Integrals: Trig Substitution 3 (long problem) Khan Academy French Spanish

Integrals: Trig Substitution 3 (long problem)YouTube↗ IA↗(long shot)
Education 262.9K views 494 likes 17 dislikes 14 Oct 2009

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Nous ditons que nous avons un

Supongamos que tenemos la integral no definida de la raíz cuadrada de 6x menos x al cuadrado menos 5 Obviamente, no es una integral sencilla.

Je n'ai pas l'exxpression et

Simplemente, no tengo esta expresión y su respectiva derivada a mano, de modo que el método de sustitución no funcionará.

Et danc tu peux

Entonces, podrás imaginar, por el título de este video que

nous allons devoir fair quelquechose plus cher.

vamos a tener que usar algo mas sofisticado.

Et nous allons probablement faire le meim sort

Y bueno, probablemente tendremos que hacer algún tipo de sustitución mas astuta.

Mais ce

Pero casi de inmediato, esto no parece ser algo que podamos arreglar

J'aime faire

a traves de una sustitución. Me gusta intentar una sustitución cuando vemos una expresión del tipo 1 menos X al cuadrado y dentro de un radical. O talvez un X al cuadrado menos 1 dentro de un radical, o quizás un X al cuadrado mas uno.

Ce sont les sorts des choses que

Esas son el tipo de cosas que me ponen a pensar

mais ce ne voit pas comme ca pas encore

en intentar una sustitución pero esta expresión no se parece a esas todavía. Tenemos el radical tenemos algunas X al cuadrado, pero no se parece a ninguna de las formas que indicamos.

Entonces, intentemos transformarla en una de estas formas. Empecemos por borrar estos chicos a la derecha y veamos si talvez asi podemos completar el cuadrado aqui.

Si ce est

Veamos. Si esta expresión es igual, y la re-escribimos asi:

Et si ce

Y si al completar el cuadrado aún no nos resulta familiar

au vous, j'ai beaucoup des videos pour ca.

tenemos muchos videos sobre el tema. Re-escribimos esta expresión como igual a menos 5 menos...hmm...necesitamos mas espacio....menos 5 menos x al cuadrado.

Maintenant il y a un 6x positive, mais j'ai un minus la-ba.

Ahora tenemos un mas 6x, pero tambien un menos por fuera Entonces, menos 6X, correcto?

Un minus et un minus vont devenir 6x positive.

Y un menos con un menos se convierte en un mas 6x

Et puis, je veux faire ce devien un

Y entonces, queremos convertir esto en forma de un cuadrado perfecto

Danc, quel nombre quand j'adde ce

Entonces, ¿Cuál número sumado con si mismo da como resultado menos 6? Bien, es menos 3 and menos 3 al cuadrado.

Danc vous prennez demi de ce nombre, vous avez minus

Entonces, tomas la mitad de este número, obtienes el menos 3

trois,

y lo elevas al cuadrado.

Et puis vous rangez neuf la-ba

Luego pones un 9 acá

Maintenant, je ne peux pas

Y ahora, puedes simple y arbitrariamente sumar nueves

Ou vraiment, je

O bueno, en realidad, nunca agregamos un 9 aqui.

Qu'est-ce que j'ai fait?

¿Que fue lo que hicimos? Restamos un 9 Porque pusimos un 9, pero es en realidad un menos 9 convertido a 9 por este signo de menos de aqui.

Entonces, para hacer que la expresión se mantenga neutral al introducir el 9 lo que ingresamos aqui es un menos 9. Y tenemos que sumar 9. Agregamos el 9

Entonces....mas 9, justo aqui Si lo que acabamos de hacer no parece tener sentido y obviamente tienes el "dx" justo ahi, entonces multiplicalo afuera Obtienes el menos X al cuadrado mas 6x, que son estos 2 términos

menos 9, y luego agregas el mas 9 y estos dos se cancelan mutuamente y llegas exactamente

Parcque je veux vous savez, je ne

a lo que tenias antes. Lo que quiero es que quede claro que no cambiamos para nada la ecuación inicial. Este es un menos 9, por causa de este Entonces, agregamos un 9, para que al final, en resumen, sumamos un cero a la expresión.

Mais que ce fait, ce

Pero, lo que sucede ahora, es que la expresión esta en una forma que si me agrada! Obviamente esto por aqui se convierte en un 4, y luego este termino de aca se convierte en que? Exacto, eso es x menos 3 al cuadrado.

x menos 3 al cuadrado Entonces, mi integral no definida, ahora se convierte en una integral mas conocida, solamente estoy haciendo un poco de algebra, y tenemos la integral de la raiz cuadrada de 4 menos x menos 3 al cuadrado dx

Ahora empieza a parecerse a una expresión mas conocida y amigable, pero

J'aime avoir un ici

me gustaria tener un 1 por aqui. Entonces, factorizamos el 4 fuera entonces esto es igual a....voy a intercambiar colores aqui...es igual a la integral de la raíz, y por aqui tenemos 4 veces 1

menos x menos 3 al cuadrado dividido entre 4 Simplemente tomé un 4 de cada uno de los 2 términos Si multiplico esto de aca afuera, volvemos a la expresión que tenemos aqui, dx

Et maintenant ce commence

Y ahora, esto se comienza a parecer a una forma que si me agrada. Simplificamos un poco mas Y ahora esto es igual a la integral, si pongo el 4 fuera se convierte en 2 veces la raiz cuadrada de 1 menos, y podemos

re-escribirla como x menos 3, escribamosla de esta forma: 1 menos x menos 3 sobre 2, al cuadrado, dx.

Ou est-ce que

Y de donde sacamos ese 2? Pues simplemente si elevamos al cuadrado ambos, obtenemos x menos 3 al cuadrado sobre 2 al cuadrado Lo cual es x menos 3 sobre 4.

Entonces, hasta ahora, no hemos hecho uso del cálculo simplemente re-escribimos algebraicamente la integral indefinida que teniamos al inicio en esta integral definida Son equivalentes

Pero, de repente, esto parece una forma que reconocemos En el ultimo video mostramos que coseno al cuadrado de theta es igual a 1 menos seno al cuadrado de theta.

Podriamos hacerlo de la manera inversa Podriamos hacer que seno cuadrado es igual a 1 menos coseno cuadrado No hay diferencia

Pero ambas funcionan Pero esta expresion se parece mucho a esta. De hecho, luciría exactamente igual si decimos que esto es igual al seno cuadrado de theta

Entonces, hagamos la sustitución Escribamos que x menos 3 sobre 2 al cuadrado es igual al seno cuadrado de theta Ahora, si tomamos la raiz cuadrada de ambos lados de la ecuación

Obtenemos x menos 3 sobre 2 es igual al seno de theta. Ahora, eventualmente...bueno...ya sabes hacia donde va esto. Eventualmente vamos a tener que sustituir de nuevo a theta Entonces, resolvamos para theta en terminos de x

Theta en terminos de x, podriamos decir que, solamente vamos a tomar arc-seno en ambos lados de esto y obtenemos que theta es igual a, correcto...the arc-seno de el seno es solamente theta

Theta es igual al arc-seno de x menos 3 sobre 2.

C'est bien.

De acuerdo. Ahora, para hacer la sustitución, tenemos que encontrar quien es dx, asi que tenemos que encontrar x en temrinos de Theta

Hagamoslo Tenemos que si multiplicamos ambos lados de la ecuacion por 2 obtenemos x menos 3 es igual a 2 veces el seno de theta Osea que x es igual a 2 seno de theta mas 3.

Ahora, si derivamos ambos lados con respecto a theta, tenemos que dx d theta es igual a 2 coseno de theta la derivada de esto es 0 O podemos multiplicar ambos lados por theta y obtenemos que dx es

igual a 2 coseno de theta d theta Y estamos listos para sustituir en nuestra original integral indefinida Entonces, ahora esta expresion puede re-escribirse como la integral de 2

veces la raiz, si logramos algo de espacio..., de 1 menos Reemplazamos esto con el seno al cuadrado de theta Y todas las veces dx Bueno, simplemente dije que dx es igual a esto por aqui.

Entonces, dx es igual a 2 coceno de theta d theta A que se reduce esto? Esta accion de aca, es simplemente el coseno al cuadrado de theta Y vamos a tomar la raiz cuadrada de

coseno cuadrado de theta Entonces, esta raiz cuadrada del coseno cuadrado de todo este término por aca, correcto? Se convierte en la raiz cuadrada del coseno cuadrado de theta, el cual

es lo mismo que el coseno de theta Entonces, nuestra integral se convierte en 2 veces la raiz cuadrada del coseno cuadrado de theta, lo que es simplemente 2 veces coseno de theta, multiplicado por 2

Eso es uno, justo aqui! Esto es esto, y todo este radical seno, esta esta por aqui. 1 menos seno cuadrado era coseno cuadrado, tomamos el radical

obtenemos coseno cuadrado Y todo multiplicado por d-theta Ahora esto es obviamente igual a 4 veces el coseno cuadrado de theta de-theta.

Lo cual, por si mismo, no es todavia una integral facil de resolver Yo no se...tu sabes?...no podemos aplicar el método de sustitución o algo parecido Entonces: Que hacemos?

Bueno, recurrimos a nuestras viejas amigas: las identidades trigonométricas. No sé si las llegaste a memorizar alguna vez, pero la mayoria aparecen en las contraportadas de los libros de cálculo o dentro de la portada de los libros de trigonometría

Entonces, coseno cuadrado de theta se puede re-escribir como 1/2 multiplicando a 1 mas el cosneo de 2 theta. Y esto ha sido probado en varios videos. Entonces, hacemos esta sustitución

Reemplazamos esta cosa por aca con esta otra cosa Y la integral se convierte en 4 veces el coseno cuadrado de theta, pero coseno cuadrado de theta es esto 4 veces 1/2 multiplicado por 1 mas coseno de 2 theta d-theta

Ahora esto se ve como algo mas facil de trabajar ¿Que es esto? 4 veces 1/2 eso es 2 Entonces, mi integral ahora se convierte en la integral de 2 veces 1, osea

2 mas 2 veces 2 coseno de 2 theta, todo d-theta Ahora, esta antiderivada es bastante simple ¿Que es esto de aqui? Esta es la derivada con respecto a theta de

seno de 2 theta...cierto?? Toda esta expresión ¿Cual es la derivada de seno de 2-tetha? Tomas la derivada de dentro, eso es 2 veces

la derivada de afuera, coseno de 2 theta Y por supuesto, esta es la derivada de 2 theta Entonces, esto es igual a la antiderivada de 2 con respecto a theta, simplemente 2 theta mas la antiderivada

de esto, lo cual es simplemente seno de 2 theta y entonces tenemos un mas "C" Y por supuesto, no podemos olvidar que definimos theta como nuestra original antiderivada en terminos de x

Entonces, no podemos simplemente dejarlo en terminos de theta tenemos que hacer una sustitución de vuelta Recordemos que theta era igual al arc-seno de x menos 3 sobre 2

Lo escribimos por aca Ahora, si inmediatamente sustituimos theta aqui, vamos a tener un seno de 2 veces arc-seno de x menos 3 sobre 2, lo cual es correcto

Y tendriamos 2 veces arc-seno de x menos 3 sobre 2 Lo que estaria bien y listo Pero eso no es suficiente No es una respuesta completa y limpia

Entonces, veamos si podemos simplificar esto en terminos de theta Cuando tomas el seno del arc-seno, entonces simplemente simplifica a x menos 3 sobre 2

Seamos claros con esto. Entonces, si podemos escribir esto en terminos de theta porque el seno de theta es igual al seno del arc-seno de x menos 3 sobre 2

lo cual es igual a x menos 3 sobre 2 entonces podemos escribir en terminos de senos de theta, entonces podemos hacer esta sustitucion Seno de theta iguala a esto y todo

se simplifica bastante Entonces, veamos si podemos hacerlo Puede que si, puede que no conozcas la otra identidad que ha sido probada tambien donde seno de 2 theta, es la misma

cosa que seno de theta mas theta, lo que es igual a seno de theta, coseno de theta mas, los thetas que se transponen seno de theta mas coseno de theta, que es igual a esto Es la misma cosa escrita 2 veces, seno de theta

coseno de theta Algunas personas han memorizado esto desde antes, y si vas a tomar un examen sobre sustitucion trigonometrica, pues es bueno saberlo y memorizarlo con anticipacion.

Pero re-escribamos esto como esto de aca Entonces, nuestra integral indefinida en terminos de theta en nuestra antiderivada se convierte en 2 theta mas, en lugar de seno de 2 theta, lo escribimos como 2 seno de theta coseno de theta y

por supuesto, mas C Ahora lo escribimos todo en terminos de theta, pero tenemos un coseno aca ¿Que podemos hacer?

Bueno, conocemos que coseno cuadrado de theta es igual a 1 menos seno cuadrado de theta, o que coseno de theta es igual a la raiz cuadrada de 1 menos seno cuadrado de theta

Lo cual parece como que agregamos complejidad, pero en realidad es para ponerlo en terminos del seno de theta Entonces, hagamoslo Aplicamos la sustitución

Entonces, nuestra antiderivada es lo mismo que 2 (datos) mas 2 seno de theta veces coseno de theta, lo que equivale a esto: por la raiz cuadrada de 1 enos seno cuadrado de theta mas la constante C

Ahora, estamos en casa...podemos relajarnos. Este problema fue probablemente mas dificil de lo que pensabas y era de esperarse Sabemos que seno de theta es igual a x menos 3 sobre 2

entonces, revertimos esta sustitución Y tenemos 2 veces theta Este primer termino es solamente 2 veces theta, justo aqui Eso es 2 veces....no podemos escaparnos del arc-seno

Si solamente tenemos un theta, tenemos que decir que theta es igual al arc-seno de x menos 3 sobre 2 y entonces tenemos mas, ...permitame cambiar colores mas 2 seno de theta

Bien, eso es mas 2 veces seno de theta, es x menos 3 sobre 2 Entonces, 2 veces x menos 3 sobre 2 y luego todo esto multiplicado por la raiz cuadrada de 1 enos seno de theta al cuadrado ¿Cual es el seno de theta?

Es x menos 3 sobre 2 cuadrado Y por supuesto, tenemos un mas C Veamos si podemos simplificarlo aun mas ahora que estamos en casa y podemos relajarnos

Entonces, esto es igual a 2 arc-seno de x menos 3 sobre 2 mas estos dos terminos, este 2 y este 2 se cancelan mutuamente, mas x menos 3 veces la raiz cuadrad de...que sucede si multiplicamos todo esto por....veamos....si tomamos un....esto es igual a

1 menos x menos 3 sobre 4. x menos 3 cuadrado sobre 4 Humm...esta simplificacion (debería escribirse en letras doradas) me esta tomando mas de lo que pensaba Pero veamos si podemos simplificarlo aun mas

Si multiplicamos, dejame enfocarme en los terminos por aqui, si multiplicamos el termino exterior, o digamos, que multiplicamos y dividimos por 2 Entonces, vamos a escribir esto como....vamos simplemente a multiplicar

esto por 2 sobre 2 Seguramente dirás: Sal, ¿porque haces eso? Porque puedo re-escribir esto, dejame escribir la expresión completa aqui Entonces, tengo 2 arc-seno de x menos 3 sobre 2 y luego

tengo...podria tomar este denominador 2 de aqui Y digamos, mas x menos 3 sobre 2 Ese 2 es este mismo 2 aqui Y entonces puedo escribir el 2 aqui como

la raiz cuadrada de 4 multiplicada por la raiz cuadrada de 4 Raiz de todo esto 1 menos x menos 3 sobre 4

Creo que ya deberias ver lo que planeo hacer Estoy como revirtiendo todo lo que hice al inicio del problema Y talvez me estoy concentrando mucho en hacer esto

tan simple como sea posible....pero estoy cerca, dejame terminar Entonces, tengo 2 veces el arc-seno de x menos 3 sobre 2, ...ya me estoy cansando de escribirlo mas x menos 3 sobre 2 y si traemos este 4 dentro, correcto, la raiz cuadrada de 4 veces el la raiz cuadrada de todo esto

es igual a la raiz cuadrada de 4 veces estos terminos Entonces es 4 menos 3 al cuadrado, todo esto sumado con C Y de nuevo, estamos en casa y nos podemos relajar.

Esto es igual a 2 veces el arc-seno de x menos 3 sobre 2 mas x menos 3 sobre 2 veces la raiz de 4 menos...veamos... expandemos esto: x cuadrado menos 6x mas 9 Y entonces, esta expresion aqui se simplifica...menos menos

es 6x menos x cuadrado y luego tenemos un 4 menos 9 menos 5 Lo cual es nuestra antiderivada original Entonces, finalmente, estamos en el último paso

tenemos la antiderivada que es 2 arc-seno de x menos 3 sobre 2 mas x menos 3 sobre 2 veces, raiz de 6x menos x cuadrado menos 5. Esto de aqui, es la antiderivada de lo que

teniamos al principio de la pizarra que esta justo ahi. Entonces, es igual a la antiderivada de la raiz cuadrada de 6x menos x cuadrado menos 5 dx

YI puedo imaginar que estas tan cansado como estoy yo... mi mano me duele! Pero espero que hayas encontrado este video de alguna manera satisfactorio A veces escucho quejas de que solamente trabajo con problemas simples

Bueno, este ha sido uno "no tan simple"

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