Squaring the Circle - NumberphileYouTube↗  IA↗(long shot)
Science & Technology  2.2M views 36.5K likes 465 dislikes   25 Mar 2013
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Contributed subtitles
Romanian Daniel Bobocia
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Dr. JAMES GRIME: Heute werden wir über
DR. .JAMES GRIME: So today we're going to talk about one
eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik sprechen, das bis
of the great unsolved problems in mathematics that went back
zu den antiken Griechen zurückgeht, vor tausenden von Jahren
to the Ancient Greeks, thousands of years ago, which
und welches in 1882 schlussendlich gelöst wurde.
was eventually solved in 1882.
Und das problem nennt sich "Quadratur des Kreises".
And the problem is called squaring the circle.
Und vielleicht hast du sogar schon von diesem Problem gehört, als Metapher
And you may have even heard of the problem as a metaphor for
für etwas das unmöglich ist.
something that's impossible to do.
Die Frage ist, kann man ein Quadrat bilden, das die selbe Fläche
The question is, can you make a square with the same area as
wie ein Kreis hat?
the circle?
Zuerst muss man die Regeln verstehen.
Now you have to understand the rules.
Im antiken Griechenland gab es keine Algebra.
In Ancient Greece they didn't have algebra.
Also konnten sie nur Zahlen konstruieren
So they could only construct numbers
mithilfe von Linien und Kreisen.
using lines and circles.
Man konnte Sachen also nur konstruieren mit einer Messkante,
So you could only make things using a straight edge--
wie z.B. ein Lineal, aber nicht ein Lineal mit Markierungen,
like a ruler, but not a measured ruler, just a
nur ein Messtab
straight edge--
und einem Zirkel.
and a compass.
Also Linien und Kreise, das sind die Regeln.
So lines and circles, those are the rules.
Das sind die Regeln mit denen die antiken Griechen arbeiten mussten.
Those are the rules the Ancient Greeks had to work by.
Kann man mit diesen Regeln ein Quadrat konstruieren
Using those rules, can you construct a square with the
das die selbe Fläche hat wie ein Kreis?
same area as the circle?
Schauen wir mal was wir mit Lineal und
Let's have a look at what you can do
Zirkel tun können.
with rules and compasses.
Man kann Zahlen addieren.
You can add numbers.
Hier ist eine Gerade, sie hat die Länge a.
Here's a line, and it has length a.
Und ich addiere eine weitere Gerade mit Länge b.
And I add another line of length b.
Und das Ganze ist a plus b.
And the whole thing is a plus b.
Also können wir Zahlen
So you can add numbers together
mit Linien ganz einfach addieren.
quite easily with lines.
Man kann auch Zahlen subtrahieren.
You can subtract numbers, as well.
Wenn ich mit b starte, und dann eine Länge abmarkiere, welche ich
If I start with b, and then I mark off a length, which I'm
jetzt a nenne, dann ist dieses Stückchen hier
going to call a, then this bit here, that's going
wohl b minus a.
to be b minus a.
Wir können multiplizieren.
We can multiply.
Wenn ich hier ein kleines Dreieck zeichne - das hier hat Länge 1
If I draw a little triangle here, this has length 1.
und das hier hat Länge a.
And this has length a.
Ich werde jetzt das Dreieck raufskalieren.
I'm going to scale up the triangle.
Ich skaliere es rauf, also hat das hier jetzt Länge b - das große Dreieck hat
I scale it up, so now this has length b, the big triangle has
Länge b, dann wurde das hier genauso raufskaliert, so dass es
length b, then this has been scaled up as well, so that
jetzt die Länge a mal b hat.
this has a length a times b.
Man dividiert.
You divide.
Selbe idee, aber eben umgekehrt.
Same idea, but it's the reverse of that.
Wenn ich ein größeres Dreieck nehmen würde, angenommen das hat Länge b, und
If I took a bigger triangle, if that has a length of b, and
die lange Kante hier hat die Länge a. Wenn ich es runterskaliere
the long edge here has a length of a, if I scale it
so dass das jetzt die Länge 1 hat, dann wurde das hier
down so now this has a length of 1, then this has been
auch runterskaliert.
scaled down as well.
Und man skaliert es so runter, dass es eine Länge von
And you scale it down so it has a length of
a dividiert durch b hat.
a divided by b.
Also kann man mit Dreiecken auch dividieren.
So you can divide by scaling triangles as well.
Und es gibt noch etwas was man machen kann.
And there's one more thing you can do.
Wenn ich hier eine Linie Zeichne, das ist a.
If I draw a line here, this is a.
Ich addiere jetzt 1 dazu.
I'm going to add 1 to it.
Das hier ist 1.
That's 1.
Dann zeichne ich einen Halbkreis.
I'm then going to draw a semicircle.
Und diese Länge, hier, ist die Quadratwurzel von a.
And this length, here, is the square root of a.
Und das ist alles was man machen kann.
And that's all you can do.
Das wärs.
That is it.
Mit einem Lineal und einem Zirkel kann man addieren, multiplizieren, dividieren,
With a ruler and a compass, you can add, multiply, divide,
subtrahieren, Quadratwurzeln finden, und das wars.
subtract, workout square roots, and that is it.
Das ist alles was man machen kann.
That is all you can do.
Die Zahlen die man mit diesen Regeln machen kann, nennt man
The numbers you make using those rules are called
Konstruierbare Zahlen.
constructible all numbers.
Also all diese Zahlen sind bloß wiederholtes Anwenden
So all those numbers are just repeated use
von diesen paar Regeln.
of those few rules.
Wenn wir einen Kreis haben -
If we had a circle--
machen wir es uns einfach.
let's this make this easy.
Sagen wir dieser Kreis hat einen Radius von 1.
Let's say this circle has a radius of 1.
Die Fläche von diesem Kreis ist π mal dem Radius zum Quadrat.
The area of the circle is pi times the radius squared.
Und der Radius zum Quadrat ist 1.
And the radius squared, that's 1.
Also ist die Fläche einfach nur π.
So the area of the circle is just pi.
Also möchte ich ein Quadrat mit der selben Fläche.
So I want a square with the same area.
Ich möchte jetzt ein Quadrat das die Fläche π hat.
I want a square now that has an area of pi.
Und du erahnst hier vielleicht schon,
And you may be ahead of me here, because a square has an
dass ein Quadrat mit einer Fläche von π eine Seitenlänge von der Quadratwurzel von
area of pi, the lengths of the sides are the square root of
π haben muss.
pi
Also brauchen wir die Quadratwurzel von π.
Now it's at the square root of pi.
Quadratwurzeln können wir machen.
We can do square roots.
Das ist erlaubt.
That's allowed.
Also gibt es hier noch nichts das uns sagt es wäre nicht möglich.
So there's nothing yet to say that we can't do this.
Also, was ist das Problem?
So what's the problem?
Nun gut, wir wissen, dass π irrational ist.
Well we know that pi is irrational.
Eigentlich, das war gar nicht so leicht rauszufinden.
Actually, that wasn't easy to work out.
Wir haben das eigentlich erst kürzlich rausgefunden.
We only worked that out quite recently.
Mit kürzlich meine ich 1761.
By quite recently I mean 1761.
Aber irrational zu sein ist noch nicht genug.
But being irrational is not enough.
Es gibt konstruierbare Zahlen die irrational sind.
There are constructible numbers that are irrational.
Man kann ganz leicht die Quadratwurzel von 2 machen.
You can make the square root of 2 quite easily.
Und man kann die Quadratwurzel von der Quadratwurzel
And you can make the square root of the square root
von 2 machen, und so weiter.
of 2, and so on.
Also irrational zu sein ist noch nicht genug um zu sagen, dass
So being irrational is not enough to say that
das hier nicht möglich ist.
this can't be done.
Wenn ich das ein bisschen allgemeiner machen darf, wenn ich
If I'm allowed to make this a bit more general, if I'm
andere Wurzeln, so wie die Kubikwurzel oder fünfte
allowed to use other roots, like cube roots, or fifth
Wurzel oder n-te Wurzel machen darf, wenn ich die auch dazunehmen darf,
roots, or nth roots, if I'm allowed to add those in as
dann nennen wir die Zahlen die wir mit diesen Regeln machen können
well, the numbers that you can make using those rules are
Algebraische Zahlen.
called algebraic numbers.
Das ist nur ein bisschen allgemeiner, aber die selbe Idee.
That's just a bit more general, same idea.
Und es stellt sich heraus, dass man beweisen konnte, dass π
And it turns out that they were able to prove that pi was
keine algebraische Zahl ist.
not an algebraic number.
Und wenn es keine algebraische Zahl ist, dann ist es definitiv
And if it's not an algebraic number, then it's definitely
keine konstruierbare Zahl.
not a constructible number.
Hier kommt was ich so mag:
Now this is what I like.
Das Wort für eine Zahl die nicht algebraisch ist nennt man eine
The word for a number that is not algebraic is called a
Transzendente Zahl - ein fantastisches Wort.
transcendental number, which is a fantastic word.
Aber zu beweisen, dass etwas transzendent ist, ist richtig schwer.
Now to prove something is transcendental is really hard.
Es ist sogar so, dass Mathematiker zeigen konnten, dass transzendente
In fact, mathematicians had shown that transcendental
Zahlen existieren, sieben Jahre bevor man überhaupt ein Beispiel
numbers existed seven years before they even found an
für eine transzedente Zahl finden konnte.
example of a transcendental number.
Man kann sich vorstellen, in diesen sieben Jahren haben die Leute
So you have to imagine in those seven years, people were
den Mathematikern gesagt: Zeig mir doch eine transzendente
saying to the mathematicians, show me a transcendental
Zahl, komm schon, zeig mir doch eine transzendente Zahl!
number, come on, show me a transcendental number.
Aber es war wirklich schwer das zu tun.
But it was a really hard thing to do.
Schlussendlich fand man ein paar Beispiele dafür.
Eventually they found a few examples of this.
Aber wir mussten immer noch warten bis wir beweisen konnten,
But we still have to wait until we were able to prove
dass π selbst transzendent war.
that pi itself was transcendental.
Und dann wurde es 1882 bewiesen.
And then that was done in 1882.
Als wir das gezeigt hatten, hatten wir auch gezeigt, dass π nicht
Once we've shown that, we've shown that pi is not
konstruierbar ist.
constructible.
Und das ist der Beweis, dass man eine Quadratur des Kreises nicht machen kann.
And that is a proof that you cannot square the circle.
BRADY: Kann man die Quadratur des Kreises nur innerhalb der
BRADY: Can you only not square this circle given the
Parameter dieser Regel in diesen Spiel machen?
parameters of these rules in this game?
Könnte ein Computer einen Kreis quadrieren?
Could a computer square a circle?
Dr. JAMES GRIME: Man kann ein Quadrat machen mit Seiten der
DR. .JAMES GRIME: You can make a square with sides that have
Länge Wurzel von π.
length root pi.
Definitiv.
Absolutely.
Also moderne Menschen, mit unseren Werkzeugen der Algebra --
So to the modern day people, with our tools of algebra--
Algebra ist fantastisch.
algebra is fantastic.
Leute beschwere sich über Algebra, und darüber Algebra
People complain about algebra, and having to
in der Schule lernen zu müssen.
learn algebra at school.
Aber wenn wir Algebra nicht hätten, würden wir immer noch Mathematik
But if we didn't have algebra, we would be doing maths like
wie die antiken Griechen machen.
the Ancient Greeks did maths.
Ich versprech's dir: das wäre viel, viel schlimmer.
I promise you, that would be much, much worse.
Deine Schulbücher wären lächerlich.
Your textbooks would be ridiculous.
Sie wären sehr wortreich.
They'd be very wordy.
Algebra ist ein tolles, mächtiges Werkzeug in der Mathematik.
Algebra is an amazing, powerful tool in mathematics.
Es ist nicht da um dir Probleme zu bereiten.
It's not there to cause you problems.
Es hat einen Grund da zu sein.
It's there for a reason.
Es ist brilliant!
It's brilliant.
Also, es ist leicht ein Quadrat mit der Fläche π zu machen.
So this is easy to make a square with the area of pi.
Aber mit den griechischen Regeln, gerade Linien und Kreise,
But using the Greek rules, straight lines and circles,
ist es unmöglich.
it's impossible to do.
BRADY: Du sagst es ist leicht ein Quadrat mit
BRADY: You say it's easy to make a square
der Fläche von π zu machen.
with the area of pi.
Aber da π die Eigenschaft hat, dass die Nachkommastellen immer weiter gehen
But because pi has this nature where the digits continue, and
und wir nichtmal die genaue Zahl rausfinden können, kann man doch sicher
we can't even get to the exact figure, surely you can't make
nicht ein Quadrat machen das genau π ist.
a square that's exactly pi.
Weil wir wissen ja nichteinmal genau was π ist.
Because you don't even know what pi is.
Oder kann man es doch machen?
Or you can do it, can you?
DR. JAMES GRIME: Man kann es machen, und wir begeben uns hier in die Nähe von
DR. .JAMES GRIME: You can do it and you're treading on
etwas das wir Zeno's Paradoxon nennen, welches
something called Zeno's Paradox there, which we're
wir als nächstes machen.
about to do next.
BRADY: OK.
BRADY: OK.
Also für ein zweites Video in Folge sagen wir den Leuten
So for a second video in a row we're going to tell people
sie müssen warten bis sie mehr rausfinden können?
they have to wait to find out more?
Dr. JAMES GRIME: Wenn du es so spielen möchtest.
DR. .JAMES GRIME: If that's the way you want to play it,
Brady, du hast die Wahl.
Brady, that's your choice.
Das ist Brady's Entscheidung.
This is Brady's decision.
Er hält euch hier hin.
He's stringing you along here.
Die Repräsentanten haben es tatsächlich durchgehen lassen
The representatives actually passed it
einstimming, 67 zu 0.
unanimously, 67 to 0.
Sie haben es durchgehen lassen.
They passed it.
Also das ist der komische Teil:
Now this is the weird bit.
Am selben Tag an dem sie den Gesetzesentwurf durchließen --
On the same day that they were passing the bill--
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