systems of equations Khan Academy English Greek

systems of equationsYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 762.2K views 3.5K likes 264 dislikes 25 Nov 2006

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

Welcome to the presentation on systems of linear equations.

Καλωσορίσατε στην παρουσίαση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

So let's get started and see what it's all about.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν να δούμε περί τίνος πρόκειται

So let's say I had two equations now.

Ας υποθέσουμε τώρα οτι έχω δύο εξισώσεις.

The first equation let me write it as 9x minus

Η πρώτη εξίσωση ας είναι

4y equals minus 78.

9*x - 4y = -78.

And the second equation I will write as 4x plus

Και η δεύτερη εξίσωση που θα γράψω ειναι

y is equal to mine 18.

Now what we're going to do now is we're actually going to

Τώρα στην πραγματικότητα θα

use both equations to solve for x and y.

χρησιμοποιήσουμε και τις δύο εξισώσεις για να λύσουμε ως προς x και y.

We already know that if you have one equation, it has one

Γνωρίζουμε ήδη ότι εάν έχετε μία εξίσωση που έχει μόνο μία

variable, it is very easy to solve for that one variable.

μεταβλητή, είναι πολύ εύκολο να επιλυθεί ως προς αυτή τη μεταβλητή.

But now we have to equations.

Αλλά τώρα έχουμε δύο εξισώσεις.

You can almost view them as two constraints.

Μπορείτε σχεδόν να τις θεωρήσετε ως δύο περιορισμούς.

And we're going to solve for both variables.

Και θα πάμε να επιλύσουμε και για τις δύο μεταβλητές.

And you might be a little confused.

Και μπορεί να αναρωτηθείτε λίγο

How does that work?

Πώς λειτουργεί αυτό;

Is it just magic that two equations can solves

Είναι απλά μαγεία, που δύο εξισώσεις επιλύουν

for two variables?

τις δύο μεταβλητές;

Φυσικά δεν είναι

Because you can actually rearranged each of these

Επειδή μπορείτε στην πραγματικότητα να αναδιατάξετε καθεμία από αυτές

equations so that they look kind of in normal y

τις εξισώσεις ώστε να φαίνονται ως κανονικές εξισώσεις

equals mx plus b format.

της μορφής y = m*χ + b

And I'm not going to draw these actual two equations because I

Και δεν πρόκειται να ζωγραφίσω αυτές τις δύο εξισώσεις, επειδή

don't know what they look like, but if this was a coordinate

δεν ξέρω πως θα φαίνονται , αλλά αν αυτό ήταν ένα σύστημα συντεταγμένων

axis-- and I don't know what that first line actually does

-και δεν ξέρω στην πραγματικότητα πώς μοιάζει αυτή η πρώτη γραμμή

look like, we could do another model where we figured it out

θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα άλλο μοντέλο, όπου να το μάθουμε

--but lets just say for sake of argument, that first line all

αλλά λόγου χάρη ας πούμε για την πρώτη γραμμή όλα

the x's and y's that satisfy 9x minus 4y equals negative

τα x και y που ικανοποιούν την 9*x - 4y = -78

78, let's say it looks something like that.

μοιάζουν κάπως έτσι

And let's say all of the x's and y's that satisfy that

Και ας υποθέσουμε ότι όλα τα x και y που ικανοποιούν τη

second equation, 4x plus y equals negative 18, let's say

δεύτερη εξίσωση, 4* x+ y=-18, ας πούμε

that looks something like this.

πως μοιάζει με κάτι τέτοιο.

So, on the line is all of the x's and y's that satisfy this

Έτσι, στη γραμμή είναι όλα τα χ και y που ικανοποιούν αυτή

equation, and on the green line are all the x's and y's

την εξίσωση, και στην πράσινη γραμμή είναι όλα τα x και y

that satisfy this equation.

που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση.

But there's only one pair of x and y's that satisfy both

Αλλά υπάρχει ένα μόνο ζεύγος x και y που ικανοποιεί και τις δύο

equations, and you can guess where that is, that's

εξισώσεις και μπορείτε να μαντέψετε πού είναι:

right here right.

ακριβώς εδώ.

Whatever that point is-- I'll do it in pink for emphasis.

Όποια και αν είναι το σημείο (θα το κάνω με ροζ χρώμα για έμφαση)

Whatever this point is, notice it's on both lines.

Ανεξάρτητα ποιο είναι το σημείο αυτό, παρατηρήστε οτι ανήκει και στις δύο γραμμές.

So whatever x and y that is would be the solution to

Έτσι αυτά τα x και y θα ήταν η λύση για

this system of equations.

αυτό το σύστημα εξισώσεων.

So let's actually figure out how to do that.

Ας δούμε πώς το κάνουμε αυτό.

So what we want to do is eliminate a variable, because

Αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να εξαλείψουμε τη μια μεταβλητή, επειδή

if you can eliminate a variable then we can just solve for

άν μπορέσουμε να αποκλείσουμε μια μεταβλητή, τότε μπορούμε απλώς να επιλύσουμε ως προς

the one that's left over.

την άλλη που απομένει.

And the way to do that-- let's see, I want to eliminate, I

Και ο τρόπος για να γίνει αυτό--για να δούμε,

feel like eliminating this y, and I think you'll get

θέλω να εξαλείψω την y, και πιστεύω ότι θα αποκτήσετε

an intuition for how we can do that later on.

μια διαίσθηση για το πώς μπορεί να γίνει αυτό όσο προχωράμε.

And the way I'm going to do that is I'm going to make

Και ο τρόπος που θα το κάνω είναι θα μετατρέψω

it so that when I had this to this, they cancel out.

έτσι ώστε όταν προσθέσω αυτό σε αυτό, απαλείφονται.

Well, they don't cancel out right now, so I have to

Λοιπον, δεν απαλείφονται τώρα, έτσι πρέπει να

multiply this bottom equation by 4, and I think it'll be

πολλαπλασιάσω την κάτω εξίσωση επι 4, και πιστεύω ότι ειναι

obvious why I'm doing it.

προφανής ο λόγος που το κάνω.

So let's multiply this bottom equation by 4.

Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση αυτή επί 4.

And I get 16x plus 4y is equal to 40 plus 32 minus 72.

Και έχω 16*x + 4y= 40 + 32 - 72.

All I did is I multiplied both sides of the

Το μόνο που έκανα είναι να πολλαπλασιάσω και τις δύο πλευρές της

equation by 4, right?

εξίσωσης επί 4, σωστά;

And you have to multiply every term because

Και πρέπει να πολλαπλασιάστε κάθε όρο επειδή

it's the distributive property on both sides.

ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα στις δύο πλευρές.

Whatever you do to one side you have to do to the other.

Ό,τι κάνετε στη μία πλευρά πρέπει να το κάνετε και στην άλλη.

Let me rewrite top equation again.

Ας ξαναγράψω την επάνω εξίσωση

And I'll write in the same color so we can keep

Και θα τη γράψω με το ίδιο χρώμα ώστε να μπορούμε να

track of things.

παρακολουθούμε τα πράγματα.

9x minus 4y is equal to minus 78.

OK, well now, if we were to add these two equations, when you

OK, και τώρα, για να προσθέσετε αυτές τις δύο εξισώσεις, οταν προσθέτετε εξισώσεις,

add equations, you just add the left side and you

πρώτα προσθέσετε στην αριστερή πλευρά και

add the right side.

μετά προσθέστε τη δεξιά πλευρά.

Well when you add, you have 16x plus 9x.

Όταν προσθέτετε, έχετε 16<i>x + 9</i> x.

Well that equals 25x.

που ισούται με 25* x.

4y minus 4, that just equals 0.

4<i>y -4</i>y που κάνει 0.

So that's plus 0 equals, and then we have minus 72 minus 78.

και στη συνέχεια έχουμε -72 -78.

So, let's see that's minus 150, minus 150, right?

=-150, σωστά;

Just adding them all together.

Απλά τα προσθέτουμε.

So we have 25x equals 150.

Έτσι έχουμε 25* x = - 150.

Well, we could just divide both sides by 25 or multiply both

θα μπορούσατε να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές δια 25 ή να πολλαπλασιάσετε και τις δύο

sides by 1/25, it's the same thing.

πλευρές επί 1/25, είναι το ίδιο πράγμα.

And you get x equals-- that's a negative 150

Και θα έχετε x = -150 (σ.τ.μ.: τώρα το είδε οτι είναι αρνητικός)

--x equals minus 6.

There we solved the x-coordinate.

Και λύσαμε τη x-συντεταγμένη.

Now to solve the y-coordinate we can just use either one of

Τώρα για να λύσουμε την y θα χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε

these equations up at top.

από τις εξισώσεις πάνω

So let's use this one, it seems a little bit,

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή, φαίνεται λίγο,

marginally simpler.

οριακά απλούστερη.

So we just substitute the x back in there and we get

Έτσι, απλά αντικαταθιστούμε το x εκεί και έχουμε

4 time minus 6 plus y is equal to minus 18.

4 *(- 6)+ y =-18.

Go up here. 4 times minus 6 we get minus 24 plus y is equal to minus 18.

έχουμε -24+ y =-18.

And then get y is equal to 24 minus 18.

άρα y = 24 -18.

So y is equal to 6.

So these two lines or these two equations, you could even say,

Έτσι οι δύο γραμμές , οι δύο εξισώσεις,

intersect at the point x is m inus six and y is plus 6.

τέμνονται στο σημείο όπου x =-6 και y= 6.

So they actually intersect someplace around here instead.

Έτσι στην πραγματικότητα τέμνονται κάπου γύρω εδώ

I drew these, the line probably look something more like that.

Οι γραμμές πιθανότερο να είναι κάπως έτσι

But that's pretty cool, no?

Φοβερό όμως ε;

We actually solved for two variables using two equations.

Λύσαμε για δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις δύο εξισώσεις.

Let's see how much time I have.

Ας δούμε πόσο χρόνο έχω.

I think we have enough time to do another problem.

Πιστεύω ότι έχουμε αρκετό χρόνο για να κάνουμε ακόμη ένα πρόβλημα.

So let's say I had the points-- and I'm going to write them in

Ας πούμε είχα τα σημεία, σε διαφορετικά χρώματα πάλι

two different colors again --minus 7x minus 4y equals 9,

-7<i>x - 4</i>y = 9,

and then the second equation is going to be x plus

και η δεύτερη εξίσωση

2y is equal to 3.

Now if I were doing this as fast as possible, I'd probably

Τώρα αν ήθελα να το λύσω το ταχύτερο δυνατό, θα ήθελα ίσως

multiply this equation times 7 and it would automatically

να πολλαπλασιάσω την εξίσωση αυτή επί 7 και αυτόματα θα

απαλείφονταν.

But that's easy way.

Αλλά αυτό είναι ο εύκολος τρόπος.

I'm going to show you that sometimes you might have to

Θα σας δείξω ότι μερικές φορές ίσως χρειαστεί να

multiply both equations-- actually, not in this case.

πολλαπλασιάσετε και τις δύο εξισώσεις, όχι όμως σε αυτήν την περίπτωση.

Actually let's just do it the fast way real fast.

Ας το κάνουμε καλύτερα με το γρήγορο τρόπο, πολύ γρήγορα

So let's multiply this bottom equation by 7.

Ας πολλαπλασιάσουμε την κάτω εξίσωση επι 7.

And the whole reason why I want to the, multiply it with 7,

Και ο λόγος γιατί θέλω να την πολλαπλασιάσω το με 7,

because I want this to cancel out with this.

είναι γιατί θέλω να απαλείψω αυτήν με αυτήν.

If you multiply it by 7 you get 7x plus 14y is equal to 21.

Εάν την πολλαπλασιάσουμε επί 7 έχουμε 7<i>x+ 14</i>y= 21.

Let's write that first equation down again.

Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση

Minus 7x minus 4y is equal to 9.

-7<i>x -4</i>y = 9.

Now we just add. This is a positive 7x, it just always looks like a negative.

Τώρα απλά προσθέτουμε.

OK, so that's 0.

OK, οπότε αυτό είναι 0.

14 minus 4y plus 10y is equal to 30.

y is equal to 3.

Now we just substitute back into either equation,

Τώρα ας αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε εξίσωση από τις προηγούμενες,

lets do that one.

ας το κάνουμε

x plus 2 times y, 2 times 3.

x + 2 <i>y = χ + 2</i>3

x plus 6 equals 3.

We get x equals negative 3.

Έχουμε x =-3.

That one was super easy.

Αυτό ήταν σούπερ εύκολο.

Το σημείο τομής.

Hope I didn't do it to fast. Well, you can pause it and watch it again if you have.

Ελπίζω ότι δεν το έκανα πολύ γρήγορα.

OK, so these two lines intersect at the point

OK, έτσι οι δύο αυτές γραμμές τέμνονται στο σημείο

negative 3 comma 3.

Let's do one more.

Ας κάνουμε μία ακόμη.

Hope this one's harder.

Ελπίζω αυτό να είναι πιο δύσκολο.

I think it will.

Πιστεύω ότι θα είναι.

OK, negative 3x minus 9y is equal to 66.

OK, η -3<i>x -9</i>y = 66.

We have minus 7x plus 4y is equal to minus 71.

Έχουμε -7* x + 4y =- 71.

So here it's not obvious.

Εδώ δεν είναι προφανές.

What we have to do is, let's say we want to cancel

Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να απαλείψετε

out the y's first.

τα y πρώτα.

What we do is we try to make both of them equal to the least

Αυτό που κάνουμε είναι να προσπαθήσουμε να κάνουμε και τα δύο να ισούται με το ελάχιστο

common multiple of 9 and 4.

κοινό πολλαπλάσιο των 9 και 4.

So, if we multiply the top equation by 4 we get--

Έτσι, αν πολλαπλασιάσει την εξίσωση πάνω επί 4 έχουμε

I'll do it right here.

Θα το κάνω εδώ.

Let's multiply it by 4.

Ας πολλαπλασιάσουμε επί 4.

We'll get minus 12x minus 36y is equal to 4 times

Θα έχουμε

240 plus 24 is 264.

-12<i>x - 36</i>y = 264.

Right, I hope that's right.

ελπίζω ότι αυτό είναι σωστό.

We multiply the second equation by 9.

Πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη εξίσωση επί 9.

So it's minus 63x plus 36y is equal to, let's see, 639. Big numbers. 639.

Έτσι είναι-63<i>x+ 36</i>y = -639.

OK, now we add the two equations.

Εντάξει, τώρα θα προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις.

Minus 12 minus 63 thats minus 75x-- these cancel out --equals

-75* x=(αυτές απαλείφονται)( 264-639)

264, let's see what's 639 minus 264.

See I do this in real time.

Δείτε το κάνω σε πραγματικό χρόνο.

I don't use some kind of solution manual or something.

Δεν χρησιμοποιώ κάποιου είδους λύση εγχειρίδιο ή κάτι τέτοιο.

13 και 5, 70.

I don't know if I'm right, but we'll see.

Δεν ξέρω εάν έχω δίκιο, αλλά θα δούμε.

Since it's actually the negative 639, this is minus

Δεδομένου ότι είναι στην πραγματικότητα το 639 είναι αρνητικό 639, αυτό είναι μείον

375, and I know that seventy five goes into 300 4

375, και γνωρίζω ότι το 75 χωράει στο 300 4 φορές

times, so x is equal to 5.

75 times 5 is 375.

We just divided both sides by 75.

Εμείς απλώς διαιρούμε και τις δύο πλευρές δια 75.

So if x is 5 we just substitute it back into-- let's

Έτσι αν x= 5 εμείς απλώς αντικαθιστούμε και πάλι

use this equation.

ας χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξίσωση.

So we get minus 3 times 5 minus 9y is equal to 66.

Έτσι θα έχουμε -3 <i>5 -9</i>y = 66.

We get minus 15 minus 9y equals 66.

Έχουμε -15 -9*y= 66.

Minus 9y is equal to 81.

And then we get y is equal to minus 9.

So the answer is 5 comma minus 9.

Έτσι, η απάντηση είναι (5,-9)

I think you're ready to do some systems of equations now.

Κατά τη γνώμη μου, είστε έτοιμοι να λύσετε κάποια συστήματα εξισώσεων.

Να περνάτε καλά.

Similar videos:

Conic Sections: Intro to Circles
Khan Academy
430.6K views 1.9K likes 79 dislikes 15 Jun 200968% match

Conic sections: Hyperbolas 2 | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
214.6K views 435 likes 12 dislikes 16 Jun 200967% match

Introduction to logarithm properties | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.4M views 4.7K likes 141 dislikes 15 Nov 200767% match

CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200866% match

Basic subtraction | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 1.1K likes 213 dislikes 10 Jul 200865% match

Solid of Revolution (part 4)
Khan Academy
182K views 505 likes 11 dislikes 27 Apr 200865% match

Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201065% match

Equation of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
455K views 618 likes 44 dislikes 02 Jul 200864% match

Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200964% match

Identifying an ellipse from equation | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
211.6K views 551 likes 15 dislikes 16 Jun 200964% match

Quadratic inequalities (visual explanation) | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
337.9K views 1.1K likes 54 dislikes 06 Jun 200764% match

Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200764% match

Quadratic inequalities | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
400.4K views 1.7K likes 86 dislikes 05 Mar 200764% match

Calculus: Derivatives 2 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 5.9K likes 202 dislikes 03 Oct 200763% match

Solid of Revolution (part 2)
Khan Academy
299.1K views 832 likes 29 dislikes 25 Apr 200863% match

How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201062% match

Partial fraction expansion 1 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.9K likes 77 dislikes 09 Jul 200962% match

Simplifying radicals | Exponents, radicals, and scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.8M views 4K likes 201 dislikes 27 Jan 200761% match

Slope and Y-intercept Intuition
Khan Academy
340.3K views 373 likes 22 dislikes 08 Nov 200961% match

(2^ln x)/x Antiderivative Example
Khan Academy
208.2K views 262 likes 10 dislikes 22 Oct 200961% match

Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200861% match

The beauty of algebra | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
3.7M views 11.7K likes 790 dislikes 09 Feb 201261% match

Complex Numbers (part 1)
Khan Academy
950.7K views 3.3K likes 147 dislikes 22 Apr 200861% match

Calculus: Derivatives 1 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 16.6K likes 626 dislikes 03 Oct 200761% match

Taking percentages | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
558.2K views 1.1K likes 67 dislikes 11 Apr 200761% match

Function inverse example 1 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
682.6K views 564 likes 38 dislikes 17 Jul 201061% match

Differential equation introduction | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
2.1M views 10.7K likes 374 dislikes 17 Sep 201460% match

L'Hôpital's rule example 1 | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
688.6K views 2K likes 43 dislikes 07 Jun 201060% match

Function inverses example 3 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
268.6K views 197 likes 9 dislikes 16 Jul 201060% match

Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200660% match

Settings Privacy About Contact Donate