What is a differential equation Khan Academy English Czech

What is a differential equationYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 2M views 7K likes 287 dislikes 28 Aug 2008

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

Welcome to this first video, and actually the first video

Vítejte do tohoto prvního videa, a vlastně prvního videa

in the playlist on differential equations.

v seznamu videí ohledně diferenciálních rovnic.

I know I touched on this before when we did harmonic

Vím, že jsem se tohoto dotknul dříve, když jsme se zabývali harmonickým (tj. lineárním periodickým)

motion, and I think I might have touched

pohybem (viz kmity), a domnívám se, že jsem se tohoto mohl dotknout

on it in other subjects.

jiných tématech.

But now, because of your request, we'll do a whole

Ale nyní, z důvodu vaší žádosti, vytvoříme celou

playlist on this.

skupinu videí k tomuto tématu.

And that's a fairly useful thing, because differential

A je to dost užitečné téma, protože diferenciální

equations is something that shows up in a whole set of

rovnice jsou něco, co se vyskytuje ve velké skupině

different fields.

různých oblastí.

I've been requested by someone who's starting an economics

Byl jsem požádán někým, kdo začíná ekonomické

PhD program to do this; I've been requested by some people

PhD studium, abych se do tohoto pustil; byl jsem požádán některými lidmi,

who are going into physics, some people who are going into

kteří začínají studovat fyziku, některými lidmi, kteří začínají studovat

inženýrství.

So it's a widely applicable area of study.

Takže je to široce aplikovatelná oblast studia.

So let's just get started, before I keep going off on

Tak prostě začněme, nebo se zaseknu na

neužitečném povídání.

So the differential equations.

Takže diferenciální rovnice.

So the first question is: what is a differential equation?

Takže první dotaz je: co je to diferenciální rovnice?

You know what an equation is.

Víte, co je to rovnice.

What is a differential equation?

Co je diferenciální rovnice?

Well, a differential equation is an equation that involves

Dobře, diferenciální rovnice je taková rovnice, která obsahuje

an unknown function and its derivatives.

nějakou neznámou funkci a její derivaci.

So what do I mean by that?

Co tím tedy míním?

Well, let's say that I said that y prime plus y is equal

Dobře, řekněme, že jsem řekl, že "derivace y plus y se rovná

Here, the unknown function is y.

Zde ta neznámá funkce je y.

We could have written it as y of x, or we could have written

Mohli jsme to napsat jako "funkce y proměnné x", nebo jsme to mohli napsat

this as dy dx, the derivative of y with respect to x plus

jako dy podle dx, "derivace y vzhledem k x" plus

this unknown function y is equal to plus 3.

tato neznámá funkce y se rovná x plus 3.

We also could have written f prime of x plus f of x is

Také jsme mohli napsat "derivace funkce f proměnné x" plus tato "funkce f proměnné x" je

equal to plus 3.

rovna x plus 3.

All of these would have been valid ways of writing this

Toto vše by byly správné způsoby, jak napsat tuto

exact same differential equation.

jednu a stále tu samou diferenciální rovnici.

And what's interesting here, and how this is a departure

A co je zde zajímavé, a jak je to odlišné

from what we've learned before about just regular equations

od toho, co jsme se již naučili dříve ohledně obyčejných rovnic

is that-- let me write down a regular equation just to

je, že -- prvně raději napíši obyčejnou rovnici, abych

remind you what they look like.

vám připomenul, jak vypadají.

So a regular equation, if we had one variable, would look

Takže obyčejná rovnice, pokud bychom měli jednu proměnnou, by vypadala

something like this.

I don't know, x squared plus the cosine of x is equal to

Například, x na druhou plus cosinus x se rovná

the square root of x.

druhé odmocnině z x.

I just made that up.

Toto jsem si zrovna vymyslel.

Here, the solution is a number, or sometimes it's a

Zde, řešení je číslo, nebo někdy je to

set of numbers.

množina čísel.

Sometimes there's more than one, right?

Někdy dostaneme více než jedno řešení, že ano?

If you have a polynomial, you could have more than one

Když máte polynom, můžete mít více než jednu

values of x that satisfy this equation.

hodnotu x, která splňuje danou rovnici.

Here, for a differential equation, the

Zde, pro diferenciální rovnici, hledaným

solution is a function.

řešením je funkce.

Our goal is to figure out what function of x, and here I

Naším cílem je zjistit, jaká funkce proměnné x, a zde jsem

wrote f of x explicitly, but what function of x explicitly

výslovně napsal "f proměnné x", tedy jaká funkce proměnné x přesně

satisfies this relationship or this equation.

splňuje tento vztah, tuto (diferenciální) rovnici.

So let me show you what I mean by that.

Nyní vám tedy ukáži, co tím míním.

And I have my differential equations book from college,

Mám učebnici diferenciálních rovnic z vysoké školy,

so I'm going to use that as we go.

tedy ji budu průběžně používat.

So let's say that-- I'm just writing now.

Tedy řekněme, že -- zrovna to píši.

See, they have this as a differential equation.

Vidíte, mají toto jako diferenciální rovnici.

And I'm not going to show you necessarily how to solve them

Nebudu vám (ještě nyní) nutně ukazovat, jak je řešit,

just yet, because we have to learn some tricks first. But I

protože se prvně musíme naučit nějaké triky. Ale

think a good place to start is just so you understand what a

domnívám se, že dobrým začátkem je, abyste pochopili, co vlastně

differential equation is, so you don't get confused with

diferenciální rovnice je, takže ji nezaměníte za

the traditional equation.

obyčejnou rovnici.

So, they have this differential [? derivative. ?]

Takže, mají (v té učebnici) tuto derivaci:

druhá derivace funkce y.

So the second derivative of y with respect to x, plus 2

Takže druhá derivace y vzhledem k x, plus 2

times the first derivative of y with respect to x, minus 3 y

krát první derivace y vzhledem k x, minus 3 y

And they give us the solutions here, and what they want us to

A máme zde dána i řešení, a to co máme udělat,

do is show that these are solutions.

je ukázat, že jsou to vskutku řešení.

And I think this is a good place to just at least

A domnívám se, že toto je správné místo, abychom přinejmenším

understand what a differential equation is, and what its

pochopili, co diferenciální rovnice je, a co její

solution means.

řešení znamenají.

So they say y1 of x is equal to e to the minus 3x.

Tedy říkají, že y1 (funkce proměnné x) je rovna "e na minus 3x"

So they claim that this is a solution of this

Tedy tvrdí, že toto je jedno možné řešení této

differential equation.

diferenciální rovnice.

So let me show to you that this is.

Tedy vám ukáži, že tomu tak vskutku je.

Well, if this is soon. y1, what's y-- well, let

Dobře, pokud příliš chvátáme. y1, co je to y -- dobře

me just write y1.

prostě napišme y1. (1 je index, který značí, že toto je první možné řešení, kterým se zabýváme)

What's y1 prime?

Co je derivací funkce y1?

What's the derivative of this?

Co je derivací této funkce?

Well, just do the chain rule.

Prostě použijte větu o derivaci složené funkce.

The derivative of the whole function, with respect to this

Derivace celé (míněno vnější) funkce, vzhledem k této

part of it, is just e to the minus 3x.

její (vnitřní) části, je e na mínus 3x.

And then you take the derivative of the inside.

A pak uděláme derivaci vnitřní funkce.

So that's just the derivative of the outside, e

Takže celkovou derivací je derivace vnější funkce, e

to the minus 3x.

And the derivative of the inside is minus 3.

a (násobíme) derivací vnitřní funkce, tedy minus 3.

And the second derivative of y1 is equal to-- we'll just

A druhá derivace funkce y1 je rovno -- prostě

take the derivative of this, and that's just equal to plus

uděláme derivaci tohoto (tj. získané první derivace), a to se prostě rovná: plus

9-- minus 3 times minus 3-- e to the minus 3x.

9 -- mínus 3 krát mínus 3 -- e na mínus 3x.

Now, let's verify that if we substitute y1 and its

Nyní ověřme, že pokud dosadíme y1 a její

derivatives back into this differential equation, that it

derivace zpět do této diferenciální rovnice, že

rovnice je splněna, tedy že rovnost platí.

So y prime prime, that's this.

Tedy druhá derivace y, to je toto.

So we get nine e to the minus 3x, plus 2y prime.

Takže máme 9 e na mínus 3x, plus 2 krát derivaci y.

Plus 2 times y prime.

Plus 2 krát derivaci y (vzhledem k x).

Well, this is y prime.

Dobře, toto je derivace y.

So 2 times minus 3 e to the minus 3x plus-- oh sorry,

Takže 2 krát mínus 3 e na mínus 3x plus -- jejda, pardon,

minus-- 3 times y.

mínus -- 3 krát y.

Well, y is this.

Dobře, y je toto.

So minus 3 times e to the minus 3x.

Takže mínus 3 krát e na mínus 3x.

Well, what does that equal?

Dobře, čemu se to rovná?

We get 9 e to the minus 3x, minus 6 e to the minus 3x,

Dostáváme 9 e na mínus 3x, mínus 6 e na mínus 3x,

minus 3 e to the minus 3x.

mínus 3 e na mínus 3x.

Well, what does that equal?

Dobře, čemu se to rovná?

We have 9 of something minus 6 of

Máme 9 něčeho mínus 6

something minus 3 of something.

toho samého (a ještě) mínus 3 toho samého.

So that just equals 0.

No a to se rovná 0.

It doesn't matter of 0 whatever.

Je jedno čeho 0.

So that equals 0.

Je to prostě 0.

So we verified that for this function, for y1 is equal to e

Takže jsme ověřili že pro tuto funkci, pro y1, která je rovna e

to the minus 3x, it satisfies this differential equation.

na mínus 3x, je diferenciální rovnice splněna.

Now there's something interesting here, and you've

Nyní je zde něco zajímavého, a už jste

kind of touched on this with regular equations, is that

se k tomu v podstatě dostali i u obyčejných rovnic, tedy že

this might not be the only solution.

toto nemusí být jediné řešení.

In fact we'll learn, in maybe a video or two, that often the

Ve skutečnosti se naučíme, asi v jednom nebo ve dvou videích, že často

solution is not just a function.

řešením není jen jedna pevně určená funkce.

It could be a class of functions where usually

Může to být celá třída (lineární prostor) funkcí, kde obvykle

they're all kind of the same function, but you have a

všechny tyto funkce jsou modifikací jedné funkce, kde se

difference of constants.

liší např. konstantami.

But I'll show you that in a second.

Ale to vám ukáži během chvíle.

But here, they actually show us that there's another

Nicméně zde nám (v oné učebnici) ukazují, že existuje ještě další

solution, that this will actually work with, we could

řešení, že toto bude platit s -- můžeme

try the equation y2 of x is equal to, well, just

zkusit -- rovnicí y2 (proměnné x) rovné prostě a

simple e to the x.

jednoduše e na x.

And we could verify that, right?

A my to už umíme ověřit, že?

What's the first and second derivatives of e to the x?

Co jsou první a druhá derivace funkce "e na x"?

Well, they're just e to the x.

To jsou prostě "e na x".

So the second derivative of y2 is just e to the x plus 2

Takže druhá derivace y2, tedy "e na x", plus 2

times the first derivative is what?

krát první derivace, která je co?

Well the first derivative of e to the x is still e to the x,

Dobře, první derivace "e na x" je stále "e na x",

2 e to the x, minus 3 times a function.

2 krát e na x, mínus 3 krát funkce y.

Minus 3e to the x.

Mínus 3 krát e na x.

Well, 1 plus 2 minus 3, well that equals 0 again.

Takže, 1 plus 2 mínus 3, to je opět rovno 0.

So this was also a solution to this differential equation.

Takže toto bylo opět řešením této diferenciální rovnice.

Now before we go on, in the next one I'll show you some

Nyní, než se pustíme do dalšího, vám ukáži pár

fairly straightforward differential

celkem jednoduchých diferenciálních

equations to solve.

rovnic k řešení.

I think it's a good time now, now that you hopefully have a

Domnívám se, že nyní je správný čas, když snad nyní již

grasp of what a differential equation is, and what its

máte představu, co je diferenciální rovnice, a co

je její řešení.

And its solution isn't a number, its solution is a

Jejím řešením není číslo, jejím řešením je

function, or a set of functions,

funkce, nebo množina funkcí,

or a class of functions.

nebo třída (lineární prostor) funkcí.

It's a good time to just go over a little bit of

Je vhodné si trochu přiblížit základy

So there's two big classifications.

Jsou dvě velká roztřídění diferenciálních rovnic.

Well actually, there's a first big one, ordinary and partial

Tedy, první velké dělení je na obyčejné a parciální

differential equations.

diferenciální rovnice.

I think you might have already guessed what that means.

Domnívám se, že již můžete odhadnout, co to znamená.

An ordinary differential equation is what I wrote down.

Obyčejná diferenciální rovnice je, co jsem byl napsal.

It's one variable with respect to another variable, or one

Je to jedna proměnná závislá na jiné proměnné, nebo jedna

function with respect you to, say, x and its derivatives.

funkce závislá na např. x, a derivace té funkce.

Partial differential equations we'll get into later.

K parciálním diferenciálním rovnicím se dostaneme později.

That's more complicated.

Ty jsou více komplikované.

That's when a function can be a function of

To je, když nějaká funkce je funkcí

more than one variable.

více než jedné proměnné.

And you can have the derivative with respect to x,

A tam můžete mít derivaci vzhledem k proměnné x,

a k proměnným y, a z.

We won't worry about that right now.

Nebudeme se tím nyní zabývat.

If your functions and their derivatives are a function of

Pokud vaše funkce a jejich derivace jsou funkcí

only one variable, then we're dealing with an ordinary

pouze jedné proměnné, pak se jedná o obyčejné

differential equation.

diferenciální rovnice.

That's what this playlist will deal with, ordinary

To je, čeho se týká tato skupina videí, obyčejné

differential equations.

diferenciální rovnice.

Now within ordinary differential equations,

Nyní v rámci obyčejných diferenciálních rovnic,

there's two ways of classifying, and

máme dvě možnosti klasifikací,

they kind of overlap.

které se částečně překrývají.

You have your order, so what is the order of my

Máme řád derivace, co je tedy řád mojí

differential equation?

diferenciální rovnice.

And then you have this notion of whether it is linear or

A pak máme rozlišení, zda se jedná o rovnici lineární nebo

And I think the best way to figure this out is just to

Domnívám se, že nejlepší cesta, jak to pochopit, je prostě

write down examples.

napsat pár příkladů.

So let me write down one.

Takže napišme jeden.

And I'm getting this from my college

Bude to opět z mojí vysokoškolské

differential equations book.

učebnice diferenciálních rovnic.

x squared times the second derivative of y with respect

x na druhou krát druhá derivace y vzhledem

to x, plus x times the first derivative of y with respect

k x, plus x krát první derivace y vzhledem

to x, plus 2y is equal to sine of x.

k x, plus 2 y je rovno sinus x.

So the first question here is: what is the order?

Takže první otázka zde je: jaký je řád?

All the order is is the highest derivative that exists

Tím řádem je nejvyšší derivace, která je

in your equation.

v dané rovnici.

The highest derivative of the function

Nejvyšší derivace funkce,

under question, right?

jejíž vyjádření hledáme, rozumíme?

The solution of this is going to be a y of x, that satisfies

Řešením této rovnice bude funkce y proměnné x, která splňuje

And the order is the highest derivative of that function.

A řádem je nejvyšší derivace té funkce, tj. funkce y.

Well, the highest derivative here is the second derivative.

A zde, nejvyšší derivací je druhá derivace.

So this has order 2.

Takže tato rovnice má řád 2.

Or as you could call this, a second order ordinary

Nebo byste to mohli nazvat "obyčejná diferenciální

differential equation.

rovnice druhého řádu."

Now the second thing we have to figure out: is this linear

Nyní druhá věc, kterou musíme najít: je to lineární

or is this a non-linear differential equation?

nebo nelineární diferenciální rovnice?

So a differential equation is linear if all of the functions

Takže, diferenciální rovnice je lineární, pokud všechny zahrnuté funkce

and its derivatives are essentially, well for lack of

a jejich derivace jsou -- mno, jak to vyjádřit

a better word, linear.

jinak -- lineární.

What do I mean by that?

Co je tím míněno?

I mean you don't have a y squared, or you don't have a

Je tím míněno to, že v dané rovnici není ani

dy over dx squared, or you don't have a y times the

druhá mocnina dy podle dx, ani tam není y krát

second derivative of y.

druhá derivace y.

So this example I just wrote here, this is a second order

Takže tento příklad, který jsem zde právě napsal, je lineární

linear equation, because you have the second derivative,

diferenciální rovnice druhého řádu, protože obsahuje druhou derivaci,

the first derivative, and y, but they're not multiplied by

první derivaci, a funkci y, ale žádná z nich není vynásobena ani

the function or the derivatives.

touto funkcí, ani jejími derivacemi.

Now if this equation were-- if I rewrote it as x squared d,

Nyní, pokud by tato rovnice byla -- pokud to změním na druhou mocninu x,

the second derivative of y with respect to x squared, is

druhou derivaci y vzhledem k x,

equal to sine of x, and let's say I were to square this.

rovno sinus x. a např. toto umocním.

Now, all of the sudden, I have a non-linear

Nyní mám najednou nelineární

differential equation.

diferenciální rovnici.

This is non-linear.

Tato je nelineární.

This is linear.

Tato je lineární.

Because I squared, I multiplied the second

Protože jsem umocnil, vynásobil jsem druhou

derivative of y with respect-- I multiplied it times itself.

derivaci y vzhledem k x -- vynásobil jsem ji samu sebou.

Another example of a non-linear equation is if I

Další ukázka nelineární (diferenciální) rovnice je, když

wrote y times the second derivative of y with respect

napíši "y krát druhá derivace y vzhledem

to x is equal to sine of x.

k x" je rovna sinus x.

This is also non-linear, because I multiplied the

Tato je také nelineární, protože jsem vynásobil

function times its second derivative.

funkci její druhou derivací.

Notice here, I did multiply stuff times the second

Všimněte si zde, vynásobil jsem čímsi druhou

derivative, but it was the independent variable x that I

derivaci, ale to byla nezávislá proměnná x, kterou jsem

But anyway, I've run out of time, and hopefully that gives

Nicméně čas pro lekci vypršel, a doufám, že vám

you a good at least survey of what a

to dalo alespoň dobrý přehled o tom,

differential equation is.

co jsou diferenciální rovnice zač.

In the next video, we'll start actually solving them.

V příštím videu je začneme konečně řešit.

Brzy na viděnou.

Similar videos:

Introduction to the quadratic equation | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 6.1K likes 472 dislikes 28 Jan 200744% match

CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200844% match

Differential equation introduction | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
2.1M views 10.7K likes 374 dislikes 17 Sep 201442% match

How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201041% match

Probability (part 6)
Khan Academy
252.8K views 534 likes 12 dislikes 03 May 200841% match

Level 2 Addition
Khan Academy
374K views 534 likes 53 dislikes 10 Mar 200740% match

Old separable differential equations introduction | Khan Academy
Khan Academy
834.9K views 2.6K likes 62 dislikes 28 Aug 200840% match

Indeterminate: the hidden power of 0 divided by 0
Mathologer
1.3M views 27.1K likes 845 dislikes 02 Dec 201640% match

Basic trigonometry | Basic trigonometry | Trigonometry | Khan Academy
Khan Academy
3.7M views 14.5K likes 457 dislikes 15 Feb 201139% match

The beauty of algebra | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
3.7M views 11.7K likes 790 dislikes 09 Feb 201239% match

Stoichiometry: Limiting reagent | Chemical reactions and stoichiometry | Chemistry | Khan Academy
Khan Academy
1.7M views 4.7K likes 790 dislikes 27 Aug 200939% match

"YOU WON'T BELIEVE YOUR EYES!" - Smarter Every Day 142
SmarterEveryDay
10.6M views 180.4K likes 4.9K dislikes 30 Sep 201538% match

Polynomial approximation of functions (part 1)
Khan Academy
279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 200838% match

How many bags of potato chips do people eat? | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
225.6K views 111 likes 9 dislikes 30 Oct 201238% match

Laplace transform to solve an equation | Laplace transform | Differential Equations | Khan Academy
Khan Academy
662.4K views 1.9K likes 57 dislikes 05 Sep 200837% match

DNA Structure and Replication: Crash Course Biology #10
CrashCourse
8.2M views 79.3K likes 2.1K dislikes 02 Apr 201237% match

Unit Conversion & Significant Figures: Crash Course Chemistry #2
CrashCourse
3.4M views 47.5K likes 813 dislikes 18 Feb 201337% match

How a Character LCD works Part 1
The 8-Bit Guy
1M views 41.9K likes 357 dislikes 26 Apr 201737% match

Marvel Agents Of SHIELD Season 2 Episode 11 - TOP 5 WTF
Emergency Awesome
163.6K views 2.5K likes 29 dislikes 03 Mar 201537% match

Regression Intro - Practical Machine Learning Tutorial with Python p.2
sentdex
1.3M views 9.6K likes 190 dislikes 10 Apr 201637% match

Repeated roots of the characteristic equation | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
254.8K views 668 likes 26 dislikes 02 Sep 200837% match

Exact equations example 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
640.5K views 1.7K likes 84 dislikes 30 Aug 200837% match

Learn English: 3 easy ways to get better at speaking English
ENGLISH with James · engVid
3.5M views 49.8K likes 1.6K dislikes 07 Dec 201337% match

Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
4.9M views 23.4K likes 759 dislikes 19 May 201137% match

2nd order linear homogeneous differential equations 1 | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.7K likes 187 dislikes 01 Sep 200837% match

Drawing Lewis Dot Diagrams
Bozeman Science
946.9K views 6.3K likes 269 dislikes 17 Oct 201037% match

My Favorite Fast Food Items From McDonald's
TheReportOfTheWeek
1.6M views 57.5K likes -1 dislikes 28 May 201937% match

Writing equations in all forms | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
762.1K views 1.8K likes 72 dislikes 12 Jun 201036% match

Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200636% match

Simple Differential Equations
Khan Academy
412.4K views 891 likes 48 dislikes 16 Jun 200836% match

Settings Privacy About Contact Donate