Partial derivatives, introductionYouTube↗  IA↗(long shot)
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Contributed subtitles
Korean InP
French Armen Minassian
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Donc, disons que l'on a
다변수함수 f(x, y)가
une fonction à plusieurs variables, comme f de x, y.
있다고 합시다
Ainsi, l'entrée est à deux variables,
두 입력 변수를 받아서
est égal à, je ne sais pas,
출력을 내보내겠죠
X au carré fois Y, plus sin (Y).
x^2y+siny처럼요
Donc, cela renvoie un seul nombre.
출력은 숫자 하나군요
Donc, cela renvoie un seul nombre.
곧 함숫값은 스칼라입니다
La question est, comment pouvons-nous trouver la dérivée
이런 함수 표현에서
d'une expression comme ça?
도함수는 어떻게 구할까요?
Et il y a une méthode appelée la dérivée partielle,
편미분이라는 방법이 있고
qui est très semblable aux dérivées ordinaires
사실은 기존의 (상)미분과
et je veux montrer à quel point elles sont proches.
같은 것이라는 걸
et je veux montrer à quel point elles sont proches.
보여 드리겠습니다
Donc, pour faire cela, rappelons-nous simplement
미분 기호를 어떻게
la façon dont nous interprétons la notation pour les dérivées ordinaires.
해석하는지 되짚어 보죠
Donc, si vous avez quelque chose comme F (x) = x²,
f(x)=x^2의
et disons que vous voulez prendre sa dérivée,
도함수를 구해서
et je vais laisser la notation ici, df / dx,
df/dx의 값을
et nous allons l'évaluer à deux, disons.
x=2에서 구하려고 한다고 합시다
J'aime vraiment cette notation parce qu'elle suggère
저는 의미를 잘 나타내기 때문에
ce qu'il se passe.
이 표기를 선호합니다
Si nous dessinons un graphique,
그래프를 그리면
Donc cet axe représente notre image (sortie),
세로축은 출력
ceci ici représente notre variable (entrée),
가로축은 입력을 나타내게 되죠
et X au carré a une forme de parabole.
x^2은 포물선 모양이고요
Quelque chose comme ça.
이렇게요
Ensuite, nous considérons l'entrée, x est égal à un, deux, ...
그리고 x=2를 표시합니다
Ce petit dx ici, on peut l'interpréter
dx의 의미는
comme un tout petit déplacement dans la direction de X.
x 방향으로의 아주 작은 변화입니다
C'est une quantité infinitésimale.
그 변화량이기도 하죠
Et puis df,
df는
est le changement de la sortie
dx에 따르는
après avoir fait ce tout petit changement de x.
출력의 작은 변화입니다
Ainsi, df est le changement de la fonction f quand on fait varier x.
dx에 대한 변화량이죠
Et quand vous pensez en termes de graphiques,
그래프로 생각하면 이것은
c'est la pente de la tangente.
기울기입니다
Vous avez un genre de "augmentation divisée par déplacement" (delta-Y divisé par delta-X)
입력의 작은 변화에 대한
pour votre ratio entre le petit changement
출력의 작은 변화의 비로
de la sortie qui est causé par un petit changement dans l'entrée.
이만큼 올라간 거죠
Et bien sûr, cela est dépendant de l'endroit où l'on commence.
이건 시작점에 무관하게 도입할 수 있습니다
Ici, nous avons X = 2.
아까는 x=2였지만
Mais vous pouvez aussi penser aux dérivées, sans graphiques
원하신다면 그래프 없이 생각해도
si vous le voulez.
됩니다
Vous pourriez imaginer
입력 공간이 수직선이고
votre espace d'entrée comme une simple droite graduée.
출력 공간을 다른 수직선으로 두어
et votre espace de sortie, aussi comme une droite graduée
출력 f가 이렇게 놓인 걸로
la sortie de f ici.
생각해도 되겠죠
Et en fait, on veut juste associer les nombres d'ici sur la deuxième ligne.
x선에서 두 번째 선으로 숫자를 사영시키는 걸
Et en fait, on veut juste associer les nombres d'ici sur la deuxième ligne.
생각하는 겁니다
Et dans ce cas, votre tout petit changement de l'entrée,
그러면 처음의 변화
le dx,
처음 dx는
serait un tout petit déplacement sur cette droite graduée.
수직선 위의 작은 움직임이 되겠죠
Et vous vous demandez comment
그것이 함숫값에는 어떤
cela influence la fonction elle-même.
영향을 미치는지 보는 겁니다
Alors peut-être qu'il provoque un déplacement quatre fois plus grand
그 움직임은 네 배 크니까
et cela signifierait votre dérivée en ce point est de quatre.
x=2에서 도함수의 값은 2가 되겠네요
Donc, je parle de cela
이제까지 이걸 얘기한 이유는
parce qu'avec les fonctions à plusieurs variables,
다변수 세상에서도
on peut faire à peu près la même chose.
비슷한 일을 할 수 있기 때문입니다
Vous pouvez écrire df / dx et interpréter cela en disant:
df/dx를 x방향에서의 작은 변화가
"eh, comment un tout petit changement de x influence f(x)?"
출력에 영향을 미치는 걸로
"eh, comment un tout petit changement de x influence f(x)?"
해석할 수 있습니다
Mais, cette fois-ci, le moyen de le visualiser,
하지만 이번엔 시각화를
on pourrait penser à un espace d'entrée.
입력 공간에서만 해 봅시다
Je vais dessiner vers le bas, ici, un plan X, Y.
xy평면이죠
Ainsi, cette fois, cela ne va pas être la fonction qui sera représentée,
함수의 그래프가 아니라
mais chaque point du plan, qui correspond à une entrée (avec 2 variables)
평면의 모든 점이 입력 쌍입니다
Et disons que l'on évalue cette fonction
(1, 2)에서 함숫값을
à un point comme (1, 2).
구한다고 치죠
Dans ce cas, on va considérer l'entrée, qui est (1,2).
(1, 2)인 입력에서
Et alors on se dit: "d'accord,"
시작해서
"ce tout petit déplacement dx dans l'entrée,"
x 입력의 작은 변화 dx가
ce changement minuscule dx, comment influence-t-il l'image de x?"
출력에 어떤 영향을 주는지 보면 되겠죠
Et dans ce cas, la "sortie", c'est juste un nombre.
여기서 출력은 여전히
Et dans ce cas, la "sortie", c'est juste un nombre.
숫자 하나죠
Alors on peut aller sur le côté ici,
약간 옆에
et dessiner une droite graduée pour représenter notre sortie.
출력을 수직선으로 나타냅시다
Et on imagine la fonction
이제 함수가 평면의 점을
comme une association entre un point du plan et un nombre de la droite graduée.
수직선으로 사영하는 게 되었네요
Donc, on se dira: "c'est notre dx,"
dx가 있을 때
"comment cela influence la sortie ?"
출력을 어떻게 바꿔 놓을까요?
Peut-être que cela fait décroître la sortie.
함수에 따라 다르지만 값을 줄인다고
Cela dépend des fonctions.
해 보죠
Et ce serait notre df.
그것이 df입니다
Et on peut aussi le faire avec la variable Y, à droite.
변수 y로도 같은 것을 할 수 있겠죠
On peut très bien dire df / dy,
df/dy도 아무 문제 없이
et évaluer à ce même point, (1; 2).
같은 점 (1, 2)에서 구하면 됩니다
Et interpréter complètement de la même façon.
그 의미도 비슷하죠
Sauf que cette fois votre dy serait
이번에 dy는 y 방향의
un changement dans la direction Y.
변화입니다
Alors, il faut souligner ici que
dx는 x방향으로의 변화이고
que dx est un changement de la direction X ici
dy는 y방향으로의 변화임을
et que dy est un changement dans la direction Y.
강조하고 싶습니다
Et peut-être, lorsque vous modifiez f selon Y,
y방향으로 변화시킨 f값은
il fait quelque chose de différent.
다를 수 있거든요
Peut-être que la sortie augmente par un grand nombre,
아마도 y에 더 민감하게 반응해서
il est comme "plus sensible" à Y.
크게 증가할 수도 있겠죠
Encore une fois, cela dépend de la fonction.
함수에 따라 다를 수 있습니다
Et je vais vous montrer comment vous pouvez calculer quelque chose comme ça
이제 이런 값을 계산하는 법을
dans un instant.
보여 드리려 합니다
Mais, d'abord, il y a quelque chose qu'il faut savoir à propos
그런데 편미분에서 다른 점은
des dérivées partielles. On ne les écrit pas
미분 기호를 df/dx처럼
avec des "d" en dx / df.
d로 쓰지 않는다는 겁니다
On utilise une autre notation,
식을 보는 사람에게
la plupart du temps juste pour souligner au lecteur
다변수함수 연산임을
de votre équation que
강조하기 위해
on parle d'une fonction à plusieurs variables.
새로운 표현을 사용합니다
Et ce que vous faites, c'est écrire "d",
d랑 비슷하지만
mais il faut ajouter ce genre de boucle au sommet (lettre grecque delta minuscule).
맨 위를 굽힌 모양이죠
C'est ce nouveau symbole, et les gens vont le lire
사람들이 보통 라운드라고 부르는
"partielle".
새로운 기호입니다
Ainsi, vous pourriez lire comme "dérivée partielle de F", "dérivée partielle de Y",
라운드 f, 라운드 y라고 읽죠
Si vous vous demandez, en passant,
이것을 '편'미분이라
pourquoi nous qualifions ces dérivées de "partielles",
부르는 까닭은
c'est un peu comme: "ça ne dit pas tout",
x 방향만 고려하기 때문에
seulement la façon dont f change quand on ne se soucie que de la direction X.
f의 변화에 대한 부분적인 정보밖에 없기 때문입니다
Tandis que cela, cela ne se soucie de la direction Y.
이것도 y 방향만 다루죠
Donc, chacun explique seulement une partie des variations de f.
각각은 f의 부분적인 면만 나타냅니다
Donc, nous allons évaluer concrètement quelque chose comme ça.
실제로 계산을 해 봅시다
Je vais aller de l'avant et effacer le tableau ici.
이쪽은 지울게요
Je pense que l'analogie à une dimension
일차원에서 유추한 것은
est quelque chose que nous avons déjà vu.
어느 정도 이해하셨죠
Les petits restes...
Donc, si vous voulez évaluer une dérivée partielle,
실제로 계산하는 과정을
Je vais l'écrire ici à nouveau ici.
이쪽에 쓸게요
dérivée partielle de f, par rapport à x,
f의 x 방향 편미분을
et nous le faisons à (1, 2).
(1, 2)에서 계산합니다
On ne se soucie que des variations dans la direction X,
x방향으로의 변화만 계산하니까
donc on traite Y comme une constante.
y를 상수로 취급하는 것과 같죠
On ne se soucie pas de ce que Y change.
y가 바뀌지 않으니까
En ce qui le concerne, Y est toujours égal à deux.
y는 항상 2입니다
Ainsi, on peut simplement le remplacer.
미분하기 전에 넣어도 되죠
Donc, je vais dire partielle, partielle X,
라운드, 라운드x 안에
ceci est une autre façon de l'écrire,
식을 적는 것이
en mettant l'expression ici.
다른 표현입니다
Et je vais dire X au carré, mais au lieu d'écrire Y,
x^2 다음 y를 적는 대신
Je vais juste le substituer par sa valeur.
미리 상수값을 대입해 둡니다
Parce que quand vous vous déplacez seulement dans la direction X,
다변수함수에서 x방향으로
c'est comme ça que les fonctions de plusieurs variables
움직이는 것만을
"voient le monde".
고려하니까요
Et je vais garder une petite note
이를 계산한 값을
pour dire que nous évaluons cette expression en x=1.
1에서 구하는 것이라고
Et ici, c'est en fait juste une dérivée ordinaire.
표시해 둡니다
Ceci est une expression qui dépend de X,
이것은 x에 대한 식이
et on se demande comment elle change
x를 약간 바꾸면 어떻게 변하는지를
lorsque X varie. Et on sait comment faire cela !
구하는 것이고, 이미 익숙한 과정이죠
Il faut juste prendre la dérivée
이것은 2x^2의 도함수를
de 2 * x²
구하는 것과 같고
cela va être 4x, parce que (x²)' = 2x
(x^2)'=2x니까 4x가 되겠네요
Ensuite, la dérivée d'une constante,
그 다음 sin2는 상수니까
(en effet sin(2) est juste une constante) vaut zéro.
도함수는 0이죠
Et bien sûr, nous évaluons cela pour x=1,
마지막으로 이 값을 x=1에서
donc la réponse va être quatre.
구하면 4가 됩니다
Et pour s'entraîner, nous allons le faire aussi
연습을 좀더 하기 위해
avec la dérivée par rapport à Y.
y에 대한 편미분도 구해 보죠
Donc, ici, je vais écrire la même chose.
같은 식을 쓰고
Vous prenez la dérivée partielle de f
f의 도함수를
par rapport à y.
y에 대해 구합니다
Nous allons l'évaluer au même point (1 ; 2).
같은 점 (1, 2)에서요
Cette fois, on ne se soucie pas du déplacement dans la direction X.
x방향으로의 변화는 고려하지 않습니다
Ainsi, en ce qui le concerne,
x는 상수로
X est juste une constante qui vaut 1.
1이 되는 것이죠
Donc, on écrit 1² * Y, plus sin(Y).
1^2*y+siny가
Sin (Y).
되죠
Et on évalue cela pour y=2.
y=2 주변에서
Et on évalue cela pour y=2.
이것을 움직이니까
Ainsi, on évalue à y = 2.
미분을 해야 하죠
Lorsqu'on dérive (1² * y),
이쪽 식은 1y니까
la dérivée est 1.
미분하면 1이 됩니다
Pour le reste, la dérivée est cosinus, cos(Y).
이쪽 도함수는 cosy이군요
Encore une fois, nous évaluons tout cela pour y = 2.
y=2에서 이 값을 구하면
Donc, la réponse
결국 정답은
est 1 + cos(2).
1+cos2입니다
Je ne suis pas sûr de ce que vaut cos(2),
cos2를 더 이상 간단히
de tête,
표시할 순 없지만
mais ce serait la réponse.
어쨌든 정답입니다
Et ceci est une dérivée partielle en un point,
이는 한 점에서 편도함수이지만
mais très souvent, on ne demandera pas de l'évaluer
한 점에서만 계산하지 않고
en un seul point. Ce que l'on veut est une formule générale
일반적인 식에 (x, y)를 대입해서
qui vous dit, en tout point (X,Y),
각 점에서 정답을 내놓아야 할
la réponse.
경우가 많습니다
Alors, permettez-moi de revenir un peu sur la façon dont on le fait.
그건 어떻게 하는지 말해 드릴게요
C'est en fait très similaire,
거의 비슷하지만
mais cette fois, au lieu de substituer x ou y par une constante,
이번에는 상수값을 미리 넣지 않고
il suffit de faire semblant
그것이 상수라고 생각만
que c'est une constante.
하는 겁니다
Je vais faire un peu d'espace ici...
이건 더 이상 필요없으니
Nous n'avons plus besoin de tout cela.
지우고
Je vais laisser le df/dx, le df/dy.
이렇게 라운드f 라운드y가
Nous voulons une fonction générale de x et y.
x와 y의 도함수 식으로 나타나야 합니다
Eh bien, on va faire, en gros, la même chose.
같은 과정입니다
On va dire que c'est la dérivée
이것을 x 방향의 편미분이라고
par rapport à X,
하고
et j'utilise "partielle" juste pour mettre l'accent sur
편미분이라는 걸 강조하기 위해
le fait que c'est une dérivée partielle.
이 기호를 사용하죠
Et maintenant, on écrit x²,
x^2 * 상수 y
et pour souligner que Y est une valeur constante [on l'écrit en rouge],
y는 다른 색으로 써서 구별하죠
plus sin, et encore,
다음 siny
Je vais écrire y [en rouge].
입니다
Et ici, je vous écris la variable Y,
y는 변수 기호로 쓰지만
mais il faut faire comme si c'était une constante,
상수라고 생각하는 것이죠
on fait comme si on le substituait par 2,
숫자 2 같은 기호라고
ou quelque chose comme ça.
생각하는 겁니다
Et il faut encore prendre la dérivée.
그러면서 도함수를 구합니다
Donc, dans ce cas,
이 경우에
le dérivée de x² multiplié par une constante,
x^2*상수의 도함수는
est seulement 2x fois la constante.
2x*그 상수겠죠
Et ici, la dérivée d'une constante est toujours égale à zéro.
이쪽에는 상수의 도함수니까
Donc tout va toujours être égal à zéro.
항상 0이 됩니다
Donc, ceci est votre dérivée partielle,
이것이 펀도함수의
avec une formule plus générale.
일반적인 식입니다
Si on substituait par (1; 2),
(1, 2)를 대입하면
on obtiendrait ce qu'on avait calculé avant.
아까 값이 나올 거에요
Et de même, si vous faites cela
이것을 라운드 f 라운드 y로
avec partielle f, partielle y,
똑같이 하면
on aura toujours la même chose.
같은 과정으로
Maintenant on dérive par rapport à y.
대신 y 방향으로 하는 겁니다
Et je vais copier cette formule.
여기 식을 복사하죠
Mais cette fois, nous allons considérer que
이번에는 x만을 모두
x est constant.
상수라고 생각합니다
Ainsi, dans ce cas, lorsque vous prenez la dérivée
여기서 도함수를 구하면
par rapport à Y, d'une constante, car une constante au carré est une constante,
상수*y 형태니까
par rapport à Y, d'une constante, car une constante au carré est une constante,
x^2은 상수죠
multiplié par Y, la dérivée sera juste égale à cette constante.
미분하면 그 상수가 됩니다
Donc, ça va être X au carré.
x^2이군요
Et ici, vous prenez le dérivée de sin(Y).
sin(y)에는
Il n'y a pas de X là-dedans, de sorte que cela reste sin(Y).
x가 없으니까 그대로 구하고요
Maintenant, c'est une formule plus générale.
이것이 일반적인 식입니다
Si on remplace (x ; y) par (1 ; 2), on obtiendra 1 +
(1, 2) 같은 점에서 값을 구할 수 있죠
Oups, pardon, c'est cos(y).
아, cosy이군요
Cos(y) parce que nous prenons la dérivée.
미분을 했으니까요
Donc, si vous substituer par (1; 2),
(1, 2)를 대입하면
vous obtiendrez 1 + cos (2),
1+cos2가 나오죠
qui est ce que nous avions avant.
아까 계산한 값입니다
Donc ça, c'est ce que vous verrez vraiment
이것이 편도함수를 계산할 때
pour calculer une dérivée partielle.
쓰는 방식입니다
On suppose que l'une des variables est constante
변수 중 하나가 상수라고 생각하고
et on dérive.
미분하는 것이죠
Et on n'oublie pas que c'est parce qu'on se déplace dans une seule direction
개념적으로
Et on n'oublie pas que c'est parce qu'on se déplace dans une seule direction
이 이유는
Et on n'oublie pas que c'est parce qu'on se déplace dans une seule direction
한 방향의 입력만 이동하여
pour l'entrée, et que l'on voit comment cela influence les choses.
어떤 영향이 있는지 보고
Et puis, vous pouvez déplacer dans une autre direction pour une autre entrée
다른 한 방향만 이동하여
et voir comment cela influence la sortie.
영향을 보기 때문입니다
Dans la vidéo suivante, je vais vous montrer ce que cela signifie
다음 영상에서 그래프의 기울기와
en termes de graphiques et de tangentes,
연관성을 보겠지만
mais il est important de comprendre que les graphiques et les tangentes
그래프의 기울기로 생각하는 것이
ne sont pas le seul moyen pour comprendre les dérivées
전부는 아님을 염두에 두세요
parce que dès que vous commencez à penser
벡터 출력을 가진 함수나
sur les fonctions de vecteurs,
2차원 이상의 입력을 가진
ou des fonctions avec des entrées de dimensions supérieures à deux,
함수를 생각할 때는
vous ne pouvez plus penser en termes de graphiques.
더 이상 안 먹히기 때문이죠
Mais, cette idée de déplacer l'entrée dans une certaine direction,
특정 방향으로 입력을 약간 바꿔서
puis voir comment cela influe sur la sortie,
출력의 변화를 보고
et en prenant ensuite le rapport de la différence de la sortie avec le déplacement en x,
둘의 비율을 구하는
le changement de l'entrée,
과정이
c'est une façon plus générale de voir les choses.
더 일반적인 방식입니다
Et ça va être très utile pour en étudier davantage
다양한 다변수함수에 제약 없이
dans le monde des fonctions de plusieurs variables.
적용 가능하죠
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