Quadratic approximation formula, part 1 Khan Academy English Korean

Quadratic approximation formula, part 1YouTube↗ IA↗(long shot)
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- [Voiceover] So, our setup is that we have some kind of two

기본 조건은 다음과 같습니다

variable function f of x, y,

두 변수 x, y 로 이루어진 함수 f 가 있습니다

who has a scaler output,

출력값으로는 상수와 변수의 곱이 나옵니다

and the goal is to approximate it

우리의 목표는

near a specific input point,

특정한 점에서 근사를 하는 것입니다

and this is something I've already talked about

이 내용은 국부 선형화를 다룬

in context of a local linearization,

이전의 영상에서 찾아 볼 수 있습니다

and I've written out the full local,

그리고 여기에

the full local linearization, hard words to say,

국부 선형화 식을 적어 놓았습니다

local linearization in its most

이 식은 국부 선형화의

abstract and general form,

일반화된 표현입니다

and it looks like quite the beast,

꽤 거칠어 보이는 표현이지만

but once you actually break it apart,

각 부분별로 쪼개어 살펴보면,

which I'll do in a moment, it's, it's

곧 같이 하겠지만, 사실

not actually that bad.

그리 복잡하지 않습니다

And the goal of this video is gonna be

이번 영상의 목표는

to extend this idea and it'll literally be

이 아이디어를 확장시켜

just adding terms onto this formula

몇 항을 추가시키게 되면

to get a quadratic approximation.

이차 근사를 할 수 있게 됩니다

And what that means is,

이 것이 의미하는 바는

we're starting to allow ourselves to use terms

이제부터 우리는

like x squared, x times y, and y squared.

x², xy, y² 항 또한 사용할 수 있다는 것입니다

And quadratic basically just means

여기서 '이차' 란

any time you have two variables multiplied together.

두 변수가 곱해져 있는 모든 경우를 말합니다

So here you have two Xs multiplied together,

여기에는 x 두 개가 곱해져 있고

here it's an x multiplied with a y,

여기는 x와 y 가 곱해져 있으며

and here y squared, that kind of thing.

여기는 y 가 두 개 곱해져 있습니다

So let's take a look at this local linearization.

자 이제 국부 선형화를 살펴 봅시다

It seems like a lot,

굉장히 무언가 많아 보이지만

but once you actually kind of go through term

항 별로 나누어 살펴보면

by term, um, you realize

it's a relatively simple function,

상당히 간단한 함수라는 것을 알 수 있습니다

and if you were to plug in numbers

그리고 여기 문자로 표현되어 있는 상수항에

for the constant terms,

숫자를 넣을 경우에는

it would come out as something relatively simple.

더욱 간단한 결과가 나옵니다

Cause this right here

여기 f(x0,y0)로 표현되어 있는 식은

where you're evaluating the function

특정한 값을 대입할 경우,

at this specific input point,

즉, 어떠한 숫자를 대입할 경우,

that's just gonna be some kind of constant.

출력값으로는 어떠한 숫자가

That's just gonna output some kind of number.

상숫값으로 나올 것입니다

And similarly, when you do that to the,

이와 유사한 방법으로

the partial derivative, this little f of x

여기 보이는 f 의 x 에 대한 편도함수에

means partial derivative at that point,

특정한 점을 대입할 경우

you're just getting another number.

출력값으로는 어떠한 숫자가 나옵니다

And over here, this is also just another number,

여기도 마찬가지로 어떠한 숫자가 상수로 나옵니다

but we've written it in the abstract form so that

이렇게 추상적 표현으로 작성한 이유는

ah, you can see what you would need to plug-in

이렇게 쓸 경우 함수의 종류에 관계 없이

for any function and for any possible input point.

어떠한 입력값을 넣어줘야 하는지 알 수 있기 때문입니다

And the reason for having it like this,

그리고 이러한 형태를 갖는 이유는

the reason that it comes out to this form

그리고 이러한 형태를 갖는 이유는

is because of a few important properties

선형화가 가지는

that this linearization has.

중요한 속성 때문입니다

Let me move this stuff out of the way.

여기 이 것을 옆으로 치우겠습니다

We'll get back to it in a moment, um, but

[치우는 중]

I just wanna emphasize

저는 이 식이 지니고 있는

a few properties that this has

몇 중요한 속성들을 강조하고자 합니다

because it's gonna be properties that we want

이 속성들이 이차 근사에서도

our quadratic approximation to have as well.

잘 적용되기를 원하기 때문입니다

First of all, when you actually evaluate this function

우선 우리가 이 함수를

at the desired point, at x knot, y knot,

우리가 원하는 점인 x0,y0 에서 살펴볼 때

what do you get?

무엇을 얻을 수 있을까요?

Well, this constant term isn't influenced

by the variable, so you'll just get that f

변수의 영향을 받지 않으므로

evaluated at those points

기존의 식 그대로

x knot, y knot.

f(x0,y0) 라 적겠습니다

And now the rest of the terms.

이 뒤의 항 중에서

When we plug-in x here,

this is the only place where you actually see the variable.

변수 x 가 등장하는 유일한 항입니다

Maybe that's worth pointing out, right?

이렇게 변수의 위치를 확인하는 것이 중요합니다

We've got two variables here

자, 우리는 두 변수 x, y 를 살펴봐야 하고

and there's a lot going on,

아직 해야 할 일이 많이 있지만,

but the only places where you actually see those variables

두 변수가 등장하는 장소는,

show up where you have to plug-in anything, um,

즉, 무언가를 대입해야 하는 장소는

is over here and over here.

여기와 여기밖에 없습니다

When you plug-in x knot for our, our initial input,

여기 x0 를 대입하면

this entire term goes to zero, right?

이 항은 0이 됩니다

And then similarly when you plug in y knot over here,

비슷한 방법으로 여기 y0 을 대입하면

this entire term is gonna go to zero,

이 항 또한 0이 됩니다

which multiplies out to zero for everything.

즉, 이 항은, 0 곱하기 (상수) 꼴이 됩니다

So what you end up with,

대입을 마치면

you don't have to add anything else.

더 이상 할 것은 남아있지 않습니다

This is just a fact,

이 모든 과정은 매우 분명합니다

and this is an important fact

여기서 얻을 수 있는

cause it tells you your,

중요한 사실은

your approximation for the function

여기 보이는 함수의 근사가 사실은

at the point about which you are approximating,

우리가 근사하고자 하는 점에 있어서는

actually equals the value of the function at that point.

실제 함숫값과 동일하다는 것입니다

So that's very good.

매우 좋은 일입니다

But we have a couple other important facts also

하지만 우리는 여기서 더 알아야 할 중요한 사실이 있습니다

because this isn't just a constant approximation,

왜냐하면 이 것이 단순히 상수 근사가 아닌

this is doing a little bit more for us.

무언가를 더 해야 하기 때문입니다

If you were to take the partial derivative

여기 선형화 된 식의

of this linearization with respect to x, um,

x 에 대한 편도함수를 구하면,

what do you get?

어떤 결과가 나오나요?

What do you get when you actually

이 편도함수를 직접 구했을때

take this partial derivative?

어떤 것을 얻게 되나요?

Well, if you look up at the original function

자, 여기 원래 함수를 살펴보면

this constant term is nothing,

이 상수항은 별 의미가 없습니다

so that just corresponds to a zero.

미분하면 0이 되기 때문입니다

Over here, this entire thing

그리고 여기, 곱해진 식 전체를 살펴보면

looks like a constant multiplied by x minus something,

이는 상수 곱하기 (x- x0) 꼴입니다

and if you differentiate this

그리고 이 항을

with respect to x,

x 에 대해 미분하면

what you're gonna get is that constant term,

우리가 얻게 되는 것은 상숫값입니다

which is the partial derivative of f

f 의 x에 대한 편도함수에

evaluated at our, our specific point.

(x0,y0) 를 대입한 상숫값 말입니다

And then the other term has no Xs in it,

그 뒤에 항은 X 가 없고

it's just a y, which as far as x concerned is a constant.

y 만 존재하므로,

So this whole thing would be zero.

이 항을 미분한 값도 0이 됩니다

Which means the partial derivative

즉, 함수 L 을

with respect to x is equal to the value

x 에 대해서 편미분한 값은

of the partial derivative of our original function

f 의 x 에 대한 편도함수에

with respect to x at that point.

(x0,y0)를 대입한 값이 됩니다

Now notice, this is not saying

제가 말하고자 하는것은 단순히

that our linearization has the same partial derivative

L의 편도함수가 f 의 편도함수와

as f everywhere, it's just saying that

모든 점에서 일치한다는 것이 아니라,

its partial derivative happens to be a constant

L의 x에 대한 편도함수는 어떠한 상숫값으로 나타나고

and the constant that it is,

그리고 그 상숫값은

is the value of the partial derivative of f

f 의 x 에 대한 편도함수에

at that specific input point.

특정한 입력값 (x0,y0) 를 대입한 것이라는 사실입니다

And you can do pretty much the same thing,

방금 한 것을 L의 y 에 대한 편도함수에도

and you'll, you'll see that the partial derivative of the

동일하게 적용시킬 수 있습니다

linearization with respect to y is a constant,

L의 y 에 대한 편도함수는 상수이며

and the constant that it happens to be

그 상숫값은

is the value of the partial derivative of f

f의 y 에 대한 편도함수에

evaluated at that desired point.

입력값 (x0,y0)를 대입한 값이 됩니다

So these are three facts.

이제 우리는 세 가지 사실을 압니다

You know the, the value of the

선형화된 식에서의

linearization at the point,

(x0,y0) 에서의 값을 알고,

and the value of its two different partial derivatives.

L의 x 와 y 에 대한 편도함수와,

And these kind of define the linearization itself.

여기 선형화된 식의 형태를 알고 있습니다

Now what we're gonna do for the quadratic approximation

이제 우리는 이 식을 이용해

is take this entire formula,

이차 근사를 할 것 입니다

and I'm just literally gonna copy it here,

여기 이 식을 우선 복사해놓고,

and then we're gonna add to it

이 뒤에 항들을 추가하겠습니다

so that the second partial differential information

근사에 이용될 이계 편도함수 정보가

of our approximation matches that of the original function.

원 함수와 들어맞도록 해야 합니다

Okay, that's kind of a mouthful,

굉장히 추상적으로 보이지만

but it'll become clear as I actually, um,

곧 모든 것이 분명해지도록

as I actually work it out.

한 번 해보겠습니다

Now, let me just kinda clean it up

지저분한 부분을

at least a little bit here.

좀만 치우겠습니다

Um, so what we're gonna do is we're gonna

이제 우리는 이 식을 확장해 나갈 것입니다

extend this, and I'm gonna change its name

우선 이 식은 더 이상 선형근사가 아니므로

because I don't want it to be a linear function anymore.

함수의 이름을 바꾸겠습니다

What I want is for this to be a quadratic function,

우리는 이 식이 이차 근사가 되기를 원하기에

so instead, I'm gonna call it q of x, y.

이제부터 Q(x,y)라 하겠습니다

And now we're gonna add some terms,

이제 이 뒤에 항들을 추가하겠습니다

and what I could do, what I could do

우리가 추가할 항들은

is add, you know, a constant

앞서 얘기했다시피

times x squared, since that's something we're allowed,

상수 a 곱하기 x² 더하기

plus some kind of constant times x, y

상수 b 곱하기 xy 더하기

and then another constant times y squared.

상수 c 곱하기 y² 입니다

But the problem there, is that,

하지만 문제가 있습니다

if I just add these as they are,

이 식을 단순히 이 형태로 적으면

then it might mess things up when I

(x0, y0) 을 대입했을 때

plug-in x knot and y knot, right?

문제가 생깁니다 이해가 되나요?

Well it was very important that when you plug-in

왜냐하면 근사하는 점의 값을 대입할 경우

those values, that you get the

즉, 원함수의

original value of the function,

근사하는 점을 논할 경우,

and that the partial derivatives

편도함수를 이용한 근사가

of the approximation also match that of the function.

원 함수의 값과 동일하게 나와야 하기 때문입니다

And that could mess things up,

그리고 이 식이 그 규칙을 어기는 이유는

because once you start plugging in

여기 이 식에

x knot and y knot over here,

(x0,y0) 를 대입할 경우

that might actually mess with the value.

f(x0,y0) 가 되지 않기 때문입니다

So we're basically gonna do the same thing

이 문제를 해결하기 위해

we did with the linearization,

앞서 선형화 과정에서 했던 방법을 적용하겠습니다

where we put in,

이 식에서는

every time we have an x we kind of attach it,

단순히 x 만 곱해주는 것이 아니라

we say x minus x knot,

(x-x0) 를 묶음으로 곱해주어야 합니다

just to make sure that we don't mess things up

그래야 앞서 말한 '규칙'을

when we plug-in x knot.

x0 을 대입할 경우에 지킬 수 있기 때문입니다

So instead, instead of what I had written there,

자 그래서 방금 적어놓은 이 항 대신에

what we're gonna add as our quadratic approximation

이차 근사를 위해 추가할 항은

is some kind of constant,

어떠한 상수 a 에

and we'll fill in that constant in a moment,

times x minus x knot squared,

(x-x0)² 를 곱하고

and then we're gonna add

another constant multiplied by

어떠한 상수 b에

times y minus y knot

곱하기(y-y0)

and then that times yet another constant,

which I'll call c multiplied by

어떠한 상수 c 곱하기

y minus y knot squared.

(y-y0)² 가 됩니다

All right, this is quite a lot going on.

음, 짧지 않은 과정입니다

This is a heck of a function

and these are three different constants that

우리는 이 식에서

we're gonna try to fill in, um,

세 가지 상수를 구해야 합니다

to figure out what they should be

이 방법을 통해

to most closely approximate the original function f.

함수 f 에 더욱 근사한 함수를 구할 수 있습니다

Now the important part of making this

계속 강조하고 있듯이

x minus x knot and y minus y knot

(x-x0) 와 (y-y0) 꼴이 중요한 이유는

is that when we plug-in here,

when we plug-in, you know,

x knot for our variable x

and when we plug-in y not for our variable y,

y 대신 y0 를 대입할 경우

all of this stuff is just gonna go to zero

이 모든 항들은 0 이 되어

and it's gonna cancel out.

없어지게 됩니다

And moreover, when we take the partial derivatives,

또한 이 식의 편도함수를 구할 경우에도

all of it's gonna go to zero as well.

모든 값은 0이 될 것입니다

And, and we'll see that in a moment,

그리고 이 과정을 곧 보여드리겠습니다

maybe I'll just actually show that right now.

음, 지금 보여드리는게 좋겠습니다

Or rather, I think I'll call the video done here

음, 다시 생각해보니 이 영상을 여기서 마치고

and then start talking about

다음 영상에서 이 세가지 상수를

how we fill in these constants in the next video.

찾는 방법을 얘기하는게 나을 것 같습니다

So I will see you then.

다음 영상에서 만납시다

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