Formula for arithmetic seriesYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  522.9K views 1.5K likes 122 dislikes   19 Feb 2013
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Thai Tee Ponsukcharoen
Click to Play Video Click to Play Video
ลองเขียนอนุกรมเลขคณิตในรูปทั่วไปกัน
Ich schreibe eine arithmetische Folge in allgemeiner Form.
เราเริ่มด้วยจำนวน a
Wir beginnen mit einer Zahl a.
แล้วเราบวก d เข้าไปเรื่อยๆ
Und wir addieren wiederholt d dazu.
และจำนวนนั้นที่เราบวก
Und diese Zahl, die wir dazu addieren,
จะเป็นบวกหรือลบก็ได้
die eine positive oder negative Zahl sein kann,
เราเรียกมันว่าผลต่างร่วม
ist unsere Konstante d.
เทอมที่สองในลำดับจะเป็น a บวก d
Der zweite Term in unserer Folge ist a + d.
เทอมที่สามในลำดับจะเป็นบวก 2d
Der dritte Term in unserer Folge ist a + 2d.
และเราบวก d ไปเรื่อยๆ จนถึงเทอมที่ n
Und so addieren wir bis hin zum n-ten Term in unserer Folge.
ในลำดับ และคุณเห็นแล้วว่าในเทอมแรกของเรา เราบวก d ไป 0 ครั้ง
Du siehst hier, dass wir bei unserem ersten Term d 0-mal addiert haben.
เทอมที่สอง เราบวก d ไป 1 ครั้ง
Bei unserem zweiten Term haben wir d 1-mal addiert.
ในเทอมที่สาม เราบวก d ไป 2 ครั้ง
Bei unserem dritten Term haben wir d 2-mal addiert.
คุณเห็นว่า ไม่ว่าเลขเทอมคืออะไร เราจะบวก d น้อยกว่าเลขนั้นอยู่หนึ่งครั้ง
Du siehst also, dass wir d einmal weniger addieren, als der Index des Terms ist.
ถ้าเราไปจนถึงเทอมที่ n
Wenn wir also beim n-ten Term ankommen,
เราจะบวก d ไป n ลบ 1 ครั้ง
addieren wir d einmal weniger als n-mal.
มันจึงเท่ากับ n ลบ 1 คูณ d
Also (n - 1) ⋅ d.
ใช้ได้ ขอผมเขียนมันนะ ตัวนี่ตรงนี้คือเทอมที่ n
Das hier ist unser n-ter Term.
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำคือคิดถึง ผลบวกของลำดับเลขคณิตนี้
Jetzt möchte ich die Summe dieser arithmetischen Folge herausfinden.
และผลบวกของลำดับเลขคณิต เราเรียกว่าอนุกรมเลขคณิต ขอผมเขียนด้วยสีเหลืองนะ
Die Summe einer arithmetischen Folge heißt arithmetische Reihe.
การเปลี่ยนสีบางครั้งก็ยาก
อนุกรมเลขคณิตก็แค่ผลบวก ของลำดับเลขคณิต
Eine arithmetische Reihe ist einfach nur die Summe einer arithmetischen Folge.
ลองเรียกอนุกรมเลขคณิตว่า s ห้อย n
Ich nenne meine arithmetische Reihe Sn.
สมมุติว่ามันคือผลบวกของเทอมเหล่านี้
Und sie ist die Summe folgender Terme:
มันจะเท่ากับ a บว, a บวก d, บวก a บวก 2d บวก
a + a + d + a + 2d + ...,
ไปจนถึงเทอมที่ n ซึ่งก็คือ a บวก n ลบ 1 คูณ d
bis hin zur Addition des n-ten Terms a + (n - 1)d
แล้วผมจะใช้วิธี เดียวกับที่เราใช้กับลำดับเลขคณิตพื้นฐานที่สุด
Jetzt wende ich denselben Trick an wie bei der einfachsten arithmetischen Folge.
ผมจะบวกตัวนี้กับตัวเอง แต่ผม
Ich addiere sie mit sich selbst,
จะสลับลำดับที่ผมเขียนผลบวกนี้
aber ich kehre die Reihenfolge um, in der ich diese Summe schreibe.
s ห้อย n ผมเขียนได้อย่างนี้ แต่ผม
Ich schreibe Sn also in umgekehrter Reihenfolge.
จะเขียนกลับลำดับกัน ผมจะเขียนเทอมสุดท้ายก่อน
Ich schreibe den letzten Term zuerst.
เทอมที่ n คือ a บวก n ลบ 1 คูณ d
Der n-te Term ist a + (n - 1)d.
แล้วเทอมรองสุดท้ายจะ เป็น a บวก n ลบ 2 คูณ d
Der vorletzte Term ist a + (n - 2)d.
เทอมรองต่อมาจะเป็น a บวก n ลบ 3 คูณ d
Der drittletzte ist a + (n - 3)d.
และเราจะลงไป ถึงเทอมแรก ซึ่งก็คือ a
Und das machen wir so weiter bis zum ersten Term, der einfach nur a ist.
ลองบวกสมการสองตัวนี้เข้าด้วยกัน
Jetzt addieren wir diese beiden Gleichungen.
เราจะได้ ทางซ้ายมือ s ห้อย n บวก s
Auf der linken Seite rechnen wir Sn + Sn.
ห้อย n คุณจะได้ 2 คูณ s ห้อย n
Das ergibt 2Sn.
ผลบวกของสองตัวแรกนี้
Was ist die Summe dieser ersten beiden Terme hier?
ตรงนี้เป็นเท่าใด? ผมจะได้ a บวก a บวก n ลบ 1 คูณ d
Ich rechne a + a + (n - 1)d.
มันจะเท่ากับ 2a บวก n ลบ 1 คูณ d
Also erhalten wir 2a + (n - 1)d.
ทีนี้ ลองบวกเทอมที่สองคู่นี้กัน
Jetzt addieren wir die nächsten beiden Terme.
ถ้าผมบวกเทอมที่สองคู่นี้
Was erhalte ich als Ergebnis?
ผมจะได้อะไร? ผมจะได้ 2a บวก 2a
Ich erhalte 2a,
แล้ว d บวก n ลบ 2 คูณ d เป็นเท่าใด?
und was ergibt d + (n - 2)d?
คุณมองมันได้หลายแบบ
Es gibt mehrere Ansätze.
ขอผมเขียนมันตรงนี้นะ
Ich schreibe es hier drüben auf.
d บวก n ลบ 2 คูณ d เป็นเท่าใด?
Was ergibt d + (n - 2)d?
อันนี้ก็เหมือนกับ 1d บวก n ลบ 2 คูณ d
Es ist dasselbe wie 1d + (n - 2)d.
แล้วคุณก็บวกสัมประสิทธิ์ได้
Du kannst also die Koeffizienten addieren.
อันนี้จะเท่ากับ n ลบ 2 บวก 1 คูณ d ซึ่ง
Das ergibt also (n - 2 + 1)d,
เท่ากับ n ลบ 1 คูณ d
was (n - 1)d ergibt.
เทอมที่สองจะกลายเป็น 2a บวก n ลบ 1 คูณ d
Der zweite Term ergibt also ebenfalls 2a + (n - 1)d.
ทีนี้ลองบวกเทอมที่สามกัน ผมจะใช้สีเขียวนะ เทอมที่สามสองตัว
Jetzt addieren wir die nächsten beiden Terme.
ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบแล้ว
Und ich denke, du wirst hier ein Muster kennen.
มันคือ 2a, บวก 2a
Wir erhalten 2a,
แล้วถ้าผมมี 2 บวก n ลบ 3 ของอะไรสักอย่าง ผมบวก 2
und wenn ich (n - 3) von etwas habe und dann 2 addiere,
ผมจะได้ n ลบ 1 ของสิ่งนั้น
dann habe ich (n - 1) davon.
บวก n ลบ 1 คูณ d
Also haben wir (n - 1)d.
คุณก็ทำไปเรื่อยๆ จนถึง เทอมคู่ที่ n จนถึง
Und wir machen das bis zum n-ten Paar Terme,
ตอนที่คุณบวกสองตัวนี่ตรงนี้
wo wir diese beiden Ausdrücke hier addieren,
ซึ่งก็คือ 2a บวก n ลบ 1 คูณ d
die 2a + (n - 1)d ergeben.
คุณจึงได้ 2a บวก n ลบ 1 d บวกกันซ้ำแล้วซ้ำอีก
2a + (n - 1)d wird also immer und immer wieder addiert.
คุณจะบวกกี่ครั้ง?
Und wie oft passiert das?
คุณมีเทอม n คู่ เมื่อคุณบวกสมการสองตัวนี้
Wir haben n Paare an Termen, die wir bei diesen Gleichungen addiert haben.
นับแต่ละเทอม คุณมี n เทอม
In beiden hatten wir n Terme.
นี่คือเทอมแรก นี่คือเทอมที่สอง
Das ist der erste Term, das ist der zweite Term,
นี่คือเทอมที่สาม ไปจนถึงเทอมที่ n
das ist der dritte Term, bis hin zum n-ten Term.
ผมเขียน 2 คูณผลบวก 2 คูณ
Ich kann also 2Sn umschreiben,
s ห้อย n จะเท่ากับ n คูณปริมาณนี้
da die Summe n-mal diese Menge ist.
มันจะเท่ากับ n คูณ 2a บวก n ลบ 1 คูณ d
Sie ergibt n(2a + (n - 1)d).
แล้วถ้าเราอยากแก้หา s ห้อย n
Und wenn wir nach Sn auflösen wollen,
คุณก็แค่หารสองข้างด้วย 2
dividieren wir einfach beide Seiten durch 2.
แล้วคุณได้ s ห้อย n เท่ากับ เราพร้อม ตีกลองต้อนรับแล้ว n คูณ 2a บวก n ลบ 1 คูณ d ทั้งหมดนั้นส่วน 2
Und wir erhalten Sn = (n(2a + (n -1)d)) / 2.
ทีนี้ เราได้ตั้งสูตรทั่วไปขึ้นมา
Jetzt haben wir eine allgemeine Formel,
เป็นฟังก์ชันของเทอมแรก
eine Funktion unseres ersten Terms,
ผลต่างร่วม และจำนวนเทอมที่เรา
unserer Konstante und der Anzahl der Terme, die wir addieren.
บวกกัน แล้วนี่คือผลบวกทั่วไปสำหรับอนุกรมเลขคณิต
Das ist also die verallgemeinerte Summe einer arithmetischen Folge,
ซึ่งเราเรียกว่าอนุกรมเลขคณิต
die wir arithmetische Reihe nennen.
แต่ตอนนี้ ลองถามตัวเองกันหน่อย สูตรนี้จำยาก n คูณ 2a บวก n ลบ 1 คูณ d ส่วน 2
Aber es ist etwas schwierig, sich (n(2a + (n -1)d)) / 2 zu merken.
แต่ในวิดีโอที่แล้ว ตอนที่ผมทำตัวอย่างที่ชัดเจนกว่านี้
Im letzten Video habe ich dir ein konkreteres Beispiel gezeigt,
ผมบอกว่า มันเดูเหมือนว่า ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต เขียนได้เป็นค่าเฉลี่ย
und gesagt, dass es so aussieht, als könnte die Summe einer arithmetischen Folge vielleicht als
ของเทอมแรก a1 กับ an ค่าเฉลี่ยของเทอมแรกกับเทอมสุดท้าย
Durchschnitt des ersten Terms a1 + des letzten Terms an
คูณจำนวนเทอมที่คุณมี
multipliziert mit der Anzahl der Terme, die du hast, geschrieben werden kann.
แล้วมันเป็นจริงไหมในกรณีนี้?
Stimmt das wirklich?
สองสูตรนี้เข้ากันไหม?
Passen diese beiden Dinge zusammen?
เพราะอันนี้จำง่ายมาก --
Denn das lässt sich sehr einfach merken,
ค่าเฉลี่ยของเทอมแรกกับเทอมสุดท้ายคูณ จำนวนเทอมที่คุณมี มันตรงตาม
der Durchschnitt des ersten und letzten Terms multipliziert mit der Anzahl der Terme, die du hast.
สัญชาตญาณเพราะคุณจะ
Es ergibt intuitiv Sinn,
เพิ่มปริมาณเดิมทุกครั้ง
da wir jedes Mal um dieselbe Menge erhöhen.
ลองเฉลี่ยเทอมแรกกับเทอมสุดท้าย
Wir nehmen jetzt den Durchschnitt des ersten und letzten Terms
แล้วคูณมันด้วยจำนวนเทอมที่มี
und multiplizieren ihn mit der Anzahl der Terme, die wir haben.
ที่เราต้องทำคือเขียนตัวนี้ใหม่สักหน่อย
Wir müssen das hier nur ein wenig umschreiben,
เพื่อให้เห็นว่ามันเท่ากับค่านี่
um zu sehen, dass es in der Tat dasselbe ist wie dieser Ausdruck hier drüben.
ตรงนี้จริง ที่เราต้องทำคือแยก a
Ich muss nur das a ausklammern.
ขอผมเขียนมันใหม่นะ
Ich schreibe es um.
อันนี้เขียนใหม่ได้ s ห้อย n เท่ากับ n คูณ a บวก n ลบ 1 คูณ d
Sn = n(a + a + (n - 1)d.
ผมแค่แยก 2a นี้เป็น a บวก a
Ich habe diese 2a in a + a aufgelöst.
ทั้งหมดนั้นส่วน 2
Und all das wird durch 2 geteilt.
และคุณเห็นว่า ตามที่เรานิยามตัวนี้
Und du siehst, daran, wie wir das hier definiert haben,
เทอมแรก a1 คือ a
ist unser erster Term a1 in der Tat a.
แล้วเทอมสุดท้าย a ห้อย n คือ a บวก n ลบ 1 คูณ d
Und unser letzter Term an ist a + (n - 1)d.
พจน์ทั้งหมดนี่ตรงนี้ จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยของเทอมแรก กับเทอมสุดท้าย
Dieser Ausdruck hier ist also wirklich der Durchschnitt des ersten und letzten Terms.
ผมได้เทอมแรก บวกมันเข้ากับเทอมสุดท้าย
Ich habe meinen ersten Term, addiere meinen zweiten Term,
หารด้วย 2
und dividiere das Ergebnis durch 2.
แล้วผมคูณมันด้วยจำนวนเทอมที่เรามี
Und dann multipliziere ich mit der Anzahl unserer Terme.
และมันเป็นจริงสำหรับลำดับเลขคณิตใดๆ อย่างที่เราได้แสดงตรงนี้
Und hier haben wir bewiesen, dass das für jede arithmetische Folge gültig ist.
Similar videos:

Worked example: arithmetic series (sigma notation) | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
117.6K views 77 likes 3 dislikes 22 Dec 201539% match

Finite geometric series formula justification | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
62.8K views 190 likes 7 dislikes 23 Dec 201537% match

Arithmetic series intro | Mathematics III | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
172K views 183 likes 15 dislikes 19 Feb 201337% match

Worked example: arithmetic series (recursive formula) | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
76.7K views 51 likes 1 dislikes 22 Dec 201536% match

Worked example: arithmetic series (sum expression) | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
83.9K views 61 likes 0 dislikes 22 Dec 201534% match

Worked examples: finite geometric series | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
84.1K views 15 likes 0 dislikes 02 Aug 201634% match

Geometric sequences | Sequences, series and induction | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
330K views 548 likes 46 dislikes 15 Feb 201333% match

Distributive property algebraic expressions | Arithmetic properties | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
390.1K views 515 likes 63 dislikes 02 Apr 201033% match




Formula for a finite geometric series | Sequences, series and induction | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
265.5K views 658 likes 31 dislikes 08 Nov 201333% match

Simplifying a complicated expression into scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
89.9K views 47 likes 8 dislikes 20 Aug 201332% match


Adding Rational Expressions Example 2
Khan Academy
59.1K views 182 likes 6 dislikes 20 Apr 201032% match

Converting recursive & explicit forms of arithmetic sequences | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
121.7K views 51 likes 9 dislikes 21 Aug 201532% match

Explicit and recursive definitions of sequences | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1M views 2.6K likes 226 dislikes 15 Feb 201332% match

Alternate proof to induction for integer sum | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
116K views 203 likes 6 dislikes 09 Aug 201131% match


Multiplying: 2 digits numbers (using distributive property) | 4th grade | Khan Academy
Khan Academy
378.8K views 638 likes 146 dislikes 18 Nov 201331% match




Sigma notation for sums | Sequences, series and induction | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 5.5K likes 229 dislikes 08 Nov 201331% match

Example 5: Factoring quadratics with two variables (leading coefficient is 1) | Khan Academy
Khan Academy
426.5K views 745 likes 56 dislikes 05 Aug 201331% match

Converting an explicit formula of a geometric sequence to a recursive formula | Khan Academy
Khan Academy
152.6K views 85 likes 8 dislikes 13 Jul 201531% match

Worked example: convergent geometric series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
90.5K views 59 likes 6 dislikes 02 Aug 201631% match

Recursive formulas for arithmetic sequences | Mathematics I | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
266.8K views 114 likes 8 dislikes 21 Aug 201531% match

Another derivation of the sum of an infinite geometric series | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
142.6K views 161 likes 8 dislikes 08 Nov 201331% match

Repeating decimal as infinite geometric series | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
96.3K views 142 likes 3 dislikes 08 Nov 201330% match

Explicit & recursive formulas for geometric sequences | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
275.9K views 284 likes 25 dislikes 21 Aug 201530% match

Constructing a geometric series for new users | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
78.9K views 40 likes 1 dislikes 23 Dec 201330% match

Introduction to arithmetic sequences | Sequences, series and induction | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 5K likes 247 dislikes 15 Feb 201330% match

Multiplying binomials and polynomials | Algebra Basics | Khan Academy
Khan Academy
618K views 3.4K likes 151 dislikes 09 Apr 201030% match


Initial value & common ratio of exponential functions | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
126.4K views 46 likes 1 dislikes 11 Feb 201630% match

Evaluating sequences in recursive form | Mathematics I | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
89.7K views 97 likes 5 dislikes 21 Aug 201530% match

Proof (part 1) minimizing squared error to regression line | Khan Academy
Khan Academy
235.9K views 346 likes 3 dislikes 05 Nov 201030% match

Products and exponents raised to an exponent properties | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
378.6K views 165 likes 24 dislikes 24 Dec 201330% match



Settings Privacy About Contact Donate