Integrals: Trig Substitution 1YouTube↗  IA↗(long shot)
Education  702.3K views 1.5K likes 70 dislikes   14 Oct 2009
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
laten we zeggen
자 여기에
dat ik de onbepaalde integraal 1 gedeeld door
∫1/√(3-2x²)이
de wortel van 3 minus 2 x kwadraat heb
있다고 합시다
Natuurlijk heb ik er een dx.
물론 뒤에 dx도 있습니다
als ik daar naar kijk, is er geen duidelijke
처음 봤을 땐 이것을 바로
traditionele methode van het nemen van deze primitieve.
부정적분하기가 어렵습니다
Ik heb niet de afgeleide hiervan ergens anders in
인테그랄 내에 이것의 도함수가 들어있지 않기 때문에
de integraal, dus ik kan niet de traditionele u-substitutie doen.
전형적인 치환 적분을 할 수 없습니다
Maar wat ik kan doen is dat ik zou kunnen zeggen, Nou, dit ziet er bijna
그러나 생긴 것을 보면
uit zoals sommige trig identiteiten waar ik bekend mee ben, dus misschien
낯익은 삼각함수 공식과 비슷하므로
kan ik dit met trig functies vervangen.
삼각함수로 치환할 수 있습니다
Dus laten we kijken of ik een trig identiteit kan vinden die
그럼 유사한 삼각함수 공식을
aan dit gelijk lijkt.
찾아봅시다
Nou, onze meest elementaire trigonometrische identiteit-- dit
단위 원의 정의에서 파생된 가장 기본적인 공식을 보면
komt van de eenheid cirkel definitie--is dat de sinus
sin²θ+cos²θ은
kwadraat van theta plus de cosinus kwadraat van
sin²θ+cos²θ은
Theta gelijk is aan 1.
1과 같습니다
En als we dan cosinus kwadraat van theta aftrekken
양변에서 cos²θ를 빼거나
van beide zijden, krijgen we-- of als we sinus kwadraat aftrekken van theta
sin²θ을 빼면
van beide kanten, we kunnen beide doen-- we krijgen van cosinus
위와 같이 cos²θ은
kwadraat van theta is gelijk aan 1 min sinus kwadraat van theta.
1-sin²θ과 같습니다
We kunnen beide manieren doen.
두 방식 모두 가능합니다
Maar dit, ineens, dit ding hier, begint
이제 여기 분모를 보면
er een beetje als volgt uitzien.
1-sin²θ과 꼴이 유사하다는 것을 알 수 있습니다
Misschien kan ik een klein beetje algebraïsche manipulatie doen om
더 비슷해지도록 대수적 계산을
dit op dat veel te laten lijken.
하겠습니다
Dus als eerste, ik zou graag een 1 hier--tenminste
첫 번째로 할 것은
dat is hoe mijn hersenen werken--dus laten we een 3 halen
여기가 1이 되도록
uit deze noemer.
분모에서 3을 빼내겠습니다
Dus dit is hetzelfde als de integraal van 1 over de
그러니까 식은
vierkantswortel van--laat me een 3 halen uit deze expressie.
∫√1/3(1-2x^2/3) 입니다
3 keer 1 min 2/3 x kwadraat.
∫√1/3(1-2x^2/3) 입니다
Ik deed niets bijzonders hier.
아직 별 거 안 했습니다
Ik verwerkt net de 3 van deze expressie,
단지 3을 빼냈을 뿐입니다
dat is alles wat ik deed.
현재까지는 말입니다
Maar het leuke is nu; deze expressie ziet er een
그러나 근사한 점은
hoop uit als die expressie.
이 식이 삼각함수 공식과 유사해졌다는 것입니다
In feite, als ik vervang door, als ik zeg dat dit ding hier,
만약 제가 바로 여기 있는
deze 2/3 x kwadraat, als ik het gelijk stel op sinus kwadraat theta,
(2/3x)²을 sin²θ과 같다고 두면
dan kan ik deze identiteit gebruiken
이 정리를 사용할 수 있습니다
Dus laten we dat doen.
바로 해봅시다
Laten we stellen 2/3 x kwadraat, laten we stellen dat dat gelijk is aan sinus
(2/3)x²이 sin²θ과 같다고 가정하고
kwadraat van theta.
(2/3)x²이 sin²θ과 같다고 가정하고
Dus als we de vierkantswortel van beide zijden van deze vergelijking nemen,
이 등식의 양변에 모두 루트를 취해주면
Ik krijg de vierkantswortel van 2 van de vierkantswortel van 3 keer x
(√2/√3)x가
gelijk aan de sinus van theta.
sinθ와 같다고 나옵니다
Als ik wil oplossen voor x, wat krijg ik dan?
x의 해를 구하면 무엇이 나올까요?
En, goed, we gaan dit moeten oplossen voor zowel
사실 x와 θ 모두 구해야 해서
x en voor theta, dus laten we dit doen met beide manieren.
둘 다 구해봅시다
Ten eerste, laten we oplossen voor theta.
먼저 θ를 구해볼까요?
Als we voor theta oplossen, krijg je dat theta gelijk is aan de
θ는 arcsin √2x/√3 와 같습니다
boogsinus, of de inverse sinus, van de vierkantswortel van 2
arcsin은 역사인함수와 같습니다
van de vierkantswortel van 3 x.
arcsin은 역사인함수와 같습니다
Dat is als gaat u oplossen voor theta.
θ의 해를 구했으니 x의 해를 구합시다
Nu, als u voor x gaat oplossen, kan u gewoon beide zijden vermenigvuldigen van
양변에 √2/√3의 역수를 곱해버리거나
deze vergelijking keer de inverse van deze en je krijgt x is gelijk
양변에 √2/√3의 역수를 곱해버리거나
aan-- delen van beide zijden van de vergelijking door dit of vermenigvuldig het
√2/√3로 나누면
door de inverse--is gelijk aan de vierkantswortel van 3 over de
x는 (√3/√2)×sinθ와 같습니다
vierkantswortel van 2 keer de sinus van theta.
x는 (√3/√2)×sinθ와 같습니다
En wij gingen dit vervangen door sinus kwadraat van
그리고 2x²/3을 sin²θ으로 치환하려고 했는데
Theta, maar we kunnen deze dx daar niet laten.
이 dx를 그냥 둘 수 없기 때문에 dθ로 바꿔줘야 합니다 dx/dθ는 얼마일까요?
Dus de afgeleide van x met betrekking tot theta is gelijk aan
dx/dθ는
vierkantswortel van 3 over de vierkantswortel van 2.
(√3/√2)×sinθ와 같습니다
Afgeleide van dit met betrekking tot theta is gewoon cosinus van
θ로 미분하면 cosθ가 되고
Theta, en als we dit willen schrijven in termen van dx, kunnen we
이것을 dx에 대해 쓰고 싶다면
schrijven dat dx gelijk is aan de vierkantswortel van 3 over de
dx가 (√3/√2)×cosθ dθ와 같다고 할 수 있습니다
vierkantswortel van 2 cosinus van theta d theta.
dx가 (√3/√2)×cosθ dθ와 같다고 할 수 있습니다
Nu zijn we klaar om te vervangen.
모든 준비가 끝났습니다
Dus we kunnen deze expressie hier herschrijven--Ik doe het
위의 이 표현을 다시 써보겠습니다
in deze roodachtige kleur--ik was dit al aan get gebruiken, laat me
위의 이 표현을 다시 써보겠습니다
het in de blauwe kleur doen.
위의 이 표현을 다시 써보겠습니다
We kunnen deze expressie hier nu herschrijven.
∫√1/3-2x² dx에서
Het is een onbepaald integraal van--dx is op de
dx를 분자로 올립시다
teller, juist?
dx를 분자로 올립시다
In plaats van het schrijven van dit 1 keer dx, kon ik
1×dx라고 쓰는 대신 그냥 분자에 dx를 쓰면 됩니다
gewoon een dx hier opschrijven
1×dx라고 쓰는 대신 그냥 분자에 dx를 쓰면 됩니다
Dat zou gewoon een dx kunnen zijn.
이렇게 dx가 분자에 있습니다
U vermenigvuldigd het gewoon met dx.
그냥 dx를 곱한 것입니다
Dus wat is dx?
그래서 dx가 뭐죠?
dx is dit gebeuren.
dx는  미리 구해놓았습니다
Ik doe het in het geel.
dx는  미리 구해놓았습니다
dx is dit hier.
바로 여기 있습니다
Het is dus de vierkantswortel van 3 over de vierkantswortel van
dx는 (√3/√2)×cosθ dθ와 같다고 적혀 있으니
2 cosinus theta d theta.
dx는 (√3/√2)×cosθ dθ와 같다고 적혀 있으니
Dat is wat dx was.
이게 dx 가 됩니다
Nu, de noemer in mijn vergelijking, ik heb het
이제 제 식의 분모에는
vierkantswortel van 3 keer--nu is het 1 min.
2x²/3이 sin²θ과 같으므로
Nu zei ik 2/3x kwadraat is gelijk aan het sinus kwadraat van theta.
√3(1-sin²θ)이 있습니다
93 00:04:47,64--> 00:04:49,75 Hoe kan ik dit vereenvoudigen?
√3(1-sin²θ)이 있습니다 그럼 이것을 어떻게 간단하게 만들까요?
Nou, wat is 1 min sinus kwadraat van theta?
1-sin²θ이 뭐죠?
Dat is cosinus kwadraat van theta.
cos²θ과 같으니
Dus dit ding hier is cosinus kwadraat van theta.
치환해서 써봅시다
Dus wordt mijn onbepaald integraal de vierkantswortel van 3
그래서 제 식은
over de vierkantswortel van 2 cosinus theta d theta, alles van
∫(√3/√2)cosθ/√3cos²θ dθ가 됐습니다
dat over de vierkantswortel van 3 keer de cosinus
∫(√3/√2)cosθ/√3cos²θ dθ가 됐습니다
kwadraat van theta.
∫(√3/√2)cosθ/√3cos²θ dθ가 됐습니다
Dit werd zojuist cosinus kwadraat van theta.
이것이 간단하게 cos²θ가 됐습니다
Dus laten we gewoon de vierkantswortel van dit onderste gedeelte nemen.
분모에 루트를 취해줍시다
Dus dit gaat gelijk zijn aan--ik doe een willekeurig
다시 임의로 색을 바꿔 적겠습니다
wijzigen van kleuren--vierkantswortel van 3 over de vierkantswortel van 2
분자에 (√3/√2)cosθ dθ 가 있고
cosinus van theta d theta, alles van dat over--wat is de
분모의 루트를 계산해주면
vierkantswortel van dit?
분모의 루트를 계산해주면
Het is gelijk aan de vierkantswortel van 3 keer de vierkantswortel
√3×cosθ 가 됩니다
van cosinus kwadraat, dus maal cosinus van theta.
√3×cosθ 가 됩니다
Nu, dit vergemakkelijkt de dingen een hoop.
매우 간단해졌습니다
Ik heb een cosinus van theta verdeeld door een cosinus van theta,
cosθ는 약분되어 1이 되고
deze annuleren elkaar, dus we krijgen gewoon 1, en dan heb ik een
cosθ는 약분되어 1이 되고
vierkantswortel van 3 hier gedeeld door een vierkantswortel van 3, dus die twee
√3도 마찬가지로 약분되기 때문에
jongens gaan elkaar annuleren, dus mijn integraal vereenvoudigt
결국 제 식은
mooi op 1 over de vierkantswortel van 2 d theta.
∫1/√2 dθ로 간단명료해졌습니다
Of nog beter, ik kon dit schrijven--dit is gewoon een constante
더 좋은 것은 1/√2이 그냥 상수라서
termijn, ik kon het nemen uit mijn integraal--het is gelijk aan 1 over de
1/√2을 인테그랄 밖으로 빼서
vierkantswortel van 2 keer mijn integraal van alleen d theta.
"1/√2 ∫ dθ로 만들 수 있다는 것입니다"
En dit is super eenvoudig.
그리고 이것은 매우 쉽습니다
Dit is gelijk aan 1 over de vierkantswortel van 2
이것은 (1/√2)θ + c와 같습니다
keer theta plus c.
이것은 (1/√2)θ + c와 같습니다
Plus een constante.
상수를 더하는 겁니다
Ik bedoel, je zou kunnen zeggen dat de integraal van dit is theta plus
이것을 적분한 값은 θ+c 인데
c en dan zou u de constante maal dit vermenigvuldigen, maar het zal
이것을 적분한 값은 θ+c 인데
nog steeds een willekeurige constante zijn.
c에 다른 상수를 곱해도 여전히 임의의 상수이기 때문입니다
Ik denk dat u weet hoe de primitieve van dit te nemen is.
아마 이제는 부정적분을 할 수 있을 것입니다
Maar zijn we klaar?
그럼 이제 끝인가요?
Nou, nee.
아닌 것 같습니다
We willen weten wat onze onbepaald integraal is in termen van x.
우린 x에 대해 부정적분을 해아합니다
We moeten dus nu de plaatsvervanger omkeren.
그러니 이번엔 거꾸로 치환해봅시다
Dus wat is theta?
θ는 무엇과 같습니까?
We bedachten dat hier. Theta is gelijk aan de boogsinus van de
아까 찾았듯이 θ는 arcsine(√2/√3)x  와 같습니다
vierkantswortel van 2 over de vierkantswortel van 3x.
아까 찾았듯이 θ는 arcsine(√2/√3)x  와 같습니다
Dus onze oorspronkelijke onbepaald integraal, dat alles van deze
그러므로 원래 하려고 했던 부정적분은
onnozelheid hier was, nu dat ik de plaatsvervangen omkeer voor theta of
x를 θ로 치환하고 다시 x로 치환하면서
ik zett x terug daar in, is het 1 is over de vierkantswortel
1/√2 θ가 되었고
van 2 keer theta.
1/√2 θ가 되었고
Theta is gewoon dit, is gewoon boogsinus van de vierkantswortel van 2
θ를 arcsine(√2/√3)x로 치환하면
over de vierkantswortel van 3x, en dan heb ik deze constante
뒤에 상수 c가 남습니다
hier, plus c.
뒤에 상수 c가 남습니다
Dus is dit hier de primitieve van
그리고 바로 이것이
1 over de vierkantswortel van 3 minus 2 x kwadraat.
1/√3-2x²을 부정적분한 것 입니다
Dus hopelijk vond u dat nuttig.
이 동영상이 많은 도움이 되었으면 좋겠습니다
Ik ga nog een paar meer video's doen waar wij door
앞으로 지금 한 것과 유사한
een bos van deze voorbeelden gaan, gewoon zodat u
예시들을 몇 개 더 올릴 계획입니다
vertrouwd wordt met hen.
그 동영상들을 통해 더 익숙해지길 바랍니다 커넥트 번역 봉사단 | 류한준
Similar videos:

Integrals: Trig Substitution 2
Khan Academy
310.1K views 554 likes 20 dislikes 14 Oct 200967% match


Simplifying radicals | Exponents, radicals, and scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.8M views 4K likes 201 dislikes 27 Jan 200762% match



Conic sections: Hyperbolas 2 | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
214.6K views 435 likes 12 dislikes 16 Jun 200961% match


Another u-subsitution example
Khan Academy
248K views 458 likes 14 dislikes 08 Feb 200961% match


Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
961.5K views 1.9K likes 50 dislikes 02 Nov 200961% match



Solid of Revolution (part 2)
Khan Academy
299.1K views 832 likes 29 dislikes 25 Apr 200861% match


Make it Real: Kingsman Umbrella Gun!
Hacksmith Industries
9.1M views 216.3K likes 3.3K dislikes 12 Sep 201760% match

Calculus: Derivatives 2 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 5.9K likes 202 dislikes 03 Oct 200760% match


Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
269.3K views 1.8K likes 55 dislikes 17 Jun 200860% match


Proof: d/dx(ln x) = 1/x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
382.7K views 1.1K likes 80 dislikes 27 Apr 200859% match



Function inverses example 3 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
268.6K views 197 likes 9 dislikes 16 Jul 201058% match



Product rule | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
820.5K views 3.1K likes 120 dislikes 03 Oct 200758% match

Triple integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
257.6K views 502 likes 9 dislikes 24 Aug 200858% match


Turn Boring Photo to Amazing In Just Second!
NIHIL Project
2.3K views 149 likes 0 dislikes 07 Nov 202057% match



Slope and Y-intercept Intuition
Khan Academy
340.3K views 373 likes 22 dislikes 08 Nov 200957% match



Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200857% match

L'Hôpital's rule example 2 | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
448.4K views 921 likes 17 dislikes 07 Jun 201057% match
169.3K views 0 likes 0 dislikes 07 Jun 202657% match




SWEET PETE'S FACTORY | We Are The Davises
We Are The Davises
336.6K views 1.8K likes 73 dislikes 02 Apr 201657% match


🚨 RESCATE 4x4 🚨 ❄️ ►►►NOS QUEDAMOS ATASCADOS◄◄◄
JimGonzax 4x4 Off Road Experience
14.9K views 377 likes 18 dislikes 31 Jan 202157% match





Cutting Metal with PLASMA!
Hacksmith Industries
1.2M views 29.5K likes 727 dislikes 19 Apr 201857% match


PALUDARIUM Rainforest Experience - REAL WATERFALL and Monumental Hardscape
Green Aqua
685.7K views 10K likes -1 dislikes 18 Dec 201957% match







【超小厨】3斤牛肚，全家“花式吃火锅”，红油辣汤涮毛肚，吃火锅减肥，头一回见！
ChefChao
397.9K views 5.5K likes 222 dislikes 07 Apr 202056% match


Osciloscopio Explicación - Curso de Reparación de Móviles
MovilOne Mobile repair
4.4K views 334 likes 8 dislikes 02 Nov 202056% match




Conic Sections: Intro to Circles
Khan Academy
430.6K views 1.9K likes 79 dislikes 15 Jun 200956% match


The Beautools ｜ Introduction of the charm of the facial equipment [Rocklean Premium]
Yoppy TV
6.1K views 241 likes 5 dislikes 14 Oct 202056% match


DID WE GET THE LAST UNICORN FRAPPUCCINO AT STARBUCKS? | We Are The Davises
We Are The Davises
3.6M views 24.5K likes 1.9K dislikes 21 Apr 201756% match


ABANDONED Farm Find | Extremely Moldy Boat | First Wash In 12 Years | Car Detailing Restoration!!
M.A.D. DETAILING
1.8M views 24.1K likes -1 dislikes 05 Nov 202056% match

WOW! $8000 Second Stimulus Check For A Family Of Four + Stimulus Package Update
The TEC Show
56.8K views 6.5K likes 201 dislikes 27 Dec 202056% match

ضاع عمرنا على صرف المال وهذا الجهاز العبقري موجود PMF 250 CES ..اتحداك لو ما عجبك
m3b3dina
1.6M views 69.1K likes -1 dislikes 21 Mar 201956% match


Settings Privacy About Contact Donate