più geometrico: se prendi questa linea tracciata dall'origine al numero

consider the angle it makes with the horizontal axis as well as its length which in this case is the square root of 5

e consideri l'angolo che produce con l'asse orizzontale, insieme alla sua lunghezza, che in questo caso è la radice quadrata di 5,

the effect of multiplying

l'effetto di moltiplicare

Anything by this complex number is to rotate it by that angle and to stretch out by a factor equal to that length

qualcosa per questo numero complesso è quello di ruotarlo di quell'angolo e di "allungarlo" di un fattore uguale a quella lunghezza.

so when you multiply the number by itself the effect is to double that Angle and

Quindi, quando moltiplichi quel numero con se stesso, l'effetto è di raddoppiare quell'angolo

Importantly to square its length

e, importante, di elevare al quadrato la sua lunghezza.

Since the length started off as the square root of some whole number

Poiché la lunghezza era in partenza la radice quadrata di qualche numero intero,

This resulting length is guaranteed to be a whole number in this case five

la lunghezza risultante è garantita essere un numero intero, in questo caso, 5.

here let's try it with another example start off with some complex number that has integer coordinates like 3 plus 2i

Ecco, proviamo con un altro esempio: comincia con qualche numero complesso con coordinate intere, come 3+2i;

in this case the distance between this number in the origin is the square root of

in questo caso la distanza del numero dall'origine è la radice quadrata

3 squared plus 2 squared which is the square root of 13

di 3^2+2^2, che è la radice di 13.

now multiply this complex number by itself

Ora, moltiplica questo numero complesso con se stesso.

The real part comes out to 3 squared plus 2𝓲 squared which is 9 minus 4 and?

La parte reale viene 3^2+2i^2 che è 9-4,

The Imaginary Part is 3 times 2 Plus 2 times 3

e la parte immaginaria è 3*2+2*3,

so the result is 5 plus 12𝓲 and

quindi il risultato è 5+12i

the magnitude of this new number is 13 the square of the magnitude of their starting number 3 plus 2i

e la norma di questo nuovo numero è 13: il quadrato della norma del numero di partenza 3+2i.

So simply squaring our randomly chosen lattice point gives us the 5 12 13

Quindi, semplicemente elevando al quadrato il nostro casuale punto del reticolo ci dà il triangolo

There's something kind of magical about actually watching this work

C'è qualcosa di un po' magico nel guardare questa cosa funzionare davvero,

It almost feels like cheating you can start with any randomly chosen lattice point like 4 plus 𝓲 and just by taking it square

sembra quasi di barare: puoi partire con un qualsiasi punto del reticolo scelto a caso, come 4+i, e semplicemente elevandolo al quadrato,

You generate a pythagorean triple in this case 4 plus

generi una tripla pitagorica, in questo caso

𝓲 squared is 15 plus 8𝓲 which has a distance 17 away from the origin

(4+i)^2 è 15+8i che è a distanza 17 dall'origine.

if you play around with this which I encourage you to do you'll find that some of the results are kind of boring if

Se ci giochi un po', cosa che ti incoraggio a fare, troverai che alcuni dei risultati sono un po' noiosi

Both the coordinates of your starting point are the same or if one of them is 0?

se entrambe le coordinate del tuo punto di partenza sono le stesse, o se una delle due è 0.

then the triple at the end is going to include a 0 for example 2 plus 2𝓲 squared gives 8𝓲 and

Allora, la tripla alla fine includerà uno 0; ad esempio, (2+2i)^2 dà 8i

Even though technically this is indeed a lattice point a whole number distance away from the origin

e anche se tecnicamente questo è certamente un punto del reticolo con distanza dall'origine intera,

The triple that it corresponds to is 0 squared plus 8 squared equals 8 squared

la tripla alla cui corrisponde è 0^2+8^2=8^2. (0,8,8)

Which isn't exactly something to write home about but

Che non è particolarmente esaltante.

for the most part this method of squaring complex numbers is a surprisingly simple way to generate non-trivial

Ma per lo più, questo metodo di elevare al quadrato numeri complessi è un modo sorprendentemente semplice di generare

Pythagorean Triples and

triple pitagoriche non banali

You can even generalize it to get a nice formula if you write the coordinates of your initial point as U and V

e puoi anche generalizzarlo per ottenere una formula bella, se scrivi le coordinate dei tuoi punti iniziali come U e V.

Then when you work out u plus v𝓲 squared

Allora quando fai (U+iV)^2,

The real part is u squared minus v squared and the Imaginary part is 2 times uv

la parte reale è U^2-V^2 e la parte immaginaria è 2*U*V.

The resulting distance from the origin is going to be u squared plus v squared

La distanza dall'origine che ne risulta sarà U^2+V^2.

It's kind of fun to work out this expression algebraically and see that it does indeed check out

È divertente fare i conti di questa espressione algebricamente e vedere che, in effetti, funziona.

And it's also fun to plug in some random integers for U and V and get out a pythagorean triple

Ed è divertente anche dare in pasto alla formula interi a caso per U e V ed ottenerne una tripla pitagorica.

essentially we've created a machine where you give it any pair of integers, and it gives you back some pythagorean triple a

Essenzialmente, abbiamo creato una macchina, tale che tu le dai una qualsiasi coppia di interi, e lei restituisce una tripla pitagorica.

Really nice way to visualize this which will be familiar to any of you who watch the zeta-function video is

Un modo molto bello di visualizzarlo, che sarà familiare a chi di voi ha visto il video sulla funzione zeta di Riemann,

to watch every point of z on the plane move over to the point z squared

è di guardare ogni punto z sul piano muoversi al punto z^2.

So for example the point 3 plus 2𝓲 is going to move over to 5 plus 12𝓲

Quindi, ad esempio, il punto 3+2i si muoverà a 5+12i.

The point 𝓲 is going to rotate 90 degrees to its square negative 1

Il punto (0,i) ruoterà 90 gradi al suo quadrato, -1.

The point negative 1 is going to move over to 1 and so on

Il punto (-1,0) si muoverà a 1, e così via.

Now when you do this to every single point on the plane including the [gridlines] which I'll make more colorful

Ora, quando lo fai per ogni singolo punto del piano, incluso le linee della griglia, che renderò più colorate,

So they're easier to follow here's what it looks like

cosicché siano più facili da seguire, ecco che aspetto ha.

so the grid lines all get turned into these Parabolic Arcs and

Quindi le linee della griglia vengono tutte trasformate in questi archi parabolici

Every point where these Arcs intersect is a place way lattice point landed

ed ogni punto in cui questi archi si intersecano è un luogo in cui è "atterrato" un punto del reticolo.

So it corresponds to some pythagorean triple. That is if you draw a triangle

Quindi corrisponde a qualche tripla pitagorica. Ovvero, se disegni un triangolo

Whose hypotenuse is the line between any one of these points and the origin and whose legs are parallel to the axes [all]?

la cui ipotenusa sia la linea fra uno di questo punti e l'origine e le cui gambe siano parallele agli assi,

Three side lengths of that triangle will be whole numbers

le tre lunghezze dei lati di quel triangolo saranno numeri interi.

What I love about this is that usually when you view Pythagorean triples just on their own

Ciò che mi piace di questo è che di solito, quando guardi triple pitagoriche di per se stesse;

They seem completely random and unconnected and you'd be tempted to say there's no pattern but here

sembrano completamente casuali e disconnesse e sei tentato di dire che non c'è alcuno schema,

We have a lot of them sitting together really organized just sitting on the intersections of these nicely spaced curves

ma qui ne abbiamo un mucchio, messe assieme in modo molto organizzato, posizionate sulle intersezioni di queste curve ben spaziate.

Now you might ask if this accounts for every possible pythagorean triple

Ora potresti chiedere se questo include ogni possibile tripla pitagorica.

sadly it does not

Purtroppo, non lo fa.

For example you will never get the point six plus 8𝓲 using this method even though 6-8-10 is a perfectly valid

Per esempio, non potrai mai ottenere il punto (6+8i) usando questo metodo, anche se (6,8,10) è una tripla pitagorica

pythagorean triple there are simply no integers u and v where u plus v𝓲 squared is 6 plus 8𝓲

perfettamente valida: non ci sono interi U e V dove (U+iV)^2 sia 6+8i.

Likewise, you will never hit 9 plus 12𝓲

Analogamente, non otterrai mai 9+12i.

But these don't really feel like anything new

Ma queste non sembrano davvero nulla di nuovo,

Do they? Since you can get each one of them by scaling up the familiar triple 3 4 5

dato che puoi ottenere ognuna di queste riscalando la familiare tripla (3,4,5),

Which is accounted for in our method in

che invece, è inclusa nel nostro metodo.

In fact, for reasons that I'll explain shortly

In effetti, per ragioni che spiegherò a breve,

Every possible pythagorean triple that we miss is just some multiple of a different triple that we hit

ogni possibile tripla pitagorica che "manchiamo" è solo un qualche multiplo di un'altra tripla che otteniamo.

to give another example, we missed the point 4 plus 3i

Per dare un altro esempio, abbiamo mancato il punto (4+3i).

there are no integers U and V so that U plus v𝓲 squared is 4 plus 3𝓲 in

Non ci sono interi U e V tali che (U+iV) sia 4+3i;

Fact you'll never hit any points whose imaginary component is odd

in effetti, non otterrai mai alcun punto la cui parte immaginaria è dispari.

However, we do hit 8 plus 6𝓲 that's 3 plus 𝓲 squared

Tuttavia, otteniamo 8+6i che è (3+i)^2,

so even though we miss 4 plus 3𝓲 it's just 1 half times the point that we do hit and

quindi anche se manchiamo 4+3i, è solo un mezzo per il punto che otteniamo.

by the way, you'll never have to scale down by anything smaller than 1/2 a

A proposito; non dovrai mai riscalare per fattori più piccoli di 1/2.

nice way to think about these multiples that we miss is to take each point that we get using this squaring method and

Un bel modo di pensare a questi multipli che manchiamo è di prendere ogni punto che otteniamo usando questo metodo dei quadrati

Draw a line from the origin through that point out to infinity

e disegnare una linea dall'origine attraverso quel punto, fino all'infinito.

Marking all of the lattice points that this line hits will account for any multiples of these points that we might have missed

Segnare tutti i punti del reticolo "colpiti" da questa linea, farà ottenere qualsiasi multiplo di questi punti che potremmo aver mancato.

Doing this for all possible points you'll account for every possible pythagorean triple

Facendolo per tutti i possibili punti, otterremo ogni possibile tripla pitagorica.

Every right triangle that you ever have seen or ever will see that has whole number side lengths is

Ogni triangolo rettangolo che tu abbia mai visto o mai vedrai che abbia lati interi

accounted for somewhere in this diagram

è rappresentato da qualche parte in questo diagramma.

To see why will now shift to a different view of the pythagorean?

Per capire perché, ora ci sposteremo in una visuale differente del problema delle triple pitagoriche,

Triple problem one that involves finding points on a unit circle that have rational coordinates

una che coinvolge trovare punti sulla circonferenza unitaria che hanno coordinate razionali.

If you take the expression a squared plus b squared equals C squared and divide out by that C

Se prendi l'espressione a^2+b^2=c^2 e dividi per quella c^2,

Squared what you get is a over C squared plus b over C. Squared equals one

ciò che ottieni è (a/c)^2+(b/c)^2=1.

This gives us some point on the unit [circle] x squared plus y squared equals one whose coordinates are each rational numbers

Questo ci dà un qualche punto sulla circonferenza unitaria, x^2+y^2=1, le cui coordinate sono entrambe numeri razionali.

this is what we call a rational point of the unit circle and

Questo è ciò che chiamiamo un punto razionale della circonferenza unitaria

Going the other way around if you find some rational point on the unit circle

e, procedendo in modo inverso, se trovi un punto razionale della circonferenza unitaria,

When you multiply out by a common denominator for [each] of those coordinates

quando moltiplichi per un denominatore comune entrambe le coordinate,

What you'll land on is a point that has integer coordinates, and whose distance from the origin is also an integer

ciò su cui atterrerai sarà un punto che ha coordinate intere, e la cui distanza dall'origine è anch'essa intera.

With that in mind consider our diagram

Tenendolo a mente, considera il nostro diagramma

Where we squared every possible lattice point and then drew these radial lines through each one to account for any multiples that we might have?

dove abbiamo elevato al quadrato ogni punto del reticolo e disegnatogli attraverso queste linee radiali per ottenere ogni multiplo che potremmo aver mancato.

You project all of these points [onto] [the] unit circle each one moving along its corresponding radial line

Se proietti tutti questi punti sulla circonferenza unitaria, ognuno muovendosi attraverso la sua corrispondente linea radiale,

what you'll end up with is a whole bunch of rational points on that circle and

quello che otterrai è un mucchio di punti razionali su quella circonferenza.

Keep in mind by the way, I'm drawing only finitely many of these dots and lines, but if I drew all

E tieni a mente, a proposito, sto disegnando solo una quantità finita di questi punti e linee, ma se disegnassi

Infinitely many lines corresponding [to] every possible squared lattice point. It would actually fill every single pixel of the screen

tutta la quantità infinita di linee corrispondenti ad ogni punto del reticolo elevato al quadrato, in realtà riempirebbe ogni singolo pixel dello schermo.

Now if our method was incomplete if we were missing a pythagorean triple out there somewhere

Ora: se il nostro metodo fosse incompleto, se avessimo mancato una tripla pitagorica da qualche parte,

it would mean that there's some rational point on this circle that we never hit once we project everything on to the circle and

vorrebbe dire che c'è qualche punto razionale su questa circonferenza che non colpiamo mai, quando vi proiettiamo tutto.

Let me show you why that cannot happen?

Lascia che ti faccia vedere perché questo non può succedere.

Take any one of those rational points and draw a line between it and the point at negative one

Prendi uno qualsiasi di questi punti razionali e disegna una linea fra questi ed il punto (-1,0).

When you compute the rise over run slope of this line?

Quando calcoli la pendenza di questa linea,

The rise between the two points is rational and the run is also rational

l'incremento verticale fra questi due punti è razionale, e quello orizzontale, anche,

So the slope itself is just going to be some rational number

quindi la pendenza sarà qualche numero razionale.

So if we can show [that] our method of squaring complex numbers it counts for every possible rational slope here

Quindi: se possiamo far vedere che il nostro metodo di elvare al quadrato numeri complessi funziona per ogni possibile pendenza razionale,

It's going to guarantee that we hit every possible rational point of the unit circle, right?

questo garantirà che colpiamo ogni possibile punto razionale della circonferenza unitaria, giusto?

Well, let's think through our method we start off with some point U plus v𝓲 that has integer coordinates and this number

Bene, pensiamo al nostro metodo. Iniziamo con qualche punto U+iV che ha coordinate intere, e questo numero

Makes some angle off of the horizontal which I'm going to call theta

determina qualche angolo con l'asse orizzontale, che chiamerò theta.

squaring this number the resulting angle off the horizontal is 2 times theta and

Elevando al quadrato questo numero, l'angolo risultante con l'orizzontale è 2*theta,

Of course when you project that onto the unit circle

e chiaramente quando lo proietti sulla circonferenza unitaria,

It's along the same radial line

si trova lungo la stessa linea radiale.

So the corresponding rational point of the unit circle also has that same Angle 2 times theta and here

Quindi il punto corrispondente della circonferenza unitaria ha anch'esso angolo 2*theta; e qui

I'll bring in a nice little bit of circle Geometry

metterò dentro un bel pezzetto di geometria del cerchio.

Which is that anytime you have an angle between two points on the circumference of a circle?

Ovvero, che ogni volta che hai un angolo fra due punti sulla circonferenza di un cerchio,

And it's center

ed il suo centro,

That turns out to [be] exactly [2] times the angle made by those same points and any other point on the circle circumference

questi è esattamente 2 volte l'angolo dato dai due stessi punti e qualsiasi altro punto sulla circonferenza,

Provided that that other point isn't between the original two points

purché quest'altro punto non si trovi fra i due originali.

What this means for [our] situation is that the line between negative 1 and the rational point on the circle?

Ciò che questo significa per la nostra situazione è che la linea fra (-1,0) ed il punto razionale sulla circonferenza

must make an Angle Theta with the horizontal

deve avere un angolo theta con l'orizzontale.

in

other words that line has the same slope as the line between the origin and our initial complex number U plus, Vi

In altre parole, quella linea ha la stessa pendenza della linea fra l'origine ed il nostro numero complesso iniziale U+iV,

but look at the rise over run slope of the line defined by a choice of integers U and V the

Ma, guarda alla pendenza della linea definita dalla scelta degli interi U e V:

Slope is V divided by U and of course we can choose V and u to be whatever integers. We want and

la pendenza è V/U. E, certamente, possiamo scegliere U e V qualsiasi interi vogliamo,

Therefore we do indeed account for every possible rational slope

e pertanto otteniamo davvero ogni possibile pendenza razionale.

So there you go the radial lines from our method determined by all possible choices of U and V

Ecco qui: le linee radiali del nostro metodo determinate da tutte le possibili scelte di U e V

Must pass through every rational point on this circle, and that means our method must hit every possible pythagorean triple

deve incontrare ogni punto razionale di questa circonferenza, e questo significa che il nostro metodo deve colpire ogni possibile tripla pitagorica.

if

You haven't already watched the video about [pie] hiding and prime regularities the topics there are

Se non hai già guardato il video riguardo pigreco che si nasconde nelle regolarità dai primi, gli argomenti

highly related to the ones here it also involves some pretty surprising things that happen when you

sono strettamente legati a quelli trattati qui. Riguarda anche alcune cose sorprendenti che accadono quando

Reframe a problem about lattice points in terms of complex numbers, so I'd say that that video pairs particularly well with this one

riponi un problema riguardo punti di un reticolo in termini di numeri complessi, per cui direi che quel video si appaia particolarmente bene con questo.

Both this video and that were supported in part by remix who's looking to recruit software engineers?

Sia questo e quel video sono stati supportati, in parte, da Remix, che vuole reclutare ingegneri informatici,

Particularly those with some background in math which could potentially mean from among some of you

in particolare quelli con qualche background in matematica, che potrebbe significare fra alcuni di voi.

Remix makes a planning platform for public transit

Remix crea una planning platform per i trasporti pubblici,

this means offering a product to cities that helps them find the most efficient and cost-effective ways to serve the communities and

il che significa offrire un prodotto alle città che le aiuti a trovare il modo più efficiente ed economico di servire le comunità e

demographics that they want

parti della popolazione a cui sono interessati.

What they provide is already leaps and bounds ahead of how many cities go about this problem?

Ciò che forniscono è già ben oltre ciò che molte città fanno riguardo questo problema,

But they're always pushing to make things better which opens the doors to some seriously interesting optimization problems

ma spingono continuamente per migliorare le cose, il che apre le porte ad alcuni problemi di ottimo seriamente interessanti.

For those of you in a position to be applying to a place like this you'd get to work with an incredibly capable team

Per quelli di voi in posizione di fare domanda per un posto come questo, avreste la possibilità di lavorare con un team incredibilmente capace,

Tackling problems that lie nicely in that intersection of stuff that matters and stuff that's interesting

affrontando problemi che giacciono in quell'intersezione fra cose che contano e cose che sono interessanti.

There are links on the screen and in the description if you'd like to learn more

Ci sono i link sul video e nella descrizione se vuoi saperne di più.

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