Polynomial approximation of functions (part 1) Khan Academy English Czech

Polynomial approximation of functions (part 1)YouTube↗ IA↗(long shot)
Education 279K views 480 likes 42 dislikes 28 Apr 2008

Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗

Click to Play Video

Let's say I have this bizarre-looking function.

Řekněme, že mám tuhle podivně vypadající funkci.

It's just some arbitrary function.

Jde o náhodně zvolenou funkci.

And we'll call that f of x.

Nazveme ji f(x).

So this function right there is f of x.

Tahle funkce bude f(x).

And what we're going to do in this video is, it's not an

Čím se budeme zabývat v tomhle videu?

experiment, but we're going to play around a little bit, and

Nebude to experiment, nýbrž si s funkcí trochu pohrajeme,

we're going to try to approximate this function

a pokusíme se přiblížit naši funkci

using a polynomial with some coefficients.

využitím mnohočlenu s koeficienty.

And this polynomial we're going to do, we're going to keep

Do mnohočlenu, který plánujeme vytvořit,

adding terms to the polynomial, so that we can better and

budeme postupně přidávat výrazy,

better approximate this function.

abychom dokázali lépe přiblížit funkci.

And that's actually called a power series.

Tomu se říká mocninná řada.

And we'll do more about that later, but we're going to

Budeme se tím zabývat později,

specifically try, in this case, to approximate the function

teď se pokusíme přiblížit funkci, konkrétně pro tento případ,

around x is equal to 0.

kolem bodu 'x' se rovná 0.

So around this point.

Ten bod je zde.

So the easiest way to approximate it is to say, well,

Nejsnadnější způsob jak to přiblížit

the simplest polynomial is just a constant, right?

je říct si, že nejjednodušší polynom je konstanta.

Let's say this is my polynomial, let me call

Určím si tohle jako svůj polynom,

my polynomial p of x.

nazveme ho p(x).

The simplest polynomial is just a constant, and it would just

Jelikož je nejjednodušší polynom konstanta,

be a horizontal line someplace.

byl by pouze vodorovnou přímkou.

So if I just wanted this one term polynomial, what would be

Pokud bych chtěl určit tento polynom s jedním výrazem,

my best approximation for this function, at least

jaké by bylo nejlepší přiblížení k f(x)

pro náš případ?

Well, I could just set p of x is equal to f of 0.

Mohl bych určit, že p(x) bude rovno f(0).

And in that case, p of x would just look like a horizontal

To by znamenalo, že p(x) by vypadalo jak horizontální přímka,

line going through f of 0.

procházející f(0).

It would just look like that.

Vypadalo by to takhle.

I'm going to erase that now, just so I don't dirty up

Teď to vymažu,

this picture too much.

ať příliš nepočmárám obrázek.

But that's, you could say, a very rough approximation

Ale mohli byste si říct, že to bude

of f of x, right?

velice hrubé přiblížení f(x).

So that's a start.

To je začátek.

Well, what would be one way to approximate it even more?

Jak bychom to mohli přiblížit víc?

Well, what if not only does p of x equal f of 0 at x is equal

Co kdyby se nejenom p(x) rovnalo f(0) pro x rovno 0,

to 0, so that horizontal line we did, we got p of 0 is equal

ta vodorovná přímka, co jsme nakreslili.

to f of 0, so we knew that at x equals 0, at least that

Tedy p(0) = f(0), alespoň v bodu x=0

horizontal line is the same value of f of x, that's a

měly obě funkce stejnou hodnotu f(x).

very rough approximation.

To je velmi hrubé přiblížení.

But what if we set it up so that the derivative of p of 0

Co kdybychom přidali taktéž podmínku,

is equal to the derivative of the function at 0?

že derivace p'(0) by se rovnala derivaci f'(0)?

All of a sudden, this could be a little bit more interesting.

Teď to bude ještě zajímavější.

So how could we set it up like that?

Jak to můžeme udělat?

Well, what if we set p of x, and I'm doing it very general,

Ať se p(x) rovná, a dělám to velice obecně,

and we're going to do specific examples, and actually, the

uděláme pár konkrétních příkladů,

first example we're going to do is probably the coolest one.

a první ukázka bude asi nejzajímavější.

So what if p of x is equal to, well, the constant term is f of

Ať p(x) je rovno... konstantě (f v čísle 0),

0, and then it's plus the derivative of this function, so

plus derivace funkce,

the slope of this function at that point, f prime

neboli sklon funkce v bodu f(0),

(f s čarou 0) krát x.

Let's say I'm defining, so this is a polynomial.

To teď definuju jako polynom.

I just added a first degree term here.

Přidal jsem jenom výraz prvního stupně zde.

I had a constant, and now I'm adding a first degree term.

Měl jsem konstantu, teď tam přidávám výraz.

And let me confirm that this will have the same derivative.

Pojďme potvrdit, že derivace bude stejná.

First of all, let's confirm that p of 0 is equal to f of 0.

Především, dokážme, že p(0)=f(0).

Well, p of 0 is equal to f of 0 plus f prime of 0 times 0.

p(0) je rovno f(0) plus (f s čárou 0) krát 0.

Well, this last term just goes to, is nothing, right?

Poslední výraz se nerovná ničemu.

So that checks out.

At x is equal to 0, the two functions are

equal to each other.

se tyhle funkce rovnají.

Now let me confirm that their derivative, their first

Dokážme teď, že se jejich derivace,

derivatives are the same.

jejich derivace prvního řádu, rovnají.

So what's the first derivative of p?

Jaká je derivace prvního řádu z 'p'?

p prime of x is equal to, well, the derivative of a

(p s čárou x) se rovná...

constant term is 0, right?

derivace konstanty je 0.

Plus, and what's the derivative of a next term, of a

Plus derivace dalšího výrazu.

first degree term?

Jaká je derivace proměnné prvního stupně?

Well, it's just f prime of 0.

Vyjde nám (f s čárou 0).

So this checks out.

To nám taky sedí.

My new polynomial that I've defined right here is equal to

Můj nově definovaný polynom

the function f at x is equal to 0, and its derivative is equal

je roven funkci f pro x=0 a jeho derivace

to the function f at x is equal to 0.

se rovná funkci f pro x=0.

So what would it look like?

Jak by to tedy vypadalo?

Well, it would intersect, at x is equal to 0, the two

Protínalo by se to v x=0,

functions would overlap.

naše dvě funkce by se překrývaly.

And also, they would have the same slope at that point.

A taktéž by v tomhle bodu měly stejný sklon.

So whatever f of x is doing, that function's

Cokoliv f(x) dělá, bude taky dělat

going to be doing.

So it's going to look something like, I'm going to try my best

Bude to vypadat nějak, budu se opravdu snažit,

to, it's going to look something like that.

bude to vypadat nějak takhle.

And so that is a better approximation, if we had to use

A to nám dalo lepší přiblížení jak vyjádřit f(x),

a line, that's as good as any, especially around 0,

když musíme použit přímku,

of what f of x is.

obzvlášť kolem nuly.

f of x might have been some really crazy weirdo function,

f(x) mohla klidně být nějaká hodně podivná funkce,

but we were able to approximate it reasonably well with this

ale povedlo se nám ji určit poměrně přesně

very simple linear equation.

využitím velice jednoduché lineární rovnice.

Well, that's all good, but let's approximate it with a

To všechno je pěkné, ale pokusme se to teď přiblížit

quadratic equation, with adding another x squared term.

pomocí kvadratické rovnice, přidáním dalšího výrazu, který bude obsahovat x na druhou.

And we're going to do that way, but we're going to say, well,

Vyzkoušíme to tímhle způsobem,

we said, when at x is equal to 0, the functions

ale máme dáno, že pro x=0

equal each other.

se funkce rovnají.

That's what we did here.

To jsme dělali zde.

Then we said, the derivatives equal each other, and

Pak jsme řekli, že se rovnají jejich derivace

so we added this term.

a přidali jsme tuhle proměnnou.

And now I'm going to say, what happens when their second

derivatives equal each other?

pokud se budou rovnat jejich derivace druhého řádu?

So what has to happen for their second derivatives

Co musíme udělat

to equal each other?

aby se jejich derivace druhého řádu rovnaly?

Well, let's try out this, and I think you'll start

Pojďme to vyzkoušet a myslím,

to see the intuition here.

že v tom začnete vidět intuitivní systém.

Let me define my new p of x, so let me add another term.

Definuju si novou funkci p(x) přidaním další proměnné.

p of x, the first terms are going to be the same.

První dvě proměnné necháme jak byly,

They're going to be f of 0.

Remember, this is just a constant term.

Nezapomeňte, že tohle je konstanta.

Plus f prime of 0, the first derivative at 0,

Plus (f s čárou 0), derivace prvního řádu v čísle 0,

the slope at 0 times x.

sklon v čísle 0 krát x.

Plus f prime prime, the second derivative of the function at

Plus f s dvěma čárami, druhá derivace funkce v čísle 0,

0, times x squared over 2.

krát x na druhou děleno 2.

Now you're probably saying, why are you multiplying

Teď si zřejmě říkáte proč násobím

it by 1/2 here?

x na druhou jednou polovinou.

And you'll see, and maybe you'll even realize it, when

Uvidíte, a možná si to i uvědomíte,

you take a second derivative, what happens, right?

co se stane když vezmeme derivaci druhého řádu.

You multiply the expression by the exponents so you can have a

Vynásobíte výraz exponenty, aby se dvojka dostala dolu,

2 come down, it's going to cancel out with the 1/2.

tahle dvojka se vykrátí s jednou polovinou.

And that's why I put the 1/2 there.

Proto jsem to musel vydělit.

So that when I take the derivative, that 2 and the 1/2

Když vezmu derivaci, 2 a 1/2 se vykrátí

cancel out, and I'm just left with the second derivative

a mně zůstane derivace druhého řádu

of the original function.

z původní funkce.

So let me confirm that.

Pojďme si to dokázat.

So p of 0 is equal to f of 0 plus, well when x is equal to

p v čísle 0 se rovná f v čísle 0 plus, pokud je x rovno 0,

0, that's 0, this term is 0, and when x is equal to 0,

tenhle výraz je roven 0, a pokud je x rovno 0,

that term is 0, right?

tenhle výraz bude taky roven 0.

So that checks out.

What's the first derivative of p?

Čemu se rovná první derivace p?

The first derivative of p is going to be, up here, this

První derivace p bude, tady nahoře jsme to počítali

was the first derivative of p at 0, right?

pro první derivaci p v čísle 0.

So what's the first derivative of p?

Čemu se bude rovnat první derivace p?

Well, the constant term becomes 0, plus-- oh, actually, no,

Konstanta bude rovna 0.

this was actually of x, sorry.

Vlastně ne, omlouvám se, bylo to x.

I shouldn't go back on my work, I know it best when I'm doing

Neměl bych se vracet k starým výpočtům,

it the first time around.

nejlépe mi to jde, když to dělám napoprvé.

The first derivative of p of x, this is my current p of x, this

První derivace z p v čísle x, přičemž tohle je moje stávající p v čísle x

constant term, derivative of 0.

derivace konstanty bude 0,

This x term, the derivative is f prime of 0.

derivace z tohohle výrazu s x bude (f s čárou v čísle 0),

And then, what's the derivative of this term?

a jak bude vypadat derivace posledního výrazu s x^2?

Well, we take the exponent, multiply it by the expression.

Vezmeme exponent, vynásobíme ho výrazem,

We have 2 times 1/2, that cancels out.

dostaneme 2 krát 1/2, což se vykrátí.

So we're just left with f prime prime of 0 x.

Zůstane nám derivace druhého řádu 0 krát x.

You take the exponent, multiply by the whole thing, and then

Vezmete exponent, vynásobíte jím celý výraz,

decrement the exponent by 1.

snížíte exponent o 1.

So what is p prime of 0?

Jak bude vypadat (p s čarou v čísle 0)?

What is the derivative at 0?

Jaká je derivace v 0?

Well, it equals, this is nothing.

Nulu můžeme zanedbat,

It equals f prime of 0 plus, and, well, this

pak se p'(0) bude rovnat (f s čarou v čísle 0) plus

term's going to be 0.

tenhle výraz bude taky nula.

So that checks out.

Takže se to vykrátí.

And so what's the third derivative?

A třetí derivace?

Let me clean up some of the stuff on the top.

Udělejme trochu místa nahoře.

Since this is our current f of x anyway, I can clean

Jelikož tohle je naše aktuální x,

up all of this stuff.

všechno nahoře můžeme smazat.

Let me clean up all of this.

So what is the third derivative of this p that I defined here?

Čemu se bude rovnat třetí derivace našeho stávájicího 'p'?

This is our current p.

Tohle je naše definované 'p'.

Well, the third derivative is going to be, so p prime prime

Třetí derivace, tedy (p se třema čárami v čísle x),

prime of x, we could have also written p3 of x, is equal

mohli jsme taky napsat p3(x),

to the derivative of this.

se rovná derivaci tohohle výrazu.

Oh, sorry, we're not on the third, we're only on

Promiňte, nejsme na třetí,

the second derivative.

ale pouze na druhé derivaci 'p'.

p, and I'll write prime prime, I was going to write a 2 there.

Napíšu (p s dvěma čárami) a zde jsem mohl napsat p2.

p prime prime of x.

p se dvěma čárami v čísle x.

That equals what?

Čemu se to bude rovnat?

That's the derivative of this.

Derivaci tohoto výrazu.

So there was a 0 here, that goes to nothing.

Nulu můžeme zanedbat,

This is now a constant term, that becomes nothing.

z této konstanty bude taky nula,

And then we take the derivative of this term.

takže nám zůstane derivace tohoto výrazu.

Well, we just, it's a constant times x.

Jde o konstantu krát x.

Remember, this might look like a function or some variable.

Může to vypadat jak funkce nebo třeba proměnná.

It's just a constant.

Je to jenom konstanta.

Because we evaluated this curvy function, it's

Protože jsme vyhodnotili tuhle zakřivenou funkci,

second derivative 0, so we just got a number here.

její druhá derivace je rovna 0 a proto zde máme číslo.

So this derivative is just this number.

Tahle derivace bude jenom číslo,

So it equals f prime prime of 0.

je rovna (f se dvěma čárami v čísle 0).

And so our current p of x has the same value when x is equal

Když x je rovno 0, naše aktuální p(x) bude mít stejnou hodnotu jako f(x),

to 0 as f of x, it has the same first derivative at xis equal

jejich první derivace jsou si rovny (pokud x=0),

to zero as f of x, it has the same second derivative.

a jejich druhé derivace jsou si taky rovny.

And I don't, this is getting beyond my visualization

Tenhle polynom už si nedokážu představit,

ability, especially for an arbitrary function like this,

obzvlášť pokud jde o takovou náhodnou funkci,

but I could guess that maybe it looks something like this.

ale myslím, že by to mohlo vypadat nějak takhle.

Nejsem si jistý.

Maybe it looks, maybe our new function will curve, and it'll

Možná se naše nová funkce zakřiví,

approximate it a little bit better, and then maybe

přiblíží funkci výchozí

it'll come down like that.

a pak se stočí dolů.

I'm just guessing.

But around x is equal to 0, it's going to be a better

approximation of f of x.

bude naše nová funkce lepším přiblížením ku f(x).

Well, we could just keep doing this, and actually, we will

Tohle bychom mohli dělat hodně dlouho,

keep doing this, and you know, just saying, well, the zeroth

a taky že budeme.

derivative, or at the value, is the same the first derivative

Nultá derivace je v nule rovna funkci, první derivace,

is the same at 0, the second derivative is the same at 0,

druhá derivace,

we'll say the third derivative, the fourth derivative, and

třetí i čtvrtá derivace,

we'll keep doing that.

a tohle se bude opakovat.

And I only have 20 seconds left in this video, so we will

Již mi zbývá pouze 20 sekund,

continue that in the next video.

takže budeme pokračovat v následujícím videu.

Similar videos:

Taylor & Maclaurin polynomials intro (part 1) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.3K likes 124 dislikes 17 May 201142% match

Taylor Polynomials
Khan Academy
592.8K views 3.2K likes 118 dislikes 18 Jun 200840% match

Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200739% match

Partial derivatives | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
637.3K views 1.7K likes 65 dislikes 09 Aug 200838% match

The derivative of f(x)=x^2 for any x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
721K views 1.6K likes 39 dislikes 02 Nov 200938% match

Divergence 1 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
341.2K views 965 likes 37 dislikes 11 Aug 200838% match

What is a differential equation
Khan Academy
2M views 7K likes 287 dislikes 28 Aug 200838% match

Taylor polynomial remainder (part 1) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
528.9K views 1.3K likes 164 dislikes 15 Sep 201138% match

Solving a more complicated equation | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
1.9M views 2.7K likes 222 dislikes 15 Sep 201038% match

Introduction to solving an equation with variables on both sides | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.4M views 7.7K likes 611 dislikes 15 Sep 201037% match

Differentiating polynomials | Derivative rules | AP Calculus AB | Khan Academy
Khan Academy
259.8K views 314 likes 11 dislikes 09 Jan 201337% match

Calculus: Derivatives 1 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 16.6K likes 626 dislikes 03 Oct 200737% match

How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201036% match

Old separable differential equations introduction | Khan Academy
Khan Academy
834.9K views 2.6K likes 62 dislikes 28 Aug 200836% match

Binomial Theorem (part 1)
Khan Academy
393.7K views 1.1K likes 62 dislikes 12 May 200836% match

Exact equations intuition 1 (proofy) | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
480.4K views 950 likes 35 dislikes 30 Aug 200836% match

Partial derivatives 2 | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
304.6K views 652 likes 10 dislikes 09 Aug 200836% match

Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
961.5K views 1.9K likes 50 dislikes 02 Nov 200935% match

Integrating factors 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
769.7K views 1.9K likes 128 dislikes 31 Aug 200835% match

systems of equations
Khan Academy
762.2K views 3.5K likes 264 dislikes 25 Nov 200635% match

Repeated roots of the characteristic equation | Second order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
254.8K views 668 likes 26 dislikes 02 Sep 200835% match

Exact equations example 1 | First order differential equations | Khan Academy
Khan Academy
640.5K views 1.7K likes 84 dislikes 30 Aug 200835% match

2nd order linear homogeneous differential equations 1 | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.7K likes 187 dislikes 01 Sep 200835% match

Line integral example 1 | Line integrals and Green's theorem | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
428.3K views 2K likes 24 dislikes 25 Feb 201035% match

Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201035% match

CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200835% match

Introduction to conic sections | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
936K views 4.2K likes 139 dislikes 15 Jun 200934% match

Taylor & Maclaurin polynomials intro (part 2) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Khan Academy
506.4K views 663 likes 24 dislikes 18 May 201134% match

Order of operations, more examples | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
350.1K views 586 likes 43 dislikes 01 Apr 201034% match

Functions (Part III)
Khan Academy
322.7K views 1.1K likes 28 dislikes 18 Mar 200734% match

Settings Privacy About Contact Donate