Solid of Revolution (part 3) Khan Academy English German

Solid of Revolution (part 3)YouTube↗ IA↗(long shot)
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Wilkommen zurück.

Welcome back. I don't know what I was thinking.

Ich weiss nicht, was ich gedacht haben

Sometimes my brain malfunctions.

Manchmal funktioniert mein Gehirn nicht richtig

But just going back to that problem we were doing, actually

Zurueck zu unserem Problem.

I think we should do it.

Wir sollten es tun.

I'm a little schizophrenic today.

Ich bin leicht schizophren heute.

So let's figure out the equation for the

Lasst uns die Gleichung für

volume of a sphere.

eine Kreisflaeche aufschreiben.

So what's the equation?

Wie lautet die Gleichung?

It's x squared plus y squared is equal to r squared.

x² + y² = r²

And let's just write y as a function of x, just so

Schreiben wir y als Funktion von x, damit

we can do it the way we did that last problem.

wir wie bei der letzten Problemstellung vorgehen koennen.

So you get y squared is equal to r squared minus x squared.

Wir haben y² = r² - x²

y is equal to the square root of r squared minus x squared.

y entspricht der Wurzel von r² - x²

And let's draw it.

Zeichnen wir das.

So if this is my y-axis, this is my x-axis, and the

Wenn dies meine y-Achse ist, dies meine x-Achse --

equation-- draw it straight-- that's my x-axis, and then I

zeichne es gerade - das ist meine x-Achse und

actually have a circle tool, let me see if I can use it

benutze ich das Kreiswerkzeug. Kann ich es

effectively-- well, close enough.

richtig benutzen - das ist gut genug.

I think you get the point.

Ich denke du verstehst, worauf ich hinaus will

Wie auch immer.

This is just going to be the upper half of the circle.

Das wird nun die obere Hälfte des Kreises sein.

Actually, I should probably just undo that circle tool

Ach, ich sollte diesen Kreis löschen

and try to draw it by hand.

und versuchen diesen von Hand zu zeichnen.

So y equals the square root of r squared minus x squared.

Also, y entspricht der Wurzel von r² - x².

That's just going to be the upper half of the circle.

Dies ist die obere Haelfte des Kreises.

So it will be the positive x quadrant-- and then actually,

Das ist der positive 1. Quadrant -- und dann eigentlich

I should have drawn the whole hemisphere.

Ich haette den gesamten Halbkreis zeichnen sollen.

Wie auch immer.

Actually, let me do that, because I think it'll

Lass mich das alles loeschen --

make-- edit, undo, let me clear all of this out.

bearbeiten, rueckgaengig -- ich lösch das alles wieder

Sorry for wasting your time, but I think it'll be effective.

Tut mir leid, aber ich denke das lohnt sich.

So let me redraw.

Lass mich das nochmals zeichnen.

So this, that's the y-axis, that's my x-axis, and then

Also, hier die y-Achse, hier die x-Achse und

this-- the square root is, since it's a function, it can

dies -- die Wurzel ist, weil es eine Funktion ist, kann es

only have one value, so we assume it's defined as the

nur einen Wert haben, also nehmen wir an es ist definiert als

positive square root.

die positive Wurzel.

So if we were to graph that, it would look like this.

Das sieht dann so aus.

Something like that, where this would be minus r and that's r.

Das wäre minus r und das r.

So if we want to find the volume of a sphere with radius

Wenn wir das Kugelvolumen mit dem Radius r

r, we just have to rotate this function around the x-axis.

ermittlen, rotieren wir diese Funktion um die x-Achse.

This is the x-axis, that's the y-axis.

Das ist die x-Achse, das die y-Achse.

So let's see what we can do.

Let's just visualize the disks again.

Zeichen wir die Kreisscheiben nochmals.

So let me make a disk.

Ich zeichne eine Kreisscheibe.

So let's say that that's the side of one of the disks again,

Sagen wir das ist die Seite einer Scheibe.

and as we know, the depth of the disk is just

und wie wir wissen, die Tiefe einer Scheibe

going to be dx.

That's how wide that disk is, dx.

dx ist die Breite einer Scheibe.

And its radius at any point is f of x, and in this case, it's

Dessen Radius ist immer f von x, und

y is equal to square root of r squared minus x squared.

y ist die Wurzel von r² - x².

So what's the surface area of each disk?

Was ist die Fläche jeder Scheibe?

The surface area of each of the disks.

Die Oberfläche von jeder dieser Scheiben.

I hope you know what I'm saying.

Ich hoffe du verstehst, was ich sagen will

So area is equal to pi r squared, the radius at any

Die Fläche ist gleich Pi r², der Radius

point is equal to this, radius is equal to y which is equal to

ist gleich y, welches gleich ist mit

square root-- and remember, this is not this r.

der Wurzel -- und das ist nicht dieses r.

This is the radius of this disk.

Das ist der Radius der Scheibe.

I know it might be a little confusing.

Vielleicht etwas verwirrend.

y is equal to the square root of r squared minus x squared.

y ist gleich der Wurzel von r² - x².

So the area is going to equal pi times this squared.

Also ist die Flaeche gleich Pi mal r².

So if you square this quantity, you just get rid of the

Wird dieser Wert quadriert, eliminierst du

square root sign, right?

So pi r squared minus x squared, and that's the

Pi mal r² minus x², das ist die

area, and so what's the volume of that disk?

Fläche, und was ist das Volumen der Scheibe?

Well just like we've done in every video up to this point,

Nun, wie in jedem Video bisher,

the volume of that disk is just that, so the volume of that

ist das Volumen der Scheibe genau

disk is just this pi r squared minus x squared times dx.

Pi mal r² - x² mal dx.

And so if we want to figure out the volume of all these disks,

Das Volumen aller Scheiben zusammen,

I have a disk here, a disk here, going around and around

dieser Scheibe, dieser Scheibe usw.

and around and around and around and they get smaller and

sie werden kleiner und kleiner

smaller until we have a sphere.

bis wir eine Kugel haben.

We just take the integral, the upper bound is positive r, the

Nehmen wir das Integral, die obere Grenze ist r

lower bound is minus r, and we take the integral of

die untere ist minus r.

this expression.

diesen Ausdruck

pi-- let me distribute it, because that's going to make it

Pi mal r², eine Konstante,

easier-- pi r squared, which is just a constant term, minus pi

minus Pi mal x²,

x squared, all of that dx.

So what's the antiderivative of that expression?

Was ist nun die Stammfunktion dieser Gleichung?

The antiderivative within the parentheses.

Die Stammfunktion in der Klammer.

Well, this is just a constant term.

Das ist eine Konstante.

pi r squared, that's just a number, because we're just

Pi mal r², das ist einfach eine Nummer, weil wir

taking the integral with respect to x.

das Integral in Bezug auf x nehmen.

So the antiderivative of pi r squared is just pi r squared x,

Die Stammfunktion von Pi mal r² ist

the derivative of pi r squared x is just pi r squared, minus--

gleich r² minus --

and we did this in the last video.

wie im letzten Video.

Actually, well now, it's the antiderivative x squared, which

Es ist nun die Stammfunktion x², welche

is x to the third over 3, and the pi is just a constant, so

x/3 über 3, und Pi ist eine Konstante,

pi x to the third over 3, and we're going to evaluate

Pi mal x/3 ueber 3, und wir berechnen das

that at r and minus r.

bei r und minus r.

Let me erase some stuff, looks like I'm running out of space.

Werde einiges löschen, ich habe keinen Platz mehr

Hopefully all of that you know by now.

Hoffe ihr versteht das alles bis jetzt

OK, back to the pen tool.

Und nun weiter.

So let's evaluate it at r.

Berechnen wir es bei r.

So this is pi r squared, and then for x, we'll substitute

Das ist Pi mal r², und fuer x nehmen wir

the positive r times r minus pi x cubed, but now we have this r

r mal r minus Pi mal x³, und wir haben dieses r,

here, so r cubed over 3 minus pi r squared, and then we have

r³/3 minus Pi mal r², und

a minus r here, because we're evaluating the antiderivative

minus r, weil wir die Stammfunktion berechnen

at minus r, times minus r, minus pi minus r cubed.

bei minus r, mal minus r, minus Pi minus r³.

So what's minus r cubed?

Was ist minus r³?

It's r cubed, but we'll keep the minus sign.

Es ist r³, aber mit dem Minuszeichen.

r cubed, and at that minus sign, let's just make

r³, und beim Minus,

that-- that'll turn that into a plus-- over 3.

wandelt sich in ein Plus -- über 3.

Let's see if we can clean this up a little bit.

Werde das etwas aufräumen.

So that first term is pi r cubed, r squared times r, minus

Die erste Groesse ist Pi mal r ³, r² mal r, minus

essentially 1/3pi r cubed.

1/3 Pi mal r³.

And then, what is this?

Und was ist das?

This is pi r cubed, but then we have a minus sign up.

Das ist Pi mal r³,

This is minus pi r cubed, and then we have a minus sign up

fehlt noch ein Minus,

here, so this becomes plus pi r cubed, and then minus-- because

dies wird plus Pi mal r³, und dann Minus,

we have a plus here and a minus out here, so distribute it--

weil wir ein Plus hier und ein Minus dort haben, verteilt --

so minus 1/3pi r cubed.

ergibt minus 1/3 Pi mal r³.

And let's see, what do we have?

We have essentially 1.

If we just distribute out the pi r cubes, we have pi r cubed

Wir verteilen die Pi mal r³, wir haben Pi mal r³

times 1 minus 1/3 plus 1 minus 1/3.

mal 1 minus 1/3 plus 1 minus 1/3.

Well that's 2 minus 2/3, or another way, let's see, is 2

Das ist 2 minus 2/3, oder anders,

minus 2/3-- this is turning into a fractions problem-- and

minus 2/3 -- dies ist nun Bruchrechnung--

what's-- well, that's 6/3 minus 2/3, it equals 4/3.

das ist 6/3 minus 2/3, ergibt 4/3.

So this is equal to 4/3.

So the volume of the sphere is equal to 4/3 pi r cubed, which

Ein Kugelvolumen is gleich 4/3 Pi mal r³,

is the equation for the volume of a sphere.

und das ist die Gleichung für die Berechnung eines Kugelvolumens.

And actually, now that I realize, it did take

Nun, jetzt wird's mir klar ich brauchte dafür

me eight and a half minutes, so I am glad.

acht ein halb Minuten, toll.

My first intuition is always correct, I am glad I did

Meine Intuition war richtig, bin froh habe ich

this in a separate video.

ein separates Video gemacht.

But that should be pretty interesting to you.

Sollte interessant sein für dich.

And it makes a lot of sense.

Und macht Sinn.

It's going to be a cube of the radius, pi is involved.

Es ist der Radius hoch drei, Pi is involviert.

The 4/3 is interesting, just in terms of how it relates

Interessant ist wie sich die 4/3 auf

to everything else.

alles andere bezieht.

Area is pi r squared, and then all of a sudden you get a 4/3

Die Fläche ist Pi mal r², und ploetzlich hast du 4/3,

here, so it is something for you to think about.

denke darüber nach.

Anyway, hopefully you found that fun.

Hoffe du hattest Spass!

I'll see you in the next video.

Bis zum nächsten Mal.

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