Imaginary Numbers Are Real [Part 10: Complex Functions] Welch Labs English Russian

Imaginary Numbers Are Real [Part 10: Complex Functions]YouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 493.6K views 16.7K likes 94 dislikes 03 Jun 2016 Show Contributors 7

Welch Labs 876K subscribers N/A YouTube↗

Contributed subtitles

Russian Denis Khakimov

Turkish E

Portuguese (Brazil) Calvin Suzuki

Chinese (Taiwan) 阿諾桑

Spanish (Latin America) Carlos Daniel Trejos Angulo

Franco Selleski

Click to Play Video

So what is this?

Так что это такое?

We solve this shape back in part one and proceeded to not talk about it for like ten episodes

Мы объяснили эту фигуру в первой части и не говорили о ней до 10 эпизода.

And at this point i really wouldn't blame you if you thought this was some science-fiction designed to get you excited about doing boring algebra problems,

И в тот момент я действительно не обвинил бы вас, если бы вы подумали, что это какая-то научная-фантастика, разработанная для того, чтобы взволновать вас по поводу скучных алгебраических проблем,

But before we chalk this up to unnecessary special effects, let's remember where the shape came from.

но перед тем, как мы запишем это в бесполезные спецэффекты, позвольте напомнить, откуда взялась эта фигура.

We began our conversation in part one with an equation that appeared to have no solution: x^2+1=0.

Мы начали наш разговор в первой части с уравнения, которое, казалось, не имеет решения: x^2+1=0.

And after all the work we've done so far you can probably see how to find the answer algebraically:

И после всей той работы, что мы провели до сего момента, вы, возможно, видите алгебраический способ найти решение:

subtract 1 from both sides of the equation and take the square root resulting in x equals plus or minus i, done.

вычесть 1 из обоих частей уравнения и взять квадратный корень от x, равный плюс или минус i, готово.

So that's cool, but to really make sense of out shape from part one we need to dig a little deeper and talk about functions of complex variables.

Так что это круто, но чтобы действительно понять суть фигуры из первой части, нам нужно копнуть немного глубже и поговорить о функциях комплексных переменных.

The kinds of functions most of us are used to the functions of real numbers have inputs and outputs that can be visualized using a single dimension.

Типы функций, которые большинство из нас привыкло считать функциями действительных чисел, имеют входы и выходы, которые могут быть визуализированы с использованием одного измерения.

This means all our x values that are in a single number line and so do our y values

Это означает, что все значения x находятся на одной числовой прямой и то же касается значений y.

it seems pretty reasonable then that if we want to figure out how x and y are related

Кажется вполне разумным, что если мы захотим узнать, как связаны x и y,

we should put our x number line facing one way on a piece of paper and put our y number line on the same piece of paper just facing the other way.

мы должны поместить x-прямую в одном направлении на листе бумаги, а затем, расположить y-прямую на том же листе бумаги, но направленную в другую сторону.

This form a two-dimensional grid known as the Cartesian Coordinate System

Эта форма двумерной сетки, известная как декартова (прямоугольная) система координат,

apparently invented by Rene Descarte in the 16th century after watching flies crawl around.

по-видимому придумана Рене Декартом в 16 веке, после наблюдения за ползающими рядом насекомыми.

The Cartesian Coordinate System is a super powerful tool for understanding the relationship between two variables. The Cartesian Coordinate System is powerful because it allows us to take abstract ideas like functions and turn them into something our brains can grasp much more intuitively - shapes

Декартова система координат - супер мощный инструмент для понимания отношений меж двух переменных. Декартова система координат является мощной потому, что позволяет нам взять абстрактные идеи, вроде функций, и обратить их во что-то, что наш мозг способен понять намного более интуитивно - фигуры.

By giving each point on the plots very own coordinates Descarte was able to bring together the two largest areas of mathematics at the time - algebra and geometry.

Давая каждой точке на графике свои координаты, Декарт был способен свести воедино две крупнейшие области математики в то время - алгебру и геометрию.

This greatly aided early efforts at classifying functions by Newton and others

Этому сильно способствовали ранние усилия в классификации функций от Ньютона и других (математиков),

and today the Cartesian Coordinate System shows up everywhere helping us do all kinds of things like spot trends in data.

и сегодня, декартова система координат повсеместно помогает нам делать разные полезные вещи, например, выявлять тенденции в данных.

So that's all fun and wonderful but the Cartesian Coordinate System does come with a disclaimer: it only works in two dimensions.

Так что это всё весело и чудесно, однако декартова система координат идёт с небольшой оговоркой: она работает только в двух измерениях.

This limitation becomes a real problem when we start to think about functions of complex variables.

Это ограничение становится реальной проблемой, когда мы начинаем думать о функциях комплексных переменных.

These functions taken complex numbers for their inputs and for the most part also output complex numbers.

Эти функции получают комплексные числа на входе, и в большинстве случаев, также возвращают комплексные числа.

This means the numbers we put in and get out of our function and no longer fit on number lines

Это значит, что числам, которые мы включаем и получаем из нашей функции, больше нет места на числовой прямой,

we need two complex planes to keep track of our numbers: one for our input and one for our output.

поэтому нам нужно две комплексных плоскости, чтобы следить за числами: одна для входных значений, другая для выходных .

This raises an important question if when visualizing these function but we're really interested in is the connection between the input and output.

Это поднимает важный вопрос, есть ли при визуализации этих функций, связь между входом и выходом?

How do we visualize what's happening on both planes simultaneously?

Как нам отобразить то, что происходит на обоих плоскостях одновременно?

We could try to fit our input and output planes together somehow as we did with our number lines for real valued functions.

Мы могли бы попробовать вписать нашу входную и выходную плоскости вместе, так же, как мы сделали с числовыми прямыми для функций действительных переменных.

But we quickly run into a pretty serious issue. As you likely know the universe we live in has three spatial dimensions, so there's no way to fit the four spatial dimensions we needed to a single structure that our brains can comprehend, we simply run out of dimensions.

Но мы быстро столкнулись с довольно серьёзной проблемой. Как вы, вероятно, знаете, мы живём во вселенной, которая имеет 3 пространственных измерения, поэтому не существует способа вписать 4 пространственных измерения, которые нам необходимы в одну структуру, которую сможет постичь наш мозг.

Fortunately there are some very clever ways to see the relationship between two complex variables,

К счастью, существует очень грамотный способ увидеть взаимоотношения между нашими двумя комплексными переменными,

but before we can get to these we need to think about the mathematics of complex functions.

но сначала, до того, как мы доберёмся до этого, нам нужно подумать о математике комплексных функций.

Even though using separate planes for our input and output is not a perfect solution,

Несмотря на то, что использование разделённых плоскостей для входа и выхода - не идеальное решение,

this approach can still help get us started.

этот подход всё ещё может помочь нам начать.

Let's try it out with our original function f(x)=x^2+1.

Давайте попробуем его с нашей исходной функцией f(x)=x^2+1.

Before we begin let's make a quick variable change to make things easier down the road

Прежде чем мы начнём, давайте заменим переменную, чтобы облегчить дальнейшую работу.

we'll change the name of our input variable from x to z and call our output variable w.

мы изменим имя входной переменной с x на z и назовём выходную переменную w.

Since z and w each have a real and imaginary part,

Поскольку z и w имеют реальную и мнимую части,

let's go one step further and give these parts names.

давайте сделаем ещё один шаг вперёд и дадим этим частям свои имена.

We'll let z=x+iy, so x represents the real part of z and y represents the imaginary part.

Пусть z=x+iy, где x - действительная часть z, а y - мнимая часть.

We'll also let w=u+iv.

Также, пусть w=u+iv.

Just as we can use tables to keep track of our inputs and outputs for real valued functions we can also use tables to keep track of our inputs and outputs for complex functions.

Также, как мы могли с помощью таблиц следить за нашими входами и выходами функций действительных чисел, мы можем следить за входами и выходами функций комплексных чисел.

However we now need four columns to keep track of our four variables: x, y, u and v.

Однако теперь нам нужно 4 столбика для отслеживания наших переменных: x, y, u и v.

We can now experiment with our function f(x)=z^2+1. If we plug in a complex number to our function for example z=1+i, we can do a little algebra and obtain our result: w=1+2i. Planning our inputs and outputs we see that the point 1+i on our input plane was pushed or mapped by our function to 1+2i in our output plane.

Теперь мы можем экспериментировать с нашей функцией f(x)=z^2+1. Если мы включим комплексное число в нашу функцию, для примера z=1+i, мы сможем провести расчёты и получить результат: w=1+2i. Планируя наши входы и выходы, мы видим, что точка 1+i на входной плоскости была выдавлена или нанесена функцией на выходную плоскость, как 1+2i.

Let's plug in a fet more points here and see if we can find a pattern.

Давайте подключим ещё несколько точек и посмотрим, сможем ли мы найти шаблон.

If we test points along a straight line in our input space

Если мы проверим точки вдоль прямой линии на нашем пространстве входов,

we see that in our output space are straight line is transformed into a curved line, interesting.

мы увидим, что в нашем пространстве выходов, прямая линия трансформировалась в кривую. Хм, интересно.

As you can imagine plug in points like this can get pretty tedious.

Как вы можете представить, подключение точек подобным образом, может быть довольно утомительным.

To speed things up let's let the computer do it for us and instead of having our computer just map certain points, let's have it map all the points.

Чтобы ускорить процесс, давайте позволим компьютеру сделать это за нас, вместо того, чтобы наш компьютер просто отображал определённые точки, давайте разметим все точки.

We'll take advantage of the fact that the image you're seeing is just a collection of pixels that happen to be arranged on a grid.

Мы воспользуемся тем фактом, что картина, которую вы видите, это просто скопление пикселей, которым посчастливилось быть организованными в сетку.

We'll use some code written in the programming language Python to move every single pixel in our input space to its proper location in the output space.

Мы используем код, написанный на языке программирования Python, чтобы сдвинуть каждый пиксель в нашем пространстве входов на положенное ему место в пространстве выходов.

To make this work we'll assign each pixel in our input video a complex number that correspongs to its location on the complex plane.

Чтобы сделать это, мы назначим каждому пикселю нашего видео комплексное число, которое соответствует его местоположению на комплексной плоскости.

We can then let our code take care of the tedious work of moving each pixel to its new location ad dictated by our function z^2+1.

Теперь мы можем позволить нашему коду позаботиться о скучной работе по перемещению каждого пикселя на его новое местоположение, как продиктовано нашей функцией z^2+1.

Our code will move points exactly as we did by hand before.

Наш код переместит точки в точности так, как мы делали это прежде вручную.

If we have a blue pixel at the 1+i location on our input graph

Если бы мы имели синий пиксель в положении 1+i на нашем графике ввода,

then this blue pixel will be moved to the 1+2i location on our output graph, because (1+x)=(1+2i).

то этот синий пиксель переместился бы в положение 1+2i на нашем графике вывода, т.к. f(1+i)=(1+2i).

We saw before that our function warped a straight horizontal line into a curvy one,

Мы прежде видели, что наша функция искажает прямую горизонтальную линию в кривую,

so it should have some interesting effects on our video.

так что это должно отразиться на нашем видео интересными эффектами.

We'll include some reference markers on top of our input and output planes to keep track of our numbers,

Мы включим несколько опорных меток поверх наших плоскостей ввода и вывода, чтобы отслеживать наши числа,

but we won't transform these pixels.

но мы не будем изменять эти пиксели.

All right, ready?

Хорошо, готовы?

Let's start by drawing some simple lines.

Давайте начнём с рисования простейшей прямой.

A horizontal line along the positive x-axis turns out to be somethins pretty similar in our output space.

Горизонтальная прямая линия вдоль положительной оси X, превращается во что-то сильно похожее на нашем пространстве выходов.

But what about a line along the positive imaginary axis?

Но что насчёт линии, направленной вдоль положительной мнимой оси?

This line appears to have been rotated. As we add more lines we begin to see a pattern.

Похоже, что эта линия была повёрнута. Как только мы добавим больше линий, мы начнём видеть шаблон.

Our family of straight lines is turned into a family of curved lines. Cool! Right?

Наше семейство прямых линий превращается в семейство кривых. Круто! Не правда ли?

So we found one pattern but how is this pattern explained by our function z^2+1?

Итак, мы нашли один шаблон, но как этот шаблон объясняется нашей функцией z^2+1?

And more importantly, how does this fir with everything else we've learned about complex numbers?

И что более важно, как это вписывается во всё то, что мы уже узнали о комплексных числах?

What else would be interesting to draw in our input space to test our mapping?

Что ещё было бы интересно нарисовать в пространстве входов, чтобы проверить наше преобразование?

What shape would you draw to learn more about what our function is doing?

Какую фигуру вы бы нарисовали, чтобы лучше понять, что делает наша функция?

Next time more shapes.

В следующий раз будет больше фигур. :)

Thanks for watching!

Спасибо за просмотр!

Similar videos:

Imaginary Numbers Are Real [Part 12: Riemann's Solution]
Welch Labs
394.3K views 10K likes 55 dislikes 01 Jul 2016100% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 11: Wandering in 4 Dimensions]
Welch Labs
640.6K views 15.8K likes 95 dislikes 17 Jun 201683% match

Multiply Complex Numbers and Simplify Results into Standard Form
Middlesex Math
217 views 0 likes 0 dislikes 14 Jun 201380% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 7: Complex Multiplication]
Welch Labs
692.5K views 16.4K likes 127 dislikes 09 Oct 201571% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 6: The Complex Plane]
Welch Labs
849.5K views 20.8K likes 179 dislikes 02 Oct 201571% match

Complex (imaginary) Numbers Part 1
ProfRobBob
97.5K views 687 likes 19 dislikes 20 Sep 201167% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 13: Riemann Surfaces]
Welch Labs
1.1M views 40.1K likes 283 dislikes 03 Sep 201660% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction]
Welch Labs
6.2M views 130.6K likes 4.1K dislikes 28 Aug 201557% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 5: Numbers are Two Dimensional]
Welch Labs
953.9K views 24.4K likes 210 dislikes 25 Sep 201539% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 9: Closure]
Welch Labs
542.6K views 18.2K likes 126 dislikes 06 Nov 201537% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 8: Math Wizardry]
Welch Labs
581.3K views 14.3K likes 86 dislikes 23 Oct 201535% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 4: Bombelli's Solution]
Welch Labs
991.8K views 21.2K likes 312 dislikes 18 Sep 201533% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 3: Cardan's Problem]
Welch Labs
1.2M views 25.9K likes 336 dislikes 11 Sep 201531% match

Imaginary Numbers Are Real [Part 2: A Little History]
Welch Labs
2M views 36.6K likes 661 dislikes 04 Sep 201529% match

Settings Privacy About Contact Donate