(2^ln x)/x Antiderivative ExampleYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  208.2K views 262 likes 10 dislikes   22 Oct 2009
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
Estaba revisando los foros de discusión en la página
- Khan Academy Facebook sayfalarındaki tartışma panolarına bakıyordum ve Bud Denny'nin sorduğu soruyu gördüm.
de Facebook de Khan Academy, cuando Bud Denny colocó este problema
-
pidiendo que fuera resuelto.
-
Y al parecer es un problema de interés general.
Genelde sorulan bir soru bu.
Es la integral indefinida de 2 elevado al logaritmo natural de x
2 üzeri x'in doğal logaritması, bölü x, dx'in belirsiz integrali.
entre, todo entre x, dx.
-
Además en el panel de mensajes, Abhi Khanna colocó una solución,
Abhi Khanna panoda doğru cevap vermiş, ama yine de bir videoda çözeyim, dedim.
y una que es correcta, pero como creo que esto es de
-
interés general, haré un rápido video al respecto.
-
Entonces lo primero que hay que hacer cuando veamos una integral de este tipo, es que
Böyle bir integral gördüğünüzde, ilk yapmanız gereken, x'in doğal logaritmasını üs olarak görüyorum. O zaman çözüme nasıl başlarım, diye düşünmek olmalı.
diga: "muy bien, tengo este logaritmo natural de x en el
-
numerador, ¿por dónde debo empezar?"
-
Lo primero que debería venir a la mente, es que
Ve, bu integralin 1 bölü x çarpı, 2 üzeri x'in doğal logaritması olduğunun farkına varmanız gerekir.
esto es equivalente a la integral de uno entre x por 2
-
elevado al logaritmo de x, dx
-
Entonces tenemos esta expresión, si bien es parte de
Yani, şurada bir ifade var, ve burada da onun türevi var, öyle değil mi?
nuestra función original, y conocemos su derivada, ¿correcto?
-
Sabemos que la derivada, la voy a escribir aqui,
x'in doğal logaritmasının türevinin 1 bölü x olduğunu biliyoruz.
sabemos que la derivada con respecto a x del logaritmo
-
natural de x es igual a 1/x.
-
Así que tenemos una expresión, y tenemos su derivada, la cual
Bir ifade ve onun türevi varsa, yerine koyma metodu uygulayabileceğimizi biliyoruz.
nos indica que podemos usarla como sustituto.
-
A veces lo podemos hacer en nuestra mente, pero este problema,
Bazen bunu kafamızdan yapabiliriz, ama bu soru o kadar kolay değil.
aun no es algo trivial que resolvamos en nuestra mente.
-
Así que hagamos la sustitución.
Şimdi, yerine koyma metodunu uygulayalım.
Sustituyamos esta parte de aquí con una "u".
Şuraya u diyelim.
Así que hagamos eso.
-
Así que definimos u, y no tiene que ser forzosamente u,
u harfi kullanmak zorunda değiliz. Ancak, genelde kural icabı bu harfi kullanıyoruz.
sólo es una convensión, es llamado "u sustitución"
-
pudo haber sido "s sustitución" si así lo quisieramos.
-
Digamos entonces que u es igual al logaritmo natural de x,
u eşittir x'in doğal logaritması, diyelim. O zaman, d u bölü dx, yani u'nun x'e göre türevi, 1 bölü x olur.
y que du dx, la derivada de u con respecto a x, que por supuesto
-
es igual a 1/x.
-
O, sólo el diferencial du, si tan sólo multiplicamos ambos lados
d u diferansiyelini bulmak için, iki tarafı da dx ile çarparız.
con dx sería igual a 1 sobre x dx.
Yani, d u eşittir 1 bölü x dx.
Así que prosigamos con la sustitución.
Şimdi yerine koyalım.
Esta es nuestra integral.
İntegralimiz burada.
Así que esto sería equivalente a la integral indefinida, o la
Bu integral eşittir, 2 üzeri u, çarpı 1 bölü x, dx.
"antiderivada", de 2 elevado a la u, así que 2 elevado a u,
-
por 1/x dx.
-
¿Y qué es 1/x dx?
Peki 1 bölü x, dx nedir?
Simplemente du.
d u'dur.
Así que este término por aquel término es nuestra du.
O zaman bu iki terimin çarpımı, sadece d u.
Permitanme hacerlo con otro color.
Farklı bir renkte yazayım.
1/x por dx es igual a du.
1 bölü x çarpı dx eşittir d u.
Esto es igual a esto que tenemos aquí.
Bu da şuradaki şeye eşit.
Bien, esto todavía no luce como una integral sencilla,
Bu integral, sadeleştirmemize rağmen, hala kolay bir integrale benzemiyor.
sin embargo se ha simplificado lo suficiente.
-
Para resolverla, sabemos , que cuando veamos la variable
İntegralini alacağımız değişkeni, üs olarak gördüğümüzde, bu integrali zor olarak algılayabiliriz.
que estamos integrando en el exponente, sabemos,
-
que no tenemos una regla sencilla para exponentes en este caso.
-
Lo único que nos es familiar, en donde tenemos nuestra x
e üzeri x'in integralinin, e üzeri x artı c, olduğunu biliyorum.
o una variable que estemos integrando con un exponente,
-
es el caso de e elevado a la x.
-
Conocemos también que la integral de e elevado a la x, dx,
-
es igual a e elevado a la x más c.
-
Así que si de algún modo pudieramos transformarle en una variación de
Buna göre, bu ifadeyi e üzeri x, veya e üzeri u haline çevirebilirsem, belki integrali daha çözülebilir bir duruma getirebilirim.
e a la x, talvez, o e por la u, talvez pudieramos hacer esta integral
-
un poco más manejable.
-
Así que veamos.
Şimdi bakalım.
¿Como podemos redefinir esto que tenemos aquí?
Bunu nasıl farklı şekilde tanımlarız?
Bueno, 2, 2 es igual a que?
2 neye eşit?
2 es lo mismo que e elevado al logaritmo natural de 2, ¿correcto?
2 eşittir e üzeri 2'nin doğal logaritması, öyle değil mi?
El logaritmo natural de 2 es la potencia a la que se tiene
2'nin doğal logaritması, 2 elde etmek için e'ye uygulayacağınız üs.
que elevar e para llegar a 2.
-
Así que si elevamos e a esa potencia, estamos,
Eğer, e'nin bu üssünü alırsanız, 2 elde edersiniz.
en camino de obtener 2.
-
Esta es de hecho la definición, del logaritmo natural.
Zaten, bu, doğal logaritmanın tanımıdır.
Si elevamos e al logaritmo natural de 2, vamos a obtener 2.
e'nin, 2'nin doğal logaritması üssünü alırsanız, sonuç 2 olur.
Así que vamos a reescribir esto, utilizando este... Creo que pudieramos
Şimdi şunu tekrar yazalım.
llamar a esto... o ... no es que lo quiera llamar
-
como tal una sustitución.
-
Es sólo una forma diferente de escribir el número 2.
Yalnızca, 2'yi farklı bir şekilde yazmış oluyoruz.
Entonces esto será igual a, en vez de escribir el número 2,
Yani, 2 yerine, e üzeri 2'nin doğal logaritması yazıyorum.
puedo escribir e elevado al logaritmo natural de 2.
-
Y todo esto elevado a u du.
Ve bunun tamamını u üssüne alıyorum, d u ile çarpıyorum.
Y entonces ¿a qué es igual esto?
Şimdi, bu neye eşit?
Bueno, si elevamos algo a un exponente, y de nuevo
Üssün üssünü almak, tabanı üslerin çarpımına almak, demektir.
a otro exponente, esto es lo mismo como tomar mi base
-
elevado al producto de esos exponentes.
-
ASí que esto es igual, dejenme cambiar de colores, esto es igual
Buna göre, bu eşittir, e üzeri 2'nin doğal logaritması, çarpı u.
a la integral de e, elevado a la u, e a la,
-
dejenme escribir por aquí.
-
e al logaritmo natural de 2 multiplicado por u.
-
Sólo estoy multiplicando estos dos exponentes.
Şu iki üssü çarptım.
Elevo una base a un exponente y luego de nuevo,
Üslü ifadeler ile ilgili kurallardan, üssün üssünün, üslerin çarpımı olduğunu biliyorum.
sabemos por nuestras reglas de exponentes, que es tan sólo
-
el producto de ambos exponentes.
-
du.
-
Ahora, esto es tan sólo un factor constante, aquí.
Şuradaki, sabit bir sayı.
Esto pudiera ser, esto pudiera ser cualquier número.
-
Pudieramos usar una calculadora para determinar que es esto.
Hesap makinesiyle kaç olduğunu bulabiliriz.
Podemos igualarlo a a.
Buna, a diyelim.
Pero ya sabemos que en genera esta integral, es bastante
Bu şekle soktuktan sonra, artık integralimiz hayli kolaylaştı.
directa, una vez que la colocamos en esta forma.
-
La antiderivada de e a la au, du, es tan sólo
e üzeri a u'nun terstürevi, 1 bölü a, çarpı e üzeri a u.
1 sobre a e a la au.
-
Esto viene definido aquí arriba, y por supuesto más c
Bu, şuradaki tanımdan dolayı, ayrıca artı c de var.
y utilizamos la regla de al cadena.
Zincir kuralına göre, bunun türevini alırsak, içinin de türevini almamız gerekli, bu da a olacak.
Si tomamos la derivada de esto, tomamos la derivada
-
de adentro, que tan sólo va a ser a.
-
Multiplicamos eso por 1/a, se cancela
Bunu, 1 bölü a ile çarpıyoruz ve sadeleştiriyoruz. e üzeri a u kalıyor.
y nos queda tan sólo e elevado a au.
-
Así que esto definitivamente funcionará.
Demek ki, bu işe yaradı.
Así que la antiderivada de esto de aqui va a ser
Buna göre, bunun terstürevi, 1 bölü a, 1 bölü sabit terimimiz, 1 bölü 2'nin doğal logaritması, çarpı ifademizin tamamı.
igual a 1 sobre nuestra a, va a ser igual a 1 sobre nuestra constante
-
1 sobre el logaritmo natural de 2 multiplicado por
-
toda la expresión e....e.
-
Y aquí voy a hacer algo.
Şimdi şunu yapalım.
Esto es tan sólo un número por u, así que lo puedo escribir
Bu, u çarpı bir sayı, yani o şekilde yazabilirim.
como u veces cualquier número.
-
Y sólo lo estoy expresando así de forma que nos pueda
Bu şekilde yazmamın sebebi, sadeleştirmek.
ayudar a simplificarlo un poco más.
-
Así que es e elevado a la u por el logaritmo natural de 2, ¿correcto?
e üzeri u çarpı 2'nin doğal logaritması.
Todo lo que hice, es que invertí el orden.
Tek yaptığım şey, sırayı değiştirmek.
Esto pudo ser escrito como e elevado al logaritmo
Bunu, e üzeri 2'nin doğal logaritması çarpı u, olarak da yazabilirdim.
natrual de 2 por u.
-
Si entonces a, a por u es lo mismo que a veces u.
a çarpı u eşittir u çarpı a.
Más C.
Artı c.
Así que está es nuestra respuesta, pero tenemos que de cierta
Cevabımız bu, ama x'e göre terstürev aldığımızı göstermek için, tekrar x'li ifadeyi yerine koymamız lazım.
forma sustituir de vuelta antes de sentirnos satisfechos con
-
haber antiderivado con respecto a x.
-
Pero antes de que haga esto, veamos si podemos simplificarlo
Bunu yapmadan önce, biraz daha sadeleştirmeye çalışayım.
aun más.
-
Que sucede, si tengo, a partir de las propiedades del logaritmo natural,
a çarpı, b'nin doğal logaritması eşittir, b üzeri a'nın doğal logaritması.
o logaritmos, a multiplicado por el logaritmo natural de b.
-
Sabemos que esto es lo mismo al logaritmo natural
-
de b elevado a la a.
-
Dibujaré una linea aquí.
-
¿Correcto?
Öyle değil mi?
Entonces esto convierte el exponente de lo que sea
Bu, doğal logaritmasını aldığım şeyin üssü oluyor.
en logaritmo natural del mismo.
-
Así que u, dejenme lo escribo aquí, u por el logaritmo natural de 2,
O zaman, u çarpı, 2'nin doğal logaritması eşittir 2 üzeri u'nun doğal logaritması.
es lo mismo que el logaritmo natural de 2 por u.
-
Así que podemos reescribir nuestra antiderivada igual
Buna göre, terstürevimizi şöyle yazabiliriz: 1 bölü, 2'nin doğal logaritması, çarpı e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması.
a 1 sobre el logaritmo natural de 2, esta parte de aquí,
-
por e elevado, esto puede ser reescrito basado en esta
-
propiedad de los logartimos, como el logaritmo natural de 2 elevado a u,
-
y por supuesto todavía tenemos que sumarle C aquí.
Artı c'yi unutmayalım
Ahora, ¿a qué es igual e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u?
Şimdi, e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması, nedir?
El logaritmo natural de 2 elevado a u es la potencia a la que debemos
Tanımsal olarak, 2 üzeri u'nun doğal logaritması, 2 üzeri u elde etmek için e'ye uygulayacağımız üstür, öyle değil mi?
elevar e para obtener 2 elevado a la u, ¿correcto?
-
¡Por definición!
-
Así que si elevamos e a esa potencia, ¿qué es lo que obtendremos?
O zaman, e'yi bu üsse alırsak, ne elde ederiz?
Vamos a obtener 2 elevado a la u.
2 üzeri u elde ederiz.
Así que esto va a ser igual a 1 sobre el logaritmo natural de 2.
Demek ki, bu, 1 bölü, 2'nin doğal logaritması.
Esto se simplifica tan sólo como 2 elevado a la u.
Bu da, 2 üzeri u olarak sadeleşir.
Lo dibujé aquí.
Şuraya yazmıştım.
El logaritmo natural a, lo puedo escribir en terminos generales,
a'yı değişik bir şekilde yazabilirim.
lo pondré por aquí.
-
Pero puedo escribir en general para cualquier número, que a
Aslında, herhangi bir a sayısını, e üzeri, a'nın doğal logaritması olarak yazabilirim.
es igual a e elevado al logaritmo natural de a.
-
Este es el exponente al que hay que elevar e para obtener a.
a elde etmek için, e'yi bu üsse almamız lazım.
Si elevamos e a esa potencia, vamos a obtener a.
e'yi bu üsse alırsak, a elde ederiz.
Así que e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u, es tan sólo 2 a la u.
e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması eşittir 2 üzeri u.
Y entonces tenemos más C, por supuesto.
Tabii, bir de artı c var.
Y ahora podemos sustituir de vuelta.
Şimdi geri yerine koyalım.
¿A qué igualamos u?
u neye eşit demiştik?
Definimos u, aquí arriba, igual al logaritmo natural de x.
u eşittir x'in doğal logaritması.
Así que sustituyamos de vuelta aquí.
Şimdi bunu yerine koyalım.
Así que la respuesta a nuestra ecuación original, su respuesta también
Orijinal integralimizin -2 üzeri, x'in doğal logaritması, bölü x, dx'in- cevabı, 1 bölü, 2'nin doğal logaritması, çarpı 2 üzeri, x'in doğal logaritması, artı c.
la escribiré aquí, por que es más satisfactorio cuando la vemos
-
especialmente con este problema de antiderivadas de
-
apariencia revuelta, 2 elevado al logaritmo natural de x sobre x dx,
-
determinamos que es igual a, reemplazando u con el
-
logaritmo natural de x, por que esa fue nuestra sustitución y 1 sobre
-
el logaritmno natural de 2 por 2 elevado al logaritmo natural de x por C.
-
Y hemos terminado.
Ve, cevabı bulduk.
Esto no está en el denominador, de la forma en que lo
Bu, paydada değil, biraz karışık yazmış olabilirim.
escribí puede parecer ambiguo.
-
¡Y hemos terminado!
-
Este fue un problema bastante bueno, así que
Güzel bir soruydu, bunu sorduğu için, Bud'a teşekkürler.
gracias a Bud por subirlo a los foros.
-
Similar videos:

Derivative of x^(x^x) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
406.7K views 1.2K likes 51 dislikes 02 Oct 200970% match


Definite integral with substitution
Khan Academy
224.6K views 473 likes 15 dislikes 02 Jul 200867% match

Proof: d/dx(ln x) = 1/x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
382.7K views 1.1K likes 80 dislikes 27 Apr 200867% match



Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201065% match




Conic Sections: Intro to Circles
Khan Academy
430.6K views 1.9K likes 79 dislikes 15 Jun 200963% match


Identifying an ellipse from equation | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
211.6K views 551 likes 15 dislikes 16 Jun 200963% match


Partial fraction expansion 1 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.9K likes 77 dislikes 09 Jul 200963% match



Equation of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
455K views 618 likes 44 dislikes 02 Jul 200862% match


How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201062% match









Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200962% match


L'Hôpital's rule example 1 | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
688.6K views 2K likes 43 dislikes 07 Jun 201062% match



Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200762% match

systems of equations
Khan Academy
762.2K views 3.5K likes 264 dislikes 25 Nov 200661% match


Introduction to logarithm properties | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.4M views 4.7K likes 141 dislikes 15 Nov 200761% match



Foci of an ellipse | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
561.6K views 1.9K likes 93 dislikes 06 Jul 200961% match


Introduction to logarithm properties (part 2) | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
747K views 2.4K likes 79 dislikes 15 Nov 200761% match



Scientific notation examples | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
444.6K views 524 likes 32 dislikes 02 Nov 200960% match



Conic sections: Hyperbolas 2 | Conic sections | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
214.6K views 435 likes 12 dislikes 16 Jun 200960% match


Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
961.5K views 1.9K likes 50 dislikes 02 Nov 200960% match



Solid of Revolution (part 2)
Khan Academy
299.1K views 832 likes 29 dislikes 25 Apr 200860% match


Introduction to definite integrals
Khan Academy
574K views 1.2K likes 68 dislikes 19 Oct 200759% match

Function inverses example 3 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
268.6K views 197 likes 9 dislikes 16 Jul 201059% match



Introduction to order of operations | Arithmetic properties | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
2.3M views 4.8K likes 535 dislikes 26 May 201059% match





Acceleration | One-dimensional motion | Physics | Khan Academy
Khan Academy
1.6M views 5.7K likes 331 dislikes 13 Jun 201159% match





Complex Numbers (part 1)
Khan Academy
950.7K views 3.3K likes 147 dislikes 22 Apr 200859% match



Introduction to l'Hôpital's rule | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 5K likes 210 dislikes 07 Jun 201059% match



Taking percentages | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
558.2K views 1.1K likes 67 dislikes 11 Apr 200759% match





Function inverse example 1 | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
682.6K views 564 likes 38 dislikes 17 Jul 201059% match




Quadratic inequalities | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
400.4K views 1.7K likes 86 dislikes 05 Mar 200759% match

CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200859% match









Settings Privacy About Contact Donate