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지난 영상에서는

in the last video I talked about how if

다변수 함수에서

you're trying to maximize or minimize a

최댓값 또는 최솟값을 찾을 때,

multi variable function you can imagine

그래프를 이용할 수 있다고 했습니다

its graph in this case this is just a

이 그림의 경우 이변수 함수의

two variable function and we're looking

그래프를 보여줍니다

at its graph and you want to find the

그리고 이 그래프 상에서

spots where the tangent plane is

접평면이 xy평면에 평행한 지점을 찾고 싶습니다

completely flat so one way to visualize

이러한 평면을 생각하려면

this is to imagine a flat plane that

z의 값이 상수인 평면을 생각하면 됩니다

just represents a constant Z value so a

즉, 출력값이 상수인 함수를 생각하면 됩니다

constant output value for the function

그리고 이 평면을 위 아래로 움직이며

and if you kind of move it up and down

그래프 상의 단 한점에서만

you're looking for the spot where it

겨우 만나게 되는 지점을 찾으면 됩니다

only barely intersects with the graph at

주목해야 하는 것은,

the top before it's not intersecting it with it anymore meaning that there's no

단 한 점에서만 만난다는 겁니다

values of the function that get above

다시 한번 말하지만,

that point so you're looking just for

접평면이 xy 평면에 평행한 것에 주목해야 합니다

where it's tangent where you can find a

하지만 최댓값을 제외한 다른 점도 이 것을 만족합니다

tangent plane that's flat but this will

여기 보이는 극솟값이나

give you some other points like the little local minima here the bumps where

여기 보이는 작은 봉우리처럼

the value of the function at that point

주변 지점보다는 크지만, 최댓값은 아닌 지점이 있습니다

is higher than all of the neighbor

극댓점 주변에서는 어떠한 방향으로 가든

points you know if you walk in any

내리막길이 되므로

direction you're going downhill so

that's another thing you're going to you

접평면이 xy 평면에 평행한 점이 됩니다

know incidentally pick up by looking for

하지만 다변수 미적분학에서는 지금까지 다룬 것 이외의

places where this tangent plane is flat but there's also a really interesting

접평면이 평평한 다른 점이 존재합니다

new possibility that comes up in the context of multi variable functions and

이 점을 '인장점(saddle point)' 라고 합니다

this is the idea of a saddle point so

여기 또다른 그래프가 있습니다

let me pull up another graph here this

이 그래프의 함수는

guy and the function that you're looking

여기다 적는게 좋겠군요

at here I'll write it down the function

f(x,y)=x² - y² 입니다

that you're looking at is f of X y is equal to x squared minus y squared okay

이제 이 그래프의 접평면을

so now let's think about what the

원점에서 생각해봅시다

tangent plane at the origin of this entire graph would be now the tangent

원점에서의 접평면은

plane to this graph at the origin is

xy평면에 평행합니다

actually flat here's what it looks like

이렇게 말입니다

and to convince yourself of this let's

진짜인지 확인하고 싶다면

go ahead and actually compute the

직접 편도함수를 계산해서

partial derivatives of this function and

실제로 평행함을 확인합시다

evaluate each one at the origin so the

f의 x에 대한 편도함수는

partial derivative with respect to X we

준식에서 x² 항만 등장하므로

look here and x squared is the only spot

편미분하면 2x가 됩니다

where an X shows up so it's 2x and the

그리고 y 에 대한 편도함수는

other partial derivative the partial

그리고 y 에 대한 편도함수는 -y² 을 편미분하고

with respect to Y with respect to Y we take the derivative of this negative Y

x 는 상수취급하므로

squared and the we ignore the X because

앞의 방법으로 계산하면

it looks like a constant as far as Y is

-2y 가 나옵니다

concerned and we get negative 2y now if

이 편도함수에 원점의 좌표를 대입해줍시다

we plug in the point the origin into any

원점의 좌표인

one of these you know we plug in the

(X,Y)=(0,0)을 대입하면 각 편도함수는 어떻게 될까요?

point XY is equal to zero zero then what

x에 대한 편도함수는 0이 되고

do each of these go to well the top one

마찬가지의 방법으로

x equals zero so this guy goes to zero

y에 대한 편도함수도 0이 됩니다

and similarly over here Y is zero so

두 편도함수가 모두 0이 되므로

this goes to zero so both partial

그 말인즉슨,

derivatives are Z and what that means is if you are

누군가가 원점에 서서 어느 방향을 바라보든

standing at the origin and you move in

기울기가 0이라는 것입니다

any direction there's no slope to your movement and

이를 확인하는 방법은 그래프를 자르는 것입니다

one way of seeing this is to is to chop

주어진 평면을

the graph so if we imagine chopping it

x=0 의 평면으로 자르고

with a plane that represents a constant

반쪽을 없앤 후,

x-value and we kind of chop off the

접평면을 없애봅시다

graph there what you'll see here I'll

여기서 보이는

get rid of the tangent plane what you'll

평면과 교차하는 곡선의 궤적을

see is that the curve where this

따라서 그려봅시다

intersects the graph so let me trace

that out the curve where it intersects

원점에서 극댓값을 가집니다

the graph basically has a local maximum at that origin point the tangent line of

즉 원점에서의 y 방향에서의 접선은

the curve at that point in the Y

원점에서 극댓값을 가지기 때문에

Direction is flat and it's because it

기울기가 0이라고 할 수 있습니다

looks like a local maximum from that

이제 다른 방향에서 자르는 것을 상상해봅시다

perspective but now let's imagine

다시 원래의 그래프를 불러와서

chopping it in a different direction so if instead we have the full graph and

x=0으로 자르는 대신에

instead of chopping it with a constant

y=0으로 자르고

x-value we chop it with a constant Y

y=0 과 주어진 그래프의

value then in that case we look at the

curve and if we trace out the curve

교선을 따라 그려봅시다

where this constant Y value intersects

아까의 경우와 마찬가지로

the graph let's see what it would look

포물선의 형태를 나타냅니다

like it's also kind of this parabolic

이 경우에도 접평면은 평평한데,

shape again the tangent line is flat

원점에서 극솟값을 가지기 때문입니다

because it looks like a local minimum of

앞서 본 방향과

that curve so because it's flat in one

지금 본 방향의 두 방향에서

direction and it's flat in the other

접선이 모두 평평하므로,

direction the tangent plane of the graph

접평면 또한 평평해집니다

as a whole is indeed going to be flat

하지만 이 점은 극댓점도,

but notice this is neither a local

혹은 극솟점도 아닙니다

maximum nor a local minimum because from

보는 방향에 따라 극대/극소가 달라지기 때문입니다

one direction from one direction it looked like it was a local maximum you

y=0 평면을 지우겠습니다

know I'll get rid of that guy it looks

이 방향에서는

like it's a local maximum when you look

원점에서 극댓값을 갖는 것처럼 보입니다

on the curve there but from another

하지만 이 방향에서는

direction if you chop it in another way

극솟값처럼 보입니다

it looks like a local minimum and if we

기존에 썼던 함수 식을 보면

look at the equations this kind of makes

x 축 방향의 움직임을 통해

sense because if you're just thinking

이를 이해할 수 있는데,

about movements in the X direction the

전체 함수 식이

entire function looks like x squared

x² 더하기 (상수) 꼴이므로

plus some kind of constant so the graph

교선의 그래프는

of that would look like an x squared

극솟값을 가지는

parabola shape that has a local minimum

포물선처럼 보이지만, y 축 방향의 움직임을 생각하면

but if you're thinking of pure movements

x좌표를 고정시킨 y축 방향으로의 움직임에서

in the Y direction and you're just

오직 y² 항만을 보았을 때

focused on that negative Y squared

전체 그래프는 - y² 더하기 (상수) 꼴이므로

component the graph that you get for

위로 볼록한 포물선이 됩니다

negative Y squared is going to look like

[그림 그리는 중]

an upside-down parabola here I'll draw

[그림 그리는 중]

that again it's going to look like an

따라서 원점에서 극댓값을 가집니다

upside-down parabola and that's got a

어느 방향에서 바라보느냐에 따라

local maximum so it's kind of like the x and y directions disagree over whether

평평한 접평면을 가지는

this point whether this point where you

원점의 좌표가

have a flat tangent plane should be a

극댓값인지 극솟값인지가 달라지는 것입니다

local maximum or local minimum

이는 다변수 미적분학에서만 등장하는,

and this is new to multivariable

단일변수 미적분학에서는

calculus this is something that doesn't

등장하지 않는 특징입니다

come up in single variable calculus

어떠한 함수의 그래프를 볼 때,

because when you're looking at the graph

이런 그래프가 있다고 하면,

of a function you know you're looking at

접선의 기울기가

some kind of graph if the tangent line

어떠한 점에서 0이라고 하면

is zero you know if the tangent line is completely flat at some point either

이 점은 극댓값 혹은 극솟값이 됩니다

it's a local maximum or it's a local

오직 하나의 변수만 있기에 가능한 일입니다

minimum it can't disagree because there's only one input variable there's

하나의 변수 x 말입니다

only one you know X as the input

하지만 변수가 두개가 되면, 반드시 그렇지는 않습니다

variable for your graph but once we have two it's possible that they disagree and

그 점은 특별한 이름을 가지고 있는데,

this this kind of point has a special

이 그래프에서 다룬 점과 같이

name and the name is kind of after this

인장점(saddle point) 라고 합니다

graph that you're looking at it's called

[쓰는 중] 수학자들이 정한 용어 중에서

a saddle point saddle point and this is

제가 좋아하는 몇 안되는

one of those rare times where I actually

용어이기도 합니다 하하

kind of like the terminology that mathematicians have given something

용어 그대로 정말 인장처럼 보이기 때문입니다

because this looks like a saddle the

혹시 모를까봐 설명드리자면,

sort of thing that you would put on a

말에 탈 때 착용하는 것 말입니다

horse is back before writing it so one

우리가 앞으로 해야 할 것은

thing that this means for us as we're

이렇게 생긴 함수의

going to try to figure out ways to find

최댓값이나 최솟값을 찾아서

the absolute maximum or the minimum of a

함수를 최적화하는 것입니다

function as we're trying to as we're

기업의 수익을 나타내거나

trying to optimize a function that might represent you know represent like

머신러닝에서 비용함수를 나타내거나

profits of your company or a cost

이러한 것을 나타내는데에 있어서

function and a machine learning setting or something like that is we're going to

인장점을 반드시 인식해야 합니다

have to be able to recognize if a point

그래프를 보면은

is a saddle point and if you're just

인장점을 시각적으로 쉽게 알 수 있습니다

looking at the graph that's fine you can

하지만 함수의 형태로

recognize it visually but oftentimes if

길게 써져 있는 것들은 인장점을 찾기 어렵습니다

you're just given the formula of a

그래프를 보지 않고

function it's some long thing without

몇번의 계산을 통해

looking at the graph how would you be

주어진 함수에서 어떠한 점이 인장점인지 아닌지를

able to tell just by doing certain

어떻게 알아낼 수 있을까요?

computations to the formula whether or not it's a saddle point and that comes

이 방법을 '이차 편미분계수 검사' 이라고 합니다

down to something called the second

다음 영상에서 만납시다

partial derivative test which I will

talk about in the next few videos see

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