The essence of calculusYouTube↗  IA↗(long shot)
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Describe your problem in detail if it's not obvious

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[INTRO MUSIC]
L'arte del fare la matematica è trovare quel caso speciale che contiene tutte i semi della generalità
Hey everyone, Grant here. This is the first video in a series on the essence of calculus.
Ciao a tutti! Grant qui. Questo è il primo video di una serie sull'essenza del calcolo infinitesimale.
and I'll be publishing the following videos once per day for the next 10 days.
e pubblicherò questi video una volta al giorno per i prossimi 10 giorni.
The goal here, as the name suggests, is to really get the heart of the subject out
Lo scopo, come il nome suggerisce, è di arrivare al cuore della materia
in one binge watchable set. But with a topic that's as broad as calculus.
in una serie guardabile tutta in una volta su un argomento così grande come il C.I.
there's a lot of things that can mean. So, here's what I've in my mind specifically.
Ci sono molte cose che possono essere importanti, questo è cos'ho in mente
Calculus has a lot of rules and formulas which are often presented as
Il C.I. ha un sacco di regole e formule che sono molto spesso presentate come
things to be memorised.
cose da memorizzare
Lots of derivative formulas, the product rule, the chain rule, implicit differentiation,
Formule di derivazione, regole sul prodotto, regola della catena e differenziazione implicita
the fact that integrals and derivatives are opposite, Taylor
il fatto che integrali e derivate sono opposti, serie di Taylor
series; just a lot of things like that.
un sacco di cose del genere.
And my goal is for you to come away
Il mio obiettivo è di farti finire la serie
feeling like you could have invented
sentendoti come se tu potessi aver inventato
calculus yourself. That is, cover all
il C.I. da solo, coprendo tutte
those core ideas, but in a way that makes
le idee principali ma in un modo
clear where they actually come from and
che renda chiaro da dove vengono e
what they really mean using an
cosa significano realmente usando un
all-around visual approach. Inventing
approccio completamente visuale. Inventare
math is no joke, and there is a
matematica non è uno scherzo e ci sono
difference between being told why
differenze tra sentirsi dire perché
something's true and actually generating
qualcosa è vero e generarlo
it from scratch. But at all points I want
da zero, ma in ogni momento voglio
you to think to yourself if you were an
che tu pensi a te stesso come se fossi uno
early mathematician, pondering these
dei primi matematici a ponderare queste
ideas and drawing out the right diagrams,
idee e a disegnare i diagrammi giusti
does it feel reasonable that you could
suona ragionevole che tu possa
have stumbled across these truths yourself? In this initial video, I want to
essere inciampato da solo in queste verità in questo video iniziale voglio
show how you might stumble into the core
mostrarti come potresti inciampare nelle idee
ideas of calculus by thinking very
principali del C.I. pensando molto
deeply about one specific bit of
profondamente a un pezzo
geometry: the area of a circle. Maybe you
di geometria dell'area del cerchio. Forse
know that this is pi times its radius
saprai che è [pi] moltiplicato il suo raggio
squared, but why? Is there a nice way to
alla seconda, ma perché? C'è un modo
think about where this formula comes from?
per pensare da dove salta fuori
Well, contemplating this problem and
questa formula?
leaving yourself open to exploring the
Ragionare su questo problema e rimanere aperto a esplorare
interesting thoughts that come about can
i pensieri interessanti che ne derivano può
actually lead you to a glimpse of three
guidarti a dare un'occhiata a
big ideas in calculus: integrals,
grandi idee del C.I.; Integrali
derivatives, and the fact that they're opposites.
derivate e il fatto che sono opposti.
But the story starts more simply—just
La storia inizia semplicemente. Solo
you and a circle; let's say with radius three.
e un cerchio con raggio
You're trying to figure out its
3 e stai cercando di calcolare la sua
area, and after going through a lot of
area e dopo un sacco di
paper trying different ways to chop up
prove cercando modi diversi di tagliarlo
and rearrange the pieces of that area,
e arrangiare i pezzi dell'area
many of which might lead to their own
molti dei quali lasciano spazio a loro
interesting observations, maybe you try
osservazioni interessanti. Forse testi
out the idea of slicing up the circle
l'idea di dividerlo in
into many concentric rings. This should
molti cerchi concentrici, questo dovrebbe
seem promising because it respects the
essere promettente perché rispetta la
symmetry of the circle, and math has a
simmetria del cerchio e la matematica ha
tendency to reward you when you respect
la tendeza a ricompensarti quando rispetti
its symmetries. Let's take one of those
le sue simmetrie. Diamo un'occhiata a uno di questi
rings which has some inner radius R
anelli, con raggio interno R
that's between 0 and 3.
compreso tra 0 & 3. Se possiamo trovare una
If we can find a nice expression for the area of each
buona espressione dell'area di ogni
ring like this one, and if we have a nice
anello come questo e se abbiamo un buon modo
way to add them all up, it might lead us
per sommarli tutti, potrebbe portarci
to an understanding of the full circle's area.
a una comprensione dell'area del cerchio completo. Forse inizi immaginando
Maybe you start by imagining straightening out this ring.
di raddrizzare questo anello
And you could try thinking through
e potresti pensare a che forma è
exactly what this new shape is and what
esattamente e a quale
its area should be, but for simplicity
dovrebbe essere la sua area? Per semplicità
let's just approximate it as a rectangle.
approssimiamola a un rettangolo
The width of that rectangle is the
la larghezza del rettangolo è la
circumference of the original ring, which
circonferenza del cerchio originale che
is two pi times R. Right? I mean that's
è 2[pi]R. Giusto? Questa è
essentially the definition of pi; and its
essenzialmente la definizione di [pi] e lo
thickness? Well that depends on how
spessore? Quello dipende da quanto
finely you chopped up the circle in the
finemente hai diviso il cerchio in
first place, which was kind of arbitrary.
primo luogo, che è stata una decisione arbitraria.
In the spirit of using what will come to
Per usare quella che più avanti sarà la
be standard calculus notation, let's call
notazione standard del C.I. chiamiamo
that thickness dr, for a tiny difference
quello spessore dr per una piccola differenza
in the radius from one ring to the next.
nel raggio da un anello all'altro.
Maybe you think of it as something like 0.1. So, approximating this unwrapped ring
Magari immagini sia qualcosa tipo 0.1 Quindi approssimando questo anello srotolato
as a thin rectangle, its area is 2 pi
come un sottile reggangolo la sua area è 2[pi] moltiplicato R(raggio)
times R, the radius, times dr, the
moltiplicato dr(spessore)
little thickness. And even though that's
E nonostante non sia perfetto
not perfect, for smaller and smaller
Per dr sempre più piccoli
choices of dr, this is actually going to
Questo sarà
be a better and better approximation for
una sempre migliore approssimazione per
that area, since the top and the bottom
quell'area. Dato che la cima e il fondo
sides of this shape are going to get
di questa forma saranno sempre più
closer and closer to being exactly the
vicini ad essere della
same length. So let's just move forward
stessa lunghezza. Andiamo avanti
with this approximation, keeping in the
con quest'approssimazione tenendo
back of our minds that it's slightly
in mente che è leggermente
wrong, but it's going to become more
sbagliata ma che diventerà via via
accurate for smaller and smaller choices
più accurata per scelte sempre più piccole
of dr. That is, if we slice up the circle
di dr. Cioè se dividiamo il cerchio
into thinner and thinner rings. So just
in anelli sempre più sottili. Quindi per
to sum up where we are, you've broken up
ricapitolare dove siamo, hai diviso
the area of the circle into all of these
l'area del cerchio in tutti questi
rings, and you're approximating the area
anelli e stai approssimando l'area
of each one of those as two pi times its
di ognuno di questi come 2 volte [pi] moltiplicato
radius times dr, where the specific
il suo raggio moltiplicato dr. Dove il valore specifico
value for that inner radius ranges from
del raggio interno varia da
zero, for the smallest ring, up to just
zero per l'anello più piccolo
under three, for the biggest ring, spaced
fino a poco meno di tre, per il cerchio più grande
out by whatever the thickness is that you
largo tanto quanto lo spessore che hai
choose for dr—something like 0.1.
scelto per dr, qualcosa tipo 0.1 e nota che lo spazio
And notice that the spacing between the values here corresponds to
tra i valori corrisponde allo
the thickness dr of each ring, the
spessore dr di ogni anello, la
difference in radius from one ring to
differenza in raggio da un anello a quello
the next. In fact, a nice way to think
dopo. Un modo carino di pensare
about the rectangles approximating each
ai rettangoli che approssimano l'area di ogni
ring's area is to fit them all up-right
anello è di metterli tutti dritti
side by side along this axis. Each one
affiancati, lungo questo asse ognuno
has a thickness dr, which is why they
ha spessore dr che è perché
fit so snugly right there together, and
the height of any one of these
l'altezza di ognuno di questi
rectangles sitting above some specific
rettangoli sopra a uno specifico
value of R—like 0.6—is
valori di R come 0.6 è
exactly 2 pi times
esattamente 2 pi moltiplicato
that value. That's the circumference of the
quel valore. È la circonferenza
corresponding ring that this rectangle approximates. Pictures like this two pi R
dell'anello approssimato da questo rettangolo Con immagini come questa 2*Pi*R
can actually get kind of tall for the
può essere alto per questo
screen. I mean 2 times pi times 3
schermo. 2*[pi]*3
is around 19, so let's just throw
è circa 19 quindi mettiamo
up a y-axis that's scaled a little
un asse y che scali in modo leggermente diverso
differently, so that we can actually fit
così possiamo far vedere
all of these rectangles on the screen.
tutti questi rettangoli sullo schermo. Un
A nice way to think about this setup is to
modo carino di pensare a questo setup è di
draw the graph of two pi r which is a
disegnare il grafico di 2*[pi]*r che è
straight line that has a slope two pi.
una linea retta con inclinazione 2*[pi]
Each of these rectangles extends up to
ognuno di questi rettangoli si estende fino al
the point where it just barely touches that graph.
punto dove sfiora quel grafico. Ancora, stiamo approssimando,
Again we're being approximate here. Each of these rectangles only
ciascuno di questi rettangoli
approximates the area of the
approssima l'area dell'
corresponding ring from the circle, but
anello corrispondente dal cerchio ma
remember, that approximation, 2 pi R
ricorda che l'approssimazione 2*[pi]*r*dr
times dr, gets less and less wrong as
diventa via via meno sbagliato
the size of dr gets smaller and smaller.
al diminuire di dr
And this has a very beautiful meaning
E questo ha un significato molto bello
when we're looking at the sum of the
quando stiamo guardando alla somma delle
areas of all those rectangles.
aree di tutti quei rettangoli
For smaller and smaller choices of dr, you
Per scelte sempre più piccole di dr, puoi
might at first think that that turns the
all'inizio pensare che il problema diventi
problem into a monstrously large sum.
una somma mostruosamente grande
I mean there's many many rectangles to
ci sono così tanti rettangoli da considerare
consider and the decimal precision of
e la precisione decimale di
each one of their areas is going to be
ognuno sarà un
an absolute nightmare! But notice; all of
incubo assoluto! Ma nota che
their areas in aggregate just looks like
tutte le loro aree aggregate sono solo
the area under a graph, and that portion
l'area sotto il grafico e quella porzione
under the graph is just a triangle.
sotto il grafico è un triangolo
A triangle with a base of 3 and a height
Un triangolo di base 3 e altezza
that's 2 pi times 3. So its area, 1/2
di 2*[pi]*3 quindi è area: 1/2 per
base times height, works out to be
base per altezza è esattamente
exactly pi times 3 squared; or if the
[pi] moltiplicato 3^2 o se
radius of our original circle was some
il raggio del nostro cercio fosse
other value capital R that area comes
un altro valore R, quell'area sarebbe
out to be pi times R squared, and that's
pi*R^2 e questa è
the formula for the area of a circle!
la formula per l'area del cerchio!
It doesn't matter who you are or what you
Non importa chi sei o cosa
typically think of math that right there
pensi tipicamente della matematica, questo
is a beautiful argument.
è un bel risultato
But if you want to think like a
Ma se vuoi pensare come un
mathematician here,
matematico
you don't just care about finding the
non ti interessa trovare solamente la
answer; you care about developing general
risposta, ti interessa sviluppare uno strumenti e
problem-solving tools and techniques.
tecniche generali per risolvere problemi.
So take a moment to meditate on
Prenditi un momento per pensare a cosa
what exactly just happened and why it worked,
è appena successo e perché ha funzionato
cause the way that we transitioned
perché il modo in cui siamo passati
from something approximate to something
da qualcosa di approssimato a qualcosa
precise is actually pretty subtle, and it
di preciso è piuttosto subdolo e
cuts deep to what calculus is all about.
è profondamente inerente con quello che è il C.I.
You had this problem that can be
Hai questo problema che può essere
approximated with the sum of many small
approssimato con la somma di molti piccoli
numbers, each of which looked like 2 pi R
numeri ciascuno dei quali assomiglia a 2*PI*R
times dr for values of R ranging
moltiplicati per dr per valori di R che vanno
between 0 and 3.
da 0 & 3
Remember, the small number dr here
Ricorda che il piccolo numero dr qui
represents our choice for the thickness
rappresenta la nostra scelta per lo spessore
of each ring—for example 0.1. And there
di ogni anello, per esempio 0.1 e ci
are two important things to note here.
sono due cose importanti da notare
First of all, not only is dr a factor in
primo, non solo dr è un fattore
the quantities we're adding up—2 pi R
delle quantità che stiamo sommando 2*pi*R*dr
times dr—it also gives the spacing
da anche lo spazio
between the different values of R.
tra i differenti valori di R e
And secondly, the smaller our choice for dr
in seconda istanza, più piccolo dr è
the better the approximation.
migliore è l'approssimazione
Adding all of those numbers could be seen in a
Addizionare tutti questi numeri può essere visto in modo
different pretty clever way as adding
molto furbo come addizionare
the areas of many thin rectangles
l'area di molti sottili rettangoli
sitting underneath a graph. The graph of
che si trovano sotto il grafico. Il grafico
the function 2 pi R in this case.
della funzione 2*pi*r in questo caso e
Then—and this is key—by considering smaller
questo è centrale, considerando via via
and smaller choices for dr corresponding
scelte più piccole di dr che corrispondono
to better and better approximations of the original problem, this sum, thought
a via via migliori approssimazioni del problema originale. Questa somma, pensata
of as the aggregate area of those
come l'area aggregata dei
rectangles, approaches the area under the
rettangoli, si avvicina all'area sotto al
graph; and because of that, you can
grafico, e per via di questo puoi
conclude that the answer to the original
concludere che la risposta alla domanda
question in full un-approximated
originale con approssimazione di precione
precision is exactly the same as the
totale è esattamente la stessa
area underneath this graph.
dell'area sotto questo grafico.
A lot of other hard problems in math and
Un sacco di problemi difficili in matematica e
science can be broken down and
nelle scienza può essere divisa e
approximated as the sum of many small
approssimata come la somma di molte piccole
quantities. Things like figuring out how
quantità. Cose come calcolare quanto
far a car has traveled based on its
distante ha viaggiato una macchina basandosi sulla sua
velocity at each point in time. In a case
velocità ad ogni punto nel tempo, in un caso
like that you might range through many
come questo potresti scorrere attraverso molti
different points in time and at each one
punti nel tempo e ad ognuno
multiply the velocity at that time times
moltiplicare la velocità a quel tempo per
a tiny change in time, dt, which would
una piccola variazione nel tempo dt che
give the corresponding little bit of
darebbe il piccolo corrispondente pezzo
distance traveled during that little
di distanza percorsa durante quel piccolo
time. I'll talk through the details of
tempo. Parlerò dei dettagli di
examples like this later in the series,
esempi come questi più avanti nella serie
but at a high level many of these types
ma ad un alto livello molti di questi tipi
of problems turn out to be equivalent to
di problemi sono equivalenti a
finding the area under some graph.
trovare l'area sotto un grafico.
In much the same way that our circle
Quasi allo stesso modo del nostro problema
problem did. This happens whenever the
del cerchio. Questo avviene quando
quantities that you're adding up,
le quantità che stai sommando,
the one whose sum approximates the
quelle la cui somma approssima
original problem, can be thought of as
il problema originale, possono essere pensate come
the areas of many thin rectangles
l'are di molti sottili rettangoli
sitting side-by-side like this.
affiancati come qui sopra.
If finer and finer approximations of the
Se approssimazioni sempre più fini
original problem correspond to thinner
del problema originale corrispondono
and thinner rings, then the original
ad anelli sempre più sottili allora il problema
problem is going to be equivalent to
originale sarà equivalente a trovare
finding the area under some graph.
l'area sotto un determinato grafico.
Again, this is an idea we'll see in more detail
Questa è un'idea che vedremo in dettaglio
later in the series, so don't worry if
più avanti nella serie, quindi non preoccuparti
it's not 100% clear right now.
se non è chiara al 100% al momento.
The point now is that you, as the
Il punto adesso è che tu
mathematician having just solved a
come un matematico, avendo risolto
problem by reframing it as the area
un problema riportandolo al trovare un'area
under a graph, might start thinking about
sotto un grafico, potresti pensare a come
how to find the areas under other graphs.
trovare le aree sotto altri grafici.
I mean we were lucky in the circle
Siamo stati fortunati che nel problema
problem that the relevant area turned
del cerchio l'area rilevante è saltata fuori
out to be a triangle. But imagine instead
come un triangolo. Ma immagina invece
something like a parabola, the graph of x
qualcosa come una parabola: il grafico di
squared. What's the area underneath that
x alla seconda, qual è l'area sotto
curve say between the values of x equals
quella curva tra diciamo i valori di x uguale a
zero and x equals 3? Well, it's hard
0 e x uguale a 3. È difficile
to think about, right? And let me reframe
pensarci. Lasciamo porre la questione
that question in a slightly different way:
in un modo leggermente diverso
we'll fix that left endpoint in place at
Fissiamo il punto a sinistra a
zero and let the right endpoint vary.
x uguale a 0 e lasciamo variare il punto a destra.
Are you able to find a function A(x)
Puoi trovare una funziona A(x)
that gives you the area under this
che ti da l'area sotto questa
parabola between 0 and x? A function
parabola tra 0 e X? Una funzione
A(x) like this is called an integral of
A(x) come questa si chiama integrale di
x-squared. Calculus holds within it the
x alla seconda. Il C.I ha
tools to figure out what an integral
gli strumenti per trovare qual è un integrale
like this is, but right now it's just a
come questo ma per adesso è solo
mystery function to us. We know it gives
una funzione misteriosa per noi. Sappiamo che ci da
the area under the graph of x squared
l'area sotto il grafico di x alla seconda
between some fixed left point and some
tra un punto fissato a sinistra e qualche
variable right point, but we don't know
punto destro variabile. Ma non sappiamo
what it is. And again, the reason we care
quale sia e ancora la ragione per cui ci interessa
about this kind of question is not just
questo tipo di questione non è solo per
for the sake of asking hard geometry
il piacere di chiedere problemi complessi di geometria
questions; it's because many practical
È perché molti problemi
problems that can be approximated by
pratici possono essere approssimati
adding up a large number of small things
addizionando un largo numero di cose piccole
can be reframed as a question about an
possono essere posti come chiedere di
area under a certain graph. And I'll tell
un'area sotto un certo grafico. E dirò
you right now that finding this area
subito che trovare quest'area, questa funzione integrale,
this integral function, is genuinely hard
è genuinamente difficile
and whenever you come across a genuinely
e quando incontri una domanda genuinamente
hard question in math a good policy is
difficile in matematica, una buona politica è
to not try too hard to get at the answer
non cercare troppo di avere una risposta
directly, since usually you just end up
diretta. Altrimenti di solito sbatteresti
banging your head against a wall.
soltanto la testa contro il muero. Invece
Instead, play around with the idea, with no
gioca con l'idea. Senza goal
particular goal in mind. Spend some time
particolari in mente, spendi un po' di tempo
building up familiarity with the
a creare familiarità con le relazioni
interplay between the function defining
tra la funzione definente
the graph, in this case x squared, and the
il grafo, in questo caso x alla seconda e la
function giving the area.
funzione che da l'area.
In that playful spirit if you're lucky
In quello spirito giocoso se sei fortunato
here's something that you might notice
ecco qualcosa che potresti notare
When you slightly increase x by some
Quando incrementi X di un
tiny nudge dx look at the resulting
pochino dx, guarda al cambiamento
change in area represented with this
nell'area rappresentata da questa
sliver that I'm going to call dA for a
lama che chiamerò dA, per una piccola
tiny difference in area. That sliver can
differenza in area. Quella lama può
be pretty well approximated with a
essere approssimata da un rettangolo
rectangle one whose height is x squared
la cui altezza è x^2
and whose width is dx, and the smaller
e la cui larghezza è dx e più piccolo
the size of that nudge dx the more that
è dx, più quella
sliver actually looks like a rectangle.
lama assomiglia a un rettangolo.
Now this gives us an interesting way to
Questo ci da un modo interessante
think about how A(x) is related to
di pensare a come A(x) è collegato a
x-squared. A change to the output of A,
x alla seconda. Un cambio nell'output di
this little dA, is about equal to x
questo piccolo di da è circa uguale a x
squared, where X is whatever input you
alla seconda, dove X è qualsiasi input da cui sei
started at, times dx,
partito moltiplicato per dx
the little nudge to the input that
Il piccolo spostamento dell'input che
caused A to change. Or rearranged dA
ha causato il cambiamento di A. Oppure, risistemando, da
divided by dx, the ratio of a tiny change
diviso dx, la proporzionalità di un piccolo cambiamento
in A to the tiny change in x that caused it, is approximately whatever x squared
in A rispetto a un piccolo cambiamento in X che che lo ha causato è approssimativamente il valore di X
is at that point, and that's an
in quel punto, e questa è
approximation that should get better and
un'approssimazione che dovrebbe diventare migliore per
better for smaller and smaller choices
valori sempre più piccoli di
of dx. In other words, we don't know what
dx. In altre parole non sappiamo
A(x) is; that remains a mystery, but we
cos'è A(x). Rimane un mistero ma noi
do know a property that this mystery
sappiamo una proprietà che questa funzione
function must have. When you look at two
misteriosa deve avere. Quando si guarda a due punti
nearby points for example 3 & 3.001
vicini, per esempio 3 & 3.001
consider the change to the output of A
considera il cambiamento dell'output di a
between those two points—the difference
tra quei due punti. La difference
between the mystery function evaluated
tra la funzione misteriosa valutata
at 3.001 and evaluated at 3. That change
a 3.001 e valutata a 3. Quel cambiamento
divided by the difference in the input
diviso dalla differenza tra i valori in
values, which in this case is 0.001,
input che in questo caso è 0.001
should be about equal to the value of x
dovrebbe essere circa uguale al valore di x
squared for the starting input—in this
alla seconda per l'input di start. In questo
case 3 squared.
caso 3 alla seconda
And this relationship between tiny
E questa relazione tra piccoli
changes to the mystery function and the
cambiamenti della funzione misteriosa e
values of x-squared itself is true at
valori di x alla seconda è vera a
all inputs not just 3. That doesn't
tutti i punti e non solo 3, questo non
immediately tell us how to find A(x),
ci dite immediatamente come trovare A(x)
but it provides a very strong clue that
ma ci da un suggerimento forte con
we can work with.
cui possiamo lavorare.
and there's nothing special about the
E non c'è niente di speciale nel
graph x squared here. Any function
grafico di x alla seconda. Tutte le funzioni
defined as the area under some graph has
definite come l'area sotto un grafico
this property that dA divided by
hanno questa proprietà che da diviso dx
dx—a slight nudge to the output of A divided
,un piccolo spostamento nell'output di a diviso un piccolo
by a slight nudge to the input that
spostamento dell'intpu che
caused it—is about equal to the height
l'ha causato è circa uguale all'altezza
of the graph at that point.
del grafico in quel punto.
Again, that's an approximation that gets better and
È un'approssimazione che migliora
better for smaller choices of dx.
per dx sempre più piccoli e
And here, we're stumbling into another big
qui inciampiamo contro un'altra grande idea
idea from calculus: "Derivatives". This
del C.I. Le Derivate, questa
ratio dA divided by dx is called the
proporzionalità: da diviso da dx è chiamata
derivative of A, or more technically the
derivata di o o più tecnicamente la
derivative is whatever this ratio
derivata è quello a cui questa proporzione
approaches as dx gets smaller and
diventa quando dx diventa via via più
smaller. Although, I dive much more deeply
piccola. Analizzerò molto più approfonditamente
into the idea of a derivative in the
l'idea della derivata nel
next video, but loosely speaking it's a
prossimo video, ma approssimativamente
measure of how sensitive a function is
la misura di quanto è sensibile la funzione
to small changes in its input. You'll see
a piccoli cambiamenti del suo input. Vedrai
as the series goes on that there are
mentre la serie va avanti che ci sono molti
many many ways that you can visualize a
modi in cui puoi visualizzare una
derivative depending on what function
derivata, dipendenti da quale funzione
you're looking at and how you think
stai guardando e a come pensi
about tiny nudges to its output.
ai piccoli spostamenti del suo output
And we care about derivatives because
E ci interessano le derivate perché
they help us solve problems, and in our
ci aiutano a risolvere problemi e nella nostra
little exploration here, we already have
piccola esplorazione, abbiamo già un
a slight glimpse of one way that they're
piccolo scorcio di uno dei modi
used. They are the key to solving
in cui sono usate. Sono la chiave per rispondere
integral questions, problems that require
a domande integrali. Problemi che richiedono
finding the area under a curve.
di trovare l'area sotto una curva. Quando
Once you gain enough familiarity with computing
guadagnerai una certa familiarità con la computazione delle
derivatives, you'll be able to look at a
derivate sarai in grado di guardare a
situation like this one where you don't
una situazione come questa dove non sai
know what a function is but you do know
che funzione è ma sai
that its derivative should be x squared
che la sua derivata dovrà essere x alla seconda
and from that reverse engineer what the
e da quello ricavare che
function must be. And this back and forth
funzione dev'essere. Questo avanti e indietro
between integrals and derivatives where
tra integrali e derivate dove la
the derivative of a function for the
derivata di una funzione per
area under a graph gives you back the
l'area sotto un grafico da indietro
function defining the graph itself is
la funzione definente il grafico è il
called the "Fundamental theorem of
Teorema fondamentale del calcolo infinitesimale
calculus". It ties together the two big
Lega le due grandi idee
ideas of integrals and derivatives, and
di integrali e derivate e
it shows how, in some sense, each one is
mostra come in un certo senso ciascuna è
an inverse of the other.
l'inversa dell'altra
All of this is only a high-level view:
Tutto questo è solo una visione di alto livello,
just a peek at some of the core ideas
un'occhiata ad alcune delle idee principali
that emerge in calculus, and what follows
che emergono nel C.I., e quello che segue
in the series are the details for
nella serie sono i dettagli per
derivatives and integrals and more. At all points I want you to feel that you
derivata, integrali e altro. A tutti i punti voglio che tu ti senta
could have invented calculus yourself.
come se tu potessi aver inventato il C.I. da solo
That if you drew the right pictures and
Che se disegni le giuste immagini e
played with each idea in just the right
giochi con ogni idea nel modo giusto
way, these formulas and rules and
queste formule, regole e
constructs that are presented could have
costrutti che sono presentati potrebbero
just as easily popped out naturally from
facilmente essere saltati fuori naturalmente dalla
your own explorations, and before you go
tua personale esplorazione, e prima che tu vada
it would feel wrong not to give the
sarebbe sbagliato non dare alle
people who supported this series on
persone che hanno supportato queste serie su
Patreon a well-deserved thanks both for
Patreon un meritato grazie, sia per il
their financial backing as well as for
loro supporto finanziario e i
the suggestions they gave while the
suggerimenti che hanno dati mentre
series was being developed.
la serie è stata sviluppata.
You see supporters got early access to
Supporters ottengono un accesso prioritario ai
the videos as I made them, and they'll
video mentre li faccio e
continue to get early access for future
continueranno ad averlo per future serie
essence of type series and as a thanks
sull'essenza e come grazie
to the community
alla comunità
I keep ads off of new videos for their
terrò la pubblicità disabilitata sui nuovi video per il loro
first month. I'm still astounded that I
primo mese. Sono ancora stupito di
can spend time working on videos like
poter spendere tempo lavorando su video come questi
these, and in a very direct way you are
e in modo molto diretto voi siete quelli
the one to thank for that.
da ringraziare per questo.
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