The Opposite of Infinity - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  3.7M views 58.1K likes 1.1K dislikes   08 Sep 2015
Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
English (United Kingdom) Cattivone
Click to Play Video Click to Play Video
אז אנחנו הולכים לדבר על מה? על הנגדי לאינסוף?
Dus waarover gaan we het hebben? Over het tegengestelde van oneindig?
מה הנגדי לאינסוף אם לא מינוס אינסוף
Wat is het tegenovergestelde van oneindig, als het niet min oneindig is?
אז זה הדבר הכי קטן איי פעם
Dan moet het iets zijn dat het allerkleinste ooit is.
מה הדבר הכי קטן שיכול להיות שלא בדיוק 0
Wat is het kleinste dat er is, maar niet gelijk aan nul?
הדבר הכי קרוב ל0
Het dichtste bij nul.
זה נקרא אינפיניטסימלי(גודל חיובי וקטן כרצוננו). האם זה בכלל משהו?
Het wordt de infinitesimaal genoemd. Is er wel zoiets?
בגלל שיש משהו על זה שגורם לך להרגיש קצת לא בנוח.
Want er is iets mee, dat je je een beetje oncomfortabel laat voelen.
זה הרעיון שהיה שנוי במחלוקת במשך זמן רב, אני מתכוון במשך אלפי שנים
Het is een idee dat lange tijd controversieel is geweest, ik bedoel duizenden jaren.
חלק מהאנשים אוהבים את זה. חלק מהאנשים שונאים את זה.
Sommige mensen vinden het leuk, anderen haten het.
אז איך יראה האינפיניטסימלי?
Wat zou een infinitesimaal zijn?
המספר הכי קטן שאפשרי שיהיה קרוב ל-0
Het kleinst mogelijke getal, zo dicht bij nul als maar kan.
כך שזה יהיה משהו שגדול מ-0
Dus het is iets dat groter is dan nul,
אבל קטן מכל שאר המספרים. נגיד ש r זה עבור מספרים ממשיים. זה קטן מכל דבר אחר. זה קצת לא נוח בגלל זה:
maar het is kleiner dan alle andere getallen. Laten we 'r' nemen voor 'reëel getal'. Dat is lichtelijk oncomfortabel,
אם יש לך שני מספרים
want als je 2 getallen hebt,
אם יש לנו a פחות ה-b הזה
als we a kleiner dan b hebben,
תמיד יהיה מספר שאני אוכל להכניס ביניהם
dan kan ik altijd een getal vinden dat ertussen past.
בוא נקרא לזה c, תמיד יש משהו שאני אוכל להכניס ביניהם
Laten we dat 'c' noemen. Er is altijd iets dat ertussen past.
ואני יכול להוכיח את זה בגלל
Dat kan ik bewijzen, want
ש-c יכול להיות a+b חלקי 2
'c' zou kunnen zijn a+b gedeeld door 2.
וזה מוכח.
En dat is bewezen.
תמיד יהיה משהו שתוכל "להחליק" פנימה
Er is altijd wel iets dat je kunt laten glippen
בין שני מספרים, לא משנה כמה אתה חושב שהם קרובים.
tussen 2 getallen, ongeacht hoe dicht je denkt dat ze elkaar hebben benaderd.
- לא נוכל להחליק משהו אחר?
- Kunnen we iets anders ertussen laten glippen?
אז הרעיון הוא
Het idee dat er
שניקח את המספר הבא
een buurgetal bestaat
שקרוב לאפס זה נשמע הגיוני מבחינה אינטואטיבית
naast nul, is intuïtief gezien zinvol,
אבל מבחינה מתמתטית
maar wiskundig gezien
זו נורה אדומה.
gaan er alarmbellen af.
אז כך שתמיד זה היווה בעיה(שתמיד יהיה עוד מספר שקרוב ל-0)
Dit is wat altijd een probleem is geweest.
אבל אנשים משתמשים בהם כדי לפתור בעיה כמו זו:
Maar mensen gebruiken ze om problemen als deze op te lossen:
בוא נגיד שיש לי עיגול
Laten we zeggen we hebben een cirkel
ואני רוצה לדעת את השטח
en ik wil de oppervlak ervan vaststellen.
אז זו דרך אחת שתוכל לעשות זאת
Dit een manier om dat te doen.
אני יכול לקחת את העיגול שלי
Ik neem mijn cirkel
ואני יכול לפצל אותו למשולשים
en ik splits hem op in driehoeken.
הם נועדו להיות מאוד קטנים, משולשים צרים.
Het is de bedoeling dat dit hele smalle, dunne driehoeken zijn.
הם כרגע בצורה של טריזים(יתדות)
Op dit moment zijn het nog cirkelsectoren.
וזו הבעיה.
Maar dat is het probleem.
אנחנו נעמיד פנים שאלה הם משולשים
We gaan doen alsof het driehoeken zijn.
עכשיו הם טריזים, אם אעמיד פנים שהם משולשים זה אומר שזה חייב להיות
Nu zijn het cirkelsectoren, maar als ik doe alsof het driehoeken zijn, dan betekent dat ze een rechte
בסיס ישר, אבל ככל שהוא דק יותר
basis hebben. Maar des te dunner ze zijn,
אז זה הוא יהיה יותר קרוב להיות משולש
hoe dichter ze een driehoek benaderen.
אז, אתה בעצם אומר, "בסדר, בוא נעמיד פנים שהם ממש ממש קטנים".
Dus je kunt zeggen, "Oké, laten we aannemen dat ze heel, heel slank zijn
כמו שהבסיס הוא אינפיניטסימלי
alsof de basis een infinitesimaal is.
ממש קטנים, קטן ככל הניתן
echt smal, zo smal als mogelijk is.
אז מה אתה עושה עכשיו? אתה לוקח את העיגול הזה של המשולשים
Wat je dan doet is dat je de volledige cirkel van driehoeken pakt
ואתה פותח אותם כמו מניפה
en je vouwt hem open als een waaier.
ואתה יודע, כשאתה לוקח מניפה, *שוו*, ככה.
En je weet hoe als je een handwaaier pakt, dan sssj, op die manier,
אז זה מה שאני אעשה עם העיגול.
dan doe ik dat ook met deze cirkel.
זה המשולש הראשון שלי כאן.
Dit is mijn eerste driehoek hieronder.
וזה המרכז שלי.
Dus dat is mijn middelpunt.
אני לוקח את המשולש הראשון
Ik neem mijn eerste driehoek.
הנה זה, כאן למטה
Hier is-ie, hieronder.
אני לוקח את המשולש השני
We nemen de tweede driehoek,
שעדיין מחובר למרכז
nog steeds verbonden met het middelpunt.
למרות שדיי מתחתי את זה
Maar ik heb hem een beetje opgerekt,
כך שזה יראה ככה.
zodat het er zo uitziet.
ואני לוקח את המשולש הבא והוא שוב מתוח קצת
En ik pak de volgende driehoek en die is nog wat verder opgerekt.
וזה נראה ככה
Dat ziet er zo uit.
ואני לוקח את המשולש הבא
en ik pak de volgende driehoek...
בסדר, אני לוקח את כל המשולשים שלי
Nu ja, ik pak al mijn driehoeken,
אני מותח אותם.
Ik rek ze uit.
הם כולם מחוברים למרכז כמו שהיו קודם.
Ze zijn allemaal met het centrum verbonden, zoals voorheen.
כך שהם ממש ממש מתוחים, ממש דקים.
Ze worden heel ver uitgerekt, echt heel dun.
אז הם הופכים לזה, נכון.
Zodat ze er zo uitzien, niet?
למען האמת זה הפך למשולש.
Ze zijn omgebouwd in een driehoek.
אז אתה יכול להבחין בכך? אתה יכול לראות את המשולשים שעשיתי קודם?
Kun je dat zien? Kun je de driehoek zien die ik heb gemaakt?
הציורים שלי גרועים.
Mijn tekening is slecht.
אתה רואה, זה משולש.
Kijk, dit is een driehoek.
עכשיו כל אחד מהמשולשים כאן, המשולשים הדקים הללו
Nou, elke van deze driehoeken, deze smalle driehoeken,
בעלי אותו שטח כמו שהיה בהתחלה
hebben hetzelfde oppervlak als waar ze mee begonnen.
הם נמתחו.
Ze zijn opgerekt.
ההיקף שונה, אבל הם בעלי אותו שטח.
De omtrek is anders, maar ze hebben hetzelfde oppervlak.
בגלל שמה זה שטח של משולש?
Want wat is het oppervlak van een driehoek?
זה חצי צלע הבסיס כפול הגובה.
Het is de halve basis maal de hoogte.
איפה שהם נמתחו, הם בעלי אותו גובה.
Bij het rekken hebben ze dezelfde hoogte gehouden
עד לכאן, יש להם אותו בסיס.
hierboven. Ze hebben dezelfde basis.
אז כך שהשטח הוא זהה.
Dus het oppervlak is gelijk.
אבל המשולש הגדול שעשיתי
Maar de grote driehoek die ik heb gemaakt,
יש לו בסך הכל גובה
heeft als geheel een hoogte van
הרדיוס של העיגול הוא r.
de straal 'r' van de cirkel.
ואורך הבסיס שלו
En de lengte van de basis
הוא היקף המעגל.
is de omtrek van de cirkel.
אז מהו שטחו של המשולש?
Dus wat is het oppervlak van deze driehoek?
זה חצי
Dat is een half...
בבסיס יש את ההיקף
...bij de basis is het de omtrek...
והגובה הוא הרדיוס.
...de hoogte is de straal.
זהו השטח של המשולש(A=חצי צלע הבסיס כפול גובה)
Dat is de oppervlak van de driehoek.
ההיקף? שני פאי כפול r(הרדיוס). נכון?
De omtrek? 2 pi r, niet?
אז כך שזה חצי הפעמים "שני פאי כפול r" - ההיקף, כפול r
Dus het is een half maal 2 pi r, omtrek, maal r.
ואתה מקבל פאי כפול r בריבוע.
En je krijgt pi r kwadraat.
וזהו שטחו של המעגל.
En dat is wat de oppervlak van de cirkel is.
אתה מקבל את הנוסחה הנכונה
Je krijgt de juiste formule
של שטחו של משולש(פאי כפול הרדיוס בריבוע).
om de oppervlak te berekenen.
ועשית זאת ע"י חילוק לחתיכות דקות
En je deed dat door het op te splitsen in dunne plakjes
וחיברת את כולן ביחד עם הרעיון המתוחכם הזה.
en ze met een slim idee bij elkaar op te tellen.
הבן אדם שעלה עם הרעיון הזה הוא קפלר.
De vent die dit voor het eerst bedacht was Kepler.
אתה יודע מי זה קפלר? זה האדם שגילה את מסלולם האליפטי של פלנטות(לפני הטלסקופ כיום).
Ken je Keppler? De vent die de elliptische banen van planeten uitwerkte.
אז הוא היה מעוניין להבין את השטחים של האליפסה.
Hij was geïnteresseerd in het uitwerken van de oppervlakken van een ellips.
יש משהו בזה שאמור לגרום לך לאי-נוחות
Er is echter iets dat je oncomfortabel moet doen voelen,
בגלל שתמיד יש את השגיאה הקטנה הזו, לא כן?
want er is altijd die kleine afwijking, niet waar?
אני מתכוון, אני אמרתי שהמשולשים היו משערים את הטריז.
I bedoel, ik zei dat deze driehoeken de cirkelsectoren benaderen,
תמיד חייב להיות ה... וזה למה הבעיה שיש לאנשים עם אינפיניטסימליות.
Er was altijd deze... En dat is wat het probleem is dat mensen hadden met infinitesimalen.
זה תמיד, - לא צריך - לא בדיוק - כן. מה קרה לכל החתיכות העקומים בקצה העיגול?
Er is altijd -- moet niet -- niet helemaal -- ja, wat is er gebeurd met al deze kromme stukken?
אז מה שהם עשו - מה שהמתטיקאים עשו
Dus wat ze deden. Wat de wiskundigen deden,
כשהם השתמשו בזה, הם התעלמו מהם(מהחתיכות הקטנות)
toen ze het gebruikten, is dat ze ze negeerden.
אז המתמטיקאים הללו, שהשתמשו באינפיניטסימליות אמרו:
Dus deze wiskundigen, die infinitesimalen gebruikten, zeiden
"ובכן, זה ממש קרוב ל-0. אנחנו נתעלם מזה".
"Nou, het is echt dicht bij nul, dus we negeren het.
והיו מתמטיקאים אחרים שאמרו, "ובכן, רגע אחד!"
Maar er waren andere wiskundigen die zeiden, "Ja, maar wacht even!"
"אתה לא יכול להתעלם מזה. זה אולי קרוב(לצורה עצמה), אבל זהו לא אותו דבר בדיוק"
"Je kunt ze niet gewoon negeren. Het mag wel dicht bij zijn, maar het is niet hetzelfde."
"ואי אפשר להתעלם מהחתיכת הקטנות"
"En ze kunnen niet worden genegeerd."
וזו הבעיה שהייתה לאנשים.
Dit het probleem dat mensen hadden.
אבל עדיין, זה נראה שזה עובד.
Toch leek het te hebben gewerkt.
אני אראה לכם רעיון אחר שנהגנו להשתמש בו.
Ik zal je een ander idee laten zien dat we ooit gebruikten.
בסדר, אני זורק כסף מסביב
Juist ja, ik gooi wat geld in het rond.
בגלל שאני כל כך עשיר, אני יכול לזרוק מטבעות של פני(האגורות של הליש"ט) מסביב.
Ik ben zo rijk, ik kan met geld smijten.
כן, רעיון שיש לי ערימות של מטבעות פני כאן, ושהן אמורות להיות בצורה של שני גלילים, נכון.
Ja, het idee is dat ik hier stapels munten heb en dat ze 2 cilinders vormen.
אבל אם אקח אחד מהמטבעות החוצה ואתחיל לבלגן את זה כך שזה לא יהיה גליל
Maar als ik deze nu eens neem en ik zou er een beetje mee schuiven, zodat het geen cilinder meer is
ואעשה משהו כזה.
en ik zou iets als dit doen.
בסדר. זה לא בצורה של גליל יותר.
Oké, nu is het geen cilinder meer.
והרעיון היה, מה שמתמטיקאים אמרו הוא:
Het idee was, wat wiskundigen zeiden was,
"אם תיקח את זה, אם תשווה חתיכה אחר חתיכה,
Als het nam, als je ze laagje voor laagje zou vergelijken,
אז לכל חתיכה יש אותו שטח חתך".
dan zou elk laagje dezelfde dwarsdoorsnede hebben.
כמו השטח של המטבע כאן.
net als de oppervlakken van de munten hier.
אז מה שאתה יכול להגיד זה כך
Dus je kunt zeggen dat dit
שיש לזה אותו שטח כמו הגליל. זה לא גליל
hetzelfde volume heeft als de cilinder, maar het is geen cilinder.
אבל בגלל שאתה יכול להשוות אותו
Maar omdat je ze kunt vergelijken
חתיכה אחר חתיכה, דוגמה אחר דוגמה
laagje voor laagje, geval voor geval,
יש להם אותו שטח.
hebben ze hetzelfde volume.
אבל לחתיכת הללו אין עומק, אין להם נפח בעצמן.
Maar die laagjes hebben geen diepte, ze hebben zelf geen volume.
אז אתה משווה שטח של חתך לשטח של חתך אחר.
Dus je vergelijkt dwarsdoorsnede voor dwarsdoorsnede.
זה כמו לחבר את כל השטחים של החתכים
Dus het is eigenlijk al die dwarsdoorsnedes bij elkaar optellen
אבל אין להם עומק. אתה סוכם את כל האפסים האלה.
maar ze hebben geen diepte. Dus je telt eigenlijk allemaal nullen bij elkaar op,
- הדברים הללו עם אפס עומק.
deze dingen met diepte nul.
אז איך אתה יכול לסכום את כולם ולקבל נפח?
Hoe kun je die nou optellen en een volume krijgen?
אבל זה משהו שהם יעשו(המתמטיקאים). אתה יכול להשוות בין שתי צורות כאלה
Toch is het dat wat ze doen. Je kunt twee vormen als deze vergelijken.
ואם לכל דוגמה יש אותו שטח
En als elk geval dezelfde oppervlakte heeft,
אנחנו נוכל להגיד שיש להם אותו נפח.
dan kunnen we zeggen dat ze hetzelfde volume hebben.
אז הרעיון עבד גם כן.
Dus dit idee deed ook de ronde.
והאינפיניטסימלים היו באמת חשובים.
Infinitesimalen waren zeer belangrijk
כשניוטון ולייבניץ' החלו להשתמש בהם
toen Newton en Leibnitz ze gingen gebruiken,
כמו שהם גילו או המציאו את החשבון,
toen ze de differentiaalrekening ontdekten of bedachten.
שזה נושא עצום במתמטיקה; נושא מאוד חשוב.
Dat is een heel belangrijk onderwerp in de wiskunde; echt belangrijk.
אז במאה ה-17 הם גילו את החשבון.
Dus in de 17de eeuw werd de differentiaalrekening ontdekt.
וזה היה ניסיון לגלות את השטח מתחת לעקום(במעגל לדוגמא כמו קודם).
Deze probeerde het oppervlak onder een curve te bepalen.
בסדר, בואו ננסה לגלות את השטח מתחת לעקום.
Goed. Laten we het oppervlak onder een curve proberen te bepalen.
אז מה שאתה יכול לעשות זה לקחת את העקום, אם אתה רוצה למצוא את השטח
Wat je zou kunnen doen, is dat je deze curve neemt. Als je het oppervlak eronder wil vinden.
מתחת כאן.
Wat je zou kunnen doen, is dat je deze curve neemt. Als je het oppervlak eronder wil vinden.
אז אתה יכול לחלק אותו לרצועות דקות
Je zou het kunnen opsplitsen in dunne strookjes.
ואתה תנסה להגיד שכל אותם רצועות הן כמו מלבן.
En je zou kunnen zeggen dat elk van deze strookjes een rechthoek zou zijn.
ואם תהפוך את זה למלבן, אתה תקבל שגיאה קטנה
Als je er een rechthoek van maakt, dan krijg je een kleine fout,
אבל ככל שהמלבנים יהיו דקים יותר - מרחב השגיאה יהיה קטן יותר.
maar des te dunner de rechthoekjes, hoe kleiner de fout.
אז אתה יכול לחבר את כל אותם מלבנים ולמצוא את השטח מתחת לעקום, שזה משהו שמתטיקאים עושים.
Nu kun je de rechthoeken bij elkaar optellen om het oppervlak te vinden. Dat is wat wetenschappers doen.
אז מה שניוטון ולייבניץ' עשו - אני אולי אשתמש בצבע אחר
Dus wat Newton en Leibnitz deden -- ik zal even een andere kleur gebruiken --
אז תחתוך את זה, בוא נגיד שיש לך קצת כאן, בוא נעשה את זה בצבע שונה
ze sneden het in stukjes en laten we zeggen dat je hier wat meer hebt -- we schrijven het in een andere kleur.
אז בסיס הריבוע הוא
Dus de basis van deze rechthoek is
משהו קטן, כנראה אינפיניטסימלי.
iets smals, wellicht infinitesimaal smal.
ואני אקרא לזה דלתא(אות יוונית)
Ik zal het "delta" noemen.
זה למען האמת סימון מקובל.
Dat is daadwerkelijk de traditionele notatie.
אז בוא נעשה את זה.
Laten we dat doen.
אז מה שאתה בעצם אומר, זה שאם זה העקום - אנחנו נקרא לדברים האלה שנראים כמו עקום f של x.
Wat je nu zegt is dat als deze curve -- we noemen deze curve iets als f(x) --
אז מה שאני אומר, אם כאן זה x, אז זה הולך להיות x ועוד דלתא, x ועוד קצת.
dus wat ik zeg is -- als er hier een x is, dan wordt dit x + delta. Dus x plus een klein beetje.
והרוחב של הבסיס הוא דלתא.
En de breedte van de basis is delta.
אם תגלה את השטח הזה, עד ל-x ועוד דלתא.
Als je dit oppervlak bepaalt, helemaal naar x+ delta...
בוא ניקח השטח כל הדרך עד x ועוד דלתא.
Laten we het oppervlak nemen helemaal tot x + delta
ואני מחסיר את כל החתיכה הירוקה, שזה פחות מ-x.
en ik trek daar vanaf heel dit groene stuk dat kleiner is dan x.
אז נחסר את השטח, זה כאן, מתחת ל-x.
Dus we trekken het oppervlak dat daar is, onder x,
זה שווה לשטח פס הזה.
dat gelijk is aan de het gebied onder deze strook.
אז חיסרתי את כל הפסים האחרים.
Dus we hebben alle andere stroken er afgetrokken.
ומהו השטח של הפס?
Wat is dan het oppervlak van deze strook?
אם זה f(x), זה הגובה של המלבן.
Dat is f(x), dat is de hoogte van de rechthoek
מוכפל ב..
vermenigvuldigd met
בבסיס הקטן הזה
deze kleine basis.
או במילים אחרות
Of, om het op een andere manier neer te zetten:
אתה יכול להגיד שהפונקציה היא
je zou kunnen zeggen, de functie is
[השטח ב] x +דלתא פחות השטח ב-x מחולק בדלתא.
Het oppervlak bij x + delta min het oppervlak bij x en dat gedeeld door delta.
אז מה ששמנו לב אליו הוא שהפונקציה הייתה קצב ההשתנות של השטח.
Wat we hebben gezien is dat de functie de mate van verandering van het oppervlak was.
זה נשמע אולי קצת מופשט.
Dat mag wat abstract klinken,
אבל זו התגלית הגדולה שעשו ניוטון ולייבניץ'.
maar dat is de grote ontdekking die Newton en Leibnitz deden.
זה היה בעצם מאוד חשוב. בגלל שזה אומר שאתה יכול לחשב שטח ע"י חישוב קצב ההשתנות שלו.
Dat was belangrijk, want dat hield in dat je het oppervlak kon bepalen met hulp van de mate van verandering.
וקצב ההשתנות היה משהו שהם יכלו(לחשב)
En de mate van verandering bepalen, dat konden ze wel.
ושניהם, ניוטון ולייבניץ' עבדו על זה באותו זמן.
Newton en Leibnitz werkten hier beiden aan, tegelijkertijd.
והם פחות או יותר ידעו על העבודה של האחר,
Beiden wisten ze van elkaars werk, ongeveer,
אבל לייבניץ' פירסם קודם.
Maar Leibnitz publiceerde het eerst.
וניוטון פירסם שלוש שנים מאוחר יותר הספר שלו -"פרינקיפיה מתמטיקה"(לטינית).
Maar Newton publiceerde zijn Principia Mathemathica 3 jaar later.
והיה את הויכוח הגדול, מי עלה על זה קודם
Er ontstond een groot debat over wie er het eerst was.
וזה היה ממש מגעיל. ניוטון באמת רצה להגן על התגלית שלו.
Het werd echt onfris. Newton wilde zijn ontdekking beslist beschermen.
ולייבניץ' כמעט - הוא לא היה להרשות לעצמו עוד יותר להתווכח.
En Leibnitz was bijna... Het kon hem allemaal niet meer zoveel schelen.
ובסוף הם הקימו ועדה שביררה מי גילה את החשבון קודם.
Uiteindelijk hebben ze een commissie opgezet om te bepalen wie de differentiaalrekening het eerst ontdekte
ואלה היו כל החברים של ניוטון וניוטון עצמו שרשמו את הדו"ח.
en daar zaten allemaal Newton's vrienden in. En Newton zelf schreef het rapport.
ואתה יודע מה? הם גילו שניוטון עלה על זה קודם
En weet je wat? Ze ontdekten dat Newton de eerste was.
ואז לייבניץ' מת.
Leibnitz stierf vervolgens
עם התגלית שלו, שאני מניח נלקחה ממנו
waarbij zijn ontdekking, naar ik aanneem, hem ontfutseld was.
ההוקרה על התגלית שלו נלקחה ממנו
De eer van de ontdekking was hem ontnomen.
והיסטוריונים הסתכלו במסמכים שלהם
Historici hebben naar hun aantekeningen gekeken
והחליטו שהם(ניוטון ולייבניץ') עלו על כך בצורה עצמאית כל אחד בנפרד(חשבון).
en ze besloten dat ze het volledig onafhankelijk van elkaar hebben bedacht.
ועכשיו שניהם מקבלים ההכרה.
Dus tegenwoordig krijgen ze beiden krediet.
אבל זה משתמש באינפיניטסימלים.
Maar dit gebruikt infinitesimalen.
זו אותה בעיה.
Het is hetzelfde probleem.
וניוטון גם ידע זאת.
En Newton wist dit ook.
תמיד תהיה את השגיאה הקטנה הזו.
Er is altijd dat kleine beetje fout.
זה לא עובד לגמרי.
Het werkt niet helemaal.
ובסוף, כמאתיים שנה לאחר מכן הם התחילו לסדר את זה והם נפטרו מאינפיניטסימלים.
Uiteindelijk, ongeveer 200 jaar later, werd dit opgeschoond en ze raakten de infinitesimalen kwijt.
הם הבינו שאתה לא צריך להשתמש באינפיניטסימלים.
Ze realiseerden zich dat je de infinitesimalen niet nodig hebt.
היה להם רעיון חדש והוא נקרא גבולות(מושג חשוב מאוד בחדו"א)
Ze kwamen op dit nieuwe idee, genaamd limieten.
והגבולות יכולים להיות דקים יותר ויותר והם ישאפו ל-0.
Daarbij konden ze dunner en dunner en dunner worden en nul benaderden.
וקראו לזה גבול, וזה מאוד מחמיר ועקבי מבחינה מתמטית.
Dit werd een limiet genoemd en dat was wiskundig gezien bestendiger en consistenter.
וזה אומר שאתה לא יכול להשתמש באינפיניטסימלים שיחשבו לך את השטחים הללו
Het betekende dat je geen infinitesimalen hoefde te gebruiken om deze oppervlakken te bepalen.
ואפשר לזרוק אותם מחוץ לתיאוריה.
Ze konden de theorie eruit gooien
ולא צריך אותם יותר. ואין אינפיניטסימלים במספרים ממשיים.
en het niet meer nodig hebben. Zo zijn er geen infinitesimalen meer onder de reële getallen.
הם פשוט נעלמו.
Ze waren weg.
ואז הם עשו קאמבק(חזרו לשימוש).
Maar toen maakten ze een comeback.
זה ה"לא יכול להתעלם מרעיון טוב"
Je kunt een goed idee niet onder de duim houden.
זה עשה עוד קאמבק במאה ה-20. ולקח עד המאה ה-20 בשביל שזה יעשו עוד קאמבק גדול נוסף.
Het maakte een comeback in de 20ste eeuw. Het duurde tot de 20ste eeuw voor het een grote comeback maakte.
בשנות ה-60, בחור גילה מערכת שאתה יכול להכיל בה את האינפיניטסימלים.
In de 60-er jaren werkte een vent een systeem uit waarin je de infinitesimalen kon toevoegen.
יכול להיות ברשותך מערכת מחמירה ועקבית מבחינה מתמטית
Je kon er een bestendig en consistent systeem mee hebben.
אתה יכול לפתור בעיות בעזרת המערכת הזו.
Je kon met dit systeem problemen oplossen.
ולבחור הזה קראו אברהם רובינסון.
Die vent heette Abraham Robinson.
זה היה בשנות ה-60. הוא יכל לעשות את זה רק במאה ה-20
Het was in de 60-er jaren. Hij kon het alleen maar doen in de 20-ste eeuw,
בגלל שזה דרש מתמטיקאים שעשו זאת במאה ה-20.
omdat het wiskunde vereiste die in de 20ste eeuw was ontwikkeld.
הם לקחו את המספרים הממשיים והוסיפו את האינפיניטסימלים לתוך מה שכבר יש רשותם.
Ze namen de reële getallen en ze voegden infinitesimalen toe aan wat er al was.
אז האינפיניטסימלים לא קייימים במספרים ממשיים, אבל הם הכניסו אותם פנימה.
Infinitesimalen bestaan niet in de reële getallen, maar ze voegden ze erbij.
אז הם אמרו: " אינפיניטסימלי זה משהו שמספק את זה. נכון".
Ze zeiden: "Een infinitesimaal is iets dat hieraan tegemoet komt. Goed.
זה משהו שפחות מכל שאר המספרים הממשיים וגדול יותר מאפס.
Het is iets dat kleiner is dan alle reële getallen, maar groter dan nul.
אז הם הוסיפו את הרעיון, אז זה תוספת.
Dus ze voegden dit idee toe, dus het is een toevoeging.
זה נקרא "ההיפר-ריל"(המספרים הממשיים ההיפראקטיבים בתירגום חופשי).
Ze noemden ze hyperreële getallen.
אז יש לך את האינפיניטסימלים האלה - בוא נקרא להם e.
Dus je hebt deze infinitesimalen -- we noemen ze 'epsilon'.
זה אינפיניטסימל.
Dit is een infinitesimaal.
ויש לך גם אינסופיים במערכת הזו.
En je hebt ook oneindigheden in dit systeem.
אז אתה יכול לקבל אחד מעבר לאינפיניטסימל שזה גם אינסוף - זה מותר, זה כולל.
Zo kun je één delen door een infinitesimaal en dat is oneindig en dat is geldig, dat hoort erbij.
אם יש לך שני מספרים, הם באופן אינסופי קרובים אחד לשני.
Als je twee getallen hebt die oneindig dicht bij elkaar zijn,
אם היית אומר ש-x ו-y קרובים אחד לשני, זה אומר ש-x פחות y
als je zegt x en y zijn dicht bij elkaar, dan betekent dat dat x min y
הוא אינפיניטסימלי.
een infinitesimaal is.
אז ישנו רעיון שהוא להיות קרוב בצורה אינפיניטסימלית במערכת הזאת.
Dus er is een idee van oneindig dicht bij elkaar zijn in dit systeem.
במספרים הממשים, אפס הוא רק אינפיניטסימל.
In de reële getallen, is nul de enige infinitesimaal.
במספרים הממשיים שאנחנו מכירים
In de reële getallen, weten we,
אנחנו לעולם לא נעשה זאת, לא כן?
zouden we dit nooit doen, niet?
אחד מחולק ב-0 זה לא אינסוף
Één gedeeld door nul is niet oneindig.
אנחנו לעולם לא נעשה זאת.
Zo werkt het niet.
וזה עדיין נכון גם ב"היפר-ממשיים".
En dat geldt ook voor de hyperreële getallen.
כל מה שנכון זה במספרים הממשיים עדיין נכון ב"היפר-ממשיים".
Alles dat geldt bij de reële getallen, geldt ook bij de hyperreële getallen.
אז זה לא נכון במספרים הממשיים.
Dat is niet geldig bij de reële getallen
וזה לא נכון גם ב"היפר-ממשיים".
en het is ook niet geldig bij de hyperreële getallen.
אז משהו כזה: x ועוד y שווה y ועוד x
Dus iets als dit: x + y is gelijk aan y + x
זה נכון במספרים הממשיים וזה נכון גם ב"היפר-ממשיים"ץ
is waar in de reële getallen en dus ook bij de hyperreële.
אם יש לך איקס בריבוע שגדול מ-x.
Als x kwadraat groter is dan x, dan
איקס חייב להיות גדול מאחד, זה נכון במספרים הממשיים וגם ב"היפר-ממשיים".
moet x groter zijn dan 1. Dat is waar bij de reële getallen en ook bij de hyperreële getallen.
אנחנו יודעים ש-2x לא שווה ל-x
We weten dat 2x niet gelijk is aan x.
זה נכון גם במספרים הממשיים וגם נכון ב"היפר-ממשיים" שזה אומר
Dat is waar bij de reële getallen en ook bij de hyperreële getallen. Wat betekent dat
אם היה לך אינפיניטסימל
als je een infinitesimaal hebt, dan
אינפיניטסימל זה לא אותו דבר כמו פעמיים האינפיניטסימל הזה,
is de infinitesimaal niet gelijk aan 2 maal de infinitesimaal
וזה לא אותו דבר כמו שלוש פעמים האינפיניטסימל.
en ook niet gelijk aan 3 maal,
או ארבע, או n פעמים
of 4 maal of n maal.
כולם שונים, כולם אינפיניטסימלים, אבל כולם שונים.
Die zijn allemaal verschillend. Het zijn allemaal infinitesimalen, maar ze zijn verschillend.
אז הדברים הללו הם לא אותו דבר.
Dus deze dingen zijn niet gelijk.
אז ישנם הרבה אינפיניטסימלים.
Dus er zijn talloze infinitesimalen.
אין רק אינפיניטסימל אחד, ישנם הרבה הרבה
Er is niet maar één infinitesimaal, er zijn er vele.
ישנו ציטוט קטן ונחמד, זה הבחור אברהם רובינסון
Er is een interessant citaat: "Deze vent Abraham Robinson
שרצה להיכנס למוחו של לייבניץ'
wilde in de geest van Leibnitz binnenkomen."
זה הציטוט שאני קראתי.
Dat heb ik wel eens ergens gelezen.
הוא רוצה להיכנס לצורה חשיבה שלו(של לייבניץ').
Hij wilde in zijn manier van denken terecht komen.
והמחשבה על אינפיניטסימלים והדרך בה נוכל לגרום להם לעבוד ולהשתמש בהם.
En in het denken in infinitesimalen. Kunnen we dit laten werken en kunnen we het gebruiken?
עכשיו המערכת, סוף סוף, עקבית, היא מחמירה.
Uiteindelijk is dit systeem consistent en bestendig.
אפשר להשתמש בה היטב.
Het kan goed worden toegepast.
אפשר להשתמש בה לפתור בעיות. זה נקרא אנליזה לא סטנדרטית.
Het kan gebruikt worden om problemen op te lossen. Het wordt Niet Standaard Analyse (NSA) genoemd.
אנשים מעריצים את המערכת הזאת והם אומרים שהיא יותר אינטואיטיבית והם אומרים שהיא יכולה לפתור בעיות עם הוכחות קצרות יותר.
Fans van dit systeem zeggen dat het intuïtiever is en dat het problemen kan oplossen met kortere bewijzen.
אז סוף סוף זה עשה עוד קאמבק. -סוף.
Het heeft uiteindelijk weer een comeback gemaakt.
(קול רקע מהסירטון בחלון השמאלי): - מה לגבי עכשיו, לפני שחילקנו ב-2 אם k היה מספר זוגי
Want wat nu. Voordat we door 2 delen, als k even is...
אבל במספרים הממשיים, כל מה שאין בו אלמנטים של אפס, ו-k בהחלט לא אפס, כל האלמנטים של המספרים שהם לא אפס תוכל לקחת את ההופכי שלו, אתה תוכל לחלק אותם.
Maar bij de reële getallen kan van alle elementen behalve nul, en k is zeker niet nul, de reciproke waarde worden gevonden. Je kunt erdoor delen.
Similar videos:

The Infinitesimal Monad - Numberphile
Numberphile
328.4K views 7K likes 294 dislikes 04 Sep 201560% match

Maths Puzzle: The self descriptive number solution
singingbanana
175.1K views 4.8K likes 42 dislikes 09 Jan 201633% match

Infinity Paradoxes - Numberphile
Numberphile
1.7M views 20.7K likes 2K dislikes 15 Jul 201333% match

Zeno's Paradox - Numberphile
Numberphile
3.2M views 50.2K likes 1K dislikes 07 Apr 201331% match

Statistics: The average | Descriptive statistics | Probability and Statistics | Khan Academy
Khan Academy
2.5M views 9.5K likes 205 dislikes 19 Jan 200931% match




Introduction to Evolution and Natural Selection
Khan Academy
2.3M views 7.5K likes 453 dislikes 21 Sep 200929% match








Idea behind inverting a 2x2 matrix | Matrices | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 4.2K likes 136 dislikes 08 Jun 200829% match



Introduction to scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
764.1K views 1.5K likes 118 dislikes 02 Nov 200929% match



I React to Mean Comments
TheReportOfTheWeek
7.7M views 426.2K likes 9.2K dislikes 11 Mar 201828% match




Raising money for a startup | Stocks and bonds | Finance & Capital Markets | Khan Academy
Khan Academy
580.4K views 1.6K likes 79 dislikes 28 Jan 200928% match


Mean value theorem | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
610.7K views 2K likes 52 dislikes 02 Jul 200828% match




Classical Singer First Time Reaction- Dimash | Bastau 2. Amazing Performances! Such Stamina!
SingerDad Reacts
7.7K views 877 likes 7 dislikes 13 Aug 202028% match



GIRLS VS BOYS BUYING EACH OTHER CLOTHES | We Are The Davises
We Are The Davises
2.2M views 11.5K likes 623 dislikes 29 Aug 201728% match


The End of WoW? Why Azeroth is DOOMED! | The SCIENCE of... World of Warcraft (BFA)
The Game Theorists
1.7M views 57.5K likes 6.4K dislikes 16 Aug 201828% match

Dan and Phil React to #DAPGO Memes!
AmazingPhil
3.3M views 203.2K likes 869 dislikes 19 Sep 201628% match


East Bound in The Cape Cod Canal
TimBatSea
12.8K views 1.1K likes 8 dislikes 04 Jan 202128% match

Python Lists
Khan Academy
353.3K views 1.3K likes 29 dislikes 30 Jun 201128% match



Angelina Jordan - Wicked Game (Digitally enhanced) - FIRST TIME REACTION.
HAP3SPEAKZ
8.6K views 730 likes 11 dislikes 15 Sep 202028% match


Elite Dangerous what would YOU like Changed or Fixed in 2020
Ricardos Gaming
649 views 33 likes 4 dislikes 28 Jan 202027% match



GoWilder EP01 - Wildlife & Photography Expert Panel
Simon McCabe
693 views 100 likes 2 dislikes 26 Apr 202027% match

Diffusion and osmosis | Membranes and transport | Biology | Khan Academy
Khan Academy
2M views 9.1K likes 330 dislikes 08 Feb 201027% match




Koch snowflake fractal | Perimeter, area, and volume | Geometry | Khan Academy
Khan Academy
220.4K views 888 likes 17 dislikes 30 Sep 201127% match


Classical Singer Reaction - Nightwish | The Islander. Marco is Awesome!! Very cool song!
SingerDad Reacts
10.4K views 840 likes 13 dislikes 26 Jan 202127% match


Looking into the skills and ways to defeat him - Raid Shadow Legends (Doom Tower Part 2)
Manibal Gaming
2.7K views 115 likes 4 dislikes 24 Nov 202027% match





Nancy Drew 10 Secret of Shadow Ranch Part 3 Shadow Ranch Cowboy Secrets No Commentary
D P Gaming Magic
811 views 4 likes 5 dislikes 23 Feb 201927% match





DAD PRANKS US! | We Are The Davises
We Are The Davises
2.9M views 28K likes 1.7K dislikes 12 Mar 201727% match


Building a Custom E-Mountain Bike Frame (Part 3) with Paul Brodie - Framebuilding 101
paul brodie
10.3K views 365 likes 5 dislikes 04 Jul 202027% match



The Riemann Hypothesis
singingbanana
551.1K views 10.2K likes 108 dislikes 17 Jan 201427% match

Working With Script Fonts in Vectric Version 10.5
Mark Lindsay CNC
1.2K views 134 likes 0 dislikes 16 Aug 202027% match

Webinar Safe Operation
KUKA - Robots & Automation
918 views 14 likes 0 dislikes 12 Nov 202027% match





Settings Privacy About Contact Donate