4D MONKEY DUST Numberphile Spanish English

4D MONKEY DUSTYouTube↗ IA↗(long shot)
Science & Technology 332.3K views 10.2K likes 176 dislikes 15 Jun 2017 Show Contributors 4

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English Rishi Kanaujia

UCrLoQuNeL5FSyIWNO1OneZw

Spanish Javier Wagner

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De acuerdo, entonces tenemos una esfera.

All right, so we've got a sphere.

Es una especie de caparazón de una esfera, y luego hay algo en lo que apoyarse, una pequeña base,

It's sort of a shell of a sphere, and then there's a thing for it to stand on, a little base,

hay un agujero en la parte superior,

there's a hole in the top,

y está este patrón, este patrón genial de tipo de pentágonos, y así sucesivamente.

and there's this pattern, this cool pattern of sort of pentagons, and so on.

Y tengo una linterna.

And I've got a flashlight, or a torch,

Puedes quitar el tipo de lente

if you haven't been in America for too long. You can take the sort of lens off

y se pone como una, se supone que es como, es como una vela o algo así.

and you just get like a, it's supposed to be like, like, it's like a candle or something.

Pero para lo que quiero usarla es

But what I want to use it for is

para mostrar la proyección estereográfica de esta cosa.

to show this thing's stereographic projection.

Entonces, si pongo la luz justo en el Polo Norte de la esfera

So, if I put the light right at the North Pole of the sphere

Entonces obtienes este patrón de sombras. Entonces, bien, entonces, ¿qué es la proyección estereográfica?

Then you get this pattern of shadows. So, right, so what is stereographic projection?

Es un mapa de la esfera

It's a map from the sphere

en el plano, y los rayos de luz hacen ese mapa.

to the plane, and the light rays sort of do that map.

El rayo de luz proviene del Polo Norte y

A light ray comes from the North Pole and

digamos este aquí, correcto, entonces toca el punto en la esfera aquí

let's say this one here, right, so it hits the point on the sphere here

y baja a la mesa aquí, al plano. Entonces, puedes ver si pongo mi dedo meñique

and it goes down to the the table here, to the plane. So and you can see like if I put my little finger

cerca de este punto en la esfera, puedes ver la sombra

near to this point on the sphere, you can see the shadow

en el plano es a donde va a parar.

on the plane is where is where it's going to.

Fue una de las primeras formas en que la gente pensó para hacer mapas de

It was one of the first ways that people thought about, like, maps of the

la tierra, o los cielos, ¿correcto?, las cosas celestiales, por lo que los griegos sabían acerca de esto y muchos de los viejos

Earth, or the heavens, right, the celestial stuff, so the Greeks knew about this stuff and a lot of the old

tipos de mapas de estrellas se realizan con proyección estereográfica. Entonces, una de las cosas que es realmente genial

kind of star maps are done with stereographic projection. So one of the things that's really cool about it

es que preserva ángulos. Y también se puede ver en este modelo, estos tres o seis ángulos de 60 grados aquí

is it preserves angles. And you can see on this model as well, these like three or six 60 degree angles here

Es como si fuera un símbolo de radiación aquí

It's like it's like a radiation symbol here

Y la sombra tiene estos ángulos de 60 grados, y la esfera también tiene esos ángulos de 60 grados

And the shadow has these 60 degree angles, and the sphere also has those 60 degree Angles

Entonces, no solo preserva los ángulos, ¿correcto?, los ángulos permanecen iguales, pero también conserva los círculos.

So not only does it preserve angles, right, angles stay the same, it also preserves circles.

Puedes ver en esto, están todos estos

You can see on this, there's all these

grandes círculos como un ecuador de la esfera.

great circles like an equator of the sphere.

Bueno, en realidad este no tiene un ecuador, si este es el Polo Norte, no hay un ecuador dibujado,

Well actually this one doesn't have an equator, if this is the North Pole, there isn't an equator drawn in,

pero, el camino que tomarías si comienzas a navegar en línea recta alrededor de la Tierra es este círculo que es como un ecuador.

but, like, the path that you take if you just start sailing in a straight line around the Earth is this circle that's like an equator.

Si miras en dónde está este camino, abajo en la sombra, creo que es éste

If you look at where is this path on, down on the shadow, I think it's this one here

Y verán que también hay un círculo allí. Para ver los círculos un poco mejor

And you'll see that it's a circle there as well. So to see the circles a little bit better

tal vez, veamos, echemos un vistazo a este. Tiene círculos por todos lados. Es algo así como un dodecaedro, o un icosaedro con círculos.

maybe, let's, let's have a look at this one. It's got circles all over the place. It's kind of like a dodecahedron, icosahedron thing with circles.

Veamos qué tipo de sombra hace esto, y si sostengo la luz en el lugar correcto, puedes ver,

Let's see what kind of shadow this makes, and if I hold the light in the right place you can see,

así que este círculo aquí

so this circle up here

va a este círculo aquí abajo. Entonces, sí, de alguna manera sabes que

goes to this circle down here. So, yes, somehow it knows that

se supone que los círculos son círculos, a pesar de que las cosas se vuelven extrañamente distorsionadas, ¿cierto?, el tamaño de los círculos cambia mucho

circles are supposed to be circles, even though things are getting kind of weirdly distorted, right, the size of the circles changes a lot

en el plano, todos son del mismo tamaño en la esfera, por supuesto, pero todavía deberían ser círculos, ¿no?

on the plane, they're all the same size on the sphere, of course, but it still knows that they should be circles, right?

Quiero decir, sabes, si lo mueves a otro lado,

I mean, you know if you move it somewhere else,

luego, debe estar justo en el polo norte para que funcione, y lo mismo con los ángulos.

then, like it has to be right at the north pole for it to work, and the same thing with the angles.

Si no es como un polo norte, no es una proyección estereográfica, no tiene todas estas bonitas propiedades.

If it's not as a north pole, it's not a stereographic projection, it doesn't have all these nice properties.

Así que aquí hay otro patrón más, ¿correcto?, en una esfera, con este tipo de curvas curiosas, así que,

So here's a yet another, right, pattern on a sphere, with this sort of weird curvy thing going on, so,

Bueno, ¿qué va a hacer esto? Puede que te sorprenda. Bueno, vamos a descubrirlo. Y, ponemos esto.

well, what's this gonna make? You may be surprised. Well, let's find out. And, put this in.

Tenemos esta cuadrícula cuadrada

There's this perfectly regular

perfectamente regular que se esconde dentro de esta cosa redonda realmente curvilínea.

square grid hiding inside of this really curvy round thing.

Bueno, la forma en que hice esto es que comencé con la cuadrícula cuadrada y luego la volví a poner en la esfera para ver qué está

Well, the way I made this is I started with the square grid and then I put it back up onto the sphere to see what's

pasando. Así que podría continuar haciendo que esta cuadrícula esté más y más alejada.

going on. So I could just continue making this square grid going further and further out.

Y luego me voy a acercar cada vez más al Polo Norte,

And then I'm gonna get closer and closer in to the North Pole,

pero nunca llegaré al Polo Norte, ¿de acuerdo? El Polo Norte de alguna manera

but I'll never actually get to the North Pole, right? The North Pole somehow

corresponde a ir infinitamente lejos de esta manera, yendo infinitamente muchos cuadrados,

corresponds to going infinitely far out this way, going infinitely many squares,

eventualmente, bueno, nunca llegaría al Polo Norte,

eventually, well I wouldn't ever get to the North Pole,

pero eso es a lo que corresponde el Polo Norte. El Polo Norte no está allí. Es una cosa de uno a uno. Cada punto en una esfera

but that's what the North Pole corresponds to. The North Pole isn't there. It's a one-to-one thing. Every point on a sphere

se corresponde con un punto en el plano, excepto el del Polo Norte. Entonces, es el plano más un punto en el infinito,

gets a point on the plane, apart from the North Pole. So, so the plane, plus one point at infinity,

infinitamente lejos, es lo mismo que la esfera. Esta es una superficie bidimensional que se corresponde con el plano bidimensional. Vamos a bajar una dimensión.

infinitely far away, is the same as the sphere. This is a two-dimensional surface goes to the two-dimensional plane. Let's go one dimension down.

Hagámos, entonces el equivalente de

Let's do the, so the equivalent of the

la esfera bidimensional es el círculo unidimensional, ¿verdad?

sphere the 2-dimensional sphere is the one-dimensional circle, right?

Parece una línea si solo miras una parte de ella. Dibujemos la mesa, y luego

It looks like a line if you just look at a piece of it. Let's draw the, the table, and then

mi luz va a estar aquí en el polo norte de este

my light is gonna be here at the North pole of this

círculo, ¿verdad? Un círculo es una especie de versión unidimensional de la esfera.

circle, right? A circle is sort of a one dimensional version of the, of the sphere.

Y entonces, sabes, un rayo de luz baja aquí, y golpea la esfera en alguna parte, y golpea al plano en alguna parte,

And so, you know, a light ray comes down here, and it hits the sphere somewhere, and it hits the plane somewhere,

y ese es el mapa. La proyección estereográfica te lleva de aquí hasta aquí.

and that's the map. Stereographic projection takes you from here to here.

Y entonces, sabes, lo que estábamos haciendo, está bien, los puntos están marchando de esta manera,

And so, you know, what we were doing is, okay, squares are marching off this way,

y como, ya sabes, hay otro punto por aquí,

and like, you know, there's, there's another square,

y entonces hay otra línea que sale aquí, y el punto correspondiente en la esfera

and so there's another line that goes out here, and the corresponding point on the sphere

se acerca al polo norte, y te acercas, y esta línea se reduce, y te acercas, y esta línea se reduce,

gets closer to the North pole, and you get closer, and this line goes off, and you get closer, and this line goes off,

pero nunca, como, el Polo Norte en sí es de alguna manera, como,

but you never, like, the North Pole itself is somehow, like,

infinitamente lejos. El Círculo, es lo mismo que la recta más un punto.

infinitely far away. Circle, same thing as the line plus a point.

Y tener la esfera en el espacio tridimensional ordinario es lo mismo que el plano bidimensional

And we had the sphere in ordinary three-dimensional space is the same thing as the two-dimensional plane

más un punto, el Polo Norte, infinitamente lejano. Esfera en el espacio bidimensional.

plus one point, the North Pole, infinitely far away. Sphere in two-dimensional space

Esfera en el espacio tridimensional.

sphere in three-dimensional space

¿Esfera en el espacio de 4 dimensiones? Bueno,

sphere in 4-dimensional space? Okay,

Entonces, si estamos en un espacio de cuatro dimensiones, aún podemos medir cosas, y aún podemos decir que hay una esfera, ¿verdad?

so, if we're in four-dimensional space, we can still measure things, and we can still say, there's a sphere, right?

Es el conjunto de puntos que están a cierta distancia del centro, y no podemos verlo

It's the thing which is the set of points which are at some distance from the center, and we can't see it

no puedes, ya sabes, porque es de cuatro dimensiones. Pero, de la misma manera. La esfera es lo mismo que

you can't, you know, because it's four dimensional. But, same thing. The sphere is the same thing as

el plano tridimensional, el espacio, lo que sea,

the three-dimensional plane, space, whatever,

más un punto en el infinito.

plus a point at infinity.

Entonces, en otras palabras, no puedo mostrarte esta esfera en el espacio de 4 dimensiones,

So, or in other words, I can't show you this sphere in 4-dimensional space,

pero puedo mostrarte la sombra. La sombra va a ser algo tridimensional, así que podemos verlo,

but I can show you the shadow. The shadow is gonna be a three-dimensional thing, so we can see it,

o podemos imprimirlo en 3D, o podemos hacer animaciones por computadora o algo así.

or we can 3D print it, or we can do computer animations or something.

Esto te da una idea de lo que es esto en cuatro dimensiones.

This gives you some idea of what this thing in four dimensions is.

Entonces, aquí, lo que estábamos haciendo, estábamos como,

So here, what we were doing, we were like,

dibujando puntos en la esfera en el espacio tridimensional, y luego proyectando una sombra. Así que vamos a dibujar algo más en la esfera

drawing squares on the sphere in three-dimensional space, and then casting a shadow. So we're gonna draw something else on the sphere

en el espacio de 4 dimensiones, y proyectar una sombra.

in 4-dimensional space, and cast a shadow.

Entonces, ¿qué vamos a dibujar?

So what are we going to be drawing?

Monos. Así que esto es como un diseño de un mono, así que, entonces estás dibujando, estás dibujando algo en la superficie de esta esfera.

Monkeys. So this is a like a monkey design, like so, so you're sketching, you're sketching something on the surface of this sphere.

Así que, como que, ya sabes, estás dibujando una imagen bidimensional aquí,

So just like, you know, you're drawing some two-dimensional picture here,

Necesito dibujar una imagen tridimensional en esta esfera en el espacio de cuatro dimensiones. Y la imagen tridimensional que voy a dibujar es

I need to draw a three-dimensional picture on this sphere in four-dimensional space. And the three-dimensional picture I'm gonna draw is

este mono, o va a ser una versión ligeramente distorsionada de este mono.

this monkey, or it's going to be a slightly distorted version of this monkey.

Brady: "Entonces, ¿con qué podrías dibujar eso? ¿Como, con pintura tridimensional?"

Brady: "So what, what, could you draw that with? Like, like, three-dimensional paint?"

Quiero decir, como la esfera en 4 dimensiones

I mean like, like the sphere in 4-dimensional

el espacio es algo tridimensional, de modo que cualquier cosa tridimensional puede colocarse allí, de la misma manera que cualquier cosa

space is a three-dimensional thing, so anything threee-dimensional you can put it on there, in the same way for anything

bidimensional en una esfera bidimensional, o superficie, lo que sea. Entonces realmente esto se dibuja en un

two-dimensional on a two-dimensional sphere, or surface, whatever. So really this is drawn on one

lado cúbico de un hipercubo,

cubical side of a hypercube,

lo que sea, y luego se pone una especie de

whatever, and then it gets sort of

proyección radial en la esfera en el espacio de cuatro dimensiones. Una vez que estás en la esfera, podemos hacer esta

radially projected out onto the sphere in four-dimensional space. Once you're on the sphere then we can do this

proyección estereográfica, hacer una sombra tridimensional de ella en

stereographic projection, make a three-dimensional shadow of it in

el espacio tridimensional, que podemos ver. Este es el mono dentro de un cubo de un hipercubo.

three-dimensional space, which we can see. This is the monkey inside of one cube of a hypercube.

Así que este cubo tiene seis vecinos, por lo que este mono necesita seis vecinos

And he's, so this, this cube has six neighbors, so this monkey needs six neighbors

Y todos son como que están retorciéndose de varias maneras. Esto se ve algo así como, algún tipo de grupo loco de simetrías de cuatro dimensiones.

And they're all kind of like twisting around in various ways. This is showing kind of, some kind of crazy four-dimensional symmetry group.

Es por eso que el mono está allí, es un motivo para poder ver esta simetría. Tenemos nuestra linterna de cuatro dimensiones,

That's why the monkey is there, is it's a motif that's showing this symmetry. We got our four-dimensional flashlight and/or torch, whatever, depending on your commonwealth status,

y lo proyectas al espacio tridimensional y veamos cómo se ve.

and you project it down to three-dimensional space and we see what it looks like.

Brady: "Podemos verlo entonces".

Brady: "We can see it then."

Podemos verlo con nuestros pobres cerebros tridimensionales que no pueden tratar con material de cuatro dimensiones.

We can see it without poor three-dimensional brains that can't deal with four-dimensional stuff.

Hay personas que dicen que pueden ver en cuatro dimensiones, pero creo que mienten. Correcto, entonces estos son

There are people who claim they can see in four dimensions, but I think they're lying. Right, so this is

y están mostrando este tipo particular de simetría de cuatro dimensiones. Así que tal vez puedas ver esto, hay algo así como

and they're showing this particular kind of four-dimensional symmetry. So maybe you can see this, there's like,

un anillo de cuatro monos, uno dos tres cuatro, dando vueltas así.

there's a ring of four monkeys, one two three four, going around like this.

Y todos están parados sobre sus cabezas.

And they're all sort of standing on each other's heads.

Y luego hay otro anillo de cuatro monos que pasa por aquí, uno dos tres cuatro,

And then there's another ring of four monkeys that goes through here, one two three four,

y hay un tipo particular de simetría retorcida que envía,

and there's a particular kind of sort of twisting symmetry that

este mono a este mono a este mono a este mono, y ellos se tuercen alrededor como un tornillo

sends, like, this monkey to this monkey to this monkey to this monkey, and they kind of screw, twist around

a medida que avanzas. Tengo una animación. Muestra la animación. Tal vez tenga sentido.

as you go through. There's an animation. You'll show the animation. Maybe it will make sense.

[mono chillando]

[monkey screeching]

Algunas personas se sienten realmente extrañadas por esto.

Some people get like really weirded out by this.

Es como, ya sabes, es un poco inquietante, la formas de ellos.

They're like, you know, they're sort of disturbing, the shapes of them.

Pero solo son matemáticas. Al igual, esto es justo lo que le hace al mono. No hay contenido emocional intencionado.

But it's just math. Like, this is just what it does to the monkey. There's no emotional content intended.

Tomalo como quieras. Supongo que esto es arte, ¿verdad? Puedes hacer lo que quieras con eso.

Take some it what you will. I guess that's art, right. You can do whatever you want with it.

Brady: "Es tu culpa, les diste caras horribles. No es culpa de las matemáticas".

Brady: "It's your fault you gave them the horrific faces though. That's not the fault of math."

Mira, él es feliz! ¡Mira este feliz mono! Quiero decir, tal vez está un poco molesto porque su amigo está de pie sobre su cabeza.

Look, he's happy! Look at this happy monkey! I mean, maybe he's a little bit annoyed that his, his friend is standing on his head.

Esta es la parte divertida. Así que esta es una, esta es una historia divertida, en realidad.

So this is the fun part. So this is a, this is a fun story, actually.

Brady: "Simplemente te cago encima".

Brady: "It just pooped on you."

Bueno, en realidad, así que, oh, oh, todavía está yendo, eh.

Well actually, so, oh, oh it's still going, huh.

Entonces, están impresos, ¿verdad? Impresos en 3D, y está hecho con, por ejemplo, polvo de plástico que se derrite. Son huecos.

So, so they're printed, right? 3D printed, and it's made with, like, plastic dust that gets melted. They're hollow.

Pero al transportarlo, algo de polvo se sacude, por lo que, ya sabes, gradualmente pierden polvo.

But in shipping, some dust gets shaken out, so they, you know, gradually sort of lose dust, we can,

Sí, todo se cubre de polvo blanco.

yeah, everything gets covered in white dust.

Brady: "¡Eso es de la cuarta dimensión!"

Brady: "That's from the fourth dimension!"

Es polvo de mono tetradimensional.

It is, it is four-dimensional monkey dust.

Ahora, podría haber hecho esto

Now, I could have made this

menos problemático.

less of a problem.

El problema es que la boca es el único orificio de salida, ¿verdad? Si hubiera dos agujeros de salida en un mono, entonces podrías

The issue is, like, the mouth is the only exit hole, right? If there were two exit holes in a monkey, then you could

soplar aire a través de él y expulsar todo el polvo.

blow air through it, and blow all of the dust out.

Pero, ¿dónde vas a poner otro agujero en un mono?

But where are you going to put another hole in a monkey?

Quiero decir, ya tienes colas de mono. Como, no puedes tomar una fotografía de esto que no involucre un trasero de mono. Y si hay

I mean, you already have monkey butts all-. Like, you cannot take a photograph of this that doesn't involve a monkey butt. And if there

eran ocho, sí, sí. Así que estos son ocho monos,

were eight, yeah, yeah. So this is eight monkeys,

Así que hay un mono en cada cubo del hipercubo, ese cubo, el hipercubo tiene ocho cubos en él

which, and there's one monkey in each cube of the hypercube, that cube, the hypercube has eight, eight cubes in it

Entonces, esta es una simetría particular que viene asociada con el hipercubo

So this is a particular symmetry that comes sort of associated with hypercube

Entonces, existen estas otras versiones tetradimensionales de los sólidos platónicos. Entonces hay algo llamado 24 celdas, y puedes hacer lo mismo.

So there are these other four-dimensional versions of the Platonic solids. So there's something called a 24 cell, and you can do the same thing.

Con 24 monos. Así que este, tienes estas dos cadenas de cuatro monos cada una, cabeza a cabeza, pies a cabeza, pies a cabeza

With 24 monkeys. So this one, there were these two chains of four monkeys each, head to, head to foot, head to foot

Este también tiene estas cadenas de monos,

This one also has these, these chains of monkeys,

así que lo mejor es poner probablemente este justo en el medio, uno, dos, tres, cuatro, cinco

so the best one is probably this one right in the middle one two three four five

Hay una cadena de seis monos aquí, yendo de pies a cabeza. Y puedes ver estas otras cadenas de monos.

There's a chain of six monkeys here, going head to foot. And you can spot these other chains of monkeys.

Entonces hay otra cadena de seis monos. Entonces, hay todo, creo que hay cuatro cadenas diferentes de seis monos,

So there's another chain of six monkeys. So there's all, there's I think, four different chains of six monkeys,

porque 4 por 6 es 24, ¿de acuerdo? 24 celdas Y yendo un paso más allá, ¿por qué no? Puedes hacer lo mismo con

because 4 times 6 is 24, good? 24 cell. And just going one step further, because why not? You can do the same thing with

120 monos. Esto no es en realidad todo. Entonces esto es solo hasta el ecuador de la esfera en el espacio de 4 dimensiones.

120 monkeys. This isn't actually the whole thing. So this is only up to the equator of the sphere in 4-dimensional space.

Así que esto solo muestra el hiperhemisferio sur,

So this is only showing the southern

hemi-hiperesfera, lo que sea

hyper-hemisphere, hemi-hypersphere, whatever

Entonces debería haber más monos aquí.

So there should be more monkeys out here.

Pueden ver que intentan agarrarse a las cosas, pero ya no hay más monos.

You can see like, they're trying to grab on to things, but there are no more monkeys out there.

Simplemente, sería enorme, pero está bien, así que son como

Just, it would get enormous, but okay, so it was like

cadenas de monos Este tiene una cadena de diez. Y de nuevo, puedes, puedes hacer estas animaciones donde

chains of monkeys. This one has a chain of ten. And again, you can, you can do these animations where

esos monos se mueven lentamente a lo largo de esas cadenas, girando sobre la marcha. Y estos muestran diferentes simetrías de cuatro dimensiones

those monkeys are sort of slowly moving along those chains, twisting as they go. And these are showing different four-dimensional symmetries

que realmente no existen en el espacio tridimensional.

that don't really exist in three-dimensional space.

Incluso por qué, ya sabes, esta cosa,

Even why, you know, this thing,

en realidad no es justo, porque sabes que hay diferentes,

it's not actually fair, because you know there's different,

como que hay seis abolladuras sacadas de esto, y hay una, y sabes, olvidando todo eso, supongo

like there's six dents taken out of this, and there's one, and you know, forgetting all that, suppose

era un ordinario, ya sabes, solo un cubo matemático perfecto,

it was an ordinary, you know, just a perfect mathematical cube,

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