The Riemann HypothesisYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  551.1K views 10.2K likes 108 dislikes   17 Jan 2014
singingbanana 228K subscribers United Kingdom YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Contributed subtitles
Spanish B. Bel
Dutch Angela Flierman
Click to Play Video Click to Play Video
hello everyone a lot of people been
Hallo allemaal!
asking me to explain one of the great
Veel mensen hebben me gevraagd
unsolved problems in mathematics is called the Riemann hypothesis now the
om één van de grootste onopgeloste problemen in de wiskunde uit te leggen. Het heet de Riemann Hypothese.
fact that a lot of people have been
Het feit dat veel mensen me hebben gevraagd
asking me to explain this tells me two
dit uit te leggen, zegt me twee dingen.
things first my life is weird and - that
Ten eerste, ik heb een raar leven.
you're a bunch of mercenaries because
En ten tweede, dat jullie een stelletje gemeneriken zijn,
you've probably heard that the Riemann
want je hebt waarschijnlijk gehoord
hypothesis is one of those
dat de Riemann Hypothese
million-dollar problems that if you
één van die miljoen dollar problemen is--
solve it you win 1 million dollars now
dat als je hem oplost, je één miljoen dollars wint.
it is one of the great unsolved problems in mathematics it was number 8 on David
Welnu, dit is één van de grootste onopgeloste problemen in de wiskunde. Het was nummer acht op David Hilberts lijstje
Hilbert's list of challenges to 20 century mathematicians it was number one
van uitdagingen aan 20e eeuwse wiskundigen.
on a similar list of challenges to 21st
Het was nummer één op een vergelijkbare lijst
century mathematicians and it is one of
van uitdagingen aan 21e eeuwse wiskundigen.
these clay Institute million-dollar prize problems if you've heard of it at
en het is één van de miljoen dollar prijs problemen van het Clay Institute.
all you may have heard that it's
Als je er überhaupt van gehoord hebt,
something to do with prime numbers but
heb je misschien gehoord dat het iets te maken heeft met priemgetallen,
you don't know exactly one so I'm going
maar je weet niet precies wat.
to attempt to explain it to you although
Dus ik ga proberen het je uit te leggen,
it's not going to be easy they don't
hoewel dat niet makkelijk zal zijn!
give away million-dollar prizes for school maths but if you want it the two long did not watch version is the prime
Ze geven geen miljoen dollar prijzen weg voor school-sommetjes. Maar als je het wilt, de 'te lang/niet bekeken' versie is
number theorem the prime number theorem
De Priemgetallen Stelling.
approximates how many primes there are
De Priemgetallen Stelling geeft bij benadering aan hoeveel priemgetallen er zijn
less than a given value X now it is an
kleiner dan een bepaalde waarde, x.
approximation it's not the true value
Dit is een benadering--
there is going to be a difference from
niet de werkelijke waarde. Er zal een verschil zijn met de werkelijke waarde,
the true value and error
een foutmarge.
now the Riemann hypothesis will tell you
De Riemann Hypothese vertelt je
how big that error term is if you want a
hoe groot die foutmarge is.
little bit more information at the error
Als je nog wat meer informatie wilt,
term that we're looking for is related
de foutmarge die we zoeken
to a function called the Riemann zeta
is gerelateerd aan een functie, genaamd
function and particularly when that function is equal to zero so the liman
de Riemann zeta functie, en in het bijzonder wanneer die functie gelijk is aan nul.
hypothesis is the zeroes of the riemann
Dus de Riemann Hypothese is
zeta function all lie on the line 1/2
dat de nullen van de Riemann zeta functie allemaal op de lijn
plus I T so these are complex numbers
een half plus i maal t liggen, Dus dit zijn complexe getallen,
but with real part equal to 1/2 now to
maar het reële deel gelijk aan een half.
explain this hypothesis I'm going to go
Om deze hypothese uit te leggen,
into the prime number theorem in a
zal ik in iets meer detail ingaan
little bit more detail I'm going to tell
op de Priemgetallen Stelling,
you what the Riemann zeta function
zal ik je vertellen wat de Riemann zeta functie is,
is how it's related to primes why the
hoe die gerelateerd is aan priemgetallen,
zeroes are important and if I have time
waarom de nullen belangrijk zijn,
I will prove that black equals white and
en als ik tijd heb, zal ik bewijzen dat zwart gelijk is aan wit,
catechol stock so let's start with the
en dat kat gelijk is aan hond.
prime number theorem the fact that the
Dus laten we beginnen met de Priemgetallen Stelling.
thin was first thought off by Gauss at
De Priemgetallen Stelling werd als eerste bedacht door Gauss
the end of the 18th century when he was only 15 years old
aan het einde van de 18e eeuw, toen hij nog maar 15 jaar oud was.
you think he busy texting and hanging
Je zou denken dat hij bezig was met SMS-en,
around the outside of shops but no he's
en rondhangen op het winkelcentrum,
busy doing the prime number theorem now
maar nee, hij was bezig met de Priemgetallen Stelling.
if we call the number of primes less than X we call that PI of X then the
Als we het aantal priemgetallen kleiner dan x,
prime number theorem says that PI of X
als we die pi van x noemen, dan zegt de Priemgetallen Stelling dat
divided by x over log X tends to 1 as X
pi van x, gedeeld door x, gedeeld door log(x),
tends to infinity so some people say
richting één gaat, als x richting oneindig gaat.
that PI VEX twiddles x over log X you can think of that as PI
Sommige mensen zeggen dat pi van x om x gedeeld door log(x) 'kronkelt'. [~]
of X the prime counting function is
Je kunt het zien als pi van x, de priemgetallen tel-functie,
approximately x over log X so we do an
die bij benadering x gedeeld door log(x) is.
example of that if we say X is 100 then
Als we daar een voorbeeld van doen, als we zeggen dat x 100 is,
the number of primes less than 100 there
dan is het aantal priemgetallen kleiner dan 100,
are 25 of them but our approximation x
dat zijn er 25. Maar onze benadering,
over log X gives you 22 which is not bad
x gedeeld door log (x), geeft je 22,
really for an approximation in fact the
dat is echt niet slecht, voor een benadering.
error gets proportionately smaller the
In feite wordt de foutmarge proportioneel kleiner
larger the numbers are so if I use X as
naar mate de getallen groter worden.
a billion then the number of primes less
Dus als ik x op een biljoen zet, dan is het aantal priemgetallen
than a billion is something like 50
kleiner dan een biljoen
million and our approximation x over log
iets in de orde van 50 miljoen. En onze benadering,
X gives me 48 million it's about two and
x gedeeld door log (x) geeft me 48 miljoen.
a half million off from the true answer
dat is ongeveer 2 1/2 miljoen verwijdert
but proportionally it's a smaller error
van het werkelijke antwoord. Maar proportioneel gezien is de foutmarge kleiner.
forty years later delish laying Gauss
Veertig jaar later bedachten Dirichlet en Gauss
came up with an even better
een nog betere benadering
approximation for pi X they said that PI
voor pi van x.
of X twiddles this integral between 2
Ze zeiden dat pi van x 'kronkelt' [~] om dit integraal
and X of 1 over log T DT it's called a
tussen 2 en x van 1 over log (t) dt.
logarithmic integral and it is an even
Dit wordt het logaritmische integraal genoemd,
better approximation so for example if I
en dit is een veel betere benadering.
had X was a billion again then the
Dus bijvoorbeeld, als ik x weer als biljoen neem,
logarithmic integral actually gives me
dan geeft het logaritmische integraal
an approximation of about 50 million
me feitelijk een benadering
it's in fact only 1700 away from the
van ongeveer 50 miljoen. Dat is in feite slechts 1700 verwijdert
true value so it's a really good
van de werkelijke waarde,
approximation for pi X now there is
dus het is een heel goede benadering voor pi van x.
another quantity which I'll mention now
Er is nog een grootheid, die ik nu ga benoemen,
because it's going to turn up later
omdat die later terug gaat komen.
we've seen PI of X which is the prime counting function you get one point for
We hebben pi van x gezien, dat is de priemgetallen tel-functie.
each prime I'm going to introduce now
Je krijgt één punt voor elk priemgetal.
something called G of X which is the
Ik ga nu iets introduceren
prime power counting function again you
genaamd J van x, dat is de priem machten
get one point for each prime but you
tel-functie. Je krijgt opnieuw één punt voor elk priemgetal,
also get half a point for each prime
maar je krijgt ook een half punt
squared so something like 9 which is 3
voor elk priemgetal in het kwadraat. Dus iets als 9,
squared you get half a point you get 1/3
wat 3 in het kwadraat is -- geeft je een half punt.
of a point if it's a prime cubed so 27
je krijgt een derde punt als het een priemgetal tot de derde macht is.
scores a third of a point because it's 3
Dus 27 scoort een derde punt, want
cubed and you get for the nth power of a
dat is drie tot de derde macht. en voor de n-de macht van een priemgetal,
prime you get 1 over n point so that's
krijg je één gedeeld door n punten.
the prime power counting function
Dus dat is de priem machten tel-functie.
remember that because that is going to
Onthoud dat,
turn up later and you can see it's
want dat komt later terug.
related to pi using this formula and you
Je kunt zien dat het gerelateerd is aan pi,
can reverse that you can actually get PI
door middel van deze formule, En dat kun je omdraaien--
from J using this other formula which
je kunt in feite pi krijgen vanuit J, door middel van deze andere formule,
has some more minuses and pluses in it
die wat meer
but the prime number theorem was
minnen en plussen in zich heeft. Maar, de priemgetallen Stelling
actually only proved 100 years after
is feitelijk pas bewezen, 100 jaar nadat
Gauss thought of it and it was finally
Gauss hem bedacht had.
proved using the Riemann zeta function
En hij werd uiteindelijk bewezen met behulp van de Riemann zeta functie.
the Riemann zeta function was actually
De Riemann zeta functie was eigenlijk
based on something Euler was doing in
gebaseerd op iets waar Euler mee bezig was
the 18th century see Euler he was
in de 18e eeuw. Zie je, Euler--
interested in infinite sums like 1 plus
hij was geïnteresseerd in oneindige sommen, zoals
1/2 plus a cube plus 1/4 and that goes
één plus een half plus een derde plus een kwart--
on forever if you've seen that before
en dat gaat eeuwig verder.
you may know that's called the harmonic
Als je dit eerder gezien hebt, weet je misschien dat dit de Harmonische Serie heet,
series and it is tending to infinity
en dat die richting oneindigheid gaat,
very slowly
heel langzaam--
it's tending off to infinity well order
loopt die weg richting oneindigheid.
was interested in where powers of those
Waar Euler in geïnteresseerd was, waren de machten van die breuken.
fractions so 1 plus 1/2 squared was a
Dus één plus een half kwadraat,
cubed squared because 1/4 squared and
plus een derde kwadraat,
that going off to infinity and he found
plus een kwart kwadraat, en dat weglopend richting oneindigheid.
that that doesn't tend to infinity and
En hij ontdekte dat dat niet leidt
that actually tends to a number and the
tot oneindigheid-- dat gaat in feite richting een getal.
number is actually PI squared over 6 so
Dat getal is feitelijk
if that's the first time you've seen
pi kwadraat gedeeld door 6. Als dit de eerste keer is dat je dit ziet, hoera!
that way surprise pie if you're do it
Verrassings-pi!
for cube powers 1 plus 1/2 cubed plus
Als je dit doet voor de derde machten, één plus een half tot de derde,
1/3 cube that actually tends to 1.20 2
plus een derde tot de derde, leidt dat feitelijk naar
if you do it for fourth powers you get
1,202... als je dit doet voor de vierde machten,
pi to the 4 over 9
krijg je pi tot de vierde gedeeld door 90, en zo voort.
and so on to actually get proper values
Dus je krijgt feitelijk echte waardes,
except for when the power is why the
behalve als de macht één is.
harmonic series that tends off to
De Harmonische Serie-- die loopt weg richting oneindigheid.
infinity in general oil I was studying
In het algemeen,
these sums of one over N to the power s
bestudeerde Euler deze sommen van één gedeeld door n tot de macht s.
now what he found was that this infinite
Wat hij ontdekte was
sum was equal to an infinite product an
dat deze oneindige som gelijk was aan een oneindig product--
infinite product of primes if P is your
een oneindig product van priemgetallen.
prime then it's a product of P to the S
Als p je priemgetal is, dan is het een product van p tot de macht s,
over P to the S minus 1 so you go
gedeeld door p tot de macht s min één.
through the primes like 2 to the s over
Dus je gaat de priemgetallen langs, zoals
2 to the s minus 1 multiply that by 3 to
2 tot de macht s, gedeeld door 2 tot de macht s min 1, vermenigvuldig dat met
the s over 3 to the S minus 1 multiply
3 tot de macht s, gedeeld door 3 tot de macht s min 1
that by the next prime 5 to the s over 5
vermenigvuldig dat met het volgende priemgetal-- 5 tot de macht s, gedeeld door 5 tot de macht s min 1,
to the S minus 1 and that goes on
en dat gaat ook altijd maar door.
forever too now what he showed was if say or s is
Wat dit aantoonde was dat
equal to 2 then then that infinite
als, zeg, s gelijk is aan 2 hier,
product of primes is equal to PI squared
dan is dat oneindige product van priemgetallen gelijk aan pi kwadraat gedeeld door zes.
over 6 or if s was equal to 1 then that
Of als s gelijk is aan 1,
infinite product of primes goes off to
dan loopt dat oneindige product van priemgetallen
infinity like the harmonic series goes
weg richting oneindigheid,
off to infinity it's actually a proof
zoals de Harmonische Serie wegloopt richting oneindigheid.
that there are infinitely many Prime's
Wat feitelijk een bewijs is dat er
because if there were only finitely many
oneindig veel priemgetallen zijn want als er slechts een beperkt aantal priemgetallen zouden zijn,
Prime's you'd get a finite number now
zou je een beperkt getal krijgen.
it's the Audion of function that riemann
Het is de Euler functie
decided to rip off I mean study bernhard
die Riemann besloot te jatten-- ik bedoel bestuderen.
riemann was a penny a shy and timid
Bernhard Riemann was naar het schijnt
individual but mathematically very
een verlegen, timide persoon,
talented at gauss was actually his
maar wiskundig zeer getalenteerd.
lecturer a university was Gauss who
Gauss was in feite zijn docent op de universiteit.
persuaded Riemann to swap his course
Het was Gauss die Riemann overhaalde
from theology to maths and in the end
om te switchen van theologie naar wiskunde,
Lehmann ends up running the place it
en uiteindelijk,
becomes head of department in the end it
gaat Riemann de tent zelfs runnen. Hij wordt uiteindelijk hoofd van de faculteit.
was in 1859 though that Riemann wrote
Maar, het was in 1859,
his paper on the zeta function now it's
dat Riemann zijn scriptie over de zeta functie schreef.
one of the most important papers in
Het is nu een van de belangrijkste werkstukken in de getallentheorie,
number theory so only 10 pages long
het beslaat slechts tien pagina's.
Riemann never wrote on number theories before or since that paper this was this
Riemann heeft voor of na die scriptie nooit iets over getallentheorie geschreven.
one and only time and it just turns out
Dit was zijn enige en laatste keer
to be one of the most important papers in number theory ever it's like the
en het bleek gewoon één van de belangrijkste werkstukken in de getallentheorie te zijn, ooit!
mathematical equivalent of a mic drop
Het is een beetje als de wiskundige evenknie van een mic drop.
peace out I'm done Riemann zeta-function
Vrede, uit. Klaar.
was basically Euler's function
Riemanns zeta functie was in principe Eulers functie
except he used it for all complex
behalve dat hij hem gebruikte voor alle
numbers so s could be any complex number
complexe getallen. Dus s kon elk complex getal zijn
not just one and two and three and four
niet alleen één en twee en drie en vier.
the problem with that is it's only
Het probleem daarmee is
defined when the real part of s is
dat het alleen gedefinieerd is als het reële deel van s
greater than 1 otherwise it explodes it
groter is dan één. Anders explodeert het--
goes off to infinity like the harmonic
loopt het weg richting oneindigheid,
series
zoals de Harmonische Serie.
what Lehman needs is a function that's
Wat Riemann nodig heeft is een functie
defined for all complex numbers but is
die gedefinieerd is voor alle complexe getallen,
equal to the Euler function when the
maar die gelijk is aan de Euler functie
real part is greater than 1 now the
als het reële deel groter is dan één.
amazing thing about complex analysis is
Het geweldige aan complexe analyse is
there is a way to do that and there is only one way to do it so if you think
dat er een manier is om dit te doen, en er is slechts één manier om dit te doen.
about it what it means is if you know
Dus als je erover nadenkt, betekent dit
'value of a function for some complex
dat als je een waarde van een functie kent voor sommige complexe getallen,
numbers you automatically know it for
weet je ze automatisch voor alle complexe getallen.
all complex numbers which what women did
En dat is [pow]
see consider this infinite so it's like
Wat Riemann deed is dat hij nadacht over deze
the Euler function but you got
oneindige som. Hij lijkt op de Euler functie,
alternating plus and minus signs in it
maar je hebt afwisselende plus- en mintekens.
and he divided that by this factor 1
En dat deelde hij door deze factor,
minus 2 to the power 1 minus s and this
1 min 2, tot de macht 1 min s,
function is defined for complex numbers
en deze functie is gedefinieerd. voor complexe getallen waarbij het
where the real part of s is greater than 0 and it's equal to the euler function
reële deel van s groter is dan nul. En, het is gelijk aan de Euler functie
when the real part of s is greater than
als het reële deel van s groter is dan één.
1 this is the function we're looking for
Dit is de functie waar we naar op zoek zijn!
now this defines a value when the real
Dit definieert een waarde als het reële deel van s
part of s is positive what about when
positief is,
the real part of s is negative to do
maar wat als het reële deel van s negatief is?
that what women did next was he
Om dat te doen, deed Riemann het volgende,
considered that strip between 0 and 1
hij overwoog een strook,
and in that strip we have this true
tussen nul en één, en in die strook hebben we deze
identity for the zeta function it's not
werkelijke identiteit voor de zeta functie.
very nice to look at I know so you're
Het ziet er niet geweldig mooi uit,
not the z-table s equals some junk and
ik weet het-- dus je hebt de zeta van s gelijk aan-- wat zooi.
it's got sine in there in its gamma and
En het heeft sinus in zich,
pi is a lot of junk x Zita 1 minus s
en gamma, en en pi-- het is een hoop rotzooi. vermenigvuldigd met zeta (1 - s)
what this means is the values are kind
Wat dit betekent is
of reflected in the real part of s
dat de waardes min of meer gespiegeld zijn
equals 1/2 line they're reflected and
in het reële deel van s gelijk aan de lijn een half.
then multiplied by that whole factor so
Ze worden gespiegeld, en dan vermenigvuldigd met die verschrikkelijke factor.
that means we can reflect all our
Dus dat betekent dat we
positive values into our negative values
al onze positieve waardes kunnen spiegelen in onze negatieve waardes.
and that will define it so if you want
En dat zal het definiëren.
to know Zita on -1 then you would multiply it by that
Dus als je wilt weten wat zeta van min één is,
global factor with s equals -1 which is
dan moet je vermenigvuldigen met die verschrikkelijke factor, met s gelijk aan min één,
only minus 1 over 2 pi squared then
wat alleen maar neerkomt op min één gedeeld door twee pi kwadraat,
you'll times that by Zeta of 2 now we
dan vermenigvuldig je dat met zeta van 2.
know the value of 0 for 2 if you
Welnu we weten de waarde van zeta voor 2,
remember that from before that was PI
als je je dat herinnert van eerder--
squared over 6 so altogether 0 minus 1
dat was pi kwadraat gedeeld door zes. Dus alles samen,
is minus 1/12 now if we consider the
zeta van min één is min één twaalfde.[-1/12]
Caesar function as an extension of the
Als we uitgaan van de zeta functie
Euler function then some people consider
als aanvulling op de Euler functie,
the sum 1 plus 2 Plus 3 plus 4 going on
dan beschouwen sommige mensen de som één plus twee plus drie plus vier,
forever
eeuwig doorgaand,
some people consider that to be equal to
sommige mensen beschouwen dat als zijnde
minus 1/12 and in a way it kind of is so
gelijk aan min één twaalfde. [-1/12] en op een bepaalde manier is dat wel een beetje zo.
to recap the riemann zeta function comes in three parts where the real part of S
Dus om het kort samen te vatten, de Riemann zeta functie bestaat uit drie delen:
is greater than 1 and it's just equal to
Als het reële deel van s groter dan één is,
the Euler function which you can write
is het gewoon gelijk aan de Euler functie,
as a product of primes as well when the
die je ook kan schrijven als een product van priemgetallen.
real part of s is between 0 & 1 then
Als het reële deel van s zich tussen nul en één bevind,
it's equal to this alternating sum and
is het gelijk aan de afwisselende som,
when the real part of s is negative well
en als het reële deel van s negatief is,
you take the positive values reflect it
neem je de positieve waarde,
in the real part of s it was a half line
spiegelt die in het reële deel van s op de lijn gelijk aan een half,
multiplied by a whole factor and that
vermenigvuldigd met een verschrikkelijke factor.
defines it all anything I haven't
En dat definieert het geheel.
defined you've defined by taking limits
Alles wat ik niet gedefinieerd heb kun je definiëren door limieten te nemen.
so Zeta of 0 is equal to minus 1/2 0 of
Dus zeta van nul is gelijk aan min een half,
1 tends off to infinity
zeta van één loopt weg richting oneindigheid,
just like the harmonic series did the
net als de Harmonische Serie deed.
next question is when is this function equal to 0 well for start we know that
Dus de volgende vraag is, wanneer is deze functie gelijk aan nul?
when the real part of S is greater than
Om te beginnen, weten we dat als het reële deel van s
1 it's never equal to 0 because it's a
groter dan één is, is het nooit gelijk aan nul.
product of primes and none of those
want dat is een product van priemgetallen.
factors are 0 so what about the third
En geen van die factoren is nul.
case when it's negative when the third
Dus hoe zit het met het derde geval, als het negatief is?
case you might be able to see some
In het derde geval,
zeroes at minus 2 minus 4 minus 6 and so
Kun je wellicht wat nullen tegenkomen op min twee, min vier, min zes,
on because we've got a sine function in
en zo voort, want we hebben een sinus functie,
there and that's when the sine function
en dat is waar de sinus functie nul is.
is 0 those zeros are called trivial
Deze nullen worden 'triviale' nullen genoemd,
zeros otherwise we've got non-trivial
Daarnaast hebben we
zeros and they exist in the strip
niet-triviale nullen,
between 0 and 1 and they're also
en die bestaan in de strook tussen nul en één.
symmetric around the real part of s
En ze liggen ook symmetrisch rondom het reële deel van s
equals 1/2 line so even wondered if his
gelijk aan de lijn een half.
seat
Dus Riemann vroeg zich af of zijn zeta functie
function can be written in terms of the
geschreven kon worden in termen van
non-trivial zeros this is like what you
niet-triviale nullen.
do with a polynomial so imagine you have
Dit is vergelijkbaar met wat je doet met een polynoom.
a polynomial like X cubed plus 2x squared minus 13x plus 10 well you know
Dus stel je voor dat je een polynoom hebt zoals x tot de derde plus 2x kwadraat min 13x plus 10.
you can factorize that into three
Je weet dat je dit kunt ontbinden
factors because it's a cube and you find
in drie factoren, want het is een derde macht.
the factors by looking for when the
En je vind de factoren
polynomial is equal to zero
door te kijken naar wanneer de polynoom
for example if x equals 1 then the
gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld, als x gelijk is aan 1,
polynomial equals zero so X minus 1 is a
dan is de polynoom gelijk aan nul.
factor if you do that again if x equals
Dus x min 1 is een factor. Als je dat opnieuw doet, als x gelijk is aan 2,
2 if the polynomial is equal to zero so
is de polynoom gelijk aan nul,
X minus 2 is a factor and if x equals
dus x min 2 is een factor.
minus 5 the polynomial is zero so you
en als x gelijk is aan min 5, is de polynoom gelijk aan nul,
can say X plus 5 is a factor and that's
dus kun je zeggen dat plus 5 een factor is.
how you factorize a polynomial so we
En dat is hoe je een polynoom ontbindt.
even wondered if you could do something
Dus Riemann vroeg zich af of hij
like that with the CETA function and you
iets dergelijks kon doen met de zeta functie
can so you worked out that the Zita was
en dat kan! Dus hij berekende dat de zeta gelijk was aan
able to again some joke
opnieuw, wat zooi,
you've got gammas still in there pi
Je hebt gamma er nog steeds inzitten,
still in there x product of factors
en pi zit er nog steeds in -- vermenigvuldigd met een product van factoren
involving the non-trivial zeros that's 1
met niet-triviale nullen.
minus s over
dat is 1 min s gedeeld door rho.
roh-roh are your non trivial 0 so you
Rho zijn je niet-triviale nullen.
can do that so on one hand you've got
Dus dat kun je doen.
Zita which is your normal zeta function
Dus aan de ene kant heb je zeta,
which was defined with it's 3 parts on
dat is je gewone zeta functie, die gedefinieerd was door zijn drie delen,
the other hand you've got Zita written
Aan de andere kant heb je zeta geschreven als een product
as a product of its non-trivial zeros and those two things are equal so you do
van zijn niet-triviale nullen, en die twee dingen zijn gelijk.
you equate them and then you just mess
Dus dat kan-- je stelt ze gelijk,
around with it you take logs of both
en dan rommel je er gewoon wat mee aan.
sides and you do some calculus some
Je neemt logaritmes van beide kanten, je doet wat berekeningen
complex analysis some theorems of
wat complexe analyse,
residues it's all very nasty stuff I'm
wat stellingen of overblijfselen,
not going to do it now but in the end
het is allemaal heel lastige materie Ik ga het nu niet doen,
you end up with a result involving J of
maar uiteindelijk, eindig je met een resultaat met
X that's the prime power counting
J van x.
function if you remember and that is
Dat is de priem machten tel-functie, als je je die nog herinnert.
equal to the logarithmic integral of X
En dat is gelijk aan de logaritmische integraal van x,
you may remember that from the prime number theorem plus a sum of logarithmic integrals of X to the power roh-roh are your non-trivial zeros so
die herinner je je misschien nog wel van de Priemgetallen Stelling-- plus een som van logaritmsiche integralen van x tot de macht rho.
they're still there minus log of 2
Rho zijn je niet-triviale nullen, dus die zijn er ook nog steeds. min log van 2.
a constant that's still there because
Dat is gewoon een constante-- die zit er nog steeds in want
there was a factor of 1/2 and that's still there your pies have disappeared
we hadden een factor van een half, en die zit er nog steeds in.
they've cancelled out and disappeared
Je pi's zijn verdwenen-- die zijn tegen elkaar weggestreept en verdwenen--
and your gamma has turned into this
en je gamma is verandert in deze integraal
integral which is not very nice-looking
die er niet zo mooi uitziet,
and also not very important don't worry
en ook niet vreselijk belangrijk-- maak je daar geen zorgen om.
about it so we have a kind of a prime number
Dus we hebben nu een soort van priemgetallen stelling
theorem now for J of X the prime power
voor J van x.
accounting function we can now say J of
de priem machten tel-functie,
X twiddles the logarithmic integral and
We kunnen nu zeggen dat J van x 'kronkelt' om de logaritmische integraal.
we have a expression for the error the
En we hebben een uitdrukking voor de foutmarge, het verschil--
difference if we subtract J of X minus the logarithmic integral is equal to
als we de logaritmische integraal aftrekken van J van x,
this error term the most important term
is dat gelijk aan de foutmarge.
in the error term is that sum of
De meest belangrijke term in de foutmarge
bloggers evening integrals of X to the
is die som van logaritmische integralen
Rho if we're you're non-trivial zeros
van x tot de macht rho. Als rho je niet-triviale nullen zijn,
they are really controlling the size of
beheersen ze sterk de grootte
that error term now your non-trivial
van die foutmarge.
zeros are symmetric around the real part
Je niet triviale nullen liggen symmetrisch
of s equals 1/2 line if all your
rondom het reële deel van s gelijk aan de lijn een half. Als al je niet-triviale nullen
non-trivial zeros actually lie on the real part of s equals 1/2 line then that
precies op het reële deel van s gelijk aan de lijn een half liggen,
error term will be as small as possible
dan zal die foutmarge zo klein mogelijk zijn.
nearly 40 years after vmon and 100 years
Bijna veertig jaar na Riemann en
at the Gauss first thought of a prime
honderd jaar nadat Gauss voor het eerst de Priemgetallen Stelling bedacht,
number theorem mathematicians were finally able to prove it
waren wiskundigen eindelijk in staat die te bewijzen.
and the proof involved the Riemann zeta
En het bewijs bevatte de Riemann zeta functie.
function in particular they showed that
Om precies te zijn, toonden ze aan dat de zeta functie
the zeta function has no zeros on the
geen nullen heeft op de lijn
line real part of s equals 1 and that
van het reële deel van s gelijk aan één. En dat deed het hem!
did it that proved the prime number
Dat bewees de Priemgetallen Stelling!
theorem hey now the error term for the
Hoera! De foutmarge
prime number theorem
voor de Priemgetallen Stelling
well that's controlled by the non-trivial zeros of the zeta function
Die wordt beheerst door de niet-triviale nullen
the Riemann hypothesis and that still
van de zeta functie-- de Riemann Hypothese.
isn't proven so boom but if the Riemann
En die is nog steeds niet bewezen, dus boehoe!
hypothesis is true then the error term
Maar als de Riemann Hypothese waar is,
has a bound it has to be less than C square root of x log of X for some
dan heeft de foutmarge een limiet. Die moet kleiner zijn dan c, wortel van x, log van x.
constant C so it can't be as big as it
voor een constante, c.
wants to be the vine number theorem also
Dus hij kan niet zo groot zijn als hij zou willen.
tells us that the average gap between
De Priemgetallen Stelling vertelt ons ook dat het gemiddelde gat tussen twee opéén volgende priemgetallen
consecutive Prime's should be about log
ongeveer log(x) zou moeten zijn.
X and if the Riemann hypothesis is true
En als de Riemann Hypothese waar is,
then there is a similar found on consecutive primes other
dan is er een vergelijkbare limiet aan opéén volgende priemgetallen.
consequences of the Riemann hypothesis
Andere gevolgen van de Riemann Hypothese zijn dingen als
are things like the weak Goldbach
het zwakke vermoeden van Goldbach.
conjecture the weak Goldbach conjecture
Het zwakke vermoeden van Goldbach zegt dat
says that any odd integer greater than 5
elk oneven hele getal groter dan vijf
can be written as the sum of three primes and that would be true if the
geschreven kan worden als de som van drie priemgetallen, en dat zou waar zijn
Riemann hypothesis is true another
als de Riemann Hypothese waar is.
consequence what I like is if the
Een ander gevolg-- eentje die ik leuk vind--
Riemann hypothesis is true then there
is dat als de Riemann Hypothese waar is,
will always be a prime between consecutive cubes now the reason I like
dan zal er altijd een priemgetal zijn tussen twee opéén volgende derde machten.
that is that means you can define a
De reden dat ik dit leuk vind
constant theta so that theater to the
is dat dit betekent dat je een constante theta kunt definiëren
power three to the N will always
zodat theta tot de derde macht tot de macht n,
generate a prime number for all the
altijd een priemgetal zal genereren voor elke waarde van n.
values of n it's called a Mills
Dit wordt een Constante van Mills genoemd.
constants they already exist actually but you have to use X as a prime now if
Deze bestaan al, eigenlijk, maar je moet x gebruiken als een priemgetal.
Riemann hypothesis is true then X
Als de Riemann hypothese waar is,
doesn't just have to be a prime and then
dan hoeft x niet meer alleen een priemgetal te zijn.
you would get lots more milk constants
En dan zou je veel meer Constanten van Mills krijgen,
the smallest of which would be one point three oh six three seven something
de kleinste daarvan zou 1,0637 en nog wat zijn
something so I like that one
Dus die vind ik leuk!
there's a lot of evidence for the Riemann hypothesis we found lots of
Er is veel bewijsmateriaal voor de Riemann Hypothese,
zeroes trillions of zeroes on that
we hebben heel veel nullen gevonden-- triljoenen nullen
critical line that real part of s equals
op die kritische lijn-- dat reële deel van s gelijk aan de lijn een half,
a half line unfortunately Godfrey Hardy
Jammer genoeg toonde Godfrey Hardy aan dat
showed that there are infinitely many zeros on that line so this is evidence but none of it is conclusive evidence I'm afraid now if you want to win that
er oneindig veel nullen zijn op die lijn. Dit zijn aanwijzingen-- maar geen daarvan is sluitend bewijs, ben ik bang. Als jij
million dollars you have to prove the
die miljoen dollar wilt winnen,
Riemann hypothesis unfortunately if you
zul je de Riemann Hypothese moeten bewijzen.
find a counter example if you find an
Maar helaas, als je een tegenvoorbeeld vindt,
example of a zero which is not on the
als je een voorbeeld vindt van een nul
critical line the real part of s equals
die niet op die kritische lijn ligt,
half line and you disprove the Riemann hypothesis no many dollars no million
de lijn van het reële deel van s gelijk aan een half, en je weerlegt de Riemann Hypothese-- geen miljoen dollars!
dollars for you now there is no million
Geen miljoen dollars voor jou, nee!
dollars if you disprove it by counter
Er is geen miljoen dollars als je het weerlegt met een tegenvoorbeeld.
examples I'm afraid mathematicians it is
Dus ik ben bang, wiskundigen,
now over to you and if you happen thanks
dat het nu aan jullie is! En als je dat deed,
for watching
Dank voor het kijken.
Similar videos:

1+2+3+4+...=-1/12？李永乐老师讲黎曼猜想（1）
彭导分享
1.2M views 10.6K likes 357 dislikes 22 Sep 2018100% match

Riemann Hypothesis - Numberphile
Numberphile
4.3M views 66.3K likes 926 dislikes 11 Mar 201467% match

Functions
CS50
46K views 122 likes 7 dislikes 07 Oct 201530% match










Maths Puzzle: The self descriptive number solution
singingbanana
175.1K views 4.8K likes 42 dislikes 09 Jan 201629% match

pH of a Weak Acid
Khan Academy
355.4K views 687 likes 65 dislikes 07 Sep 200928% match

Data Types
CS50
61.8K views 185 likes 7 dislikes 07 Oct 201528% match










Zeno's Paradox - Numberphile
Numberphile
3.2M views 50.2K likes 1K dislikes 07 Apr 201328% match

Classical Singer Reaction - Dimash | Bastau 5. Wonderful Ending with his Parents and Mentors!
SingerDad Reacts
12.5K views 1.4K likes 9 dislikes 28 Sep 202028% match


Euler's real identity NOT e to the i pi = -1
Mathologer
810.3K views 18.9K likes 398 dislikes 11 Aug 201728% match

Evaluating with function notation | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
467.6K views 1.2K likes 79 dislikes 05 Apr 201027% match


UNLOCK the Full Potential of Your MIND! | Eckhart Tolle | Top 10 Rules
Evan Carmichael
1M views 14.4K likes 616 dislikes 23 Sep 201627% match

Operators
CS50
44.3K views 89 likes 4 dislikes 07 Oct 201527% match










Classical Singer Reaction - Dimash | Qairan Elim. Visual/Musical Masterpiece!! Song to the World!
SingerDad Reacts
7.2K views 1.1K likes 9 dislikes 29 Nov 202027% match


The Maths of Star Trek
singingbanana
120.6K views 2.1K likes 39 dislikes 07 Jun 201327% match

Why you feel what you feel | Alan Watkins | TEDxOxford
TEDx Talks
3.7M views 57.4K likes 2.2K dislikes 18 Dec 201527% match

Copy Millionaire Affiliate Marketers - Millionaire Affiliate Marketers Guide
Mark Daniells
1.2K views 167 likes 1 dislikes 17 Dec 202027% match


Innovating to zero! | Bill Gates
TED
3.9M views 31.4K likes 12K dislikes 20 Feb 201027% match






L'Hypothèse de Riemann
ScienceEtonnante
1.2M views 36.3K likes -1 dislikes 04 Oct 201927% match

Elizabeth Pisani: Sex, drugs and HIV -- let's get rational
TED
137.7K views 1.4K likes 58 dislikes 05 Apr 201027% match





Group theory, abstraction, and the 196,883-dimensional monster
3Blue1Brown
2.9M views 113K likes -1 dislikes 19 Aug 202027% match

Classical Singer Reaction - Dimash | Hello. My Favorite Cover of this Song! Amazing!!
SingerDad Reacts
31.5K views 3K likes 28 dislikes 03 Oct 202027% match


Clay Shirky: Institutions vs. collaboration
TED
103.2K views 816 likes 16 dislikes 14 Jul 200827% match




Mod-01 Lec-12
nptelhrd
639 views 1 likes 0 dislikes 26 Sep 201427% match

Bacteria
Khan Academy
1.1M views 4K likes 207 dislikes 02 Oct 200927% match




AIS and Integration
TimBatSea
7.5K views 723 likes 5 dislikes 12 May 202027% match

Classical Singer Reaction - Nightwish | Romanticide. Marco and Floor are Amazing! Loved it!!
SingerDad Reacts
28.4K views 1.9K likes 24 dislikes 12 Oct 202027% match


Classical Singer Reaction - Dimash | Sinful Passion. One of my Favorites! 24 Second Run!!!
SingerDad Reacts
62.4K views 4.1K likes 54 dislikes 20 Oct 202027% match


The Opposite of Infinity - Numberphile
Numberphile
3.7M views 58.1K likes 1.1K dislikes 08 Sep 201527% match

Classical Singer Reaction - Dimash | Qaragym-ai. Tender and Beautifully Sung Tribute
SingerDad Reacts
8.3K views 1.3K likes 5 dislikes 09 Jan 202127% match


TV Rijnmond Nieuws 21 oktober 2010
Rijnmond
1.7K views 0 likes 0 dislikes 21 Oct 201026% match


Settings Privacy About Contact Donate