Infinity Paradoxes - Numberphile Numberphile English Dutch

Infinity Paradoxes - NumberphileYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 1.7M views 20.7K likes 2K dislikes 15 Jul 2013

Numberphile 4.8M subscribers N/A YouTube↗

Click to Play Video

MARK JAGO: We're going to talk about four paradoxes that

MARK JAGO: We gaan het hebben over 4 paradoxen

touch on the topic of infinity.

met betrekking tot oneindig.

First one, we've got the Hilbert Hotel.

Als eerste hebben we het Hilbert Hotel.

This is a hotel with infinitely many rooms.

Dit is een hotel met een oneindig aantal kamers.

And at the moment, there's somebody in every single room.

En in iedere kamer bevindt zich een persoon.

So it's a full hotel, and then a new customer rolls up at the

Dus het hotel is vol, maar dan komt er een nieuwe

reception desk.

gast bij de receptie.

Now, you might think they're going to turn him away because

Je denkt dat hij weg gestuurd wordt, omdat

the hotel's full.

het hotel vol is.

But the manager's clever.

Maar de manager is slim.

And here's what he does.

Dit is wat hij doet.

He shifts the person in room 1 to room 2, and the person in

Hij stuurt de persoon uit kamer 1 naar kamer 2, de persoon uit

room 2 to room 3, and the person in room 3 to

kamer 2 naar kamer 3, de persoon uit kamer 3 naar

room 4, and so on.

kamer vier en zo voorts.

Everyone gets shifted forward one room.

Iedereen schuift 1 kamer op.

And because there's infinitely many rooms, you never run out

En omdat er oneindig veel kamers zijn is er altijd

of rooms to put people in.

een kamer beschikbaar voor de volgende.

And when you've done all of this, room 1's free.

Als hij klaar is, is kamer 1 beschikbaar.

So the new guest gets put in room number 1.

Daar kan de nieuwe gast dus in.

So you can fit in a new guest.

Je kut dus een nieuwe gast kwijt.

You can fit in two new guests.

Of twee nieuwe gasten.

You could fit in 10 new guests.

Of 10 nieuwe gasten.

And even if an infinite bus of new customers rolls up, you

En zelfs als er een bus met oneindig veel gasten komt

can fit them all in.

kun je ze allemaal kwijt.

I guess it's that when I first heard the description, I

Toen ik de inleiding voor het eerst hoorde

thought, well, that hotel's full.

daht ik: Dat hotel is vol.

You can't fit anybody in it.

Daar kan niemand meer bij.

That's how full hotels work.

Zo gaat dat bij volle hotels.

But then once you're shown that you can fit as many new

Maar als ze je laten zien dat je net zo veel

people in the hotel as you like, you learn something new

mensen kunt toevoegen als je wilt, leer je iets nieuws

about infinity.

over oneindigheid.

So your intuitions change.

Dus je intuitie veranderd.

And the trick is because it's an infinite hotel, there is no

De truck is dat in een oneindig hotel er geen

laatste kamer is.

If there were a final room, you could count all the rooms,

Als er een laatste kamer was kon je ze tellen,

and there wouldn't be infinitely many of them.

en was het niet oneindig.

I think he's using the idea to say, infinity is interesting,

Hij gebruikt dit idee om te laten zien dat oneindigheid,

it's philosophically interesting because you might

filosofisch interessant is, omdat je denkt

have thought things went like this.

dat dingen gaan zoals je denkt.

But they don't, and we can show

Maar dat doen ze niet en we kunnen

mathematically that they don't.

dat wiskundig bewijzen.

Paradox number two-- this is the paradox

Paradox nummer 2 is de paradox van

of Gabriel's trumpet.

Gabriels trompet.

So the idea is we have this mathematical shape, this

We nemen een wiskundige vorm,

mathematical object.

een wiskundig object.

And it's shaped like a trumpet.

Het heeft de vorm van een trompet.

It'll start off here, and it'll taper and get thinner

Het begint hier en wordt steeds smaller

and thinner and thinner and thinner and thinner.

en smaller en smaller.

And it tends off to infinity, getting thinner and thinner

Het gaat oneindig door, smaller en smaller.

het gaat maar door.

So that mathematical object has an infinite surface area.

Dit voorwerp heeft dus een oneindig oppervlak.

But the volume it encloses, the air in the center of the

Maar de inhoud is dat niet, de lucht

trumpet, is only a finite volume.

in de trompet heeft een eindig volume.

Suppose you were told you had to paint the

Dus als je de binnenkant van de trompet

inside of that trumpet.

moet schilderen,

Well, on the one hand, you've got to paint an

heb je aan de ene kant een

infinitely big surface.

oneindig groot oppervlak.

So you're going to need an infinite bucket of paint.

Je hebt dus oneindig veel verf nodig.

But on the other hand, you could just take a finite, big

Maar aan de andere kant, heb je maar een eindige hoeveelheid

enough can of paint, tip it into the trumpet, and let it

verf nodig om de trompet helemaal

filter its way down.

So it looks like you only need a finite amount of paint to

Het lijkt dus dat je met een eindige hoeveelheid

paint an infinite surface area.

verf een oneindig oppervlak kunt schilderen.

That's really, really strange.

Dat is heel, heel raar.

If we're thinking about real physical paint, you just can't

Als we aan echte verf denken kun je nooit het hele

paint the whole surface.

oppervlak schilderen.

Because it gets so thin at one end that you're just not going

Het wordt daar zo dun dat je de verf

to fit the paint down there.

daar nooit kunt krijgen.

So I guess the clash arises when we think about the

Het probleem ontstaat door het verschil

difference between the mathematical idea of a surface

tussen het wiskundige idee van een oppervlak

and the physical idea of paint, which

en de fysische eigenschappen van verf

is real thick stuff.

wat best een dik goedje is.

If we had mathematical paint where the molecules had no

Als we wiskundige verf hadden, gemaakt van moleculen die geen

size whatsoever, looks like you'd need an infinite amount

geen afmetingen hebben, heb je een eindige hoeveelheid

of that to cover that infinite surface area.

nodig om een oneindig oppervlak te bedekken.

He thought there was something really strange going on here.

Hij dacht dat er iets heel raars aan de hand was.

He gave lots of proofs of this idea because I think at first,

hij bedacht verschillende bewijzen van dit idee,

he thought he'd made a mistake.

want hij dacht dat hij zich had vergist.

And lots of mathematicians thought that there was

En vele wiskundigen dachten dat er

something wrong with the idea of infinity, that maybe

iets mis was met het begrip oneindigheid.

somehow we should banish infinity.

Misschien moesten we het maar verbannen.

Because puzzles like this clash.

Want dit soort puzzels kloppen niet.

They show there's something wrong with the idea, so we

Ze tonen aan dat er iets mis is met het begrip oneindigheid.

should somehow ban it from our mathematics.

Dus misschien hoort het niet in de wiskunde.

But in fact, infinity works just fine in mathematics.

Maar eigenlijk past het prima in de wiskunde.

But we have to sometimes change our ideas about how the

Soms moeten we onze ideeen over de wereld aanpassen

world works to fit it in.

om dingen passend te maken.

Number three-- so this is the puzzle of the dartboard.

Nummer 2 is de puzzel van het dartbord.

So we suppose we've got a dartboard,

We hebben een dartbord,

and we've got a dart.

en we hebben een dart.

And we're going to throw the dart at the dartboard.

Die gooien we naar het bord.

And let's just suppose we're guaranteed 100% chance to hit

Laten we er van uitgaan dat we het bord

100% zeker raken.

And then we ask the question, think about the exact center

De vraag is nu: Denk aan het exacte midden van

point of the dart.

de punt van de dart.

And we think about an exact point, a mathematical point on

En denk aan een exact wiskundig punt

op het dartbord.

And we ask the question, what's the chance our dart is

Wat is nu de kans dat

going to hit that exact point?

we precies dat punt raken?

And it turns out we can't give a sensible answer.

Daar is geen zinnig antwoord op te geven.

So suppose on the one hand that we say, it's got a chance

Aan de ene kant is de kans dat we het raken

greater than 0 of hitting that point.

groter dan nul.

Well, there's a problem with that.

Dat is een probleem.

If it's got a greater than 0 chance of hitting that point,

Als de kans groter dan 0 is,

the same goes for every other point on the dartboard.

geldt dat voor alle punten op het dartbord.

And there's infinitely many of them.

En daar zijn er oneindig veel van.

In fact, there's a big infinity of those

Er zijn oneindig veel

mathematical points.

wiskunidige punten.

When we add all those chances together to give us the chance

Als we al de kansen dat de pijl zo'n punt raakt

that the dart's going to hit the dartboard at all, we end

optellen dan komen we uit op een kans

up with an infinite probability.

die oneindig groot is.

But we can't have an infinite probability.

Maar dat bestaat niet.

You can't get a probability bigger than 1 that something

Je kunt geen kans hebben groter dan 1

dat er iets gebeurd.

OK, so we've got a problem with the idea that the chance

Er is dus een probleem met de aanname

of the dart hitting that point is bigger than 0.

dat de kans op raken van zo'n punt groter dan 0 is.

So on the other hand, what happened to the chance of 0?

Aan de andere kant, wat gebeurd er als de kans 0 is?

Well, that's also strange.

Dat is ook heel erg vreemd.

Because if the chance of hitting that point is 0, we

Want als die kans 0 is,

could say the same for every point.

geldt dat voor alle punten.

So the chance of hitting any point on the dart board is 0.

Dus dan is de kans het bord te raken 0.

It's not going to happen.

En dat gebeurd ook niet.

But that's really strange because we're sure the dart's

Want we hadden gezegd dat we

going to hit the dartboard somewhere.

het bord zeker gingen raken.

Again, one thing philosophers say about this is the idea of

Weer iets waarvan filosofen zeggen:

banning infinity.

weg met oneindigheid.

So we say, don't think about the exact mathematical point

Dus denken we niet aan het exacte midden van

We think about an area--

We denken aan een oppervlak--

any real physical dart has an area at its center.

Een echte dart heeft een oppervlak als punt.

And we think about what's the chance that it hits an area on

Als we dan de kans nemen op het raken van een deel van

het dartbord, delen.

And then we divide these up in a finite way.

we deze op in eindig veel stukjes.

And the problem goes away.

Dan is het probleem weg.

As the area gets bigger, the probability that the dart hits

Als het oppervlak toeneemt, neemt de kans het

there is bigger.

As it gets smaller, the probability the dart hits

Wordt het kleiner, dan neemt de

there gets smaller.

BRADY HARAN: So it's this kind of granular nature of our

BRADY HARAN: Het is dus het korrelige aspect

existence that gets us out of trouble?

van dingen die ons uit de problemen houdt?

MARK JAGO: Yeah, that's right.

MARK JAGO: YJa, zo is het.

So if everything that we think about is an area rather than

Dus als alles waar we aan denken een oppervlak is in plaats van

an exact point, the problem goes away.

een exact punt, gaan de problemen weg.

But that's not completely satisfying.

Dat is niet heel tevredenstellend.

After all, we can think of an area getting smaller and

Een oppervlakte kan steeds kleiner worden

smaller and smaller and tending to infinity.

en dan naderen aan oneindigheid.

Shouldn't we have a decent answer to this problem when we

Is er geen netter antwoord voor dit

get to the infinite case?

oneindigheidsvraagstuk?

And maybe we don't have a very good answer to it.

Misschien bestaat dat niet.

OK, so here's the fourth paradox.

Hier is de vierde paradox.

This is perhaps the most interesting one of them all

Misschien wel de meest interessante.

because it relates to what rational humans should do in

Want het gaat over wat rationele mensen zouden doen

bij het gokken.

You go to a casino, and they put a pound in the pot.

Je gaat naar het casino en stopt een Pond in de pot.

And they say, we're going to flip a fair coin.

Daarna toss je met een munt.

And when it lands on a tail, you get whatever's in the pot.

Staart en je wint de pot.

If we flip a head, the casino doubles what's in the pot, and

Kop en het casino verdubbelt de pot.

we spelen weer.

If it gets a tail, you get what's in the pot.

Staart en je wint de pot

If it's a head, they double the pot,

Kop en het casino verdubbelt de pot.

and we carry on playing.

en dan spelen we weer.

But then they ask you the question, how much would you

De vraag is nu hoeveel zou je betalen om

pay to get into this game?

aan dit spel mee te mogen doen?

Name your price.

You've got to pay something to play.

Je moet je inkopen.

What would you pay?

Wat zou je betalen?

And I think most people think about this a bit and say

De meeste mensen denken even en zeggen dan:

something like, maybe a few pounds?

Misschien een paar Pond?

Maybe if you're rich, you'd say 20 pounds.

Als je het wat breder hebt misschien 20 Pond.

The mathematical theory, on the other hand, tells you, bet

De wiskundige theorie zegt echter:

whatever you've got.

Alles wat je bezit.

Stake any amount of money you can get your hands on on this

Betaal alles wat je hebt want de verwachtte

game, because the expected winnings is infinite.

winst is oneindig.

Your expected take home is infinite if you play the game.

Je neemt oneindig veel geld mee naar huis als je speelt.

So the way we work out the expected take-home winnings is

Om dit te laten zien kijken we

we look at each case.

naar alle potjes.

If you flip a tail on the first go, how

Als je meteen wint,

much would you win?

hoeveel win je dan?

Add it to if you flip a tail on the second go, how much

Tel dit op bij als je de tweede ronde

Add it to if you flip a tail on the third go, how much

En tel op bij als je de derde ronde wint.

En bij de vierde ronde.

And we sum all of these.

We tellen alles op.

But because the game hasn't got a fixed end point, we sum

Maar omdat er geen eindpunt is bij dit spel,

infinitely many of these.

gaat dit oneindig verder.

And in fact, the expected value of each play

De verwachtingswaarde bij iedere ronde

of the game is 1/2.

van dit spel is 1/2.

So we're adding 1/2 to 1/2 to 1/2 to 1/2

Dus we tellen 1/2 bij 1/2 op

infinitely many times.

en dat oneindig vaak.

That's why the expected value of what you will take home is

Daarom is de verwachtingswaarde

infinitely big.

van dit spel ook oneindig.

BRADY HARAN: But we wouldn't bet our house, would we?

BRADY HARAN: Maar we zetten toch niet ons huis in?

We wouldn't bet everything.

We vergokken niet alles.

MARK JAGO: I wouldn't.

MARK JAGO: Ik niet nee.

And I don't think you would.

En ik denk jij ook niet.

BRADY HARAN: What does that say?

BRADY HARAN: Wat betekent dat?

MARK JAGO: I think it says something interesting

MARK JAGO: Misschien iets heel interessants

perhaps about us.

Perhaps it says that we're more risk averse than the

We vermijden meer risico

mathematical theory would have us believe.

dan wiskundig aanwezig.

Perhaps it says that the value of money changes

Mischien neemt de waarde van geld af

the more you accrue.

naar mate je meer verdient.

Perhaps it says something else that we haven't quite worked

Misschien iets dat we nog niet weten

yet, that we should figure in to what makes us rational

Iets dat ons rationeel maakt

reasoners that we haven't yet taken account of in the maths.

en dat nog niet in de wiskunde zit.

BRADY HARAN: You're sort of saying that as if humans are

BRADY HARAN: Je zegt dat mensen gek

wrong to not bet everything on it.

als ze niet alles inzetten.

But surely if humans did that, casinos would set that game up

Maar als casino's dat spel zouden invoeren

and own all our houses by now.

zouden ze snel al onze huizen hebben.

MARK JAGO: Well, good point.

MARK JAGO: Daar heb je een punt.

To make the maths come out, the casino has to guarantee,

Om het wiskundig kloppend te maken moet het casino garanties bieden,

so you have to know in advance that they will bet as

je moet van tevoren weten dat ze zoveel inzetten

much as they need.

So there would have to be a casino with an infinite amount

Er moet dus een casino zijn met een

of money, potentially, to put into this game.

oneindige hoeveelheid geld.

So one way out of it is to say, look, there's no casino

En er is geen casino met

with that amount of money.

oneindig veel geld.

And if we say after x amount of money has been put in the

En als er na x trekkingen een einde aan de pot komt,

pot, that's it, that's all the casino can do.

als alles wat het casino heeft er in zit,

Then the numbers change, and it turns out you would be

Dan veranderen de berekeningen en wordt het

irrational to put lots of money into it.

onverstandig om veel in te zetten.

We have this mathematical theory of

Dit is de wiskundige theorie

rational decision making.

achter rationele beslissingen.

Most mathematical theories don't crumble when you put

De meeste theorieen lopen niet mis als je

oneindig introduceert.

They work just fine.

Ze werken prima.

So why is it that theories about us, how we should or

Dus waarom worden theorieen over ons

shouldn't behave, go really weird when you

of hoe we redeneren zo raar als

put infinity in?

we oneindig invullen?

So suppose we take all the natural numbers together.

Stel dat we alle natuurlijke getallen samen nemen.

None of those are infinitely big.

Gee nvan hen zijn oneindig groot.

Each one is a finite number.

Ze zijn allemaal eindig.

But there's infinitely many of them.

Maar er zijn er oneindig veel van.

So if we were asked to count them, we'd say there's an

Dus als we ze moeten tellen

infinite connection.

dan is dat oneindig veel werk.

Similar videos:

The Opposite of Infinity - Numberphile
Numberphile
3.7M views 58.1K likes 1.1K dislikes 08 Sep 201533% match

Video Serie. Bijzonder! Aflevering 10 – Witchworld
Bijzonder! [door Erik Jumelet]
3.5K views 16 likes 0 dislikes 13 Jun 201829% match

Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201128% match

Jordan Peterson - Stop Hiding! You Are Stronger Than You Think
Bite-sized Philosophy
1.1M views 32.3K likes 333 dislikes 19 May 201727% match

Speel Bridge met Berry, aflevering 14
BiC Academie
5.4K views 27 likes 0 dislikes 11 Feb 202126% match

Wonen in een Tiny House Gemeenschap | Bijzonder wonen - Aflevering 2
Object&co
1.8K views 10 likes 0 dislikes 06 Oct 202026% match

5G, wat is het en hoe werkt het? | introductie aflevering | Klaar voor 5G?
KPN
2.5K views 34 likes 4 dislikes 22 Jul 202026% match

How To Be a Trans Ally
Ash Hardell
105.8K views 6.5K likes 178 dislikes 13 Aug 201526% match

Graham Hawkes: Fly the seas on a submarine with wings
TED
130.6K views 187 likes 33 dislikes 04 Nov 200826% match

Paulien Cornelisse over 'Taal voor de leuk'

17K views 0 likes 0 dislikes 16 Nov 201826% match

A Radical Redesign: Tanuki: Arthur Joura
Appalachian Bonsai
9.6K views 358 likes 40 dislikes 22 Oct 202026% match

How To Stop Procrastination (3 Simple Tricks)
Charisma on Command
311K views 17.2K likes 128 dislikes 03 Oct 201626% match

The Best Game Controller
Austin Evans
4.3M views 60.8K likes 4.1K dislikes 11 Dec 201626% match

faqda #09 — Wat als je praten over je gevoelens fucking moeilijk vindt?
Studio Brussel
6K views 180 likes 4 dislikes 10 Nov 202026% match

Hoe is het om Kamers te Verhuren aan Sekswerkers?
VICE
8M views 48.5K likes -1 dislikes 13 Feb 201926% match

TEDxVictoria - Dave Morris: The Way of Improvisation
TEDx Talks
346.4K views 4.6K likes 57 dislikes 08 Jan 201226% match

Volvo XC40 Recharge P8 - AutoWeek review - English subtitles
AutoWeek
28.6K views 283 likes 13 dislikes 01 Oct 202026% match

Studio Brussel Interview: Arctic Monkeys
Studio Brussel
122.1K views 3.1K likes 26 dislikes 29 May 201826% match

Do Atoms Ever Touch?
Sixty Symbols
616.7K views 17.2K likes 536 dislikes 05 Aug 201426% match

Taurus: February 2019 | Tarot Reading 💰💖 * Psychic Reading

78 views 0 likes 0 dislikes 27 Jan 201926% match

The Bayesian Trap
Veritasium
2.7M views 102.4K likes 1.4K dislikes 05 Apr 201726% match

SUPER APRIL | Ten Hag: ‘We zijn nu dynamischer en moeilijker af te stoppen’
AFC Ajax
30.3K views 1.1K likes 9 dislikes 26 Mar 202126% match

Drugslab: How it's made | Drugslab
Drugslab
162.6K views 5.7K likes 135 dislikes 14 Jul 201726% match

Articulation for recorder players & other wind instruments: single, double, use in music, inégalité
Lobke Sprenkeling
1K views 94 likes 0 dislikes 16 Aug 202026% match

I CAN'T CHOOSE BEST BISHI (ಥ﹏ಥ) Otaku Monthly Favorites
akidearest
552.3K views 28.7K likes 166 dislikes 28 Aug 201626% match

Venison Poutine at the Off Grid Log Cabin, The Simple Life
My Self Reliance
376.9K views 12.6K likes 185 dislikes 27 Apr 201826% match

Amber Case: We are all cyborgs now
TED
142.7K views 1.8K likes 151 dislikes 11 Jan 201126% match

HOW to DEAL with the DUTCH?
Learn Dutch with Bart de Pau
193.9K views 2.5K likes 61 dislikes 07 Nov 202026% match

Virtueel Verzorgingshuis OZOverbindzorg

3.2K views 6 likes 1 dislikes 22 Mar 201426% match

Subnautica Below Zero 2020 New story New beginnings
Ricardos Gaming
448 views 17 likes 2 dislikes 08 Mar 202025% match

Settings Privacy About Contact Donate