Multivariable functions | Multivariable calculus | Khan Academy Khan Academy English Arabic

Multivariable functions | Multivariable calculus | Khan AcademyYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 922.4K views 6.3K likes 78 dislikes 05 May 2016 Show Contributors 5

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

Korean InP

Arabic Nefham Free Lessons

Yaser AlShareef

Spanish (Latin America) Miranda Asesores

Click to Play Video

- [Voiceover] Hello and welcome

أهلا بكم

to multivariable calculus.

في دروس الرياضيات متعددة المتغيرات

So I think I should probably start off

أظن أن علي البدء

by addressing the elephant in the living room here.

بمناقشة الأمر الغريب الواضح هنا

I am, sadly, not Sal,

وهو أني لست "سال"

but I'm still gonna teach you some math.

لكني سألقي درسا في الرياضيات

My name is Grant.

اسمي "غرانت"

I'm pretty much a math enthusiast.

و أحب الرياضيات كثيرا

I enjoy making animations of things when applicable,

أحب رسم الأشياء إن أمكن

and boy, is that applicable

وبالتأكيد أن الرسم ممكن

when it comes to multivariable calculus.

عندما يتعلق الأمر بالرياضيات متعددة المتغيرات

So, the first thing we gotta get straight

أول أمر علينا مناقشته هنا

is what is this word multivariable

هو ماهي هذه الكلمة "متعددة المتغيرات"

that separates calculus, as we know it,

التي تفصل الرياضيات التي نعرفها

from the new topic that you're about to study?

من الموضوع الجديد الذي سنتعلمه ؟

Well, I could say it's all about multivariable functions,

بإمكاني القول أنها ذات علاقة بالدوال متعددة المتغيرات

that doesn't really answer anything

وهذا لا يجيب على التساؤل حقيقة

because what's a multivariable function?

فما هي الدوال متعددة المتغيرات ؟

And basically, the kinds of functions

وفي الأصل ، نوع الدوال

that we're used to dealing with,

التي اعتدنا على التعامل معها

in the old world, in the ordinary calculus world,

في العالم القديم ، في عالم الرياضيات الطبيعي

will have a single input, some kind of number

تحتوي على مدخل واحد ، رقم ما

as their input,

هو المدخل

and then the output is just a single number.

والمخرج هو رقم واحد

And you would call this a single variable function.

وتسمى هذه دالة ذات متغير واحد

Basically because that guy there is the single variable.

لأن هذا الشيء هنا هو المتغير الوحيد

So then a multivariable function

لذا ، الدالة متعددة المتغيرات

is something that handles multiple variables.

هي دالة تتعامل مع أكثر من متغير

So, you know, it's common to write it as x, y,

كما تعلمون ، من المعتاد أن نكتبها كـ x و y

it doesn't really matter what letters to use,

لا يهم حقيقة مالحروف التي نستخدمها

and it could be, you know, x, y, z,

قد تكون ، x y z

x one, x two, x three, a whole bunch of things,

أو x1 x2 x3 والعديد من الخيارات

but just to get started,

لكن كبداية

we often think just two variables

عادة ما نفكر بمتغيرين فقط

and this will output something that depends on

وهذا سيعطينا نتائج تعتمد

على هذين الاثنين

Commonly it will output just a number,

عادة ما يكون المخرج رقما

so you might imagine a number that depends on

لذا بإمكانكم أن تتخيلوا رقما يعتمد على

x and y in some way, like, x squared plus y,

الـx والـy ، مثلا ، x تربيع زائد y

but it could also output a vector, right?

وقد يكون المخرج متجها أيضا ، صحيح ؟

So you could also imagine something that's

فبإمكانكم أيضا أن تتخيلوا شيئا

got multivariable input, f of x, y,

ذا مدخلات عديدة ، الدالة f لـ (x,y)

and it outputs something that also has

وستعطيكم ناتجا يحتوي

multiple variables, like,

على مخرجات عدة كذلك

I mean I'm just making stuff up here,

إنني أكتب معادلات عشوائية هنا

three x and, you know, two y.

3x و لنقل 2y

And, this isn't set in stone,

وهذا ليس قانونا ثابتا

but the convention is to usually think

لكن العادة هي أن نفكر أنه في حالة

if there's multiple numbers that go into the output,

وجود عدة أرقام في المعادلة المدخلة

think of it as a vector,

فإننا نفترض أنه متجه

if there's multiple numbers that go into the input,

إن كان هناك عدة أرقام في المعادلة المدخلة

just kind of write them,

لنكتبها هنا

write them more sideways like this,

لنكتبها جنبا إلى جنب هكذا

and think of them as a point in space.

ولنفترض أنها نقطة في فضاء

Because, I mean when you look at something like this,

لأنه ، أعني أننا عندما ننظر إلى شيء كهذا

and you've got an x and you've got a y,

ولديك هنا x ولديك y

you could think about those as two separate numbers.

بإمكانك التفكير فيهما كرقمين منفصلين

You know, here's your number line

كما تعلم ، هنا خط الأرقام

with the point x on it somewhere,

والنقطة x في مكان ما هنا

maybe that's five, maybe that's three,

ربما تحمل قيمة 5 أو ربما 3

it doesn't really matter.

And then you've got another number line

ولديك خط أرقام آخر

and it's y, and you could think of them

وفيه النقطة y ولتفكر فيهما

as separate entities.

بشكل منفصل

But, it would probably be more accurate

لكن سيكون من الدقيق تسمية ذلك

to call it multidimensional calculus,

بالرياضيات متعددة الأبعاد

because, really, instead of thinking of, you know,

لأنه في الحقيقة ، بدل أن نفكر

x and y as separate entities,

في x و y بشكل منفصل

whenever you see two things like that

عندما نرى شيئين هكذا

you're gonna be thinking about the x y plane.

فإننا نفكر في سطح x و y

And thinking about just a single point.

ونفكر في نقطة واحدة

And you'd think of this as a function that takes a point

وسنفكر فيها كدالة تجعل النقطة رقما

or a point to a vector.

أو تجعلها متجها

And a lot of people, when they start

وكثير من الناس عندما يبدؤون

teaching multivariable calculus,

في تدريس الرياضيات متعددة المتغيرات

they just jump into the calculus,

فإنهم يقفزون إلى الرياضيات

and there's lots of fun things,

وهناك العديد من الأمور الممتعة

partial derivatives, gradients,

المشتقات الجزئية ، الميل

good stuff that you'll learn.

أمور جيدة ستتعلمونها

But I think first of all,

لكني أرى أن البداية

I want to spend a couple videos

أريد أن أصور عدة فيديوهات

just talking about the different ways

أتحدث فيها عن الطرق المختلفة

we visualize the different types

التي يمكن فيها تخيل الأنواع المختلفة

of multivariable functions.

من الدوال متعددة المتغيرات

So, as a sneak peak,

لذا ، كنظرة خاطفة

I'm just gonna go through a couple of them

سأمر على بعضهم

really quickly right now,

بشكل سريع الآن

just so you kind of whet your appetite

حتى تبدؤون باستيعاب الفكرة

and see what I'm getting at,

وتفهمون ما أقصده

but the next few videos are going to go through them

لكن الفيديوهات القادمة ستمر عليهم

in much, much more detail.

بشكل تفصيلي أكثر

So, first of all, graphs.

سنبدأ أولا ، بالرسومات البيانية

When you have multivariable functions,

عندما ترى معادلة متعددة المتغيرات

graphs become three dimensional.

فإن رسوماتها ستكون ثلاثية الأبعاد

But these only really apply to functions that have

لكنها تنطبق على دوال لها

some kind of two-dimensional input,

مدخلات ثنائية الأبعاد

which you might think about as living

والتي قد تفكر فيها أنها تعيش

on this x y plane,

في سطح الـ (x,y)

and a single number as their output

والنتيجة هي رقم واحد

and the height of the graph

وطول الرسم

is gonna correspond with that output.

سيكون متوافقا مع تلك النتيجة

Like I said, you'll be able to learn much more

كما أخبرتكم ، ستتعلمون الكثير

about that in the dedicated video on it,

في فيديوهات مختصة

but these functions also can be visualized

لكن يمكن تخيل هذه الدوال

just in two dimensions, flattening things out.

كثنائيات أبعاد ، بتسطيحها

Where we visualize the entire input space

بتخيل المساحة المدخلة

in associated color, with each point.

بلون مناسب لكل نقطة

So this is the kind of thing where you, you know,

لذا هذا من الأمور التي ، كما تعلمون

you have some function

تكون لديك دالة

that's got a two-dimensional input,

لها مدخلات ثنائية الأبعاد

that would be f of x, y,

كالتالي ، الدالة f لـ (x,y)

and what we're looking at is the x y plane,

وما ننظر إليه الآن هو سطح (x,y)

all of the input space,

سطح المدخلات

and this output's just some number,

وهذا المخرج هو مجرد رقم

you know, maybe it's like x squared,

ربما يكون x تربيع

this particular one is an x squared,

هذا هنا هو x تربيع

but, you know that,

لكن كما تعلمون

and maybe some complicated thing,

ربما تكون أكثر تعقيدا

and the color tells you roughly the size

واللون يعطيك الحجم التقريبي

of that output, and the lines here,

للناتج ، والخطوط هنا

called contour lines,

تسمى خطوط الكفاف

tell you which inputs all share a constant output value.

والتي تخبرك عن المدخلات التي تتشارك في مخرجات ثابتة

And again, I'll go into much more detail there.

ومجددا ، سأدخل في تفاصيل أكثر هنا

These are really nice, much more convenient

هذه مساحة جميلة جدا وأكثر قابلية

than three-dimensional graphs,

من الرسومات ثلاثية الأبعاد

to just sketch out.

في الرسم

Moving right along,

I'm also gonna talk about surfaces

سأتحدث أيضا عن الأسطح

in three-dimensional space.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد

They look like graphs,

والتي تبدو كرسومات

but they actually deal with a much different animal,

لكنها تتعامل مع أمر آخر تماما

that you could think of it as mapping two dimensions,

يمكنكم التفكير فيها كرسم بُعدين

and I like to sort of spoosh it about.

وأنا أحب تمطيطها هكذا

And we've got kind of a two-dimensional input,

وسنحصل هنا على مدخل ثنائي الأبعاد

that somehow moves into three dimensions,

يتحول بشكل ما إلى ثلاثي الأبعاد

and you're just looking at what the output

وسترون كيف سيبدو المُخرج

of that looks like,

not really caring about how it gets there.

لا تهم كيفية الوصول إلى هناك

These are called parametric surfaces.

تسمى هذه "الأسطح ذات الحدود"

Another fun one is a vector field,

مثال جيد آخر هو حقل المتجهات

where every input point is associated

حيث ترتبط كل نقطة

with some kind of vector,

بمتجه ما

which is the output of the function there.

وهو مخرج هذه المعادلة

So this would be a function

لذا ستكون هذه المعادلة

with a two-dimensional input

ذات مدخل ثنائي الأبعاد

and a two-dimensional output

ومخرج ثنائي الأبعاد

'cause each of these are two-dimensional vectors.

لأن كل هذه هي متجهات ثنائية الأبعاد

And the fun part with these guys

والأمر الممتع هنا

is that you can just kind of,

أن بالإمكان

imagine a fluid flowing,

تخيل سوائل متدفقة

so here's a bunch of droplets, like water,

هذه مجموعة قطرات متناثرة ، كالماء

and they kind of flow along that.

تتطاير هنا وهناك

And that actually turns out to give insight

مما سيعطينا فهما أكثر

about the underlying function.

للمعادلة الموجودة

It's one of those beautiful aspects

إنها إحدى الجوانب الجميلة

of multivariable calc.

للرياضيات متعددة المتغيرات

And we'll get lots of exposure to that.

وسنستعرض أمورا كثيرة كهذه

Again, I'm just sort of zipping through

مجددا ، إنني أتنقل هنا وهناك

to whet your appetite.

لمساعدتكم على استيعاب الفكرة

Don't worry if this doesn't make sense immediately.

لا تقلقوا إن لم تفهموا مباشرة

And one of my all-time favorite ways to think about

وإحدى الطرق المميزة التي أشرح بها

multivariable functions is to just take the input space,

الدوال متعددة المتغيرات هي أن أفكر بمساحة المدخلات

in this case, this is gonna be a function that inputs

في هذه الحالة ، ستكون هذه دالة تدخل

points in two-dimensional space,

نقاطا في المساحة ثنائية الأبعاد

and watch them move to their output,

وتراها تتحول إلى مخرجات

so, this is gonna be a function that also outputs

لذا ، ستكون هذه معادلة ذات مخرجات

in two dimensions.

ثنائية الأبعاد

And I'm just gonna watch every single point

وسأرى كل نقطة

move over to where it's supposed to go.

تتحرك في مكانها المفترض

These can be kind of complicated to look at,

قد يكون هذا معقدا قليلا

or to think about at first,

أو يصعب التفكير فيه

but as you gain a little bit of thought

لكن عند التفكير فيها

and exposure to them,

والتدرب عليها

they're actually very nice,

ستعجبكم كثيرا

and it provides a beautiful connection

وتوفر ربطا جميلا

with linear algebra.

مع علم الجبر

A lot of you out there,

والكثير منكم هنا

if you're studying multivariable calculus,

إن كنتم تتعلمون الرياضيات متعددة المتغيرات

you either are about to study linear algebra,

فمن الغالب أنكم ستتعلمون الجبر قريبا

or you just have, or maybe you're doing it concurrently,

أو تعلمتموه مؤخرا ، أو أنكم تتعلموه حاليا

but understanding functions as transformations

لكن فهم الدوال بهذا التحول

is gonna be a great way to connect those two.

سيكون جيدا جدا في الربط بينهما

I'll stop jabbering through these topics really quickly

سأتوقف عن الحديث عن هذه المواضيع بسرعة

and in the next few videos

وفي الفيديوهات القادمة

I'll actually go through them in detail

سأناقشها بالتفصيل

and hopefully you can get a good feel

آملا أن تستوعبوا بشكل أكبر

for what multivariable functions can actually feel like.

ماهي الدوال متعددة المتغيرات

Similar videos:

Representing points in 3d | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
182K views 660 likes 17 dislikes 05 May 201691% match

Multivariable chain rule intuition
Khan Academy
63.4K views 377 likes 12 dislikes 20 May 201675% match

Multivariable chain rule
Khan Academy
161.4K views 671 likes 24 dislikes 20 May 201675% match

Curvature formula, part 1
Khan Academy
114.6K views 448 likes 26 dislikes 20 May 201673% match

Transformations, part 1 | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
96.3K views 317 likes 5 dislikes 05 May 201673% match

Contour plots | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
176.6K views 1.1K likes 13 dislikes 05 May 201667% match

Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
198.6K views 931 likes 24 dislikes 05 May 201662% match

Curvature intuition
Khan Academy
78K views 502 likes 18 dislikes 20 May 201662% match

3d vector fields, introduction | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
119.1K views 477 likes 8 dislikes 05 May 201657% match

Divergence 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
341.2K views 965 likes 37 dislikes 11 Aug 200857% match

Divergence 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
160.1K views 585 likes 8 dislikes 11 Aug 200857% match

Divergence 3 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
128.6K views 484 likes 5 dislikes 11 Aug 200857% match

Fluid flow and vector fields | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
103.1K views 495 likes 8 dislikes 05 May 201657% match

Position vector valued functions | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
78.2K views 38 likes 1 dislikes 03 Mar 201656% match

Parametric curves | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
194.1K views 610 likes 22 dislikes 05 May 201656% match

Position vector valued functions | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
188.5K views 466 likes 18 dislikes 26 Feb 201056% match

Parametric surfaces | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
126.2K views 460 likes 8 dislikes 05 May 201652% match

Vector fields, introduction | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
190K views 876 likes 30 dislikes 05 May 201648% match

Interpreting graphs with slices | Multivariable calculus | Khan Academy
Khan Academy
111.7K views 462 likes 3 dislikes 05 May 201648% match

Derivatives of inverse functions: from equation | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
164.2K views 329 likes 10 dislikes 25 Jul 201646% match

Limits of trigonometric functions | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
131.6K views 306 likes 21 dislikes 17 Jul 201743% match

Limits of composite functions | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
140.1K views 105 likes 4 dislikes 12 Jul 201643% match

Limits of combined functions | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
131.6K views 36 likes 1 dislikes 12 Jul 201643% match

Functions continuous on all real numbers | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
136.7K views 29 likes 3 dislikes 12 Jul 201641% match

Functions continuous at specific x-values | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
120.7K views 53 likes 1 dislikes 12 Jul 201641% match

What is the range of a function? | Functions | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
557.3K views 1.7K likes 136 dislikes 25 Jun 201539% match

An announcement from Khan Academy
Khan Academy
168.4K views 4.1K likes 74 dislikes 08 May 201738% match

Second derivative test | Using derivatives to analyze functions | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
136.7K views 365 likes 20 dislikes 26 Jul 201638% match

Derivative as a concept | Derivatives introduction | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
147.7K views 1.2K likes 38 dislikes 19 Jul 201737% match

Khan Academy Live: SAT Math
Khan Academy
116.8K views 1.9K likes 52 dislikes 16 May 201737% match

Settings Privacy About Contact Donate