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Multivariable maxima and minimaYouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 117.1K views 678 likes 30 dislikes 22 Jun 2016

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- [Voiceover] When you have a multivariable function,

다수의 입력값을 가지고

something that takes in multiple different input values

하나의 출력값을 가지는

and let's say it's just outputting a single number,

다변수 함수를 다루는 경우

a very common thing you wanna do

우리가 주로 하고 싶은 것은

with an animal like this is Maximize it.

이를 '극대화' 하는 것 입니다

Maximize it, and what this means

'극대화' 란,

is you're looking for the input points,

x와 y 를 비롯한 모든 변수에

the values of x and y and all of its other inputs,

가능한 입력값을 모두 대입해 본 이후,

such that the output, f, is as great as it possibly can be.

그에 대한 출력값 f 의 최댓값을 찾는 것입니다

Now this actually comes up all the time in practice

이러한 상황은 실제로도 많이 찾아볼 수 있습니다

'cause usually when you're dealing

여러분도 아시다시피

with a multivariable function, it's not just for fun

다변수 함수를 다루는 것은 그저 재미로 하는 것이 아닙니다

and for dealing with abstract symbols,

여기에 등장하는 추상적인 기호들은

it's 'cause it actually represents something,

어떠한 값을 실제로 나타내는데,

so maybe it represents profits of a company,

가령 기업의 수익,

maybe this is a function where you're considering

또는 어떠한 의사결정 과정에 있어서

all the choices you can make,

택할 수 있는 경우의 수,

like the wages you give your employees

직원들의 임금,

or the prices of your goods,

상품의 가격,

or the amount of debt that you raise for capital,

자금을 조달한 부채의 양을 비롯해

all sorts of choices that you might make,

우리가 맞닥뜨리게 되는 모든 의사결정 사항에서

and you wanna know what values should you give

얼마나 투자해야

to those choices such that you maximize profits,

최대의 수익을 얻을 수 있을지를 다루는 경우

you maximize the thing, and if you have a function

이를 다루는 함수가 존재한다면

that models these relationships,

좋을 것 입니다.

there are techniques, which I'm about to teach you,

지금부터 제가 강의할 것은,

that you can use to maximize this.

이러한 '극대화'에 관한 방법입니다.

Another very common setting,

또 다른 매우 중요한 설정은,

more and more important these days,

근래에 들어 더욱 중요해지고 있는

is that of machine learning and artificial intelligence,

인공지능, 기계학습과도 관련이 있는

where often what you do is you assign something

어떠한 임무를 수행할 때

called a cost function to a task,

'비용 함수' 를 할당하는 것입니다

so maybe you're trying to teach a computer

만일 당신이 컴퓨터에게 음악을 듣거나 ,

how to understand audio or how to read handwritten text.

손글씨를 읽는 방법을 가르치려 할 때 말입니다

What you do, is you find a function

당신이 자주 하는 일은,

that basically tells it how wrong it is

컴퓨터가 어떤 것을 추측하였을 때,

when it makes a guess, and if you do a good job

그것이 얼마나 정확한지를 알려주는

designing that function, you just need to tell the computer

오류를 '최소화' 하는 함수를 만드는 것입니다

to Minimize, so that's kind of the flip side, right?

이는 앞서 말한 것과는 반대되는 이야기입니다

Instead of finding the maximum,

'최대'를 찾는 대신

to minimize a certain function,

어떠한 함수의 '최소' 를 찾고

and if it minimizes this cost function,

만일 '비용 함수'를 최소화 시킨다면

that means that it's doing a really good job

이는 당신이 컴퓨터에게 어떠한 과제를 할당했든

at whatever task you've assigned it,

컴퓨터가 그 임무를 매우 잘 수행하였음을 알려줍니다

so a lot of the art and science of machine learning

미술과 과학에서의 머신러닝,

and artificial intelligence comes down to, well,

그리고 인공지능을 다루는 데에 있어서

one finding this cost function

이러한 '비용 함수'를 찾고

and actually describing difficult tasks

실제로 어려운 임무들을

in terms of a function, but then applying the techniques

'함수' 로 표현하고 이를 적용하는 방법을

that I'm about to teach you

강의를 할 것입니다

to have the computer minimize that,

and a lot of time and research

지금까지 학자들은 많은 시간을 투자해

has gone into figuring out ways to basically apply

어떻게 하면 이러한 방법을

these techniques, but really quickly and efficiently.

컴퓨터에게 빠르고 효과적으로 적용할 수 있을지를 연구해 왔습니다

So, first of all, on a conceptual level,

그러면, 우리는 개념적 수준에서

let's just think about what it means

다변수 함수의 최댓값을 찾는 것이

to be finding the maximum of a multivariable function.

어떠한 의미를 갖는지 생각해봅시다

So I have here the graph of a two-variable function.

여기에 이변수 함수의 그래프가 있습니다

It's something that has a two-variable input

우리가 생각하는 xy 평면과 같은

that we're thinking of as the xy-plane,

두 개의 입력값을 가지며

and then its output is the height of this graph,

출력값으로는 높이가 나옵니다

and if you're looking to maximize it,

이를 극대화하기 위해서는

basically, what you're finding is this peak,

우선 최고점이 어딘지를 찾을 것입니다

kind of the tallest mountain in the entire area,

즉, 가장 높은 산을 찾는 것입니다

and you're looking for the input value,

그리고 최고점 아래에 있는

the point on the xy-plane directly below that peak,

xy 평면의 입력값을 찾을 것입니다

'cause that tells you the values of the inputs

이 입력값은 결국에는

that you should put in to maximize your function,

함수를 최대로 만드는 입력값이 됩니다

so how do you go about finding that?

그렇다면 이 값을 어떻게 찾을까요?

Well, this is perhaps the core observation

이 것이 핵심적으로 관찰할 것이 됩니다

in well, calculus, not just multivariable calculus.

미적분학을 통틀어서

This is similar in the single variable world,

단일 변수 세계를 비롯해

and there are similarities in other settings,

다른 다양한 상황에서도 비슷합니다

but the core observation

가장 핵심적인 것은

is that if you take a tangent plane at that peak,

피크에서 접평면을 그리면,

so let's just draw in a tangent plane at that peak,

다음과 같이,

it's gonna be completely flat,

완전히 평행한 평면이 나옵니다

but let's say you did this at a different point, right?

만일 다른 점에서 접평면을 그릴 경우

'Cause if you tried to find the tangent plane,

not at that point, but you kind of moved it about a bit

이렇게 오른쪽으로 살짝 옮겨주면

to somewhere that's not quite a maximum,

더 이상 최대가 아니게 되고

if the tangent plane has any kind of slope to it,

이 접평면은 기울기를 가지게 됩니다

what that's telling you is that if you take

이렇듯 만일

very small directions,

어떠한 점에서의 접선이

kind of in the direction of that upward slope,

0이 아닌 기울기를 가진다면

you can increase the value of your function,

아직 함수가 최댓값이 아니라는 것이며

so if there's any slope to the tangent plane,

한번 더 말하자면 접평면의 기울기가 0이 아닐 경우

you know that you can walk in some direction to increase it,

아직 함수를 증가시킬 수 있습니다

but if there's no slope to it, if it's flat,

하지만 만일 기울기가 0인 xy평면과 평행한 접평면이라면

then that's a sign that no matter which direction you walk,

어떠한 방향으로 움직이든

you're not gonna be significantly increasing the value

함숫값은 감소하게 됩니다

of your function.

So what does this mean in terms of formulas?

그렇다면 이 것을 공식으로 어떻게 표현할까요?

Well, if you kind of think back

예전으로 돌아가서

to how we compute tangent planes

접평면을 어떻게 계산했는지를 생각해봅시다

and if you're not very comfortable with that,

잘 기억이 나지 않는다면

now would be a good time to take another look

이전에 제가 강의했던

at those videos about tangent planes,

접평면에 관한 동영상으로 돌아가

the slope of the plane in each direction,

평면에서의 x,y,z 방향의 기울기를 알아보면

so this would be the slope in the x direction,

이 경우 x 방향의 기울기를 보는 것이고

and then if you look at it from another perspective,

다른 방향에서 본다면,

this would be the slope in the y direction,

이 것은 y 방향에서 보는 것입니다

each one of those has to be zero, and that,

각 방향에서의 미분계수는 0이 되어야 합니다

in terms of partial derivatives,

편미분의 형태로 표현하면,

means the partial derivative of your function,

주어진 함수를 x에 대해 편미분하였을 때,

at whatever point you're dealing with, right?

최고점의 x, y 좌표를

So I'll call it x not, y not, as the point

(x0,y0) 라고 하면

where you're inputting this, has to be zero,

그 출력값은 0이 되어야 합니다

and then similarly, the partial derivative

비슷한 방법으로,

with respect to the other variable, with respect to y,

y 에 대한 편미분계수도

at that same point, has to be zero,

동일한 점 (x0,y0)에서 0이 되어야 합니다

and both of these have to be true

앞서 말한 두 조건을 동시에 만족해야 합니다

because let's just take a look, I don't know,

왜냐하면 다음과 같이

let's slide it over a little bit here,

최고점에서 약간 빗겨나간 점을 보면

this tangent plane, if you look at the slope,

이 점에 접하는 접평면의 경우,

you imagine walking in the y direction,

최고점에서 y 방향으로 약간 빗겨갔고,

you're not increasing your value at all.

출력값이 최댓값보다 작습니다

The slope in the y direction would actually be zero,

하지만 이 접평면의 y 방향의 기울기 또한 0입니다

so that would mean the partial derivative

with respect to y would be zero, but with respect to x,

y 에 대한 편미분계수는 0이지만,

when you're moving in the x direction here,

x 에 대한 편미분계수를 관찰하면,

the slope is clearly negative,

확실하게 기울기가 음수임을 알 수 있습니다

because as you take positive steps in the x direction,

x 축 양의 방향으로 진행하면

the height of your tangent plane is decreasing,

접평면의 높이가 감소하고

which corresponds to if you take tiny steps on your graph,

그래프에서 양으로 조금 움직이면

then the height will decrease in a manner proportional

높이 또한 이에 비례하여

to the size of those tiny steps.

조금 작아지게 됩니다

So what this gives you here is gonna be a system

여기서 우리에게 알려주는 것은

of equations where you're solving for the value of x not

최고점인 (x0,y0)를 다루는 경우에는

and y not that satisfies both of these equations,

다음 두 식을 모두 만족시켜야 한다는 것입니다

and in future videos,

이어지는 영상에서는

I'll go through specific examples of this.

구체적인 예시를 들어 알려주겠습니다

For now, I just wanna give a good conceptual understanding,

하지만 지금은 개념적으로 이해만 하면 됩니다

but one very important thing to notice

반드시 알아야 할 것은

is that just because this condition is satisfied,

다음 두 조건이 만족된다고 해서,

meaning your tangent plane is flat,

즉, 접평면이 xy평면과 평행하다고 해서

just because that's satisfied, doesn't necessarily mean

그 사실 자체가 우리가 다루는 점이

that you've found the maximum.

최고점임을 말하지는 않는다는 것입니다

That's just one requirement that it has to satisfy,

즉, 필요충분조건이 아니라는 것입니다

but for one thing, if you found the tangent plane

다음과 같이

at other little peaks, like this guy here or this guy here,

다른 봉우리인 노란색 점을 보면

or all of the little bumps that go up,

those tangent planes would also be flat,

여기서의 접평면도 xy평면에 평행합니다

and those little bumps actually have a name

이렇게 작은 봉우리들도 각각의 이름이 있습니다

because this comes up a lot.

자주 등장하기 때문이죠

They're called local Minima, or local Maxima, sorry,

이 봉우리들을 극대점(Maxima)이라고 부릅니다

so those guys are called local Maxima.

Maxima is just the plural of Maximum,

Maxima 는 Maximum(최대) 의 복수형입니다

and local means that it's relative to a single point,

그리고 로컬(local)은 특정 점 근처를 다룸을 의미합니다

so it's basically, if you walk in any direction,

쉽게 말하면

when you're on that little peak, you'll go downhill,

이 봉우리에서 약간 움직이면 아래로 내려가게 됩니다

so relative to the neighbors of that little point,

즉, 이 봉우리는 근처의 점에 비해서는 최대이지만,

it is a maximum, but relative to the entire function,

전체 함수를 놓고 보았을 때에는,

these guys are the shorter mountains next to Mount Everest,

여기 빨간 점에 비해서는 높이가 낮습니다

but there's also another circumstance

이 노란 봉우리 뿐만 아니라

where you might find a flat tangent plane,

평평한 접평면을 가지는 다른 점을 찾을 수 있습니다

and that's at the Minima points, right?

그 점들은 극소점(Minima points) 이 됩니다

If you have the global Minimum, the absolute smallest,

최소점(Global Minimum)이나

or also just the local Minima, these inverted peaks,

극소점(Local Minima) 의 뒤집혀 있는 점들에서도

you'll also find flat tangent planes.

평평한 접평면을 찾을 수 있습니다

So what that means, first of all,

이러한 사실이 말하는 바는

is that when you're minimizing a function,

함숫값을 최소화하려 할 때,

you also have to look for this requirement,

이 두 조건,

where all the partial derivatives are zero,

x 와 y 에 대한 편미분계수 조건만으로는

but it mainly just means that your job isn't done

극소나 극대점임을

once you've done this.

확신할 수 없다는 것입니다

You have to do more tests to check

몇 가지를 더 확인해 보아야

whether or not what you found is a local Maximum

우리가 찾은 점이 극댓점인지,

or a local Minimum, or a global Maximum,

극소점인지, 최소점인지를 알 수 있습니다

and these requirements, by the way,

이 편미분계수 조건들은

often you'll see them written in a more succinct form,

이후에 더욱 간결한 형태로 자주 보게 될 것입니다

where instead of saying all the partial derivatives

이렇게 일일이 각 축에 대한

have to be zero, which is what you need to find,

편미분계수가 0임을 적는 대신,

they'll write it in a different form

다음과 같이,

where you say that the gradient of your function, f,

f 에 대한 그래디언트(gradient,)가,

which, of course, is just the vector

풀어서 말하면, 모든 편미분계수를 포함하는

that contains all those partial derivatives.

정보를 담고 있는 벡터로 표현 가능합니다

Its first component is the partial derivative

벡터의 첫번째 원소는

with respect to the first variable,

첫번째 변수의 편도함수이고

its second component is the partial derivative

두번때 원소는

with respect to the second variable,

두번째 변수의 편도함수이며

and if there's more variables, you would keep going,

변수가 더 많아도, 같은 방법으로 시행하면

you'd say that this whole thing

영벡터가 되어야 합니다

has to equal the zero vector, the vector that has nothing

즉, 이 벡터는

but zeroes as its components,

오직 0만을 원소로 가집니다

and it's kind of a common, abusive notation.

하지만 이렇게 일일이 쓰기 귀찮으므로

People will just call that zero vector, zero,

사람들은 이 것을 영벡터라 부릅니다

and maybe they'll emphasize it by making it bold,

영벡터임을 표시하기 위해 0을 굵게 써줍니다

because the number zero is not a vector

왜냐하면 숫자 0은 벡터가 아니기 때문이죠

and often making things bold emphasizes

이렇게 굵게 써주는 것은

that you want to be referring to a vector,

벡터로 취급한다는 사실을 알려줍니다

but this gives a very succinct way

이러한 표기는

of describing the requirement.

매우 간결합니다

You're just looking for where the gradient of your function

위 두 식을 함수 f의 그래디언트(gradient)가

is equal to the zero vector, and that way,

영벡터가 된다는 것으로 대체 가능합니다

you can just write it on one line, but in practice,

이렇게 되면 한 줄에 쓸 수 있습니다

every time that you're expanding that out,

하지만 연습삼아서 풀어서 적는 것도 좋습니다

what that means is you find

그래디언트 f 는

all of the different partial derivatives,

모든 편도함수를 모아 놓은 집합일 뿐입니다

so this is really just a matter of notational convenience

이 기호는 그저 사용의 편의를 위해서,

and using less space on a blackboard,

칠판의 칸을 적게 차지하기 위해서 사용합니다

but whenever you see this, that the gradient equals zero,

만일 함수의 그래디언트가 0이라는 식을 본다면

what you should be thinking of

우리가 생각해야 할 것은

is the idea that the tangent plane,

접평면입니다

the tangent plane is completely flat,

접평면이 완전하게 평평함을 생각해야 합니다

and as I just said, that's not enough

하지만 아까 말했듯

because you might also be finding local Maxima

이 정보만으로 극대 /극소라고 할 수 없습니다

or Minima points, but in multivariable calculus,

다변수 미적분학에서 새로이 등장하는

there's also another possibility,

주어진 조건인

a place where the tangent plane is flat,

접평면이 평평하다는 조건을 만족하지만

but what you're looking at is neither a local Maximum

극대나 극소가 아닌,

nor a local Minimum, and this is the idea

of a saddle point, which is new to multivariable calculus,

인장점(saddle point) 이 등장하기 때문입니다

and that's what I'll be talking about in the next video,

다음 영상에서는 이 것을 이야기하겠습니다

so I will see you then.

다음 영상에서 봅시다

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