Divergence formula, part 2 Khan Academy English Korean

Divergence formula, part 2YouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 32.2K views 278 likes 3 dislikes 25 May 2016

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- [Voiceover] Hello again, in the last video

여러분 안녕하세요

we were looking at vector fields that

저번 영상에서 X좌표값만을 갖는

only have an X component,

백터장에 대해서 살펴보았습니다

basically meaning all of the vectors

즉, 모든 벡터들이

point just purely to the left or to the right,

순수하게 오른쪽이나 왼쪽을 가리키고

with nothing up and down going on.

위나 아래의 방향의 성분은 없습니다

Then we landed at the idea that

그리하여 V의 발산은

the divergence of V, you know when

이 벡터 함수에서

you take the divergence of this vector valued function,

P의 편미분 값과

it should definitely have something to do

관련이 있을 것이라는

with the partial derivative of P,

결론은 도출해냈습니다

that X component of the output,

이때 P는 x에 대한

with respect to X,

벡터의 X성분입니다

and here I wanna do the opposite,

이제 그 반대의 상황을 하려고 합니다

and say, okay, what if we look at functions

만약 함수의 P성분

where that P, that first component is zero,

즉 함수의 X성분이 0이고

but then we have some kind of positive Q component,

Q성분이 양수인 경우

some kind of positive, well maybe not positive,

양수보다는 0이 아니라는

but some kind of non-zero,

표현이 적절한 것 같습니다

so positive or negative Y component,

즉, 벡터는 양수나 음수의 Y성분을 갖게 되는데

and what this would mean,

이것이 의미하는 바는

instead of thinking about vector as just left and right,

왼쪽이나 오른쪽 뱡향의 벡터가 아니라

now we're looking at vectors that

순수하게 위 아래의 방향을 갖는

are purely up or down, kind of up or down.

벡터를 생각하는 것입니다

So kind of doing the same thing we did last time,

저번 영상에서 한 것과 아주 유사한데요

if we start thinking about cases where

벡터의 발산이

the divergence of our function

주어진 점에서 양이면서

at a given point should be positive,

점 그 자체에서는

and an example of that, you might be saying,

아무 변화가 없는 경우에 대해서

nothing is happening at the point itself,

생각해 봅시다

so Q itself would be zero but then below it,

즉, Q 자체는 0이지만

things are kind of going away so

주변의 벡터들은 주변에서 멀어집니다

they're pointing down, and above it,

그러므로 점 아래에서는 아래로 향하고

things are going up.

점 위에서는 위로 향합니다

So in this case down here,

즉 아래에서는

Q is a little bit less than zero,

Q가 0보다 약간 작으므로

the Y component of that vector is less than zero,

벡터의 Y성분이 0보다 약간 작고

and up here, Q is greater than zero.

위에서는 Q가 0보다 약간 큽니다

So here we have the idea that as you're going

즉, 아래에서부터

from the bottom up,

위로 올라간다면

the Y value of your input is increasing

입력되는 Y값이

as you're moving upward in space,

점점 증가합니다.

the value of Q, this Y component of the output,

이때 Q, 즉 출력값의 Y 성분 또한

should also be increasing because

증가하게 되는데 그 이유는

it goes from negative to zero to positive.

Q값이 음수에서 0, 그리고 양수로 변하기 떄문입니다

So now you're starting to get this idea

이것을 Q의 Y에 대한

of partial Q with respect to Y,

편미분으로 생각해보면

you know, as we change that Y and move up in space,

Y가 증가하면

the value of Q should be positive,

편미분값은 양수여야 합니다

so positive divergence seems to

그러므로 양의 발산은

correspond to a positive value here.

편미분에서 양의 값과 관련있습니다

And the thinking is actually gonna be

그리고 생각하는 과정은

almost identical to what we did

저번 영상에서 X성분으로 한

in the last video with the X component,

과정과 비슷할 것입니다

because you can think of another circumstance

왜냐하면 그 점에 0이 아닌

where maybe you actually have a vector

벡터가 존재하고

attached to your point and something's going on,

그 점을 향한 접근이

and there even is some convergence towards it,

즉, 그 점을 향한

where you have some fluid flow

유체의 흐름이 있지만

in towards the point,

그 점에서 멀어지는,

but it's just heavily outweighed by

더 큰 발산값에 의해

even higher divergence, even higher flow

그 값이 상쇄되는

away from your point above it,

상황을 생각해 봅시다

and again you have this idea of

이 경우에서도

Q starts off small, so here's kind of,

처음에 Q는 0에 가깝게

Q starts off small, maybe it's kind of like near zero,

값이 매우 작지만

and then here Q is something positive

갈수록 양의 값으로 커지고

and then here it's even more positive,

이곳에서는 더 큰 양의 값을 갖게 됩니다

and sort of making up notation here

표준 표기법은 아니지만

but I want the idea of kind of small

작은 값에서 시작하여

and then medium-sized and then bigger,

점점 커지는 것을 표현한 것입니다

and once again, the idea of partial derivative of Q

이 경우에서도 Q의 Y에 대한 편미분값이

with respect to Y being greater than zero

0보다 큰 경우는

seems to correspond to positive divergence,

양의 발산과 연관이 있습니다

and if you want, you can sketch out

그리고 더 많은 경우들에 대해서도

many more circumstances and think about

생각해 본다면,

what if the vector started off pointing down,

예를 들어 벡터가 아래 방향으로 시작한다면

what would positive and negative

양의 발산, 음의 발산 그리고

and zero divergence all look like,

발산이 0인 경우가 어떨지 생각해봅시다

but the upshot of it all, pretty much

이 모든 경우에서는

for the same reasons I went through in the last video,

전 영상에서 설명한 것과 같은 이유로

is this partial derivative with respect to Y

Q의 Y의 대한 편미분값이

corresponds to the divergence.

발산값과 연관이 있습니다

And when we combine this with

그리고 이것을

our conclusions about the X component,

X값에 대한 결론과 합친다면

that actually is all you need to know for the divergence.

이것이 발산에 대해서 알아야 할 것의 전부입니다

So just to write it all out,

이것을 써본다면

if we have a vector valued function of X and Y,

X, Y에 대한 벡터 함수가

and it's got both of its components,

X, Y값을 모두 갖는다면

we've got P as the X component of the output,

출력값 또한 X값인 P,

that first component of the output,

즉, 첫번쨰 출력값과

and Q, and we're looking at both of these at once,

두번쨰 출력값 Q를 갖습니다

the way that we compute divergence,

이들은 한꺼번에 발산값을 계산한다면

the definition of divergence of this vector valued function,

발산값의 정의는

is to say divergence of V

x와 y의 함수인

as a function of X and Y,

v의 발산값은

is actually equal to the partial derivative of P

P의 x에 대한

with respect to X, plus,

편미분 값에

the partial derivative of Q with respect to Y.

Q의 Y에 대한 편미분값의 합과 같습니다

And that's it, that is the formula for divergence,

이것이 발산의 공식입니다

and hopefully by now, this isn't just kind of

이 공식이 여러분 앞에

a formula that I'm plopping down for you,

갑자기 던져진 것이 아니라 식의 의미를

but it's something that makes intuitive sense,

직관적으로 생각할 수 있습니다

when you see this term, this partial P

P의 X에 대한 편미분값 항에 대해

with respect to X, you're thinking about,

생각해본다면 x축 방향으로

oh yes, yes, because if you have

이동하며그 흐름이

flow that's kind of increasing

점점 증가할 때 발산값이 양수이므로

as you move in the X direction,

직관적으로 생각했을 때

that's gonna correspond with movement away,

P의 x에 대한 편미분 항은 당연합니다

and this partial derivative of Q

그리고 Q의 y에 대한

with respect to Y term,

편미분 값은

hopefully you're thinking, ah yes,

같은 방법으로 생각해 본다면

as you're increasing the Y component

점 주변에서 y성분을

of your vector around your point,

증가시킬 때, 들어오는 흐름보다

that corresponds with less flow in than there is out,

나가는 흐름이 많다면 발산하게 됩니다

so both of these correspond to that

즉 이 두항 모두 우리가 얻고자 하는

idea of divergence that we're going for,

발산의 개념과 연관이 있습니다

and if you just add them up,

그리고 이 두 값을 더하면

this gives you everything you need to know.

여러분이 알아야 할 모든 정보를 제공합니다

And one thing that's pretty neat, and maybe kind of surprising,

여기서 신기한 점은

is that the way we just came across this formula,

우리가 이 공식을 얻어낸 과정입니다

and started to think about it,

우리는 이 공식을

was in the simplified case,

순수한 x축 방향이나

where you have, you know, just pure movement

y축 방향으로만의 움직임이 있는

in the X direction or pure movement in the Y direction,

경우를 통해서 얻어냈지만

but in reality, as we know,

현실에서는

vector fields can look much more complicated,

벡터장은 더 복잡하게 생겼습니다

and maybe you have something where

x축, y축 방향의 벡터 뿐만 아니라

you know, it's not just in the X direction,

다양한 방향의

and there's lots of things going on

벡터가 존재하므로

and you need to account for all of those,

모든 경우에 대해서 생각해야합니다

and evidently, just looking at the change

하지만, 결론적으로

in the X component with respect to X,

출력값의 x 성분의 변화량과

or the change in the Y component of the output

y 성분의 변화량을 통해서

with respect to the Y component of the input,

우리가 알고 싶은

gives you all the information you need to know.

모든 정보를 알 수 있습니다

And basically what's going on here is

이것은 바로

that any fluid flow can just be broken down

모든 유체 흐름, 즉 벡터는

into the X and Y components where

x,y성분으로

you're just looking at each vector,

분해가 가능합니다

you know, whatever vector you have,

보충하자면, 어떤 벡터든지

it could be broken down into

그것의 고유한 x,y성분들로

it's own X and Y components and if you

분해시킬 수 있습니다

wanna think kind of concretely about

유체 흐림에 대해서

the fluid flow idea, maybe you'd say that

구체적으로 생각해본다면

for your point, if you're looking at a point in space,

공간에서 한 점을 볼 때

you picture a very small box around it,

작은 상자를 그려본다면

and the reason you only need to

x,y 성분에 대해서만

think about X components and Y components

생각해도 되는 이유는

is that you're only really looking at,

왼쪽과 오른쪽에서

you know, what's going on on the left and right side,

무슨 일이 일어나는지 안다면

and then you can kind of calculate

what the divergence according to fluid flowing

유체 흐름을 통해서

in through those sides is,

발산값을 계산할 수 있고

and then you just look at kind of,

그리고 위 아래에서의 변화 또한

fluid flowing through the top or the bottom,

같은 방법으로 알 수 있습니다

and if you kinda shrink this box down,

이 상자를 작게 줄인다면

all you really care about is those two different directions,

이 두 방향에 대해서만 관심이 있고

and anything else, anything that's kind of

다른 방향으로의 움직임, 즉

a diagonal into it, is really just broken down

대각선 방향의 움직임은

into what's the Y component there,

x, y축의 움직임으로 분해해서

what's the, you know, how is it contributing to

y 성분이 어떤식으로

movement up through that bottom part of the box,

y축 방향의 움직임에 기여하고 있고

and then what's the X component,

x 성분이 어떻게

how's it contributing to movement

x축 방향의 움직임에

through that side part of the box.

기여하는지 알 수 있습니다

But anyway, I mean the upshot here

결론적으로

is just that the formula for divergence

발산의 공식은

only involves these two components.

x,y성분만을 포함하게 됩니다

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