Second partial derivative test example, part 2 Khan Academy Bulgarian Korean

Second partial derivative test example, part 2YouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 29.6K views 215 likes 2 dislikes 22 Jun 2016

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В предходното видео разглеждахме

지난 동영상에서는 우리에게

една функция на много променливи,

다변수함수가 제시되었고

като трябваше да намерим и да определим вида на всичките ѝ критични точки.

함수의 모든 임계점을 찾고 분류하는 문제를 풀었습니다.

Да намерим критичните точки означава просто да намерим къде

임계점은 그저

градиентът на функцията е равен на нула.

gradient가 0인점을 찾는것이고

Ние намерихме четири различни критични точки.

우리는 임계점에 해당하는 4개의 점을 찾았습니다.

Записали сме ги ето тук.

아래의 점들이 임계점입니다.

Това са точките (0; 0), (0; –2),

그들은 (0,0), (0,-2)

(корен квадратен от 3; 1)

и (минус корен квадратен от 3; 1).

그리고 (-√3,1) 입니다.

Следващата стъпка е да определим вида на тези точки.

이제 다음 단계는 이들을 분류하는 것입니다.

За целта ще използваме критерия на вторите частни производни.

이 과정은 2차 편도함수 시험을 필요로합니다.

Това, което ще направя сега,

따라서, 저는 지금 먼저

е да копирам частните производни,

편도함수를 써놓을 것입니다.

които вече намерихме.

우리는 이미 이들을 계산했습니다.

Копирам и поставям тук долу.

복사해서 그냥 이 밑에 붙여놓겠습니다.

Сега можем да ги използваме,

그리고 이곳에서 우리가 이들을 이차 편도함수로서

за да намерим вторите частни производни.

사용하기 시작할 것입니다.

Ще почистя малко ето тук,

따라서 여기를 조금 치우고,

като ще са ни нужни тези опростени изрази за производните.

그리고 단순화 사킨 이 식은 필요하지 않습니다.

Така че имаме нашите частни производни.

이제 편도함수를 다 구했습니다.

Сега, тъй като знаем, че искаме

우리는 이들은 이차 편도함수 시험에

да използваме критерия на вторите частни производни,

적용하고 싶다는 것을 알기 때문에

първо трябва да намерим всички различни

우리는 먼저 우리 함수의 서로 다른

втори частни производни на нашата функция.

2차 편도함수들을 계산해야 합니다.

Това е първата стъпка.

그것은 가장 먼저 해야하는 일입니다.

Да ги намерим.

그러면 이제 구합시다.

Втората частна производна на функцията

먼저, x에 대해서 2번 미분한

по отношение на х два пъти подред.

2차 편도함수입니다.

Ще намерим частната производна на функцията относно х,

먼저 x에 대한 편도함수를 가지고

а след това още веднъж ще диференцираме относно х.

다시 x로 미분할 것입니다.

Първият член изглежда като 6 по променливата,

따라서, 첫번째 항은 변수와 상수를

по константа, така че

곱한 것의 6배로 보이므로,

ще бъде просто 6 по тази константа.

상수의 6배가 될 것입니다.

Вторият член –

또한, 2번째 항은

производната на минус 6 по х е просто минус 6.

-6x의 편도함수이므로, 그냥 -6입니다.

Продължаваме.

Сега трябва да намерим втората частна производна

y에 대해 2번 미분한

по отношение на у два пъти подред.

2차 편도함수를 계산하면

Намираме частната производна по отношение на у

y에 대해서 미분한 편도함수를 가지고,

и след това диференцираме още веднъж.

같은 방법을 반복합니다.

Този член х на квадрат изглежда като константа.

x 제곱 형태의 항은 아무것도 아닌데

Той изглежда като константа, така че когато диференцираме относно у

y를 변수로 했을 때 이 항은 상수이므로

можем да го игнорираме.

무시합니다.

Производната на минус 3 по у на квадрат

-3y^2의 편도함수는

е минус 6 по у,

а след това производната на минус 6 по у

-6y의 편도함수는

е просто минус 6.

그냥 -6입니다.

Не трябва да забравяме за последната и много важна

그 다음, 매우 중요한 혼합된 편도함수를

смесена частна производна на f,

잊어서는 안됩니다.

която намираме като

바로 f의 편도함수를 구하는데,

първо диференцираме относно х,

먼저, x에 대하여 미분하고

а след това относно у.

다음 y에 대하여 미분하는 것입니다.

Редът, по който диференцираме, по същество е без значение,

사실 미분 순서는 이 문제에서 별로 중요하지 않은데,

тъй като това е една най-обикновена полиномна функция.

완벽하게 정상적인 다항함수이기 때문입니다.

Можем да диференцираме и по обратния начин,

따라서, 아무렇게나 해도 상관없는데

но аз избирам да взема частната производна относно х

그냥 이 식을 가지고 y에 대하여

и да я диференцирам относно у.

미분함으로써 구하겠습니다.

Значи производната на първия член относно у

첫 항에 대하여 y에 대한 미분을 하면,

Вторият член изглежда като константа

2번째 항은 y에 대하여

по отношение на у, така че това е всичко.

상수로 보여지므로, 이게 끝입니다.

Сега ще заместим

이제 무엇을 할 것이냐면,

стойностите на х и на у за всяка критична точка във формулата

각각의 임계점을 특별한

за критерия на вторите частни производни.

2차 편도함수 시험의 식에 대입할 것입니다.

Само да си припомним каква е тя.

그 식을 다시 알려드리면,

Формулата е: взимаме втората частна производна

그 식은 먼저 x에 대하여 2번 미분한

два пъти относно х.

2차 편도함수를 사용합니다.

Аз ще го запиша за по-кратко

아래 첨자를 사용하여 이들을

с долни индекси.

짧게 표기하겠습니다.

След това я умножаваме по втората частна производна относно у,

다음, x에 대한 2차 편도함수를

и после изваждаме

смесената частна производна, повдигната на квадрат.

혼합된 편도함수의 제곱을 빼줍니다.

Да заместим за всяка от критичните точки.

이제, 각 점에 대하여 이 식에 대입합시다.

Когато заместим с точката (0; 0),

(0,0)에 대하여 이 과정을 하면,

получаваме...

(0,0), 무엇을 얻게 되나면

Заместваме тези стойности в частната производна

이 점을 x에 대하여 2번 미분한

по отношение на х два пъти подред.

편도함수에 대입하면,

Шест по нула е нула, така че остава само минус 6.

6곱하기 0은 영이므로 그냥 -6입니다.

Получаваме минус 6, умножено по...

그러면 이제 -6 곱하기가 되고,

Когато заместим в тази частна производна

점을 y에 대하서 2번 미분한

по отношение на у на квадрат,

편도함수에 대입하면,

отново у е нула.

y가 0으로 가기 때문에

Получаваме просто –6.

그냥 -6만 남게 됩니다.

Когато извадим смесената частна производна –

그리고 혼합된 편도함수를 빼줘야 하는데,

в този случай тя е нула,

이 경우에는 0인데,

защото като заместим х = 0, получаваме нула.

x에 0을 대입하면 0을 얻기 때문입니다.

Значи вадим нула на квадрат.

따라서 0의 제곱을 빼줍니다.

Целият израз дава минус 6

그러면 전체 식은 -6 곱하기

по минус 6, което е 36.

-6은 36이 됩니다. 36

Ще разгледаме какво означава

우리는 잠시후에 이 수가 양수가 되면

тази положителна стойност след малко.

무엇을 의미하는 지 잠시 뒤에 알게 될것입니다.

Сега да сметнем всички варианти,

그전에 나머지 점들도 같이 분석할 수 있게

за да можем да ги използваме за анализа.

나머지 점들에 대한 계산도 끝냅시다.

Да заместим с (0; –2).

이 과정을 0과 -2에 대해서 합시다. (0,-2)

След като заместим у = –2,

우리가 이 식의 y에 -2를

в този израз,

대입합시다.

този път ще го запиша.

이번에는 식을 쓰겠습니다.

6 по –2 минус 6,

6 곱하기 -2 빼기 6은,

това е –12 минус 6.

-12 빼기 6이고,

Получаваме минус 18.

-18을 얻게 됩니다. -18

После, като заместим частната производна на f

이제 이를 y에 대해서 2번 미분한

по отношение на у на квадрат –

편도함수를 구합시다.

пак ще го запиша.

이번에도 살짝 쓰겠습니다.

Получаваме минус 6 по у,

равно на минус 2 минус 6.

는 -2 곱하기 -6과 동일합니다.

Получаваме минус 6 по –2,

이제 -6 곱하기 -2

значи плюс 12 минус 6.

은 +12 빼기 6입니다.

Това ни дава плюс 6.

따라서 여기에는 +6을 대입하게 될 것입니다.

После смесената частна производна –

이제 혼합된 편도함수를 구합시다.

х пак е равно на нула.

다시, x는 0이므로

Смесената производна е равна

우리가 이렇게 하면, 혼합된 편도함수는

на 0, когато заместим.

그저 0으로 보일 것이다.

Значи вадим нула на квадрат,

따라서 우리는 0의 제곱을 빼는 것이므로

и получаваме минус 18 по 6.

-18 곱하기 6을 얻게 됩니다.

Да видим колко е 18 по 6.

우와, 18 곱하기 6이네요.

Това е 36 по 3,

이건 36 곱하기 3입니다.

равно на 90

이것은 90에

плюс 18, което дава 108.

18을 더하는 것과 같고, 108인 것 같습니다.

Минус 108, но конкретната стойност не е важна.

-108, 그리고 정확한 크기는 의미가 없습니다.

Важен е знакът.

중요한 것의 수의 부호입니다.

А тук той определено е отрицателен.

그리고 이것은 분명히 음수입니다.

Продължаваме напред.

이제 넘어갑시다.

Тези примери отнемат доста време.

이런 예제들은 시간이 많이 걸립니다.

Замествам с корен квадратен от 3; 1. Какво ще получим –

이제 √3과 1을 대입합시다. √3과 1이 우리가 가지고 있는 것입니다.

вместо да заместим у = –2,

이제, y에 -2를 대입하는 것이 아니라,

заместваме у = 1.

y에 1을 대입합니다.

Това става 6 по 1 минус 6.

그것은 6곱하기 1 빼기 6이므로,

Цялото става нула.

전체는 0이 됩니다.

Частната производна по отношение на у на квадрат –

그러면, y에 대해 2번 미분한

вместо да заместим минус 2,

편도함수는, -2를 대입하는 것이 아니라

заместваме у равно на 1.

이제 y에 1을 대입하는 것이므로

Получаваме минус 6 по 1, минус 6,

-6 곱하기 1 빼기 6이므로

което дава минус 12.

전체가 -12가 됩니다.

Значи минус 12, и сега членът

따라서 -12이고, 혼합된

със смесената производна,

편도함수 항은

който е 6 по х.

х е равно на корен от 3.

x가 √3이므로

Изваждаме корен от 3,

이제는 √3의 제곱을

на квадрат.

빼는 것입니다.

Това е равно на –

그것을 계산하면,

първата част е нула,

앞의 항은 0이 되고,

после вадим 3.

3을 빼는 것입니다.

Това дава минус 3.

따라서 -3입니다.

После имаме корен от 3.

그리고 √3이 있습니다.

О, не, ние тъкмо го направихме.

아. 아니군요. 방금 한 것입니다.

Сега имаме минус корен квадратен от 3; 1.

이제 우리는 -√3이 있습니다.

Това е много подобно, защото този първият член

앞의 계산과 매우 동일할 것인데, 그 이유는

съдържа просто у и ние го заместваме.

첫 항이 y만을 가지고 있었고, y를 대입했었습니다.

Значи това става нула.

따라서, 똑같이 0이 될 것입니다.

По същата причина тук се получава същото.

완전히 같은 이유로, 여기에서도 똑같데 되고,

Стойността не се променя.

y의 값이 변하지 않았으므로

Значи това също дава минус 12.

이 또한 -12가 될 것입니다.

Няма голямо значение, защото го умножаваме по нула, нали?

사실 0으로 곱하기 때문에 상관업겠죠?

След това ето тук

그리고 이 항에서는, -√3을

ще заместим отрицателен корен от 3,

대입하는데,

и ще получим същия квадрат.

똑같은 제곱항을 만들어 낼 것입니다.

Така че просто изваждаме 3.

따라서 똑같이 3을 빼게 됩니다.

Какво ни казва критерият на вторите частни производни?

그러면 2차 편도함수 시험은 우리에게 무엇을 알려줄까요?

След като пресметнем стойността на израза по тази формула,

이 표현을 표현하면,

ако тя е по-голяма от нула,

이 항이 0보다 크게 된다면,

имаме максимум или минимум.

그것은 최댓값 또는 최솟값입니다.

Това ни казва този критерий.

이것이 시험이 말해주는 것입니다.

Ако е по-малко от нула,

그리고 만약 0보다 작다면,

тогава имаме седлова точка.

그 점은 안장점이 됩니다.

В този случай този единственият случай, който е по-голямо от нула,

이 예제에서는, 0보다 큰 유일한 점이

е този първият случай.

첫번째 점이었습니다.

За да определим дали това е максимум, или е минимум –

그 점이 최댓값인지, 최솟값인지 알기 위해서는

обърни внимание, че частната производна

x에 대하여 2번 미분한

по отношение на х два пъти подред,

2차 편도함수 또는

или по отношение на у два пъти подред – и двете са отрицателни.

y에 대하여 미분한 2차 편도함수가 음수였다는 것을 인식해야 합니다.

Което един вид означава отрицателна изпъкналост.

이것은 음의 볼록성을 의미하게 되고

Това съответства на максимум.

이는 최댓값과 대응됨을 의미합니다.

Тази точка съответства на локален максимум.

따라서, 이 점은 극댓값에 해당합니다.

Всички други три дават отрицателни числа.

나머지 3점들은 음수였습니다.

Значи другите три точки са седлови точки.

따라서 나머지 점들은 안장점이라는 것을 알려줍니다. 안장점.

Сега да отговорим на въпроса в задачата.

따라서, 질문에 대한 답으로,

Трябваше да намерим и да определим вида на еди кои си точки –

전통적으로 여러점을 찾고, 분류하는 방법은

ние намерихме четири различни критични точки.

4개의 서로 다른 임계점을 찾았다는 것입니다.

(0;0), (0; –2), (корен квадратен от 3; 1)

4개의 서로 다른 임계점. (0,0), (0,-2), (√3, 1)

и (минус корен квадратен от 3; 1).

그리고 (-√3, 1)입니다.

Всички те са седлови точки, с изключение на точката (0; 0),

그리고 이들은 (0,0)을 제외하고는 모두 안장점입니다.

която е локален максимум.

(0,0)은 극대점입니다.

Всичко това успяхме да определим,

그리고 이들은 모두 우리가

без дори да сме виждали графиката на функцията.

함수의 그래프를 보지 않더라도 판단할 수 있는 것이었습니다.

До скоро!

이것을 저는 다음 비디오에 뵙겠습니다.

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