Adding and subtracting vectorsYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  270.3K views 1K likes 42 dislikes   11 Jan 2016
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Thai Tee Ponsukcharoen
Click to Play Video Click to Play Video
이번 영상에서는
ลองมาฝึกและ
이차원 벡터에서의 덧셈과 뺄셈에 대한
เข้าใจสัญชาตญาณการบวกการลบ
직관력을 더 길러보도록 하겠습니다
เวกเตอร์สองมิติกัน
예를 들어, 벡터 A에 대하여
สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์ a และ
x성분이 3이고
สมมุติว่าองค์ประกอบ x ของมันคือ
y성분은 -1이라고 합시다
ไม่รู้สิ 3 และองค์ประกอบ y ของมันคือลบ 1
그리고 벡터 B에 대해서는
และสมมุติว่าเรายังมีเวกเตอร์ b
x성분이 2이고
เวกเตอร์ b และสมมุติว่าองค์ประกอบ x ของมัน
y성분이 3입니다
คือ 2 และสมมุติว่าองค์ประกอบ y ของมันคือ 3
먼저, A와 B가 동일한 벡터인지
ทีนี้ ลองคิดก่อนว่า
구별해봅시다
a บวก b เท่ากับอะไร
A+B의 값은 어떤 결과가 나옵니까?
เวกเตอร์ลัพธ์จะเป็นอย่างไร?
A+B의 값은 어떤 결과가 나옵니까?
a บวก b เท่ากับอะไร?
저는 여러분에게 먼저 영상을 멈추시고
ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอ
어떤 값이 나올지 생각해 보시기 바랍니다
แล้วลองคิดดูว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร
사실, 관례적으로
ธรรมเนียมคือว่า ถ้าเราหา
벡터의 덧셈을 하고 싶으면
ผลบวกของเวกเตอร์สองตัว เราก็แค่บวก
각 벡터의 x성분을 더하고
ค่า x, องค์ประกอบ x ของพวกมันได้เป็น
y성분도 더해서 결과를 구할 수 있습니다
องค์ประกอบ x ตัวใหม่ และบวกองค์ประกอบ y
y성분도 더해서 결과를 구할 수 있습니다
ได้เป็นองค์ประกอบ y ตัวใหม่
그래서 벡터 A+B의 x성분은
องค์ประกอบ x ของเวกเตอร์ a บวกเวกเตอร์ b
3+2일 것입니다
จึงเท่ากับ 3 บวก 2
이 값, 즉 5가 x성분이 됩니다
มันจะเท่ากับองค์ประกอบ x ซึ่งเรารู้ว่าคือ 5
y성분은 -1+3일 것입니다
และองค์ประกอบ y จะเท่ากับลบ 1
y성분은 -1+3일 것입니다
ลบ 1 บวก 3
-1+3은 2입니다
ลบ 1 บวก 3 แล้วเวกเตอร์ลัพธ์
그래서 이 벡터는
จะมีองค์ประกอบ x
x성분이 5이고 y성분이 2인 벡터일 것입니다
เป็น 5 และองค์ประกอบ y เป็นลบ 1 บวก 3
x성분이 5이고 y성분이 2인 벡터일 것입니다
เท่ากับ 2
좋습니다, 매우 간단한 문제였습니다
เอาล่ะ มันค่อนข้างตรงไปตรงมา
이제, 각 성분을 더하는 방법 대신
แทนที่บวกพวกมัน ลองคิดถึง
빼는 것을 생각해 보겠습니다
สิ่งที่เกิดขึ้นถ้าเราลบพวกมันบ้าง
벡터 A에 벡터 B를 뺀 결과를 구해봅시다
ลองคิดถึง a ว่าเวกเตอร์ a
저는 여러분이 벡터 B를 더하는 대신
ลบเวกเตอร์ b จะเป็นเท่าใด ผมว่าคุณคง
뺐을 때 어떤 일이 일어날지
เดาหรืออย่างน้อยคิด
충분히 예상할 수 있다고 믿습니다
ว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณลบเวกเตอร์ b
충분히 예상할 수 있다고 믿습니다
แทนที่จะบวกเวกเตอร์ b ได้
여러분이 생각했듯이, 각 성분을
อย่างที่คุณเดาได้ แทนที่
더하는 대신 빼주게 됩니다
จะบวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เราก็ลบมัน
벡터 A의 x성분과 벡터 B의 x성분을 빼게 됩니다
องค์ประกอบ x ของเราจึงเท่ากับ
벡터 A의 x성분과 벡터 B의 x성분을 빼게 됩니다
องค์ประกอบ x ของ a ลบองค์ประกอบ x ของ b
왜냐하면 이건 벡터의 뻴셈이기 때문입니다
เพราะมันคือเวกเตอร์ a ลบเวกเตอร์ b
결과값의 x성분은
องค์ประกอบ x ของเราจึง
3-2일 것입니다
เป็น 3 ลบ 2
3-2일 것입니다
3 ลบ 2
그리고 y성분은
แล้วองค์ประกอบ y ของเราจะเท่ากับ
벡터 A의 y성분과 벡터 B의 y성분을 뺀 값입니다
องค์ประกอบ y ของ A คือลบ 1
벡터 A의 y성분과 벡터 B의 y성분을 뺀 값입니다
ลบองค์ประกอบ y ของ B
그래서 -1-3일 것입니다
คือลบ 3
그래서 -1-3일 것입니다
ลบ 3 แล้วเวกเตอร์ลัพธ์
결과값의 벡터의 x성분을 1일 것이고
จะเท่ากับ จะเท่ากับเวกเตอร์ 3 ลบ 2
결과값의 벡터의 x성분을 1일 것이고
องค์ประกอบ x จะเท่ากับ 1
y성분은 -4일 것입니다
แล้วองค์ประกอบ y จะเท่ากับลบ 1
y성분은 -4일 것입니다
ลบ 3 เป็นลบ 4
제가 보여준 것이 벡터를 더하거나 뺄 때
ทีนี้ สิ่งที่ผมเพิ่งแสดงไป นี่คือข้อตกลง
관습적으로 사용하는 방법입니다
ที่ใช้บวกและลบเวกเตอร์สองมิติ
관습적으로 사용하는 방법입니다
อย่างเวกเตอร์ a กับ b
이제 이걸 시각화 할 수 있는지
ลองคิดกันหน่อยว่าเราจะ
생각해 봅시다
มองสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นภาพได้อย่างไร
먼저 벡터 A와 벡터 B를 그려봅시다
อย่างแรกลองแสดงการบวกเวกเตอร์ a กับเวกเตอร์ b เป็นภาพกัน
양 축을 먼저 그리겠습니다
ขอผมวาดแกนก่อน แล้ว
이 선이 y축이고
อันนี้เป็น มีแกน y
이 선이 y축이고
แกน y ลองดู
벡터 중에서 가장 높은 y성분은 3이고
ค่า y สูงสุดที่เป็นได้คือ
벡터 중에서 가장 높은 y성분은 3이고
ค่า y สูงสุดที่ผมได้คือ 3
가장 낮은 값은 -4입니다
และค่าต่ำสุดคือลบ 4
이제 x축을 그리겠습니다
แล้ว ขอผมวาดแกน x สักแห่ง
(제가 실수로 화면을 확대했습니다)
โอ๊ย ไม่ใช่อย่างนั้น
(제가 실수로 화면을 확대했습니다)
ผมขยายมันโดยไม่ตั้งใจ
봅시다
เอาล่ะ
x축은 여기 있을 것이고
แกน x วางมันตรงนั้น
x축은 여기 있을 것이고
มีแกน x แล้วลองดู
가장 높은 x성분은 5입니다
ค่า x สูงสุดคือ 5
가장 낮은 값은 3입니다
ต่ำสุดคือ 3
사실, x가 양수인 부분에만
ที่จริง ผมสนใจ
집중해도 좋을 것 같습니다
ผมสนใจ ขอผมสนใจ
집중해도 좋을 것 같습니다
แค่ทางขวามืออย่างเดียว
다시 그리겠습니다
นั่นคือ y แล้วขอผมทำ
x축을 이렇게 그려도 될 것 같습니다
x เป็นแบบนั้น
x축을 이렇게 그려도 될 것 같습니다
แกน x
이제 그려봅시다
แล้วทีนี้ลองดู
벡터 A는 (3, -1)입니다
เวกเตอร์ a คือ (3, -1)
여기 있는 지점이 되겠습니다
1, 2, 3 และลบ 1
만약 표준형으로 시각화하고 싶다면
ถ้าเราอยากมองภาพมันในรูปมาตรฐาน
벡터의 시작점을 원점으로 놓고
เราก็วางจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิด
벡터의 끝점을 (-3, 1)로 놓을 수 있습니다
และจุดปลายของมันที่จุด (3, -1)
이렇게 그릴 수 있습니다
แล้วเราวาดมันแบบนั้นได้
또한 길이와 방향에 영향이 없다면
เราเลื่อนมันไปมาได้ ตราบใดที่มันยังมี
벡터를 이렇게 움직일 수도 있습니다
ตราบใดที่มันยังมีขนาด
벡터를 이렇게 움직일 수도 있습니다
และทิศเหมือนเดิม เราก็เลื่อนมันไปมาได้
그래서 이게 벡터 A입니다
ตัวนั่นตรงนั้นคือเวกเตอร์ A ของเรา
벡터 B 역시 시작점이 원점이고
ทีนี้ เวกเตอร์ b (2, 3) เราให้จุดตั้งต้น
이렇게 그릴 수 있습니다
อยู่ที่จุดกำเนิด แล้วเราก็วาดมันแบบนี้ได้
x성분은 2이고
พิกัด x เป็น 2
y성분은 0, 1, 2, 3입니다
พิกัด y เป็น 1, 2, 3
끝점은 여기 있을 것 같습니다
จุดปลายของมันอยู่ตรงนี้ได้
벡터 B는 이렇게 그릴 수 있습니다
เราก็วาดมันแบบนี้สำหรับเวกเตอร์ b
만약 우리가 벡터 B를 벡터 A에 더한다면
แต่ถ้าเราจะบวกเวกเตอร์ b เข้ากับเวกเตอร์ a
만약 우리가 벡터 B를 벡터 A에 더한다면
อย่างที่เรามีตรงนี้ สิ่งที่เราอยากทำคือ
벡터 B를 여기 옮겨야 합니다
เลื่อนเวกเตอร์ b ไปจน จะเรียกว่า
끝점이 A의 시작점에 놓고, 시작점은
เอาหางไปต่อที่หัวของ A หรือให้จุดเริ่มต้นของมัน
벡터 A의 끝점에 있어야 합니다
เริ่มที่จุดปลายของ A
해보겠습니다
ลองทำดู
여기서 시작한다면
ถ้าเราเริ่มตรงนี้ เราจะไป
x방향으로 2칸 가야 합니다
2 หน่วยในทิศ x
x방향으로 2칸 가야 합니다
เราจะไปอีก 2 หน่วยในทิศ x
y방향으로는 3칸 가야 합니다
แล้วเราจะไป 3 หน่วยในทิศ y
1, 2, 3칸 이동합니다
1, 2, 3
이렇게 그려질 것입니다
เราจะได้ตรงนี้
여기에 벡터 B를 그리면 됩니다
สังเกตว่า นี่คือเวกเตอร์เดิม เวกเตอร์ b
저는 그저 이동했을 뿐입니다
ผมแค่เลื่อนมันไป
같은 방향과 길이를 가졌기 때문에
มีขนาดและทิศเท่ากัน
문제가 될 건 없습니다
กับสิ่งที่วาดไปก่อนหน้านี้
문제가 될 건 없습니다
เท่ากับเวกเตอร์นั่นตรงนั้น
이렇게 이동했을 뿐입니다
ผมแค่เลื่อนมันลงไปทางขวา
이제 벡터 A에 벡터 B를 더하면 됩니다
แล้วเราทำอันนี้ นี่คือเวกเตอร์ a
이제 벡터 A에 벡터 B를 더하면 됩니다
ผมกำลังบวกเวกเตอร์ b
벡터 B의 시작점을
ผมวาง ผมวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ b
벡터 A의 끝점에 연결했습니다
ที่จุดปลายของเวกเตอร์ b
이렇게 옮겨서 말입니다
ผมเลื่อนมันไปตรงนี้
이제 벡터 A와 벡터 B의 합을 구할 수 있습니다
ทีนี้ ผมหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้
이들의 합은 벡터 A의 시작점에서 시작하여서
a บวก b เวกเตอร์ลัพธ์ a บวก b
이들의 합은 벡터 A의 시작점에서 시작하여서
จะไปจากจุดเริ่มต้นของ a
벡터 B의 끝점에서 멈출 것입니다
ไปยังจุดปลายของ b
여기서 시작한 다음, 여기로 가게 되는 겁니다
มันจะเริ่มตรงนี้ แล้วไปตรงนี้
이 벡터의 x성분을 5이고
และสังเกตว่า เวกเตอร์นี้ ผมไป 5 หน่วยในทิศ x
y성분은 2입니다
และ 2 หน่วยในทิศ y
이 벡터가 바로 (5, 2)입니다
นี่คือเวกเตอร์ (5, 2) ตรงนี้
이게 벡터 A와 벡터 B의 합입니다
นั่นคือเวกเตอร์ a บวกเวกเตอร์ b
하지만 우리는 벡터 A와 벡터 B의 차도 생각해야 합니다
ลองคิดกันว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหา a ลบ b
벡터 A는 그대로 놓으면 되고
เรายังมีเวกเตอร์ a อย่างที่เราวาดไป
벡터 B의 시작점을 벡터 A의 끝점에 놓는 대신
แต่ตอนนี้ แทนที่จะวางหางเวกเตอร์ b
벡터 B의 시작점을 벡터 A의 끝점에 놓는 대신
หรือจุดเริ่มต้นที่จุดปลายของเวกเตอร์ a
벡터 -B를 놓을 것입니다
เราจะวางลบ b
벡터 -B는 벡터 B의 같은 길이를 가지고 있지만
ลบ b จะ จะมีขนาดเท่าเดิม
다른 방향을 가지고 있습니다
แต่มันชี้ในทิศตรงข้าม
오른쪽으로 2칸, 위로 3칸 가는 대신
แทนที่จะไป 2 หน่วยทางขวา และ 3 หน่วยขึ้นไป
왼쪽으로 2칸, 아래쪽으로 3칸 가게 됩니다
เราจะไป 2 หน่วยทางซ้ายและ 3 หน่วยลงมา
그래서 이렇게 가게 되면
แค่ 2 หน่วยทางซ้ายและ 1, 2, 3 ลงมา
이 지점에서 끝나게 됩니다
แล้วเราจะอยู่ตรงนี้
만약 벡터 A에 벡터 B를 뺀다면
แล้ว ถ้าคุณหา a ลบ b
벡터 A에 벡터 -B를 더하는 것과 같습니다
มันก็เหมือนกับ a บวกลบ b
그리고 벡터 -B는 다음과 같이 생겼을 것입니다
ลบ b จะเป็นแบบนี้
완전히 반대의 방향을 보고 있습니다
มันจะไปในทิศตรงข้ามพอดี
이렇게 생겼고, 두 벡터의 차는
มันจะเป็นแบบนี้ แล้ว
벡터 A의 시작점에서 시작하여
ถ้าคุณเริ่มที่จุดเริ่มต้นของ a และไป
벡터 B의 끝점에서 끝나게 됩니다
ยังจุดปลายของลบ b ตอนนี้ อันนี้
손으로 그렸기 때문에 정확하지는 않지만
วาดด้วยมือหมด มันจึงแม่นยำกว่านี้ได้
이 지점은 (1, -4)입니다
สังเกตว่าเราได้จุด (1, -4)
이 지점은 (1, -4)입니다
(1, -4)
그래서 여기 있는 벡터는
เวกเตอร์นี่ตรงนี้ ขอผมใช้
(다른 색으로 칠하겠습니다)
อีกสีนะ สีน้ำตาล โอ๊ย
(다른 색으로 칠하겠습니다)
ผมไม่ได้อยากทำอย่างนั้น
여기 있는 갈색 벡터는
เวกเตอร์สีน้ำตาลนี่ตรงนี้ มันคือ
벡터 A와 벡터 -B의 합입니다, 그리고 이 하얀 벡터는
เวกเตอร์ a ลบ b แล้วอันสีขาวนี้
다른 색으로 칠하겠습니다
ที่จริง ขอผมใช้อีกสีหนึ่งดีกว่า
이 자주색 벡터는 벡터 A와 벡터 B의 합입니다
เวกเตอร์สีบานเย็นนี่ตรงนี้ มันคือ a บวก b
이제 말이 되는 것 같습니다
หวังว่ามันคงดูเข้าท่านะ
만약 여러분이 다른 주어진 벡터를
และถ้าคุณได้องค์ประกอบมา
더한다면, 각 성분들을 더하면 됩니다
ถ้าคุณบวกเวกเตอร์ คุณก็แค่บวก องค์ประกอบที่ตรงกัน
만약 뺀다면
ถ้าคุณลบเวกเตอร์ ถ้าคุณ
벡터 B를 벡터 A에 뺀다면
ลบ b ออกจาก a คุณก็นำองค์ประกอบของ b
B의 성분들을 A의 성분에 빼면 됩니다
องค์ประกอบที่ตรงกันไปลบ
B의 성분들을 A의 성분에 빼면 됩니다
องค์ประกอบที่ตรงกันของ a
Similar videos:

Conventional current
Khan Academy
243.9K views 878 likes 77 dislikes 17 Jun 2016100% match

Linking verbs | The parts of speech | Grammar | Khan Academy
Khan Academy
636.6K views 3K likes 243 dislikes 28 Mar 2016100% match

What is an operational amplifier?
Khan Academy
705.4K views 6.5K likes 190 dislikes 25 Jul 2016100% match

Equations of proportional relationships | 7th grade | Khan Academy
Khan Academy
276.1K views 772 likes 76 dislikes 23 Jun 2015100% match

Content changes to the new SAT | Tips & Planning | New SAT | Khan Academy
Khan Academy
229.3K views 258 likes 7 dislikes 09 Jun 2015100% match

Intervals and interval notation | Functions | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
725.7K views 3.3K likes 110 dislikes 23 Jun 2015100% match

Long division with decimals | Arithmetic operations | 5th grade | Khan Academy
Khan Academy
490K views 1.5K likes 167 dislikes 29 Jun 2015100% match


Finding zeros of polynomials (1 of 2) | Mathematics III | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
355.3K views 539 likes 48 dislikes 16 Feb 2016100% match

Khan Academy Live: SAT Reading Class
Khan Academy
362.9K views 6.2K likes 132 dislikes 06 Mar 2017100% match

Subtracting fractions with unlike denominators
Khan Academy
870.5K views 3.2K likes 392 dislikes 04 Sep 201541% match

Adding fractions with unlike denominators
Khan Academy
1.4M views 5.6K likes 687 dislikes 04 Sep 201535% match


Unit vector notation | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
515.8K views 892 likes 46 dislikes 17 Jun 201534% match

Non-linear systems of equations 1 | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
250.6K views 456 likes 34 dislikes 24 Jun 201034% match


The scientific method
Khan Academy
1M views 4.3K likes 375 dislikes 15 Mar 201633% match

Completing the square for vertex form | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
634.8K views 1.7K likes 98 dislikes 23 Jun 201032% match

Adding vectors | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
712.2K views 986 likes 31 dislikes 17 Jun 201532% match

Coordinate plane examples | Linear equations and functions | 8th grade | Khan Academy
Khan Academy
819.4K views 565 likes 120 dislikes 03 Apr 201032% match




Graphs of absolute value functions | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
408.6K views 802 likes 62 dislikes 19 Dec 201331% match

Graphing a parabola by finding the roots and vertex | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
283K views 424 likes 24 dislikes 23 Jun 201031% match

Slope from two ordered pairs example 1 | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
961.4K views 1K likes 111 dislikes 07 Mar 201131% match



Graphing exponential functions | Exponential and logarithmic functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
806.2K views 1.5K likes 70 dislikes 07 Nov 201130% match


Triangle medians and centroids | Special properties and parts of triangles | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
259.8K views 581 likes 40 dislikes 06 Jan 201130% match

Normal vector from plane equation | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
559.4K views 1.5K likes 120 dislikes 28 Dec 201030% match

Graphing a parabola with a table of values | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
683.3K views 868 likes 34 dislikes 07 Aug 201530% match

Rewriting a quadratic function to find roots and vertex | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
316.8K views 585 likes 29 dislikes 17 Dec 201329% match

Solving linear systems by graphing | Systems of equations | 8th grade | Khan Academy
Khan Academy
988.8K views 1.8K likes 192 dislikes 07 Apr 201029% match


Points after rotation | Transformations | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
271.8K views 367 likes 61 dislikes 16 Jul 201529% match

Point distance to plane | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy
Khan Academy
283K views 424 likes 52 dislikes 28 Dec 201029% match

Function inverses example 2 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
336.2K views 269 likes 9 dislikes 16 Jul 201029% match



Example: Solving for a variable | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
297.1K views 357 likes 22 dislikes 06 May 201029% match




Settings Privacy About Contact Donate