The Mathematics of our Universe Zach Star English (auto-generated) Arabic

The Mathematics of our UniverseYouTube↗ IA↗(long shot)
Education 1.4M views 33.7K likes 24 Jul 2019 Show Contributors 4

Zach Star 1.4M subscribers United States YouTube↗

Contributed subtitles

English UCZPnoUFfSeBMH3PNAg5cmSg

Spanish Jesús Agustín Baigorria

Arabic UCZPnoUFfSeBMH3PNAg5cmSg

German Kingsley PvP

this video is sponsored by brilliant

in our everyday lives we experience and observe three spatial dimensions

في حياتنا اليومية، نختبر ونلاحظ الأبعاد الثلاثية للمكان

we can move left to right up and down

يمكننا التحرك من اليسار إلى اليمين لأعلى ولأسفل ومن ثم إلى الأمام والخلف

and then forward and back if you wanted to tell me to meet you

إذا أردتم أن تخبروني أن ألتقي بكم في مكان ما حتى خارج الأرض

somewhere even outside the earth three numbers is all i need but this isn't quite complete because if i wanted

فإن المستويات الثلاثة هي كل ما سأحتاج إليه، لكن هذا ليس كاملاً لأنني إذا أردت مقابلتكم لتناول طعام الغداء

to meet you for lunch let's say i would need three numbers like a longitude a latitude and a floor to meet you on but i'd also

فلنفترض أنني سأحتاج إلى ثلاثة مستويات مثل خط الطول وخط العرض والإرتفاع ولكني سأحتاج أيضًا إلى الوقت

need a time because we need this fourth value to completely specify some event in the universe

لأننا نحتاج إلى هذه القيمة الرابعة لتحديد بعض الأحداث في الكون تمامًا . نعتبر أن الوقت هو البعد الرابع

we consider time to be the fourth dimension

now time is not a spatial dimension that extends beyond height length and width but rather it's called

الآن الوقت ليس بعدًا مكانيًا يمتد إلى ما بعد الإرتفاع، الطول والعرض، ولكنه يُطلق عليه بُعدًا زمنيًا

a temporal dimension it doesn't behave like the other dimensions and we definitely can't point

لا يتصرف مثل الأبعاد الأخرى، وبالتأكيد لا يمكننا أن نشير في اتجاه الزمن

in the direction of time let's say since we're embedded in 3d space but in

لنفترض أننا جزءٌ في الفضاء ثلاثي الأبعاد

simplest terms since we need that fourth value of time to specify an event we consider it to be the fourth

ولكن بعبارات أبسط، لأننا نحتاج إلى هذه القيمة الرابعة من الوقت لتحديد الحدث . نعتبرها من البعد الرابع

dimension now we used to think space and time were totally independent but then einstein came along and found that's not

الآن اعتدنا على التفكير في أن الزمان والمكان مستقلان تمامًا، ولكن بعد ذلك جاء أينشتاين ووجد أن هذه ليست هي الحالة

the case they were in fact linked together and the mathematical model that fuses these two things became known as

لقد كانا في الواقع مرتبطين ببعضهما البعض، وأصبح النموذج الرياضي الذي يدمج هذين الأمرين يعرف باسم الزمكان

space-time what einstein's general theory of relativity says is that massive objects curve space-time this means that

وتنص نظرية أينشتاين للنسبية العامة أن الأجسام الضخمة تقوس الزمكان

distances between points and also times between events are warped around massive objects

هذا يعني أن المسافات بين النقاط وأيضًا بين الأحداث ينحني حول الأجسام الضخمة

and this has strange consequences like time ticking differently on different

وهذا له عواقب غريبة مثل الوقت الذي يميز بشكل مختلف على كواكب مختلفة

planets and massless photons being bent by massive objects because of that

يتم ثني فوتونات عديمة الكتلة عن طريق أشياء ضخمة بسبب هذا الانحناء

curvature the equations that describe all this can

يمكن للمعادلات التي تصف كل هذا تبدو بالتأكيد مخيفة

definitely look intimidating but really what you see is on one side of this equation is math regarding the geometry or curvature of space time

ولكن في الحقيقة ما تراه على جانب واحد من هذه المعادلة هي الرياضيات فيما يتعلق بهندسة انحناء الزمكان

and on the other side we have an expression that has to do with mass and

وعلى الجانب الآخر، لدينا تعبير يتعلق بالكتلة والطاقة

energy the famous saying by physicist john wheeler is that space time tells matter how to move

القول المأثور للفيزيائي الشهير جون ويلر هو : أن الزمكان يروي للمادة كيف يتحرك والمادة يروي للزمكان كيف ينحني

and matter tells space-time how to curve

now in order to understand more of the underlying mathematics behind how our

الآن من أجل فهم المزيد من الرياضيات الكامنة وراء كيفية عمل كوننا حقًا

universe really works we need to take a closer look at the word curvature

سنحتاج إلى إلقاء نظرة فاحصة على كلمة إنحناء

because in general we tend to think that something's curved if it's simply

لأنه بشكل عام، فإننا نميل إلى الاعتقاد بأن الأشياء المنحنية هي ببساطة هي تلك الأشياء الغير مستوية

not flat so for example most people would tell you this is curved but this is not however there's more

قد يخبرك معظم الناس بأن هذا منحني لكن هذا ليس كذلك

than one way to define curvature and something we're going to investigate more of

ومع ذلك، هناك أكثر من طريقة لتحديد الانحناء وسوف نحقق بشأنها . أكثر من ذلك هو الانحناء الغاوسي

is gaussian curvature which might not be

الذي قد لا يكون بالضبط ما تتوقعه

exactly what you'd expect for example when it comes to gaussian curvature this and this are the exact same or something

على سبيل المثال، عندما يتعلق الأمر بانحناء غاوس هذا وهذا هو نفسه بالضبط

i'm sure many of you guys know is that you cannot have a world map that

أنا متأكد من أن الكثير منكم يعلمون أنه لا يمكنكم الحصول على خريطة للعالم

perfectly represents a globe without some distortion and the reason behind this has to do with gaussian

يمثل الكرة الأرضية بشكل مثالي دون أي تشويه والسبب وراء ذلك يتعلق باالإنحناء الغاوسي

curvature but moving to the actual math a piece of paper has zero gaussian curvature which is probably no surprise

لكن بالانتقال إلى مادة الرياضيات الفعلية لا يحتوي قطعة الورقة على أي انحناء غاوسي صفري، وهو ما قد لا يكون مفاجئًا، لكن لماذا؟

but why is that it's because at any point if i draw a little line segment in any direction it's completely flat so we say that has

ذلك لأنه في أي وقت إذا قمت برسم قطعة صغيرة في أي اتجاه، فإنها ستكون مسطحة تمامًا. لذلك نفترض أن لديه انحناء صفري

zero curvature then if i draw another segment perpendicular we see the same thing

ثم إذا قمت برسم قطعة أخرى بشكل عمودي، فسنرى نفس الشيء الذي هو الانحناء الصفري

zero curvature and when we multiply them we of course get zero which is the gaussian curvature at that point

وعندما نضربهم، فإننا ، بالطبع، نحصل على 0 وهو الانحناء الغاوسي في تلك المرحلة والذي ينطبق

and that would apply to anywhere on the

على أي مكان على قطعة الورقة

piece of paper however things change when we look at a sphere because now at any point if i draw a

ومع ذلك، تتغير الأشياء عندما ننظر إلى جسم كروي لأنه الآن في أي وقت إذا قمت برسم قطعة

little segment it's not easy to tell but that segment has curved outwards just a little bit and that outward curvature we say is

فإنه ليس من السهل معرفة ذلك ولكن هذا الجزء من القطعة منحني للخارج قليلاً وهذا الانحناء الخارجي الذي نفترض أنه انحناء غاوسي إيجابي

positive gaussian curvature

and if i do the same thing perpendicular

وإذا فعلت نفس الشيء؟

that segment has curved outwards as well

هذه القطعة العمودية ستكون منحنية إلى الخارج كذلك

so since we have a positive times a

لذا بما أن لدينا positive مضروباً بـpositive

positive then we say at that point there

ثم نفترض عند هذه النقطة وجود انحناء غاوسي إيجابي

is positive gaussian curvature and again the same would apply to any point on the sphere now for negative

ومرة أخرى ينطبق الشيء نفسه على أي نقطة على الجسم الكروي، الآن للانحناء السلبي

curvature i really couldn't find much around my apartment but i think my electric shaver will do the trick right at this

لم أجد الكثير حول شقتي، لكنني أعتقد أن ماكينة الحلاقة الكهربائية الخاصة بي ستقوم بالخدعة بشكل صحيح في هذه النقطة وليس في كل مكان

point not everywhere but right here if i

لكن هنا

draw a little segment here it curves outwards gets that positive curvature

إذا قمت برسم قطعةصغيرة هنا، فسيكون منحنيًا للخارج هذا هو الانحناء الإيجابي

but if we go this other way

ولكن إذا ذهبنا في هذا الاتجاه بشكل عمودي فإنه

perpendicular to it it curves inward so negative so that positive times negative curvature means at that point

فإنه إنحناءه سيكون سلبيا إلى الداخل للغاية، بحيث يعني

there's a negative gaussian curvature

أن الانحناء السلبي في الأوقات الإيجابية في هذه النقطةأن هناك انحناء غاوسي سلبي بشكل عام

overall a more general surface that has that negative gaussian curvature would be something like a saddle shape

سيكون السطح الأكثر عمومية الذي يتضمن على انحناء غاوسي سلبي يشبه شكل السرج أو حتى داخل وعاء حلقي

or even the inside of a torus

but now how do we figure this out for something like a cylinder for example

ولكن الآن كيف يمكننا معرفة هذا لشيء مثل هذه الاسطوانة؟ على سبيل المثال

because at any given point there are several segments i could draw through it that all

لأن أي نقطة معينة هناك لها عدة قطع يمكنني الرسم من خلالها وكل منحنى لها شكل مختلف قليلا

curve a little differently so what's the official way to figure this out

إذن ما هي الطريقة الرسمية لمعرفة ذلك؟

well if i want to find the gaussian

حسنًا، إذا أردت العثور على انحناء غاوسي في تلك النقطة

curvature at that point i need to find the segment that goes through it with the most curvature and the one with the least and then

سأحتاج إلى العثور على القطعة التي يمر عبرها أكبر قدر من الانحناء وفي الوقت الحاضر على الأقل أضاعفهم معًا

multiply those together

so in this case this is the segment with the most curvature curves outward just a little so it's got that positive curvature

هذا هو الجزء الذي يوجد به أكثر نقطة انحناء للخارج بشكل أقل فقط بحيث يكون ذلك الانحناء هو الإنحناء الإيجابي

then this segment the one perpendicular to it

ومن ثم هذه القطعة لها تعامد واحد وإنحناء أقل

has the least curvature in fact this didn't curve at all just went straight down the side so it has

في الواقع، لم يكن هذا منحنى على الإطلاق بل إتجه مباشرة إلى الجانب السفلي. لذلك فإنه يحتوي على انحناء صفر

zero curvature that means we have positive times zero curvature which gives us zero gaussian curvature at that point

وهذا يعني أن لدينا عدد مراتٍ إيجابية لإنحناء صفري والذي يعطينا إنحناء صفري غاوسي في تلك النقطة

but the same thing could be said about any point on the lateral surface of the

ولكن يمكن قول الشيء نفسه عن أي نقطة على السطح الجانبي للأسطوانة

cylinder so yes the cylinder is curved but its gaussian curvature is zero

نعم، الأسطوانة منحنية ولكن إنحناءها الغاوسي صفري

so now we're ready for a theorem i found

نحن الآن على استعداد لنظرية

really interesting and that's the theorem egregious which was discovered by gauss

وجدتُ أنها مثيرة للاهتمام حقًا، وهذه هي النظرية التي تتفق على قوس دائري التي اكتشفها غاوس

and what this theorem says pretty much is that if you smoothly deform a surface its gaussian curvature at any point is

وما تفترضه هذه النظرية إلى حد كبير هو أنه إذا كنتم تشوهون بسلاسة السطح فإن الانحناء الغاوسي في أي نقطة لن يتغير

not going to change so because this has zero gaussian

وبالتالي لأن هذا له انحناء غاوسي صفري

curvature the theorem says that this at every point has zero gaussian

تفترض النظرية أن هذا في كل نقطة له انحناء غاوسي صفري أيضًا

curvature as well which isn't too hard to see if we take

ليس من الصعب للغاية معرفة ما إذا كنا نأخذ أي نقطة

any point like let's say right at the top any point there and find the gaussian curvature well yes

فلنفترض أنه من الصحيح أن يكون في الأعلى أي نقطة هناك ونجد انحناء غاوسي

one segment right here does curve has positive curvature but

حسنًا، يوجد جزء واحد هنا منحنى لديه انحناء إيجابي

remember we have to find the segment with the least curvature and that would be this one here which

لكن تذكر أنه يتعين علينا العثور على القطعة الأقل انحناءً وسيكون هذا الجزء هنا

doesn't curve at all it's just a straight segment so that zero times positive curvature

الذي لا ينحني على الإطلاق، إنه مجرد قطعةمستقيمة لذلك الصفر مضروباً بالإنحناء الإيجابي

leaves us with zero gaussian curvature overall at that point it didn't change and the same goes for any point on the surface

يترك لنا مع الصفر إنحناء غاوسي إجمالي في تلك النقطة لن يتغير والشيء نفسه ينطبق على أي نقطة على السطح

so mathematically it now makes a little more sense why i can wrap

لذلك من الناحية الرياضية، أصبح الأمر منطقيا بشكل أكثر لماذا يمكنني لف قطعة من الورق

a piece of paper around a cylinder without there being any wrinkles or

حول اسطوانة دون أن يكون هناك أي تجاعيد أو أي شيء من هذا القبيل

anything like that because we saw this is zero gaussian curvature everywhere on the lateral

لأننا لاحظنا هذا الإنحناء الغاوسي الصفري في كل مكان على السطح الجانبي

surface

وعندما أشوه هذا

and when i deform this its zero gaussian curvature is not going to change at any

فإن الإنحناء الغاوسي الصفري لن يتغير في أي نقطة

point and as it smoothly maps onto the cylinder with no wrinkles or distortion

كما يمكن تعيين الخرائط بسلاسة على الاسطوانة دون أي تجاعيد أو تشويه أو أي شيء من هذا القبيل

or anything like that however we saw that the sphere

ومع ذلك، رأينا أن الجسم الكروي لديها

has positive gaussian curvature and

انحناء غاوسي إيجابي

because this must maintain its zero curvature as i deform it then i

ولأن هذا يجب أن يحافظ على انحناءه الصفري

cannot wrap a piece of paper around the sphere and the math is if i were to try it's

لا أستطيع أن ألف قطعة من الورق حول الجسم الكروي وإذا حاولت القيام بذلك فإنني سأضمن

guaranteed to crumple and if this were

أنها ستتجعد و

i don't know a map and i tried to wrap it around

إذا كان الأمر كذلك، فأنا لا أعرف خريطة وحاولت لفها حول العالم

a globe then we're guaranteed to have

حتى العمل المضمون سيكون لديه تشوه

distortion and if i try to give a piece of paper negative curvature you see the same

إذا حاولت إعطاء انحناء سلبي للورقة، فسترى أن نفس الشيء يحدث

thing happens basically you have to give it positive curvature here but then we got to bend it

من الضروري أن أعطيها انحناءًا إيجابيًا هنا، ولكن بعد ذلك علينا أن نثنيها بهذه الطريقة

up this way which if you try it's just it's not going to happen without it crumpling just a little bit okay now

إذا حاولت القيام بذلك، فسيتجعد قليلاً فقط

that we have some background with that it's time to talk about people living on

حسنًا، بعد أن أصبح لدينا بعض الخلفية، فقد حان الوقت الوقت للحديث عن الأشياء التي تتواجد على هذه الأسطح

these surfaces and by the way we're assuming that these surfaces are all very large

وبالمناسبة، نحن نفترض أن هذه الأسطح كبيرة جدًا

now to a small creature living on these

الآن تعيش الكائنات الصغيرة على هذه الأسطح

surfaces whether it's a giant sphere a flat plain or a saddle the area around you will appear to be flat and two-dimensional

سواء كانت كرة ضخمة مسطحة أو سطح مسطح أو سرج، ستبدو المنطقة المحيطة بك مسطحة وثنائية الأبعاد

so my question is even though this is the case can we determine we're on a curved surface without leaving it

لذلك سؤالي هو على الرغم من أن هذا هو الحال. هل يمكننا تحديد أننا على سطح منحني دون أن نتركه؟

like could we determine that the earth

مثلاً هل يمكن أن نحسم أن الأرض ليست مسطحة؟

is not flat without going into space or

دون الذهاب إلى الفضاء أو إستكشاف كل مكان

going all the way around the answer is yes but especially for this first explanation you need very precise equipment

الإجابة ستكون بنعم، لكن على وجه التحديد لهذا التفسير الأول ستحتاج إلى معدات دقيقة للغاية

but let's assume the earth is a perfect sphere to figure that in fact is

ولكن لنفترض أن الأرض هي جسم كروي تام لإثبات ذلك أنها في الواقع، ليست مسطحة

not flat one thing you could do is draw a circle on that surface of a known radius

شيء واحد يمكنك القيام به هو رسم دائرة على سطح نصف قطر معين ثم من هناك

then from there you'd measure the distance around the circle or circumference and if the surface is curved you'd

قُمتم بقياس المسافة حول الدائرة أو محيطها وإذا كان السطح منحنيًا

notice that the circumference does not have a length of 2 pi r as it should

ستلاحظون أن طول المحيط ليس له 2 pi r كما ينبغي

it'd actually be a little smaller if

سيكون في الواقع أصغر قليلاً إذا كنا فوق الجسم الكروي

you're on a sphere

لكن تذكر في عينيك فقط

because remember in your eyes you just walked in a perfectly straight line to trace out or measure that radius but in reality you curve just a little

سلكت في خط مستقيم تمامًا لتتبع أو قياس ذلك النصف قطر، ولكن في الواقع، فإنك منحنى قليلاً

that means the circle you drew would lie

هذا يعني أن الدائرة التي قمتم برسمها ستقع على مستوى السطح

on a plane slightly inside the sphere and one thus have a radius slightly smaller than the

داخل الجسم الكروي قليلا وعندما يكون لها دائرة نصف قطرها أصغر قليلا من المسافة التي قطعتموها

distance you walked meaning the circumference will be 2 pi times a value slightly less than that

بمعنى أن محيط الدائرة سيكون 2 باي× قيمة أقل قليلا من R الأحمر

red r which you thought was a flat line segment and from this you could conclude

التي اعتقدتم أنها جزء من خط مسطح، ومن هنا يمكنكم أن تستنتجوا أنكم على سطح

that you're on a surface with positive curvature

مع إنحناء إيجابي على الأقل محليًا

at least locally if on the other hand the circumference was greater than 2 pi r you could conclude maybe you're on some

من ناحية أخرى ، إذا كان المحيط أكبر من 2 pi أو يمكنك الاستنتاج ربما تكون على شكل سرج مع انحناء سلبي

saddle shape with negative curvature

now yes this would be a difficult task

الآن بكل تأكيد، ستكون هذه مهمة صعبة على مثل هذا المجال الكبير الغير المثالي

on such a large non-perfect sphere like earth but there is more we can do without going around the entire thing or leaving

مثل الأرض، ولكن هناك الكثير الذي يمكننا القيام به دون الالتفاف على الشيء بأكمله أو تركه

it because one of the biggest differences between curved surfaces is what you'll encounter when moving

نظرًا لأن أحد أكبر الاختلافات بين الأسطح المنحنية هو ما ستواجهه عند الإنتقال بالتوازي مع شخص آخر

parallel to someone else so if you and

your friends started walking parallel to each other on a flat surface you'd never get any closer or further

لذا ، إذا بدأتم مع أصدقاؤكم في المشي بالتوازي مع بعضكم البعض على سطح مستو، فلن تتقاربوا أو تنفصلوا أبدًا

apart but if you're on a sphere and you and your friend started walking perfectly straight

ولكن إذا كنتم على جسم كروي وبدأتم مع أصدقاؤكم في المشي مباشرة تمامًا، فستعتقدون أنكم تسيرون في مسارات متوازية في البداية

you'd think you're walking parallel

paths at first but you'd slowly notice you and your friend getting closer together until your path would eventually cross

لكنكم ستلاحظون مع أصدقائكم ببطء الاقتراب من بعضكم البعض حتى تنتهي مساراتكم

even though you thought you're walking straight the entire time and this is something that happens when you have that positive curvature or

بالرغم من أنكم ستعتقدون أنكم تسيرون بشكل مستقيم طوال الوقت وهذا شيء يحدث عندما يكون لديك انحناء إيجابي

another thing you'd see on a flat surface is that if you started walking perfectly straight

من جهة أخرى ستلاحظون على السطح المستوى أنه إذا بدأتم المشي بشكل مستقيم تمامًا، ثم أنعطفتم يمينًا

then made a right turn walk the same distance and repeated this it would take three turns before you got back to your original spot

ومشيتم بنفس المسافة وتكرار هذا الأمر سيستغرق ثلاث دورات قبل أن تعودوا إلى بقعتكم الأصلية

but if you're on a sphere it'd be possible for you to make two right angle turns before returning to your original

ولكن إذا كنتم على جسم كروي،سيكون من الممكن بالنسبة إليكم أن تقوموا بدورتين في الزاوية اليمنى قبل العودة إلى بقعتكم الأصلية

position this wouldn't always be the case of course but it is true that on a positively

لن يكون هذا هو الحال دائمًا، بالطبع ، ولكن من الصحيح أن يكون ذلك على سطح منحني بشكل إيجابي

curved surface the internal angles of triangles always add to more than 180 degrees

الزوايا الداخلية للمثلثات تضيف دائمًا أكثر من 180 درجة

[Music] so if we go to brilliant site the secret

لذلك إذا أردنا الحصول على رؤية رائعة، يكمن سر مشكلة مثل هذا

to a problem like this where you have to find the sum of all interior angles is that longitudinal lines are always perpendicular to the equator

حيث يتعين عليكم العثور على مجموع جميع الزوايا الداخلية غير أن الخطوط الطولية هي دائما عمودية على خط الاستواء

which is why they appear parallel at least when they're very close

وهذا هو السبب في أنها تبدو متوازية على الأقل عندما تكون قريبة جدًا

then since they meet at the top you have a triangle whose angles will definitely be greater than 180

ونظرًا لأنهم يلتقون في الجزء العلوي، سيكون لديكم مثلث تكون زواياه بالتأكيد أكبر من 180 وسيعتمد هذا وهذا الفائض

and that excess will depend on that top angle in this case

على تلك الزاوية العليا في هذه الحالة

negatively curved surfaces on the other hand have internal angles that sum to less than 180

من ناحية أخرى، الأسطح المنحنية سالبًا لها زوايا داخلية يبلغ مجموعها أقل من 180

which means if we want to see whether our universe is open closed or flat aka doesn't have negative positive or zero curvature we could make

وهذا يعني ما إذا كنا نريد أن نرى ما إذا كان الكون مفتوحًا أومغلقاً أو مسطحاً والذي يُعرف أيضاًباسم الانحناء السلبي أو الصفري

a big triangle and measure the internal angle since that directly relates to that intrinsic curvature of our universe

يمكننا أن نصنع مثلثًا كبيرًا ونقيس الزاوية الداخلية لأن ذلك يرتبط مباشرةً بهذا الانحناء الفعلي لكوننا

and scientists have done this before by looking at the cosmic microwave background and they found that the universe is

وقد قام العلماء بذلك من قبل من خلال النظر إلى إشعاع الخلفية الكونية الميكروي

mostly flat as in parallel lines behave as expected if there's no curvature kind of the least exciting answer

ووجدوا أن الكون مسطح في الغالب كما هو الحال في الخطوط المتوازية تتصرف كما هو متوقع، إذا لم يكن هناك نوع من الانحناء

unfortunately but on top of the small margin of error the exact shape of our universe and its global topology are still up for debate

ولكن بالإضافة إلى هامش الخطأ الصغير، لا يزال الشكل الدقيق لكوننا وطوبولوجيته العالمية موضع نقاش

so we found that geometry in spaces that aren't flat or non-euclidean geometry gets really weird but there's still more

لذلك وجدنا أن الهندسة والمساحات غير المسطحة أو الهندسةغير الإقليدية . إنه غريب حقًا، لكن لا يزال هناك الكثير الذي لم نره

we haven't seen like in flat space we know the shortest distance between two points is a

كما هو الحال في الفضاء المسطح، فإننا نعرف أن أقصر مسافة بين نقطتين هي خط مستقيم

straight line however on a curved surface we usually

ولكن على الأسطح المنحنية، عادةً لا يوجد لدينا خطوط مستقيمة

don't have straight lines so we call the shortest path from point a to point b along a surface a geodesic as an example on a sphere the

لذلك أطلقنا على أقصر مسار ونقطة A إلى النقطة B على طول سطح الأرض الجيوديسية مثال على الجسم الكروي هو أقصر مسار بين نقطتين أو الجيوديسية هي دائما جزء من دائرة كبيرة

shortest path between two points or the geodesic is always part of a great circle a great

circle is basically the largest circle

الدائرة الكبرى هي في الأساس أكبر دائرة يمكنك رسمها حول جسم كروي

you can draw around a sphere so what you see here or the equator would be examples of that

لذلك ما تراه هنا أو خط الاستواء سيكون أمثلة على ذلك

you can think of geodesics as the paths we perceive to be straight as we walk along a surface at least when

يمكنك أن تفكر في الجيوديسية باعتبارها المسارات التي تراها مستقيمة لأننا نسير على طول سطح على الأقل عندما يكون ذلك السطح

that surface is very large like if you went outside and started walking perfectly straight right now in

كبيرًا للغاية، مثلا إذا خرجت وبدأت في السير مباشرة تمامًا الآن في أي اتجاه

any direction assuming an ideal sphere you'd be walking along some great circle of the

بافتراض وجود مجال مثالي، فستسيرون على طول دائرة كبيرة من الأرض

earth these are also what we see for flight paths planes are traveling along

ينطبق هذه أيضًاعلى ما نراه بالنسبة لمسارات الطائرات التي تسافر عبر الجيوديسيا

geodesics if you want to fly from new york to

إذا كنتم تريدون أن تسافروا من نيويورك إلى مدريد

madrid you would not fly along the latitude line as that's part of a small circle which

فسوف لن تحلقوا على طول خط العرض لأن هذا سيكون جزء من دائرة صغيرة

is not a geodesic and therefore not the shortest path

وهو ليس الجيوديسية وبالتالي لن يكون من أقصر الطرق

you'd instead take a slightly different path which is part of a great circle

ستأخذون بدلاً من ذلك مسارًا مختلفًا قليلاً، والذي هو جزء من دائرة كبيرة

but on a cylinder for example a geodesic

لكن على الأسطوانة، على سبيل المثال، تبدو الجيوديسية أكثر حلزونية

looks more like a spiral in fact i know this is a

في الواقع

geodesic because if you were to unroll a cylinder back to

أعلم أن هذه هي الجيوديسية لأنه إذا كنتم ترغبون في فك الاسطوانة وجعلها سطح مستو

a flat plane the geodestic should remain the shortest path aka a straight line but to relate this back

يجب أن تبقى الجيوديسية أقصر مسار ويعرف أيضًا باسم الخط المستقيم

to the universe you first need to know

ولكن لربط هذا مرة أخرى بالكون، يجب عليك أولاً أن تعرف أن الضوء ينتقل

that light naturally travels the path not of shortest distance but of shortest time when light travels

ينتقل بشكل طبيعي عبر مسار لايُعتبر من المسافات القصيرة ولكن ذات وقت أقصر

from air to a new medium like glass we notice it will refract bending at a

عندما ينتقل الضوء من الهواء إلى وسط جديد مثل الزجاج، نلاحظ أنه سينكسر من خلال الانحناء بزاوية مختلفة

different angle the reason is because that is the path that will make light go from point a to point b the fastest light doesn't

السبب هو أن هذا هو المسار الذي سيجعل الضوء ينتقل من النقطة A إلى النقطة B بشكل أسرع

travel as fast in glass compared to air so although this may be the shortest path

لا ينتقل الضوء بسرعة في وسط زجاجي مقارنة بالهواء. لذلك على الرغم من أن هذا قد يكون أقصر الطرق

it doesn't minimize time because in this case the light spends more time in the glass where it's moving slower

إلا أنه لا يقلل من الوقت لأنه في هذه الحالة سينفق الضوء مزيدًا من الوقت خلال الزجاج حيث يتحرك بصورة أبطأ

now when light moves through the vacuum of space to minimize time it travels along geodesic curves which are typically straight lines but

الآن عندما يتحرك الضوء من خلال فراغ الحيز لتقليل الوقت الذي يمر فيه على طول المنحنيات الجيوديسية، والتي عادة ما تكون خطوط مستقيمة

around massive objects light

ولكن حول الكائنات الضخمة ينحني الضوء

bends and because light follows geodesics we can say that mass bends those geodesic lines or really we can say that space

ولأن الضوء يتبع الجيوديسيات، يمكننا القول أن الكتلة تنحني عن تلك الخطوط الجيوديسية وبالفعل يمكننا القول أن الفضاء منحني

is curved simply put if geodesics are not straight lines then there's some indication that the

ببساطة، إذا كانت الجيوديسيا ليست خطوطًا، فهناك بعض الدلائل على أن الفضاء منحني

space is curved and this was a huge breakthrough in proving that general relativity was in

وكان هذا إنجاز هائل في إثبات صحة نظرية النسبية العامة

fact correct seeing that it wasn't just things with mass that were affected by gravity

والتي أتاحت رؤية أنه لم تكن فقط الكتل الكبيرة هي التي تأثرت بالجاذبية

okay so far we've gone over gaussian

حسنًا، لقد مررنا حتى الآن بجيوديسيا الإنحناء الغاوسي

curvature geodesics and some non-euclidean geometry but we

وبعض الأشكال الهندسية غير الإقليدية

need one more thing we need a way to calculate the distance between nearby points on curved surfaces

لكننا بحاجة إلى شيءإضافي آخر . نحن بحاجة إلى طريقة لحساب المسافة بين النقاط القريبة على الأسطح المنحنية

because when it comes to a flat plane

لأنه عندما يتعلق الأمر بالمستوى المسطح

this is really easy to do just give me any two points and i can use the pythagorean theorem to

فسيكون من السهل فعل ذلك فقط أعطوني أي نقطتين وسأستطيع استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على المسافة بينهما

find the distance between them but if we want to be able to do this on curved surfaces we need something else and that brings us to the metric tensor

ولكن إذا أردنا أن نكون قادرين على القيام بذلك على الأسطح المنحنية، فإننا نحتاج إلى شيء آخر وهذا يقودنا إلى الأداة الوترية المترية

the metric tension was discovered by a mathematician named riemann

تم اكتشاف الأداة الوترية المترية بواسطة عالم الرياضيات برنارد ريمان

and it's this mathematical tool that allowed einstein to complete his general theory of relativity

وهذه الأداة الرياضية هي التي سمحت لأينشتاين بإكمال نظريته في النسبية العامة

now if we have a flat plane and a vector going from the origin to 3 comma 4 which we'll just label with

الآن إذا كان لدينا سطح مستو وشعاع متجه من الأصل إلى 3 فاصلة 4

this notation finding the length of that vector isn't

لن يكون العثور على طول هذا الشعاع أمراً صعبا للغاية

very hard we know the x component is 3 which i'll label delta x and the y component is 4 which i'll label delta y

نحن نعلم أن المركب X هو 3 الذي قمت بتسميته Delta X والمركبy هو 4 والذي سوف أطلق عليه Delta Y

now i'm just going to deal with distances squared here so i don't have to have any square roots but this doesn't change anything

الآن سأتعامل فقط مع المسافات المربعة هنا. لذلك ليس لدي أي جذور مربعة، لكن هذا لا يغير شيئًا

anyways we all know the general solution to find that distance squared is delta x squared times a constant plus another constant times delta x

على أي حال، نعلم جميعًا الحل العام لإيجاد أن المسافة المربعة هي :

delta y plus another constant times delta y delta x plus another constant times the change

in y squared

okay i know that was probably

حسناً ، أعلم أن ذلك ربما كان صعباً نظراً لأن

frustrating since of course the distance squared is just delta x squared plus delta y squared the good old pythagorean

المسافة المربعة هي مجرد دلتا x تربيع بالإضافة إلى دلتا Y تربيع بنظرية فيثاغورس القديمة الجيدة

theorem which would tell us that the distance squared is 25 or the distance is 5.

التي قد يخبرنا أن المسافة المربعة هي 25 أو المسافة هي 5

but the equation i put is still technically correct so long as we assign

لكن المعادلة التي أضعها لا تزال صحيحة تقنيًا طالما أننا نسند قيمًا 1

values of 1 0 0 and 1 to the constants respectively but ok why did i add those terms in it's

صفر صفر واحدعلى التوالي، لكن حسناً. لماذا أضفت هذه المصطلحات؟

because the pythagorean theorem only works in a flat space when you define your basis vectors very

يرجع السبب في ذلك إلى أن نظرية فيثاغورس لا تعمل إلا في مساحة مسطحة عندما تحدد الأشعة الأساسية بشكل جيد للغاية

nicely for this example these were our

في هذا المثال، كانت هذه هي الأشعة الأساسية

basis vectors which i'll label e1 and e2 just a unit vector in the x

التي سأقوم بتسميتها E1 و E 2 فقط شعاع واحدي في اتجاهي X و y

and y direction so when i said 3 comma 4 was the vector that just meant we take 3 e1s combined with 4 e2s and find the

لذلك عندما قلت 3 فاصلة 4 كان الشعاع الذي يعني فقط أننا نأخذ 3 e منها مجتمعة مع 4 e 2

distance from the tail of the first to the tip of the last

وستجد المسافة من ذيل الأول إلى الطرف الأخير

but now what if instead we use these as our basis vectors to describe

لكن الآن ماذا لو بدلاً من ذلك نستخدمها كأشعة أساسية لوصف أي نقطة

any point because now that same coordinate would be considered one half e one plus two e two

لأنه الآن سيتم اعتبار هذا الإحداثي

now if you want to find the distance the pythagorean theorem will not work

الآن إذا كنت تريد العثور على المسافة ففي هذه الحالة لن تعمل نظرية فيثاغورس

one half squared plus 2 squared won't get us even close to 25

لن تجعلنا نقترب حتى من 25

but if we use the general equation from before we can make it work

ولكن إذا استخدمنا المعادلة العامة من قبل يمكننا أن نجعلها تعمل

the delta x and delta y are really just e1 and e2 you see here so i'll just plug those in yeah it's not

إن Delta X و Delta Y هما في الحقيقة مجردE 1 و E 2 اللذان تراهما هنا، لذلك سأقوم فقط بتعويضهما

very good notation since it's not really a delta x or delta y but i'm just going to keep those

بالتأكيد، انها ليست بالترميز الجيد جدا . نظرًا لأنها ليست دلتا X أو دلتا Y ، لكنني سأحافظ على ثباتها

consistent okay now i wasn't going to do this but for anyone who just needs to know where this almost pythagorean theorem looking

نفذ الترجمة : شوان حميد

equation comes from here's a quick explanation when we have a vector like 3 comma 4 just like we saw earlier

which i'll write with i-hat and j-hat components now to find the length squared we can take the dot product of the vector with itself

to do this most of you guys know we multiply the x or i hat terms together and then add that to the y or j hat terms multiplied together

yielding a distance squared of 25 just like before and when we have technically the same thing with those strange basis vectors

now to find the distance squared we still do the dot product but it'll look a little different at

first because technically to do the dot product we have to essentially foil making it half e one dot one half e one the first terms

plus one half e one dot two e two the outer terms then the same thing with the inner terms and then the last this is how we find

the vector length squared and know that these are dot products not multiplication symbols in fact this is what we did beforehand

the 3 times 3 came from 3i.3i and 16 came from 4j.4j but we forgot the outer terms of 3i 4j and the inner terms of 3i

it's just that since the i-hat and j-hat or x and y-direction are at right angles to each other when we do a dot product those terms

will just come out to zero so in summary the one-half and one-half or one half and two and so on correspond to

the delta x and delta y whereas the actual dot product of e1 and e1 or e1 and e2 correspond to the

constants i'll put more detailed links down below but just to get to the point these are the constants that make

everything work for this choice in basis vectors you can go ahead and do the math but it will come out to 25.

those constants of 16 2 2 and 17 4 i'll organize a little better in a matrix because this here is our metric tensor

and what we saw before with the pythagorean theorem where the constants were 1 0 0 1 well that's also a metric tensor

now this is kind of a boring example because both metric tensors dealt with flat space but it showed the general idea and that

is when the pythagorean theorem fails whether it be for weird basis vectors or more importantly those right triangles

being on curved surfaces the metric tensor makes the necessary corrections allowing us to find those distances

and fully describe the curvature of that surface you'll find the metric tensor is typically written with the letter g and

some subscripts in order to describe higher dimensional surfaces we just expand the matrix for three dimensional space the metric

tensor would look like this but we can keep going as for four dimensional space time it looks like this

sixteen numbers which is really just 10 because of the symmetry these have is all we need at each point in four dimensional space to completely describe

how that space is curved so again this identity matrix represents flat space where there is no curvature as this is where the pythagorean theorem

holds but this extends to higher dimensions where this three by three identity matrix

just leads to the distance formula in three dimensional flat space and although it's not really a topic for this video we can see something similar

in the minkowski metric it's not exactly the identity but it is used for flat euclidean space time in four dimensions

and it encompasses the postulates of special relativity like the speed of light being the same in all reference frames

but when it comes to general relativity space-time is now curved leading to a more complex metric although that is of course beyond a

video like this in einstein's equations we saw earlier on the side that represents the curvature of space

time we see the metric tensor that helped make that possible now once general relativity was accepted in the scientific community it

completely changed the way we understood gravity you may have heard before that gravity is in fact not a force and this was a

result of general relativity we used to think of gravity as some magical force between two objects that happens over a distance

but now we say there is no force it's just the curvature of space-time so like when you throw a ball through the air we like to think it's

accelerating downward due to the force of gravity but einstein said this is the wrong way to look at it in fact since there's no

force we can say the object is moving along a straight line in space-time while this may sound crazy this comes from the fact that flat space is being

warped by the mass of the earth curving space time around it the parabolic path we see is just an illusion

because we can't perceive that underlying curvature so hopefully you're seeing that the mathematics of our universe runs pretty

deep and of course we haven't even scratched the surface but what about those mind-bending theories regarding our universe and what

goes beyond it like what about the math that only works in 26 dimensions or the shapes that theoretical

physicists think could describe higher dimensions of space-time well all that stuff is coming in the next video but if you've made it this

far you probably enjoy this kind of content and if you're looking to gain a deeper understanding of what we covered here

i highly recommend checking out brilliant.org who i'd like to thank for sponsoring this video brilliant is an educational platform

that hosts over 50 interactive math and science courses they not only teach you the technical information you need to know for the

various subjects but they also challenge you with interactive practice problems programming and just in general a more

hands-on approach so you have a real fundamental understanding of what you're learning if you're like me and really enjoy the

unique applications of mathematics then you won't be disappointed by what they have to offer if you like the topics in this video for

example then their astronomy course would definitely be something you'd enjoy it starts off by going over the

essential technical information to get you started with astronomy and astrophysics topics but then it goes more into what you saw

earlier such as geodesics surfaces with different curvature and the mathematics of non-euclidean geometry as it pertains to the shape of

the universe then they go much further covering dark matter dark energy black holes and more if you're looking

to understand more of the strange mysteries about our universe i highly recommend checking this out and they're adding new courses all the

time like recently they came out with a puzzle science course where anyone can develop foundational physics knowledge while playing around

with fun interactive puzzles and for the more advanced people they have things like differential equations courses that go beyond what i even saw

in my college curriculum so there's something for everyone to learn so if you want to get started right now and support the channel

you can click the link below or go to brilliant.org majorprep to get 20 off your annual premium subscription and with that i'm going to

end that video there if you guys enjoyed be sure to like and subscribe don't forget to follow me on twitter and join the major prep facebook

group for updates on everything hit the bell if you're not being notified and i'll see you all in the next video