Laplacian computation example Khan Academy English Korean

Laplacian computation exampleYouTube↗ IA↗(long shot)
Howto & Style 61.5K views 335 likes 8 dislikes 31 May 2016

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- [Voiceover] In the last video, I started introducing

이전 영상에서는

the intuition for the Laplacian operator

라플라스 연산자를

in the context of the function with this graph

함수의 관점에서 이 그래프와

and with the gradient field pictured below it.

그 밑에 나타낸 기울기 벡터 장으로 설명하였습니다

And here, I'd like to go through the computation

이번 영상은 이전 영상과 관련하여

involved in that.

계산을 할 것입니다

So the function that I had there was defined,

전에 다룬 그 함수는 정의되어 있습니다

it's a two-variable function.

이것은 이변수 함수로,

And it's defined as f(x,y)

f(x,y) 로 정의됩니다

is equal to three

3 + cos(x/2)×sin(y/2) 와

multiplied by sin(y/2).

And then the Laplacian which we define

그리고 라플라스 연산자는

with this right side up triangle

똑바로 된 삼각형으로 정의되며,

is an operator of f.

함수 f 의 연산자입니다

And it's defined to be the divergence,

라플라스 연산자는 발산벡터로 정의되므로

so kind of this nabla dot

times the gradient which is just nabla of f.

f의 나블라, 즉 기울기를 내적합니다

So two different things going on.

따라서 두 가지가 있습니다

It's kind of like a second derivative.

이것은 2차 도함수와 비슷합니다

And the first thing we need to do

가장 먼저 구할 것은

is take the gradient of f.

함수 f 의 기울기입니다

And the way we do that,

we kind of imagine expanding

확장시키는 것입니다

this upside down triangle

이 똑바른 삼각형을

as a vector full of partial differential operators:

x 의 편도함수와 y 의 편도함수의

partial partial x

편미분 연산자로 이루어진

and partial partial y.

벡터로 확장시키는 것입니다

And with a gradient, you just kind of imagine

그리고 기울기 벡터에

multiplying that by the function.

그 함수를 곱합니다

So if you imagine multiplying that

즉 만약 기울기 벡터에

by the function, what it looks like

함수를 곱하면,

is just a vector full of partial derivatives.

그것은 편도함수로 된 벡터가 됩니다

So you're taking the partial of f

따라서 x에 대해여 f의 편미분과

with respect to x and the partial of f

y에 대하여 f의 편미분이

with respect to y.

Those are the two different components

그것들은 이 벡터함수 즉, 기울기 벡터의

of this vector-valued function that is the gradient.

서로 다른 두 가지 요소입니다

And in our specific example,

구체적인 예에서,

when we take the partial derivative of f

x 에 대하여

with respect to x

f 의 편도함수는

what we get, is we look over here.

다음과 같습니다

Three just looks like a constant,

3은 상수이므로

so nothing happens.

그대로입니다

The derivative of that with respect to x,

x에 대하여 이것의 편도함수에서

we kind of take out that 1/2.

1/2는 밖으로 나옵니다

So 1/2, and the derivative of cos is -sin.

따라서 1/2이고, cos의 편도함수는 -sin입니다

So that's -sin(x/2).

즉 -sin(x/2) 입니다

And sin(y/2), well, y just looks like a constant.

또한 sin(y/2)에서 y를 상수 취급합니다

So sin(y/2) is just some other constant.

sin(y/2) 는 다른 상수입니다

So in our derivative, we just keep that constant in there,

따라서 편도함수에서

sin(y/2) 를 여기에 적습니다

And then, for the second component,

두번째 요소에서

the partial derivative of f

y에 대하여 f의 편도함수를

with respect to y.

구하겠습니다

Three still looks like a constant

3은 여전히 상수입니다

cause it is a constant.

그것은 상수이기 때문입니다

Now, cos(x/2) looks like a constant

이제 cos(x/2) 는 상수로 취급합니다

because as far as y is concerned,

y에 관한 한

x is a constant.

x는 상수입니다

So cos(x) is a constant.

따라서 cos(x) 는 상수입니다

But then, the sin(y) has a derivative of cos.

sin(y) 의 편도함수는 cos입니다

And we also take out that 1/2.

그리고 1/2 은 밖으로 나옵니다

So you take out that 1/2

1/2를 밖으로 뺍니다

when you take the derivative of the inside

속미분을 한 후

and then the derivative of the outside

겉미분을 할 때

is cosine of whatever was in there.

안에 무엇이 있든지 cos 이 됩니다

So in this case, y/2.

이 경우 안은 y/2 입니다

And we're multiplying it by that original constant,

이것에 상수 cos(x/2) 를

So, still we have our cos(x/2)

여전히 cos(x/2) 는 있습니다

since it was a constant times a certain variable thing, x/2.

이것은 x/2 즉 특정변수 곱하기 상수이기 때문입니다

So that's the gradient.

따라서 이것이 기울기입니다

And then, the next step here

다음 단계는

is to take the divergence of that.

발산 벡터를 구하는 것입니다

So with the divergence, we're going to imagine

발산벡터와 함께

taking that del operator and dot producting

델 연산자와

이것을 내적합니다

So if I scroll down to give some room here,

빈 공간을 위해 아래로

we're going to take that,

이동합니다

that vector that's kind of the same vector,

이 벡터는 편미분 x와

the partial partial x.

같은 벡터입니다

And I say vector, but vector-ish thing,

벡터가 아니라 벡터 같은

partial partial y.

편미분 y가 있습니다

And now we're going to take

이제 이것을

the dot product with this entire guy.

위의 전체와 내적합니다

So I'll go ahead and just copy it over.

먼저 복사해 옵니다

Just kind of copy it over here.

여기에 복사해 넣습니다

시작하겠습니다

So, I need a little bit more room to evaluate this.

계산을 하기 위해 빈 공간이 필요합니다

So here, when you imagine taking the dot product,

내적을 할 때

you kind of multiply these top components together.

위의 요소를 서로 곱합니다

So we're taking the partial derivative

따라서 x 에 대하여 전체의

with respect to x of this whole guy.

편도함수를 구합니다

And when you do that, well you get,

이 과정에서

you still have that 1/2

여전히 1/2 와

and then the derivative of -sin(x/2).

-sin(x/2) 의 도함수가 있습니다

So that 1/2 gets pulled out

when you're kind of taking

속미분을 할 때

the derivative of the inside.

앞으로 빠져 나옵니다

And the derivative of -sin is -cos.

-sin 의 편도함수는 -cos 입니다

So -cos of that stuff on the inside,

x/2 가 있습니다

And of course, we still multiply it by this.

또 여전히 이것을 곱합니다

This looks like a constant, the sin(y/2).

sin(y/2)는 상수로 취급합니다

And we multiply by that,

And then we add that

그리고 이것을 더합니다

because it's kind of like a dot product.

내적이기 때문입니다

You add that to what it looks like

다음 두가지 요소를 곱한 후

when you multiply these next two components.

그것을 더합니다

So we're going to add.

더하겠습니다

And you have that 1/2.

1/2 가 빠지고

And then cos(y/2), when we differentiate that

cos(y/2)를 속미분하면

you also pull out the 1/2.

1/2가 나옵니다

So again, you have that pulled-out 1/2.

따라서 한 번 더 1/2는 앞으로 빠져 나옵니다

And the derivative of cos is -sin.

cos의 편도함수는 -sin 입니다

So now we're taking -sin of,

-sin 이 나오고

and then that stuff on the inside, y/2.

안의 y/2 가 나옵니다

And we continue multiplying by the constant.

그리고 상수를 곱합니다

As far as y is concerned, cos(x/2) is a constant.

y에 관한 한 cos(x/2)는 상수입니다

So we multiply it by that, cos(x/2).

따라서 cos(x/2)를 곱합니다

And then that, so that is the divergence

이것이 기울기 벡터 장의

of that gradient field.

발산 벡터입니다

So the divergence of the gradient

원시함수의 기울기의 벡터함수는

of our original function gives us the Laplacian.

라플라스 연산자를 줍니다

And in fact, we could simplify this further

사실 항의 대칭성 때문에

because both of these terms

훨씬 더 간단하게

kind of look identical.

할 수 있었습니다

But the main point of this video

그러나 이 영상의 요점은

is kind of how you go through that process

함수의 기울기와 그것의 발산 벡터를

where you imagine taking the gradient

알아내는 과정을

of your function and then the divergence of that.

어떻게 생각하는 지입니다

And that's what the Laplacian is.

그게 바로 라플라스 연산자입니다

See you next video.

다음 영상에서 봅시다

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