Definite integral with substitutionYouTube↗  IA↗(long shot)
Education  224.6K views 473 likes 15 dislikes   02 Jul 2008
Khan Academy 9.4M subscribers United States YouTube↗


Please select the problem
You must specify your email and describe the problem in detail
Describe your problem in detail if it's not obvious

Click to Play Video Click to Play Video
bana iyi görünen bir belirli integral sorusu verildi ve bu soruyu çözmek için de
Bueno, me han enviado este problema de integral definida y parecía
çok fazla örnek
tan bueno como cualquiera, y creo que la clave de esto es sólo
çözmek gerekiyor
ver un montón de ejemplos.
o zaman çözelim
Así que hagamoslo.
bu belirli integral pi/2'den pi'ye (cosx) karesi
Esta integral definida es desde pi sobre 2 hasta pi, de menos coseno
çarpı sinx dx
al cuadrado de x por seno de x dx.
belirli integrali bulmak için
Antes de meternos de lleno en la matemática y que hagamos
kalkulusun temel teorisini kullanmak ve
las primitivas y usemos el (segundo) teorema fundamental del cálculo
ters türevi bulmak yerine
para evaluar la integral definida, pensemos por un segundo
ne yaptığımızı bir düşünelim
en qué estamos haciendo.
ben bu grafiği çizdim, -(cosx) ın karesi çarpı
He dibujado esta función aquí, menos coseno
sinx
cuadrado de x por seno de x.
bizim önemsememiz gereken ise belirli integrali
Y lo que a nosotros nos importa, es definir la
pi/2 arasında belirlemek o da burası
integral desde pi/2, que está por acá.
bunu daha da büyütebiliyor muyum bakalım
Dejenme ver si puedo hacer esto un poco mas grande.
pi/2 ve p arasında
Entonces, entre pi/2, que está justo ahí, y pi.
belirli integralin burası ve şurası
Por lo tanto la integral definida de esta función desde aquí
arasındaki kalan bölgesi eğri ve x ekseni arasındaki
hasta acá es esencialmente el área encerrada entre la curva
alan
y el eje de las equis.
eğri de x ekseninin altında olduğu için
Y como la curva está por debajo del eje de las equis, este área va
alan negatif bir değer olacak
a ser un número negativo.
bu bize hemen bir fikir veriyor
Así que esto nos da de inmediato una intuición.
bunu hesaplarken eksi bir değeri kullanmalıyız
Deberiamos obtener un número negativo al evaluar esto
ve bunu kanıtlamak için sayıyı buraya yazdım
y sólo para probar esto, lo escribí aquí arriba.
bu belirli integrali hesaplayalım
Bueno, vamos ahora a evaluar esta integral definida.
daha kolay okunması için
Voy a reordenar algunos de los términos de aquí sólo
terimleri yeniden yazacağım
para hacer esto un poco mas facil de leer.
elimizde sin ve cos
Pero la forma en la que yo siempre pienso esto es: bueno tengo
var
coseno y seno.
cos'un karesi var ve burada
El coseno está al cuadrado, por lo que todas estas locuras le están
karmaşa oluyor o yüzden ya yerine koyma ya da
pasando a él,.... Por lo que me hace pensar que podría usar substitución aquí,
ters zincir kuralını kullanabilirim
es decir la inversa de la regla de la cadena.
zincir kuralı neydi
¿Y que era la regla de la cadena?.
zincir kuralı f(g(x) in türevinin
La regla de la cadena decía que, si yo hago la derivada de f(g(x))
f'(g(x) çarpı g'(x)e eşit olduğunu söylerdi
eso es igual a f prima de g de x por g prima de x: f'(g(x))*g'(x)
bu kafanızı karıştırabilir ama bunu şuraya yazdım,
Eso puede que os confunda completamente, pero sólo lo escribí
g(x) cos (x) çarpı f'(g(x) (cosx) in karesi
por que podriamos decir, bueno que pasaría si g(x) es coseno de x.
sonra da g(x) in türevi veya
f'(g(x)) es el coseno de x al cuadrado, y entonces
cos(x)in
la derivada de g(x) o la derivada de coseno
türevi
de x es seno de x.
aslında eksi sin(x9 olacaktı ama burada da -sin olduğu
Bueno en realidad es menos seno de x, y aquí tenemos un menos seno
için o da olur
por lo que nos resultó bien también.
kafanızı karıştırdıysa önemsemeyin
SI esto os confunde, ignórenlo.
yine aynı şeyi kullanacağız ama bu sefer
Bueno, esencialmente vamos a hacer lo mismo
yerine koyma tekniğini deneyeceğiz
pero vamos a hacerlo por sustitución.
yerine koyma tekniğini kullanayım
Así que permítidme que lo haga por sustitución
bu kafanızı karıştırıyorsa bu bölümü sileyim
Dejadme que borre esto por si confunde a la gente.
kafanızın karışmasını istemiyorum
Quiero hacerlo de la forma que sea menos confusa para vosotros.
bu bölgeyi sileyim
Ok, dejadme que borre eso.
bunu yerine koyma tekniği ile yapayım çünkü
Realmente, dejadme que lo haga por sustitución, sólo porque la
kullanacağım kısa yolu matematik
forma en la que lo estaba haciendo viene de mis días en los que
şampiyonuyken kullanıyordum
competía en matemáticas.
yerine koyma tekniği gayet iyi çünkü
Pero es bueno poder hacerlo con substitución, te ayudaa despreocuparte de los errores.
dikkatsizliği engelleyecek
a despreocuparte de los errores.
bunu yeniden yazayım
Así que permitidme que reescriba esto lo primero de todo
bu pi/2'den pi'ye kadar olan (cos^2 x) integral
Esto es lo mismo que la integral desde pi dividido por 2
ile aynı şey
hasta pi del coseno al cuadrado de x.
bunu aslınd (cosx) in karesi şeklinde yazayım
Realmente dejadme que escriba eso como el coseno de x todo al cuadrado.
evet, aynı şey
Es lo mismo, ¿de acuerdo?
çarpı - sin(x) dx
Multiplicado por menos seno de x dx.
şimdi daha rahat anlayabilirsiniz
Y ahora debería estar claro para vosotros.
cosx'in türevi nedir?
¿Cuál es la derivada del coseno de x?
-sin(x)dir
Es menos seno de x
karesi olan bir fonksiyon var elimde ve türevini buldum,
Así que tengo una función y ha sido elevada al cuadrado, y tengo su
ters türevini ise yerine koyma veya ters zincir kuralını
derivada, por lo que puedo imaginarme cual es su primitiva utilizando
kullanarak bulacağım
substitución, es decir, la inversa de la regla de la cadena.
yerine koyma tekniğini kullanalım
Así que vamos a hacer substitución.
u=cos(x)'e eşit
u es igual al coseno de x.
u'nun cos(x)'e eşit olduğunu nereden biliyorum?
¿Cómo sé que tengo que hacer el cambio u igual al coseno de x?
çünkü bu fonksiyonun türevi
Bueno, porque digo, vale la derivada de esta
burada
función está aquí
du'yu bulacağım zaman burada gördüğünüz her şey
Por lo tanto, cuanod encuentre du todo esto está próximo a acabarse.
du'ya eşit olacak, göstereyim
y dejadme que os vuestre esto.
du/dx nedir?
Así que, ¿qué es du/dx?
du/dx -sin(x)'e eşit
du/dx es igual a menos seno de x.
bunu umarım biliyorsunuz
Afortunadamente, eso ya lo hemos aprendido.
du nedir o zaman
Entonces, ¿qué es du?
iki tarafı d(x) ile çarpıyoruz ve du'nun
Si multiplicamos ambos lados por el diferencial de x, dx, obtenemos que du
-sinx dx'e eşit olduğunu görüyoruz
es igual a menos el seno de x dx.
en baştaki denkleme bakarsak, burada gösterdiğim
Por tanto, si miramos la ecuación original, esta de aquí,
du'ya eşit ve hemen şuradaki nedir?
hemos mostrado que es igual que du, y esto de aquí, ¿qué es?
cos(x) u'ya eşit
El coseno de x es u
bu en başta yaptığım yerine koymaydı
Esa fue nuestra substitución original
elimizde u kare var o zaman
Por lo tanto tenemos u al cuadrado.
şimdi bunun integralini alalım
Así que ahora, vamos a ejecutar la integral.
kafama göre renkleri değiştireceğim
Y voy a cambiar arbitrariamente los colores
şimdi yapacağım çok önemli
Y ahora esto es algo muy importante.
eğer yerine koyma tekniğini kullanacaksanız,
Si vas a hacer substitución, si vamos a
u'nun cos(x)'a eşit olduğunu söyleyecekseniz
decir que u es igual al coseno de x, vamos a tener que
bu tekniği sınırlarda yapmamız lazım
substituir también los límites de integración
veya yerine koyma işleminde sonra onu tersine çevirip
O podríamos hacer la substitución y deshacer el cambio
sonra sınırları hesaplayabiliriz ama yine bunu yapalım
y entonces evaluar los límtes, pero vamos a hacer lo primero.
x pi/2'den pi'ye kadar ise u
Así, si esto va desde x igual a pi medios hasta pi,
neye eşittir?
¿desde donde va u?
x pi/2'ye eşit iken
Bien, cuando x es igual a pi medios, u es igual
u da cos r pi/2'ya eşittir
al coseno de pi medios.
çünkü u cos (x)ti
Porque u es justamente el coseno de x.
x pi'ye eşit iken de i cos pi olacaktır
Y entonces cuando x es pi, u es el coseno de pi.
şimdi eğlenceli kısma geldik
Y ahora toca la parte divertida.
cos(x) in karesi
El coseno de x todo al cuadrado.
bu da u'nun karesi olacak
Bueno, es es exactamente lo mismo que u al cuadrado.
ve (-sinx)dx de du'ya eşit
Y menos el seno de x dx, exactamente lo mismo que
olacaktır -burada gösterdim-
du, como hicimos aquí.
bu gayet direkt ama
Esto es bastante sencillo. Yo estoy simplemente
yeniden yazacağım
reescribiendo.
cos pi kaça eşittir?
¿Cuál es el coseno de pi?
-1
El coseno de pi es menos 1.
cos pi/2 de 0'a eşit
El coseno de pi medios, pues bues es 0.
u^2 du -1'den
Así que tenemos que tenemos la integral desde que u vale cero hasta
0'a kadar
que vale -1 de u al cuadrado du.
soru şimdi daha kolaylaştı
Y ahora parece que esto es un problema sencillo.
bu u'nun karesinin ters türevine
Así que esto es igual a la primitiva de u
eşit ki bu da gayet anlaşılır
al cuadrado, lo cuál es bastante sencillo.
u nun küpü bölü 3
u al cubo dividido por 3.
bunun türevini
Si tomaras la derivada de esto,
alabilirsiniz
obtendrías esto.
kuvveti üçe çıkardım ve
Todo lo que he hecho es sencillamente incrementar el exponente para conseguir el 3 y
sayıyı kuvvete böldüm
dividir luego por ese exponente.
bunu 0'da hesaplayıp -1'de hesapladığımızdan
Ahora, vamos a tener que evaluarlo en menos 1 y
çıkaracağız
restarle el resultado de evaluar en 0.
bu -1 in 3. kuvveti bölü 3 eksi 0/3'e eşit
Así que esto es igual a menos 1 al cubo dividido por 3 menos
sonuç ise -1/3
0 dividido por 3, y así que esto es igual a menos 1/3.
soruyu tamamladık
Y hemos terminado.
grafiğimizden buradaki alana bakacak olursak
Y si miramos en este área de nuestra gráfica original, que
eğri ve burası arasındaki bölge
acabamos de resolver, como dijimos, el área de la curva entre
-1/3'tür
aquí y aquí es menos 1/3.
eksi değerde bir alana sahip olamazsınız
O si quisiéramos el área en valor absoluto, porque realmente no queremos
alan 1/3'e eşit ama negatif olduğunu biliyoruz
tener un área negativa, es 1/3, pero sabemos que es negativa
çünkü x ekseninin altında kalıyor
porque su curva está por debajo del eje x aquí.
tam olarak 1/3 gibi görünüyor
Y esto aprece estar bien, paece que es 1/3
buradaki küp 1 ise bu da 1/3 gibi
Quiero decir, que si este cubo de aquí es uno, entonces eso
duruyor
de ahí es aproximadamente 1/3
sezgiler sonunda işe yarıyor
La intuición confirma el resultado.
umarım bunu az da olsa kullanışlı buldunuz
Así que espero que hayais encontrado esto mínimamente útil.
bunu göstereyim çünkü az zamanımız kaldı
Realmente, permitidme que continúe ya que tenemos un poco de tiempo.
umarım bunu anladınız, eğer anladıysanız da
Espero que hayáis entendido esto, y si no, no os preocupéis
şu an göstereceğim hakkında endişelenmeyin
por lo que voy a hacer ahora, pero quiero mostraros como
sadece ters zincir kuralını
suelo plantear esto como la
kullanacağım
inversa de la regla de la cadena
bu kural bazen sonuca daha hızlı götürüyor
Es un poco más rápido alguna veces.
yerine koyma tekniğinde
Pero es realmente lo mismo que acabamos
yaptığımızın aynısı yapacağız
de hacer por sustitución.
bunun hepsini sileyim
Así que si borramos todo esto...
tamam
Y así si tenemos esta integral de aquí, lo que hago es decir,
burada (cosx)in karesi var
bueno, tengo el coseno de x todo al cuadrado.
elimde (cosx) in karesi ve -sinx var
Tengo el coseno de x todo al cuadrado, y también tengo el menos seno de x.
bu onun türevi
Esto es la derivada de esto.
türev burada olduğu için bütün bu terimlere
Ya que la derivada está aquí, puedo simplemente tratar todo esto
x diyebilirim
como un término de x.
bu aynı şey o zaman
Así que esto es lo mismo.
ters türev cosx'in küpü bölü üçe eşittir
Por tanto, la primitiva es el coseno de x al cubo, y
pi ve pi/2'yi buna koyacağız
lo evalúo en pi y en pi medios.
bunu nasıl yaptım, hatırlayın
Y recuerda, ¿cómo hago esto?
cos(x) i x veya u olarak
Qué me permite tratar este coseno de x simplemente como una x o
algılamamı sağlayan şey neydi?
como una u cuando hice la sustitución?
elimde -sinx
Bueno, tengo su derivada justo aquí,
türevi vardı
menos seno de x.
bu sadece ters türevi almamı sağladı , cosx'i
Así que eso es lo que me da la licencia para sencillamente tomar la
x veya u'ymuş gibi almamı sağladı,
primitiva, fingir que el coseno de x es justo como una x,
sonra da kuvvetini 1 birim yükseltip 3'e
es justo como una u, podrías decir incluso, y simplemente tomar
böldüm ve pi ve pi/2'da kaça eşit
su exponente, aumentarlo en una unidad y dividirlo por 3 y entonces
olduğunu hesapladım
evaluarlo desde pi hasta pi medios.
bu o zaman cospi'nin kübü bölü 3 eksi
Asi que esto es igual al coseno de pi al cubo dividido por 3 menos el coseno
cospi'nin karesi/3'e eşit oluyor
de pi medios al cubo dividido por 3.
bu -1'in 3. kuvveti bölü 3 -1/3 oluyor ve bu da
Esto es menos 1 al cubo, lo que es igual a menos
0
1/3 menos esto que es 0.
o zaman aynı cevabı buluyoruz
De esta forma obtenemos la misma respuesta.
sadece bunu göstermek istedim
Sólo quería mostraros eso.
yerine koyma tekniği ile aynı şeyi yaptım
Es exactamente lo mismo que con sustitución.
sadece direkt yerine koymayı yapmadım ama
Es sólo que no lo hice formalmente con sustitución, pero
yine de aynı şey
es exactamente la misma cosa.
umarım bu size yardımcı oldu
Sea como sea, espero que haya parecido útil.
Similar videos:

(2^ln x)/x Antiderivative Example
Khan Academy
208.2K views 262 likes 10 dislikes 22 Oct 200967% match


Introduction to l'Hôpital's rule | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 5K likes 210 dislikes 07 Jun 201067% match



Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
368.8K views 1K likes 20 dislikes 10 Jul 200966% match


L'Hôpital's rule example 1 | Derivative applications | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
688.6K views 2K likes 43 dislikes 07 Jun 201066% match



Power rule introduction (old) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
671.1K views 2.7K likes 45 dislikes 03 Oct 200766% match

Complex Numbers (part 1)
Khan Academy
950.7K views 3.3K likes 147 dislikes 22 Apr 200865% match



Partial fraction expansion 1 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 2.9K likes 77 dislikes 09 Jul 200965% match



Quadratic inequalities (visual explanation) | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
337.9K views 1.1K likes 54 dislikes 06 Jun 200765% match


Proof: d/dx(ln x) = 1/x | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
382.7K views 1.1K likes 80 dislikes 27 Apr 200865% match



Conic Sections: Intro to Circles
Khan Academy
430.6K views 1.9K likes 79 dislikes 15 Jun 200964% match


Solid of Revolution (part 2)
Khan Academy
299.1K views 832 likes 29 dislikes 25 Apr 200864% match


Taking percentages | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
558.2K views 1.1K likes 67 dislikes 11 Apr 200764% match





Derivative of x^(x^x) | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
406.7K views 1.2K likes 51 dislikes 02 Oct 200963% match


Introduction to function inverses | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 3.6K likes 145 dislikes 16 Jul 201063% match




Quadratic inequalities | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
400.4K views 1.7K likes 86 dislikes 05 Mar 200763% match

Integrals: Trig Substitution 2
Khan Academy
310.1K views 554 likes 20 dislikes 14 Oct 200962% match


Calculating slope of tangent line using derivative definition | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
961.5K views 1.9K likes 50 dislikes 02 Nov 200962% match



Introduction to logarithm properties | Logarithms | Algebra II | Khan Academy
Khan Academy
1.4M views 4.7K likes 141 dislikes 15 Nov 200762% match



Equation of a tangent line | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
455K views 618 likes 44 dislikes 02 Jul 200861% match


Calculus: Derivatives 2 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
1.1M views 5.9K likes 202 dislikes 03 Oct 200761% match


Product rule | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
820.5K views 3.1K likes 120 dislikes 03 Oct 200761% match

systems of equations
Khan Academy
762.2K views 3.5K likes 264 dislikes 25 Nov 200661% match


Growing by a percentage | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
598.2K views 690 likes 59 dislikes 11 Apr 200761% match




CA Algebra I: Number properties and absolute value | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
247.8K views 183 likes 24 dislikes 29 Dec 200861% match








How to solve equations of the form ax = b | Linear equations | Algebra I | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 3.7K likes 254 dislikes 15 Sep 201060% match









Basic subtraction | Addition and subtraction | Arithmetic | Khan Academy
Khan Academy
1.2M views 1.1K likes 213 dislikes 10 Jul 200860% match









Adding/subtracting negative numbers | Pre-Algebra | Khan Academy
Khan Academy
1.3M views 3.9K likes 397 dislikes 25 Nov 200660% match






Changes in Market Equilibrium
Khan Academy
549.9K views 1.5K likes 27 dislikes 02 Jan 201260% match

Calculus: Derivatives 1 | Taking derivatives | Differential Calculus | Khan Academy
Khan Academy
2.8M views 16.6K likes 626 dislikes 03 Oct 200760% match



Triple integrals 2 | Double and triple integrals | Multivariable Calculus | Khan Academy
Khan Academy
257.6K views 502 likes 9 dislikes 24 Aug 200860% match



Settings Privacy About Contact Donate