Second partial derivative test example, part 1 Khan Academy English Bulgarian

Second partial derivative test example, part 1YouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 37K views 222 likes 1 dislikes 22 Jun 2016

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

- [Voiceover] So one common type of problem that you see

Често срещана задача

in a number of multivariable calculus classes

в анализа на функции на много променливи

will say something to the effect of the following:

обикновено е следната:

find and classify all of the critical point of,

да се намерят и да се определи вида на всички критични точки на –

and then you'll insert some kind of multivariable function.

и е дадена някаква функция на много променливи.

So first of all, this idea of a critical point

Първо, понятието критична точка

basically means anywhere where the gradient equals zero.

означава точка, в която градиентът е нула.

So you're looking for places where the gradient

Значи търсим такива точки, в които градиентът на функцията

of your function, at some kind of input,

за някаква входна стойност,

some specified input X and Y that you're solving for,

някаква конкретна входна стойност (х; у), която трябва да определим,

is equal to zero.

за тази точка градиентът е равен на нула.

And as I talked about in the last couple of videos,

Както казах в последните няколко видео клипа,

the reason you might want to do this is because

причината, поради която търсим критичните точки,

you're hoping to maximize the function

е защото искаме да максимизираме стойността на функцията,

or to maybe minimize the function.

или искаме да я минимизираме.

And now the second requirement of classifying those points,

Второто условие при класифициране на критичните точки

that's what the second derivative test is all about.

е да определим какво ни казва критерият за втората производна.

Once you find something, or the gradient equals zero,

След като установим това, или ако градиентът е равен на нула,

you want to be able to determine,

можем да определим

is it a local maximum, is it a local minimum

дали дадената точка е локален максимум, или е локален минимум,

or is it a settle point?

или пък е седлова точка.

So let's go ahead and work through this example.

Да решим този пример.

The first thing we're gonna need to do if we're solving

Първото нещо, което трябва да направим, за да определим

for when the gradient equals zero,

стойностите на х и на у когато градиентът е нула –

and remember, when we say equals zero,

спомни си, че когато казваме, че градиентът е нула,

we really mean the zero vector,

това всъщност означава, че е равен на нулевия вектор,

but it's just a convenient way of putting it all

но е много удобно да поставим всички

on one line, we take both partial derivatives.

на една права, така че ще намерим и двете частни производни.

So the partial derivative with respect to X is,

Частната производна по отношение на х –

well, this first term, when we take the derivative

първият член, когато намираме частната производна относно х

of three X squared times Y with respect to X,

е 3 по х на квадрат, по у –

the two hops down so we have six times X times Y.

2 слиза долу, така че получаваме 6 по х по у на трета степен.

Y cubed, well, Y looks like a constant

у на трета степен, у приемаме за константа,

so Y cubed looks like a constant minus three X squared,

така че у на трета степен е константа, минус 3 по х на квадрат –

so that two comes down.

тази двойка от степенния показател слиза отпред.

So we're subtracting off six times X.

Получаваме минус 6 по х.

Six times X. And then again, this three Y squared term,

Членът 3 по у на квадрат –

Y looks like a constant so everything here

у изглежда като константа навсякъде,

looks like a constant with zero derivative,

така че има нулева производна,

as far as the X direction is concerned.

когато диференцираме по отношение на х.

And we do partial of f with respect to Y,

Сега да намерим частната производна на f по отношение на у.

then this first term looks like some sort of constant,

В първия член приемаме х за константа,

three X squared.

3 по х на квадрат.

X looks like a constant so some kind of constant times Y.

х е константа, когато диференцираме по отношение на у.

So the whole thing looks like three X squared.

Значи става 3 по х на квадрат.

The second term, minus X, minus Y cubed, excuse me,

Вторият член – минус х, извинявам се, минус у на трета степен,

looks like minus three Y squared when we take

след като го диференцираме

the derivative.

става минус 3 по у на квадрат.

Minus three Y squared.

Минус 3 по у на квадрат.

And then this next term only has an X so it looks like

Следващият член съдържа само х, значи го приемаме за константа,

a constant as far as Y is concerned.

когато диференцираме по у.

And then this last term, we take down the two

И този последният член, сваляме долу две,

because we're differentiating Y squared,

защото диференцираме у на квадрат,

and you'll get negative six Y, negative six times Y.

получаваме минус 6 по у.

So when we are finding the critical points,

След като намерим критичните точки,

the first step is to set both of these guys equal to zero.

първата стъпка е да приравним тези две частни производин на нула.

So this first one, when we do set it equal to zero,

Първата, когато я приравним на нула,

we can typify a bit by factoring out six X.

можем да го опростим малко, като изнесем пред скоби 6 по х.

So this really looks like six X multiplied by Y minus one.

Това става 6 по х, скоба, по у минус едно.

And then that's what we're setting equal to zero.

Това приравняваме на нула.

And what this equation tells us is that either

От това уравнение виждаме, че

it's the six X term that equals zero,

или членът 6 по х е равен на нула,

in which case that would mean X is equal to zero;

което означава, че х ще е равно на нула,

or it's the case the Y minus one equals zero,

или у минус 1 е равно на нула,

in which case that would mean that Y equals one.

което означава, че у е равно на 1.

So at least one of these things has to be true.

Поне едно от тези две твърдения трябва да е вярно.

That's kind of the first requirement that we found.

Така намерихме първото условие.

Let me scroll down a little bit here.

Ще се преместя малко надолу.

And for the second equation, when we set it equal to zero,

За второто уравнение, когато приравним на нула,

it's not immediately straightforward how you would

не става ясно веднага

solve for this in a nice way in terms of X and Y,

как можем лесно да намерим стойностите на х и на у.

but because we've already solved one, we can kind of

Но понеже вече решихме първото уравнение,

plug them in and say, for example, if it was the case

един вид можем да заместим получените стойности, и да кажем,

that X is equal to zero,

че ако х е равно на нула,

and we kind of wanna see what that turns our equation into,

искаме да видим в какво ще се превърне уравнението,

then we would have, well, three X squared

тогава то става 3 по х на квадрат,

is nothing that would be zero and we'd just be left with

тук няма нищо, което да е нула,

negative three Y squared minus six Y

и тогава ни остава минус 3 по у на квадрат, минус 6 по у,

is equal to zero.

равно на нула.

And that, we can factor out a bit, so I'm gonna factor out

Сега можем да разложим,

a negative three Y.

можем да изнесем пред скоби минус 3 по у.

So I'll factor out negative three Y,

Изнасям пред скоби минус 3 по у,

which means that first term just has a Y remaining

което означава, че от първия член остава просто у,

and then that second term has a two, a positive two,

а от втория член остава плюс 2,

since I factored out negative three.

тъй като изнасяме пред скоби минус 3.

So positive two and that equals zero.

Значи плюс 2, и цялото е равно на нула.

So what this whole situation would imply is that either

Това, което означава това,

negative three Y equals zero, which would be,

е, че или минус 3 по у е равно на нула,

which would mean Y equals zero;

и тогава у ще е равно на нула,

or it would be the case the Y plus two equals zero,

или у плюс 2 е равно на нула,

which would mean that Y is equal to negative two.

и това означава, че у ще е равно на минус две.

So that's the first situation where we plug in

Това е първият случай, когато заместихме с х равно на нула.

X equals zero. Now alternatively, there's the possibility

Сега да видим втория вариант,

that Y equals one, so we could say Y equals one;

когато това у е равно на 1,

and what that gives us in the entire equation,

какво получаваме тогава в цялото уравнение –

we still have that three X squared

тук отново имаме 3 по х на квадрат,

because we're kind of solving for X now, three X squared,

защото сега един вид търсим х – 3 по х на квадрат, минус...

and then the rest of it becomes, let's see,

после останалото става – да видим,

minus three times one squared,

минус 3 по 1 на квадрат.

so minus three, we're plugging in one for Y

Това е минус 3, заместваме у равно на 1,

then we subtract off six, plugging in that one for Y again,

изваждаме 6, заместваме отново у равно на 1,

and that whole thing is equal to three X squared

и цялото нещо става 3 по х на квадрат,

then minus three minus six.

после минус 3 минус 6.

So I'm subtracting off nine.

Значи изваждаме 9.

So from here, I can factor out a little bit,

Тук също можем да разложим,

and this will be three multiplied by X squared minus three.

имаме 3 по х на квадрат минус 3.

And what that implies then, since this whole thing

Това означава, че – понеже целият израз е равен на нула,

has to equal zero, what that implies is that X squared

това означава, че х на квадрат

minus three is equal to zero so we have X is equal to

минус 3 е равно на нула, така че х е равно на

plus or minus the square root of three.

плюс или минус корен квадратен от три.

And maybe I should kind of specify,

Може би тук трябва да посоча,

these are distinct things that we found.

че получихме различни неща.

One of them was in the circumstance where X equals zero,

Единият случай е когато х е равно на нула,

and then the other was where we found in the circumstance

а другият случай е когато у е равно на едно.

where Y equals one. So this give us a grand total of three different

Така получаваме общо три различни критични точки,

critical points because in the first situation,

защото в първия случай,

where X equals zero, the critical point that we have,

когато х е равно на нула, критичната точка –

well, both of them are going to have

имаме две критични точки,

an X coordinate of zero in them, X coordinate of zero;

за които координатата х е нула.

and the two corresponding Y coordinates are zero

Съответните координати у са нула или минус две.

or negative two. So you have zero or negative two.

Значи имаме у равно на нула или на минус две.

There's kind of two possibilities.

Тук има два варианта.

And then there's another two possibilities here,

След това има и друг вариант,

where if Y is equal to one,

когато у е равно на едно,

when Y is equal to one, we'll have X as positive or negative square root of three.

тогава х е равно на плюс или минус корен квадратен от три.

So we have positive square root of three and Y equals one,

Значи х е равно на положителен корен квадратен от три и у е равно на едно,

and then we have negative square root of three

а после х е равно на минус корен квадратен от три,

and Y equals one.

а у е равно на едно.

So these, these are the critical points, critical points,

Това са критичните точки,

which basically means all partial derivatives

което означава, че всички частни производни

are equal to zero.

са равни на нула.

In then in the next video, I will classify each of these

В следващото видео ще класифицираме тези критични точки

critical points using the second partial derivative test.

с помощта на критерия на вторите частни производин.

Similar videos:

Second partial derivative test example, part 2
Khan Academy
29.6K views 215 likes 2 dislikes 22 Jun 201634% match

Second derivative test | MIT 18.02SC Multivariable Calculus, Fall 2010
MIT OpenCourseWare
24.8K views 151 likes 4 dislikes 03 Jan 201131% match

Finishing the intro lagrange multiplier example
Khan Academy
101.3K views 653 likes 13 dislikes 15 Nov 201629% match

17.4 Graphs of Quadratic Functions - Key Points
Bigbend Emporium
1.6K views 0 likes 0 dislikes 21 Jun 201229% match

Warm up to the second partial derivative test
Khan Academy
34.1K views 137 likes 1 dislikes 22 Jun 201629% match

Graphs of rational functions: vertical asymptotes | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
62.4K views 42 likes 1 dislikes 11 Mar 201628% match

Linear and quadratic systems — Basic example | Math | New SAT | Khan Academy
Khan Academy
152.8K views 167 likes 12 dislikes 09 Jun 201526% match

Lagrange Multipliers II: Examples
Lorenzo Sadun
3K views 16 likes 3 dislikes 23 Jul 201326% match

Finding zeros of polynomials (example 2) | Mathematics III | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
120.8K views 148 likes 10 dislikes 16 Feb 201626% match

2d curl example
Khan Academy
33.9K views 308 likes 2 dislikes 26 May 201626% match

Zeros of polynomials introduction | Polynomial graphs | Algebra 2 | Khan Academy
Khan Academy
1.9K views 13 likes 2 dislikes 15 Jul 201926% match

Solving 2nd Degree Equations
Davidson Online Math
8.9K views 49 likes 7 dislikes 11 Apr 201626% match

Analyzing mistakes when finding extrema (example 2) | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
8.9K views 9 likes 1 dislikes 04 Aug 201726% match

Section 8.5 Part 3
statsteacher
162 views 0 likes 0 dislikes 06 Feb 201526% match

Analyzing mistakes when finding extrema example 2 | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
3.2K views 38 likes 4 dislikes 09 Aug 201926% match

Identifying graph based on roots | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
215.4K views 92 likes 7 dislikes 13 Dec 201326% match

Sketching Graphs Example 1 (KristaKingMath)
Krista King
7.8K views 49 likes 0 dislikes 29 Mar 201126% match

Solving Equations by Factoring 2
YourMathGal
11.3K views 25 likes 4 dislikes 05 Aug 200926% match

Solving quadratics by taking square roots examples | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
166.7K views 133 likes 6 dislikes 02 Mar 201626% match

Equations with rational expressions (example 2) | Mathematics III | High School Math | Khan Academy
Khan Academy
46.1K views 58 likes 7 dislikes 08 Mar 201625% match

Quadratic systems: a line and a parabola | Equations | Algebra 2 | Khan Academy
Khan Academy
2.1K views 15 likes 2 dislikes 19 Jul 201925% match

Linear Approximation in Two Variables Example 6 (KristaKingMath)
Krista King
989 views 5 likes 0 dislikes 19 Oct 201025% match

Solve by Factoring - Make Equal to Zero - YouTube.mp4
Tom Caswell
3K views 4 likes 3 dislikes 23 Aug 201125% match

Solve by Factoring - Make Equal to Zero
Tyler Wallace
17.1K views 6 likes 5 dislikes 20 May 201125% match

Optimizing Functions of Two Variables
Lorenzo Sadun
34K views 91 likes 11 dislikes 19 Jun 201325% match

Settings Privacy About Contact Donate