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Explicit Laplacian formulaYouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 19.3K views 98 likes 4 dislikes 31 May 2016

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- [Voiceover] So let's say you have yourselves some kind of

multivariable function,

다변수 함수가 있다고 합시다

and this time its got some very high dimensional inputs.

이 함수는 고차원의 입력을 받습니다

So x1, x2 on and on and on up to sub x sub n,

어떤 큰 자연수 N에 대해서

for some large number n.

x1, x2, .., xn을 받는다고 합시다

In the last couple videos I told you about

지난 몇 개의 영상에서

the Laplacian operator,

저는 라플라시안 기호에 대해 설명드렸습니다

which is a way of taking in your scalar valued function f

이 기호는 스칼라 함수값을 갖는 함수 f를 받아서

and it gives you a new scalar valued function

새로운 스칼라 함수값을 갖는 함수를 내놓습니다

that's kind of like a second derivative thing

이는 약간 이계도 함수와 같은데

because it takes the divergence of the gradient

이 기호는 함수 f의

of your function f.

그래디언트의 다이버전스를 받기 때문입니다

So the gradient of f gives you a vector field

f의 그래디언트는 벡터장을 주고

and the divergence of that gives you a scalar field.

벡터장의 다이버전스는 스칼라장을 만듭니다

And what I want to show you here is another formula

그리고 여기서 보여드리고 싶은 것은

that you might commonly see for this Laplacian.

이 라플라시안에서 자주 볼 수 있는 다른 공식입니다

So first let's kind of abstractly write out

우선 추상적으로 f의 그래디언트가

what the gradient of f will look like.

어떻게 생겼을 지 적어봅시다.

So we start by taking this del operator,

먼저 이 델 연산자를 풀면

which is going to be a vector full of partial differential

N개의 편미분 연산자의

벡터가 나오게 됩니다

Partial with respect to x1,

x1에 대한 편미분 연산자

partial with respect to x2,

x2에 대한 편미분 연산자

and kind of on and on and on up to

그리고 계속되어서

partial with respect to that last input variable.

xN에 대한 편미분 연산자가 있습니다

And then you kind of just imagine multiplying it

이것을 f에 곱하면

by your function, so what you end up getting

결과적으로 나오게 되는 것이

is all the different partial derivatives of f.

f의 모든 변수에 대한 편미분꼴 입니다.

It's partial of f with respect to the first variable,

x1에 대한 f의 편미분꼴이 나오고

and then kind of on and on and on

모든 변수에 대해 반복해서

up until you get the partial derivative of f

마지막 변수에 xN에 대한

with respect to that last variable, x sub n.

편미분꼴이 나오게 됩니다

And the divergence of that

그리고 이것의 다이버전스는

and just to save myself some writing I'm gonna say

그리고 공간을 아끼기 위해서

you take that nabla operator,

이 나블라 연산자가 있고

and then you imagine taking the dot product

이 두 연산자 사이에

between that whole operator and this gradient vector that you have here,

스칼라곱 연산자를 취하면

what you end up getting is

나오게 되는 결과가

well, you start by multiplying the first components

첫번째 변수부터 살펴보면

which involves taking the partial derivative

f의 x1에 대한

with respect to x1,

편미분꼴이 나오고

that first variable of the partial derivative of f

이 함수를 다시

with respect to that same variable.

x1에 대해 편미분하게 됩니다.

So it looks like the second partial derivative of f

결국 f를 x1에 대해

with respect to that first variable.

두 번 미분하게 되는 거죠

So the second partial derivative of f with respect to x1,

그래서 우변에

that first variable.

이 내용을 적습니다

Then you imagine kind of adding

what the product of these next two items will be

두번째 칸에 대해서 결과를 생각해 보면

and for very similar reasons that's gonna look like the

첫번째 칸과 같은 맥락으로

second partial derivative of f with respect

f의 x2에 대한

to that second variable,

이계도 함수가 됩니다

partial x2 squared.

라운드 x2 제곱이죠

And you do this to all of them

이 과정을 모든 항에 대해 반복하면

and you're adding them all up until you find yourself

마지막 칸까지

doing it to the last one.

모든 항을 더하는 거죠

So you've got plus and a whole bunch things

그러면 중간에 많은 항들을 생략하고

and you'll be taking the second partial derivative of f

마지막 변수인 xN에 대해서

with respect to that last variable,

두번 미분한 함수를

partial of x sub n.

적게 됩니다

This is another format in which you might see the Laplacian,

이는 라플라시안에서 볼 수 있는 다른 형식인데

and often times it's written kind of compactly,

보통 압축적으로 쓰여집니다

so people will say the Laplacian of your function f,

함수 f의 라플라시안이

is equal to, using sigma notation,

시그마를 이용해서

you'd say the sum from i is equal to 1 up to,

you know, 1, 2, 3 up to n.

N까지 일 때

So the sum from that up to n,

각각에 대해

of your second partial derivatives.

i번째 변수에 대한

Partial squared of f with that i-th variable.

이계도 미분 꼴입니다

So if you were thinking in terms of three variables

예를 들어 3개의 변수라 하면

often x1, x2, x3 we instead write x, y, z,

x1, x2, x3 대신 x, y, z라고 적는데

but is common to more generally just say x sub i.

일반적으로는 xi라고 적죠

So this here is kind of the alternate formula

그래서 이것이 라플라시안에 대한

that you might see for the Laplacian.

다른 형태의 공식입니다

Personally I always like to think about it

개인적으로 저는 이 공식을

as taking the divergence of the gradient of f,

f의 그래디언트의 다이버전스라고 생각합니다

because you're thinking about the gradient field,

왜냐하면 벡터장에 대해 생각하는데

and the divergence of that kind of corresponds

이것의 다이버전스는

to maxima and minima of your original function,

원래 함수의 최대와 최소에 대응하는데

which is what I talked about

이 내용은 제가

in the initial intuition of Laplacian video.

라플라시안의 기본 개념에서 이야기한 내용입니다

But this formula is probably a little more straightforward

이 공식은 실제 계산을 할 때

when it comes to actual computations and,

좀 더 직관적일 것입니다

oh wait sorry I forgot a square there, didn't I?

제가 여기에 제곱을 깜빡했네요

Partial x squared, so this is the second derivative.

라운드 x의 제곱을 해서

So summing all these second partial derivatives.

이계도 함수로 만들어 주었습니다

And you can probably see this a kind of

그리고 생각해 보시면

a more straightforward way to compute a given example

이 방법이 계산을 하는데 있어

that you might come across,

좀 더 직관적일 것입니다

and it also makes it clearer how the Laplacian

또 라플라시안이 이계 미분의

is kind of an extension of the idea of a second derivative.

확장이라는 것도 잘 보여주죠

See you next video.

다음 동영상에서 보겠습니다

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