Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction]YouTube↗  IA↗(long shot)
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Komplexe Zahlen sind Real [Teil 1: Einführung]
Los Números Imaginarios son Reales [Parte 1: Introducción]
Sagen wir, wir haben die Funktion f(x) = x^2 + 1.
Tenemos la función f(x) = x^2 +1
Wir können diese Funktion zeichnen und erhalten eine schöne Parabel.
Podemos dibujar nuestra función en una gráfica y obtener una bonita parábola
Jetzt wollen wir herausfinden, wann die Gleichung Null wird.
Ahora, digamos que queremos averiguar en que punto la ecuación es igual a cero.
Wir wollen die Nullstellen finden.
Queremos encontrar las raíces.
In unserem Graphen sollten diese dort sein, wo die Funktion die x-Achse schneidet.
En nuestra gráfica, esto debería estar donde la funcion cruza el eje X
Wie wir sehen, schneidet unsere Parabel nie die X-Achse,
pero como podemos ver, nuestra parábola nunca cruza el Eje X
also gibt es laut unserem Graphen keine Lösung für die Gleichung x^2 + 1 = 0.
así que según nuestra gráfica, no hay soluciones a la ecuación x^2+1=0
Aber da gibt es ein kleines Problem.
Pero hay un pequeño problema.
Vor etwas mehr als 200 Jahren hat ein helles Köpfchen namens Gauß
Hace 200 años, un tipo inteligente llamado Gauss
bewiesen, dass jede Polynomengleichung des Grades n
demostró que cualquier ecuación polinómica de grado n
exakt n Nullstellen hat.
tiene exactamente n raíces
Der höchste Exponent, oder Grad, unseres Polynoms ist 2
La mayor potencia o grado de nuestro polinomio es 2.
also sollten wir auch 2 Nullstellen haben.
Por lo tanto, deberíamos tener dos raíces
Und Gauß' Entdeckung ist nicht einfach nur irgendeine Regel,
Y el descubrimiento de Gauss no es solamente una regla cualquiera.
heutzutage nennen wir sie den "Fundamentalsatz der Algebra".
Hoy lo llamamos el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Also scheint unser Graph etwas zu wiedersprechen, dass so wichtig ist, dass es "Fundamentalsatz der Algebra" genannt wird,
Así que, nuestra gráfica no parece concordar con algo tan importante como el Teorema Fundamental Del Álgebra,
was durchaus ein Problem sein könnte.
lo que puede ser un problema.
Was Gauß uns hier erzählt ist, dass es immer 2 perfekte werte für x gibt,
Lo que Gauss nos está diciendo, es que existen 2 valores para X.
die wir in unsere Funktion einsetzen könnten, und Null als Ergebnis erhalten würden.
que podriamos poner en nuestra funcion y obtener cero.
Wo könnten diese 2 Nullstellen sein?
¿Dónde podrían estar esas dos raíces que faltan?
Die Antwort: wir haben nicht genug Zahlen.
La respuesta corta es que no tenemos suficientes números
Wir denken typischerweise, dass Zahlen auf einer 1-dimensionalen Linie exestieren - der Zahlengraden.
Solemos pensar que los numeros existen en una única dimension contínua, la recta numerica
Alle unsere freunde finden wir hier: die Null, die Eins,
Todos nuestros números están aquí, el 0,1
negative Zahlen, Brüche, sogar irrationale Zahlen wie zum Beispiel die Wurzel aus 2.
números negativos, fracciones,
negative Zahlen, Brüche, sogar irrationale Zahlen wie zum Beispiel die Wurzel aus 2.
e incluso los numeros irracionales como la raíz cuadrada de 2.
Aber dieses System ist unvollständig.
Pero éste sistema está incompleto,
Und unsere fehlenden Zahlen sind weder links noch rechts,
y nuestros números faltantes no están
Und unsere fehlenden Zahlen sind weder links noch rechts,
más a la izquierda o la derecha.
sie leben in einer komplett neuen Dimension.
Se encuentra en una dimensión totalmente diferente.
Algebraisch betrachtet hängt diese neue Dimension
Algebraicamente, esta nueva dimensión está relacionada
stark mit einem Problemen zusammen, welches schon vor über 2000 jahren als mathematisch unmöglich betrachtet wurde:
con un problema que fue considerado matemáticamente imposible por más de doscientos años:
die Quadratwurzel aus -1.
la raíz cuadrada de -1
Wenn wir diese fehlende Dimension hier einfügen,
Cuando incluímos la ésta dimensión faltante en nuestro análisis
wird unsere Parabel direkt interessanter.
nuestra parábola se vuelve mas interesante
Jetzt, wo unsere Ausgangszahlen in ihrer vollen, 2-dimensionalen Form erscheinen,
Ahora que nuestros valores están en su forma completa bidimensional
können wir sehen, wie sich unsere Funktion x^2 + 1 wirklich verhält.
podemos ver como se comporta realmente nuestra función x^2+1
Und jetzt sehen wir auch, dass unsere Funktion exakt 2 Nullstellen hat! Unsere Funktion schneidet
Y podemos ver que nuestra función si cruza el eje de las X
die x-Achse - wir haben nur in der falschen Dimension nach dem Schnittpunkt gesucht.
solo estabámos mirando en la dimensión equivocada.
Also, warum ist diese zusätzliche Dimension von Zahlen allgemein unbekannt?
¿Entonces por que esta dimension extra que poseen los números no es ampliamente conocida?
Ein Faktor, der dazu geführt hat, könnte der schreckliche Name dieser Dimension sein, der ihr gegeben wurde.
En parte, esto se debe a que se le dió un nombre terrible,
Ein Name, der vermuten lässt, dass diese Zahlen nichtmal richtig real sind.
un nombre que sugiere que esos números ni siquiera son reales!
Tatsächlich hatte Gauß höchstpersönlich was zu dieser Namensgebung zu sagen.
De hecho, el propio Gauss tuvo algo que decir acerca de esta decisión respecto al nombre. "[...] Que este tema (los numeros imaginarios) hayan estado hasta ahora rodeados de una misteriosa oscuridad, se debe en gran parte a una notacion mal adoptada. Si, por ejemplo, +1, -1 y la raíz cuadrada de -1 hubieran sido llamadas unidades directas, inversas y laterales, en lugar de positivas, negativas e imaginarias (o incluso imposibles), tal oscuridad habría estado fuera de lugar." ¿¿Imaginarios??
Also ja, diese Dimension besteht aus Zahlen, die den lächerlichen Namen "imaginär" tragen.
¿Es en serio? Efectivamente, esta dimensión está compuesta por números a los que se les ha dado el ridículo nombre de "imaginarios"
Gauß meinte, dass diese Zahlen lieber "seitlich" genannt werden sollten,
Gauss propuso que estos números debían ser llamados laterales.
also ab jetzt sind "seitliche" und "imaginäre" Zahlen einfach mal das Gleiche.
Así que, de ahora en adelante, tomemos lateral como sinónimo de imaginario.
Um die Imaginären Zahlen besser zu verstehen,
para comprender mejor los numeros imaginarios
Ich meine - seitliche Zahlen -
- es decir, números laterales -
also um zu verstehen was hier grade los ist,
y comprender realmente lo que ocurre aquí
lasst uns noch etwas Zeit mit dem Reden über Zahlen verbringen.
pensemos un poco sobre los números en sí mismos
Die frühen Menschen brauchten wirklich nur die natürlichen Zahlen (also 1, 2, 3 und so weiter...).
Las personas de antaño sólo tenían el uso de los números naturales, es decir 1, 2, 3, y así sucesivamente.
Das macht auch Sinn, da Zahlen auch nur so gebraucht wurden.
Esto tiene sentido debido a la forma en que se utilizaban los números.
Also für diese Menschen wäre die Zahlengrade nur eine Reihe von Punkten.
Así que para los primeros seres humanos, la recta numérica habría sido una serie de puntos separados.
Als die Zivilisation fortschritt,
A medida que las civilizaciones avanzaban,
brauchte man Antworten auf anspruchsvollere, mathematische Fragen.
la gente necesitaba respuestas para preguntas matemáticas más sofisticadas como:
Zum Beispiel wenn sie Samen einpflanzten,
cuándo sembrar semillas,
Ländereien einteilten oder finanzielle Transaktionen abwickelten.
cómo dividir la tierra, y cómo realizar un seguimiento de las transacciones financieras.
Die Natürlichen Zahlen reichten hierfür nicht mehr aus,
Los números naturales se estaban quedando cortos,
also entwickelten die Ägypter
por lo que los egipcios innovaron y desarrollaron
eine neue, fortschrittliche Lösung: Brüche.
una nueva solución de alta tecnología: las fracciones.
Brüche füllen die Lücken in unserer Zahlengraden
Las fracciones llenaron los vacíos en nuestra recta numérica,
und reichten dann auch für ein paar Tausend Jahre aus.
y fueron básicamente la tecnología de vanguardia durante un par de miles de años.
Der nächste große Schritt um die Zahlengrade zu komplettieren war das Einführen der negativen Zahlen und der Null.
Las próximas grandes innovaciones que llegaron a la recta numérica fueron el número cero y los números negativos,
Aber es dauerte eine Weile, alle davon zu überzeugen.
pero tomó algún tiempo en llegar a todo el mundo.
Es ist bis jetzt noch nicht ganz offensichtlich, was diese Zahlen bedeuten,
Ya que no es obvio lo que estos números significan
oder wie sie sich in die echte Welt einfügen,
o cómo encajan en el mundo real,
Null und die negativen Zahlen trafen schnell auf Skepsis
el cero y los números negativos fueron recibidos con escepticismo,
und wurden häufig ignoriert oder vermieden.
y en gran medida se evitaron o ignoraron.
Manche Kulturen waren misstrauischer als andere,
Algunas culturas fueron más recelosas que otras,
dies war stark davon abhängig, wie Menschen die Verbindung zwischen Mathematik und Realität sahen.
dependiendo en gran medida de cómo las personas veían la conexión entre las matemáticas y la realidad.
Und das ist nicht alles alte Geschichte,
Y esto no es sólo historia antigua:
nur vor ein paar Jahrhunderten
Hace sólo unos pocos siglos,
wollten Mathematiker absichtlich ihre Terme verändern um dem Erscheinen negativer Zahlen in ihren Ergebnissen vorzubeugen.
los matemáticos movían intencionadamente términos a fin de evitar que los números negativos aparecieran en las ecuaciones.
Das Misstrauen gegenüber Null und negative Zahlen verblasste schließlich -
El esceptiscismo sobre el cero y los números negativos se desvaneció con el tiempo,
teilweise weil Negative Zahlen nützlich sind um Konzepte wie Schulden auszudrücken,
en parte porque los negativos son útiles para expresar conceptos como la deuda,
jedoch am meisten weil Negative Zahlen sich immer tiefer in die Mathematik eingeschlichen haben.
pero sobre todo porque los números negativos seguían existiendo a escondidas a pesar de todo
Es kam heraus, dass es in der Mathematik eine ganze Menge dinge gibt, die du ohne Negative Zahlen gar nicht tuen könntest.
Resulta que hay muchísimas matemáticas que no puedes hacer
Es kam heraus, dass es in der Mathematik eine ganze Menge Dinge gibt, die du ohne Negative Zahlen gar nicht tuen könntest.
a no ser que utilices los números negativos
Ohne negative Zahlen würden einfachste algebraische Gleichungen wie z.B. x + 3 = 2 keine Lösung besitzen.
Sin negativos, simples problemas de álgebra como x+3=2 no tienen respuesta.
Bevor die negativen Zahlen akzeptiert wurden,
Antes de que los negativos fueran aceptados,
gab es für solche Probleme auch keine lösung,
este problema no habría tenido solución,
genauso wie wir dachten, dass unser Problem vom Anfang auch keine Lösung besitzt.
así como nosotros pensamos que nuestro problema original no tenía solución.
Der Punkt ist: es ist nicht verrückt oder verwirrend zu denken solche Probleme hätten keine Lösung -
el asunto es que no es una locura pensar que este tipo de problemas no tienen solución.
In Worten ausgedrückt sagt die Algebra dahinter:
En palabras, este problema de álgebra básicamente dice:
"Wenn ich 2 Dinge habe, und 3 wegnehme, wie viele Dinge hab ich dann noch?"
"Si tengo 2 cosas y me llevo 3, cuántas cosas me quedan?"
Es ist nicht weiter überraschend, dass die meisten Menschen die auf diesem Planteten lebten solche Fragen seltsam fanden.
No es sorprendente que la mayoría de las personas que han vivido en nuestro planeta hubieran sospechado de este tipo de preguntas.
Sowas macht einfach keinen Sinn.
Estos problemas no tienen ningún sentido.
Sogar brilliante Mathematiker des 18. Jahrhunderts, z.B. Leonard Euler,
Incluso brillantes matemáticos del siglo 18, como Leonard Euler,
waren sich im Umgang mit negativen Zahlen nicht sicher.
no sabían qué hacer con los números negativos
Einmal schrieb er, dass negative Zahlen größer als die Unendlichkeit seien.
Una vez escribió que los negativos eran mayores que infinito.
Also ist es nur gerecht zu sagen,
Así que es justo decir que
dass negative und imaginäre Zahlen eine Menge sehr guter und sehr wichtiger Fragen klären können.
los números negativos e imaginarios plantean muchas
Zum Beispiel:
preguntas muy buenas y válidas.
Warum müssen wir von Studenten verlangen, Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu arbeiten, welche selbst die größten Mathematiker der letzten Jahrtausende nicht vollständig hintergrüdet haben?
Como ¿por qué se exige a los estudiantes entender y trabajar con números
-
que evadieron a las mentes matemáticas más brillantes durante miles de años?
Warum haben wir überhaupt negative und imaginäre Zahlen eingeführt,
¿Por qué hemos llegado incluso aceptar los números negativos e imaginarios, en primer lugar,
wenn sie scheinbar gar keinen Bezug auf die reale Welt haben?
cuando en realidad no parecen estar conectados con nada en el mundo real?
Und wie helfen diese zusätzlichen Zahlen, die fehlenden Lösungen für unser Problem zu klären?
Y ¿cómo es que estos números ayudan a explicar las soluciones que faltan a nuestro problema?
Beim nächsten Mal werden wir beginnen, diese Fragen zu beantworten,
La próxima vez, empezaremos a abordar estas cuestiones
indem wir den Weg zurück zur Entdeckung von komplexen Zahlen gehen.
regresando al descubrimiento de los números complejos.
¿Quieres enseñar estas series? El libro Welch Labs Workbook incluye notas, ejercicios y material exclusivo.
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