What does it feel like to invent math?YouTube↗  IA↗(long shot)
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Take 1+2+4+8 and continue on and on adding the next power of 2 up to infinity.
Nimm 1+2+4+8 und addiere immer die nächste Zweierpotenz bis Unendlich.
This might seem crazy, but there’s a sense in which this infinite sum equals -1.
Das klingt jetzt vielleicht verrückt, aber es gibt eine Betrachungsweise durch die diese unendliche Summe -1 ergibt.
If you’re like me, this feels strange or obviously false when you first see it
Wenn du so bist wie ich, fühlt sich das erst mal komisch oder offentsichtlich falsch an.
but I promise you, by the end of this video you and I will make it make sense.
aber ich verspreche dir, dass es Ende dieses Videos Sinn ergeben wird.
To do this, we need to back up, and you and I will walk through what it might feel like
Hierfür, werden wir ein paar Schritte zurück gehen, und nachvollziehen wie es sich anfühlen könnte,
to discover convergent infinite sums, the ones that at least seem to make sense
konvergente unendliche Summen zu entdecken, die wenigstens so erscheinen als würden sie Sinn ergeben.
to define what they really mean, then to discover this crazy equation
Um zu definieren was diese wirklich bedeuten und dann diese verrückte Gleichung zu entdecken
and stumble upon new forms of math where it makes sense.
und auf neue Formen der Mathematik zu stoßen, in welchen sie Sinn ergibt.
Imagine that you are an early mathematician in the process of discovering that 1/2 + 1/4
Stell dir vor, dass du ein früher Mathematiker bist, der gerade dabei ist, herauszufinden, dass 1/2 + 1/4
+ 1/8 + 1/16, on and on up to infinity, whatever that means, equals 1, and imagine you needed
+ 1/8 + 1/16, und immer weiter bis Unendlich, was auch immer das bedeutet, gleich 1 ist und du
to define what it means to add infinitely many things for your friends to take you seriously.
definieren müsstest, was es bedeutet, unendlich viele Dinge zu addieren, damit dich deine Freunde Ernst nehmen.
What would that feel like? Frankly I have no idea, and I imagine that more than anything
Wie würde sich das anfühlen? Ehrlich gesagt, habe ich keine Ahnung, aber ich stelle mir vor, dass es sich haupsächlich
it feels like being wrong or stuck most of the time
so anfühlt, als würde man die meiste Zeit falsch liegen.
but I’ll give my best guess at one way the successful parts of it might go.
Trotzdem werde ich euch meine Vorstellung davon zeigen, wie die erfolgreichen Versuche aussehen könnten.
One day you are pondering the nature of distances between objects, and how no matter how close
Eines Tages denkst du über die Natur der Distanzen zwischen zwei Objekten nach und dass egal wie nah sie sind,
two things are, it seems thast they can always be brought a little bit closer together without touching
man sie immer noch ein bisschen weiter zusammen bringen kann ohne dass sie sich berühren
Fond of math as you are, you want to capture this paradoxical feeling with numbers
Weil du Mathe magst, möchtest du dieses paradoxe Gefühl mit Zahlen erfassen
so you imagine placing the two objects on the number line, the first at 0, the second at 1
also stellst du dir vor, die beiden Objekte auf der Zahlenlinie zu plazieren. Die erste bei 0 und die zweite bei 1.
Then you march the first object towards the second such that with each step
Dann bewegst du das erste Objekt in Richtung des zweiten, so dass bei jedem Schritt
the distance between them is cut in half.
der Abstand zwischen den beiden halbiert wird.
You keep track of the numbers this object touches during its march
Du merkst dir die Zahlen die dieses Objekt während seiner Annäherung berührt
writing down 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, and so on.
und notierst dir 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, und so weiter.
That is, each number is naturally written as a slightly longer sum with one more power of 2 in it. As such,
Das heißt, jede Zahl wird natürlicherweise als eine etwas längere Summe, mit immer einer weiteren zweier Potenz darin, geschrieben. Deswegen
you are tempted to say that if these numbers approach anything, we should be able to write that thing as a sum
du bist in der Versuchung zu sagen, dass, wenn sich diese Zahlen an etwas annähern, man in der Lage sein sollte, diese Sache als eine Summe zu schreiben
that contains the reciprocals of every power of 2. On the other hand, we can see geometrically
die den Kehrwert von allen Zweierpotenzen enthält. Auf der anderen Seite können wir geometrisch sehen
that these numbers approach 1, so what you want to say is that 1 and some kind of infinite sum
dass sich diese Zahlen an 1 annähern. Was Sie also sagen wollen ist, dass 1 und eine Art unendliche Summe
are the same thing.
das gleiche sind.
If your education was too formal, you’d write off this statement as ridiculous.
Wenn deine Ausbildung zu formal war, würdest du diese Aussage als lächerlich abschreiben.
Clearly you can’t add infinitely many things.
Offensichtlich kann man nicht unendlich viele Dinge addieren.
No human, computer, or physical thing ever could perform such a task.
Kein Mensch, Computer oder Physikalisches Objekt überhaupt eine könnte eine solche Aufgabe durchführen.
If, however, you approach math with a healthy irreverence, you’ll stand brave in the face
Wenn du der Mathematik jedoch mit einer gesunden Respektlosigkeit begegnest, wirst du tapfer da stehen
of ridiculousness and try to make sense out of this nonsense that you wrote down, since
vor dieser Lächerlichkeit und versuchen, einen Sinn in diesem Unsinn zu finden, den du dir da notiert hast.
it kind of feels like nature gave it to you.
Es fühlt sich ein bisschen so an als hätte dir die Natur dieses Problem gegeben.
So how exactly do you, dear mathematician, go about defining infinite sums?
Wie genau wirst du, lieber Mathematiker, unendliche Summen definieren?
Well-practiced in math that you are, you know that finding the right definitions is less
Gut geübt in der Mathematik, wie du es bist, weist du, dass die richtigen Definitionen zu finden, weniger
about generating new thoughts than it is about dissecting old thoughts, so you go back to
darum geht neue Ideen zu Generieren, als darum alte Ideen auseinander zu nehmen. Darum gehst du zurück dahin
how you came accross this fuzzy discovery.
wie du diese komische Entdeckung gemacht hast
At no point did you actually perform infinitely many operations.
Zu keinem Zeitpunkt hast du tatsächlich unendlich viele Operationen durchgeführt.
You had a list of numbers, a list that could keep going forever if you had the time, and
Du hattest eine Liste von Zahlen. Eine Liste die für immer weiter gehen könnte, wenn du die Zeit hättest und
each number came from a perfectly reasonable finite sum.
jede Zahl kam von einer ganz normalen endlichen Summe.
You noticed that the numbers in this list approach 1, but what do you mean by “approach”?
Du bemerkst, dass sich die Zahlen in dieser Liste 1 "annähern", aber was meinst du mit "annähern"?
It’s not just that the distance between each number and 1 gets smaller, because for
Es ist nicht nur, dass der Abstand zu 1 mit jeder Zahl kleiner wird,
that matter the distance between each number and 2 also gets smaller.
weil so gesehen wird auch der Abstand zu 2 mit jeder Zahl immer kleiner.
After thinking about it, you realize what makes 1 special is that your numbers can get
Nach etwas Nachdenken, fällt dir auf was an der 1 so besonders ist, ist das die Zahlen
arbitrarily close to 1.
beliebig nahe an die 1 kommen können.
Which is to say, no matter how small your desired distance, 1/100th, 1/1,000,000th,
Das bedeutet, dass egal wie klein Ihr gewünschter Abstand, 1 / 100, 1 / 1.000.000,
or one over the largest number you can write down, if you go down the list long enough,
oder eins durch die größte Zahl die du schreiben kannst, wenn du die Liste lang genug nach unten gehst,
the numbers will eventually fall within that tiny tiny distance of 1.
werden die Zahlen irgendwann in diesen winzigen winzigen Abstand zu 1 fallen.
Retrospectively this might seem like the clear way to solidify what you mean by “approach”,
Rückblickend könnte dies wie die klare Art und Weise wirken zu verfestigen, was du mit „annähern“ meintest,
but as a first time endeavor it’s actually incredibly clever.
aber für eine erste Bemühung, ist das eigentlich schon unglaublich clever.
Now you pull out your pen and scribble down the definition of what it means for an infinite
Nun nimm dir einen Stift und kritzeln die Definition dessen, was es bedeutet, für eine
sum to equal some number, say X.
unendliche Summe gleich einer Zahl X zu sein.
It means that when you generate a list of numbers by cutting off your sum at finite
Es bedeutet, dass, wenn du eine Liste erzeugst , indem du ab irgendeinem endlichen Punkt aufhörst,
points, the numbers in this list approach X, in the sense that no matter how small a
die Zahlen in dieser Liste nähern sich an X, in dem Sinne als dass, egal wie klein eine
distance you choose, at some point down the list all the numbers start falling within
Distanz ist für die du sich entscheidest, ab einem gewissen Punkt in der Liste werden alle Werte unter
that distance of X.
diese Distanz X fallen.
In doing this, you just invented some math. But it never felt like you were pulling things
Dabei hast du grade etwas Mathematik erfunden. Aber es kam dir nie so vor als würdest du irgendetwas
out of thin air. You were just trying to justify what it was the universe gave you in the first place.
aus dem Nichts erfinden. Du hast nur versucht zu rechtfertigen was es war, dass das Universum dir gegeben hat
You might wonder if you can find other, more general truths about these infinite sums that
Vielleicht fragst du dich, ob du andere allgemeinere Wahrheiten über diese unendlichen Summen, die du gerade erfunden hast, finden kannst.
you just invented. To do so, you look for where you made any arbitrary decisions.
Dazu suche da, wo du willkürliche Entscheidungen getroffen hast
For instance, when you were shrinking the distance between your objects, cutting the
Als du zum beispiel den Abstand der beiden Objekte verringert hast, indem du
interval into pieces of size ½, ¼, etc., you could have chosen a proportion other than ½.
das Intervall in Stücke der Größe ½, ¼, usw. geschnitten hast, hättest du auch irgendeine andere Größe wählen können.
You could have instead cut your interval into pieces of size 9/10 and 1/10
Sie hätten stattdessen Stücke der Größe 9/10 und 1/10 wählen können
and then cut that rightmost piece into the same proportions
dann hätten Sie das rechte Intervall im gleichen Verhältnis teilen können
to get even smaller pieces of size 9/100 and 1/100
um auf die kleineren Stücke der Größe 9/100 und 1/100 zu kommen
then cut that tiny piece of size 1/100 similarly, continuing on and on, you’d see that
dann könntest du das winzige Stück der Größe 1/100 in ähnlicher Weise teilen und so weiter und so fort. Dann würdest du sehen, dass
9/10 + 9/100 + 9/1000 on and on up to infinity equals 1, a fact more popularly written as
9/10 + 9/100 + 9/1000 weiter und weiter bis ins Unendliche gleich gleich 1 ist, was man üblicherweise als
.9 repeating = 1.
.9 Periode = 1 schreibt.
To all of your friends that insist that this does not equal 1, and it just approaches it
Alle Ihre Freunden, die darauf bestehen, dass das nicht gleich 1 ist und sich nur annähert
you can now just smile because you know that with infinite sums, to approach and to equal
kannst du jetzt anlächeln, weil du weißt, dass bei unendlichen Summen "Annähern" und gleich sein
mean the same thing.
das Selbe bedeuten.
To be general about it, let’s say that you cut the interval into pieces of size p and
Um zu verallgemeinern, lass uns sagen, dass Sie ihr Intervall in Stücke der Größe P und
(1-p), where p represents any number between 0 and 1.
(1-P) teilen, wobei P eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 darstellt.
Cutting the piece of size p in similar proportions, we now get pieces of size p(1-p) and p^2.
Teilen wir das Stück der Größe P mit dem gleichen Verältniss, erhalten wir jetzt Stücke der Größe P * (1-P) und P².
Continuing in this fashion, always cutting up the rightmost piece into those same proportions,
Wenn wir das so fortsetzen und immer das aller rechte Stück mit dem gleichen Verältiniss teilen
you will find that (1-p)+p(1-p)+p^2(1-p), on and on always adding p to the next power
Wirst du herausfinden, dass wenn du bei (1-P) + P (1-P) + P ² (1-P) , auf und auf immer P mit der nächsthöheren Potentz
times (1-p), equals 1.
mal (1-P) addierst, das Ergebniss gleich 1 ist.
Dividing both sides by (1-p), we get this nice formula.
Dividieren wir beide Seiten durch (1-P), bekommen wir diese schöne Formel.
In this formula, the universe has offered a weird form of nonsense
Mit dieser Formel hat das Universum uns eine seltsame Form von Unsinn angeboten
Even though the way you discovered it only makes sense for values of p between 0 and 1
Auch wenn die Art und Weise Sie du erst entdeckt hast, die Formel nur Sinn für Werte von P zwischen 0 und 1 macht
the right hand side still makes sense when you replace p with any number, except maybe for 1.
die rechte Seite immer noch Sinn macht, wenn man P mit einer beliebigen Zahl, mit der Ausnahme vielleicht für 1 ersetzen.
For instance, plugging in -1, the equation reads 1-1+1-1 on and on forever
Zum Beispiel wenn man -1 in die Formel Steckt, ergibt die sich Gleichung 1-1+1-1 auf immer und ewig
alternating between the two, equals 1/2
, gleich 1/2
which feels both pretty silly and kind of like the only thing it could be.
das fühlt sich gleichzeitig ziemlich albern an und auch ein bisschen wie das Einzige, was es sein könnte.
Plugging in 2, the equation reads 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1
mit 2, lautet die Gleichung 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1
something which doesn’t even seem reasonable.
etwas, das nicht einmal vernünftig scheint.
On the one hand, rigor would dictate that you ignore these, since your definition of
Auf der einen Seite würde die Strenge dir vorschreiben, dass sowas zu ignorieren , da deine Definition von
infinite sums doesn’t apply in these cases. The list of numbers that you generate by cutting off the sum at finite points doesn’t approach anything.
unendliche Summen nicht in diesen Fällen gilt. Die Liste an Zahlen, nähert sich an gar nichts an.
But you are a mathematician, not a robot, so you don’t let the fact that something
Aber du bist ein Mathematiker, kein Roboter, so lässt du dich nicht durch die Tatsache, dass etwas
is nonsensical stop you.
unsinnig ist stoppen.
I will leave this sum for another day, so that we can jump directly into this monster.
Ich spare mir diese Summe für einen anderen Tag, so dass wir direkt in dieses Monster springen.
First, to clean things up, notice what you get when you cut off the sum at finite points:
Zuerst um die dinge klar zu stellen, achte darauf, was du erhältst, wenn du die Summe an endlichen Punkten abgeschneidest:
1, 3, 7, 15, 31. They are all one less than a power of 2.
1, 3, 7, 15, 31. Sie sind alle eins weniger als eine Zweierpotenz.
In general, when you add up the first n powers of 2, you get 2^{n+1} - 1, which this animation
In der Regel, wenn man die ersten Zweierpotenzen addieren erhält man 2 ^ {n + 1} - 1, was diese Animation
hopefully makes clear.
hoffentlich deutlich macht.
You decide to humor the universe and pretend that these numbers, all one less than a power
Du entscheidest, dem Universum seinen willen zu lassen und tust so, als ob diese Zahlen, die alle eins weniger als eine Zweierpotenz sind
of two, actually do approach -1.
tatsächlich -1 annähern.
It will prove to be cleaner if we add one to everything and say that the powers of two
Es wird sich als sauberer herausstellen, wenn wir überall 1 addieren und sagen, dass die Zweierpotenzen
approach zero.
gegen Null gehen.
Is there any way that this can make sense?
Gibt es eine Möglichkeit, dass das Sinn machen kann?
In effect, what you are trying to do is make this formula more general, by saying that
Im Prinzip, ist das was du zu tun versuchst, diese Formel so zu verallgemeinern,
it applies to all numbers, not just those between 0 and 1.
dass sie für alle Zahlen gilt und nicht nur für diejenigen zwischen 0 und 1.
Again, to make things more general you look for any place where you made an arbitrary choice.
Auch hier, um die Dinge zu verallgemeinern suche überall da wo du willkürliche Entscheidungen getroffen hast
Here, that place turns out to be very sneaky.
Hier diese Stelle erweist sich als sehr hinterlistig.
So sneaky, in fact, that it took mathematicians until the 20th century to find it. It’s
So hinterhältig, in der Tat, dass Mathematiker bis zum 20. Jahrhundert brauchten um sie zu finden.
the way that we define distance between two rational numbers.
Es ist die Art wie wir den Abstand zwischen zwei Zahlen definieren.
That is to say, organizing them on a line might not be the only reasonable way to organize them.
Das heißt, sie auf einer Linie zu organisieren ist vielleicht nicht der einzige vernünftige Weg zu sie organisieren
The notion of distance is essentially a function that takes in two numbers and outputs a number
Der Begriff der Distanz ist im Wesentlichen eine Funktion die zwei Zahlen als Eingabe nimmt und eine Zahl ausgibt,
indicating how far apart they are.
die angibt, wie weit sie voneinander entfernt sind.
You could come up with a completely random notion of distance, where 2 is 7 away from
Du könntest einen völlig zufälligen Begriff des Abstandes erfinden, in dem 2 7 entfernt ist von
3, and ½ is 4/5ths away from 100, and all sorts of things, but if you want to actually
3 und 4 ½ ist 4/5 weg von 100, und alle möglichen Dinge, aber wenn du diesen wirklich
use a new distance function the way that you use the familiar distance function, it should
so verwenden willst wie du die dir bekannte benutzt , sollte sie
share some of the same properties.
einige der gleichen Eigenschaften besitzen.
For example, the distance between 2 numbers shouldn’t change if you shift them both by the same amount. From 0 and 4 should be the same distance away as 1 and 5, or 2 and
Zum Beispiel sollte sich der Abstand zwischen 2 Zahlen nicht ändern wenn man beide um den gleichen Wert verschiebt. 0 und 4 sollten den gleiche Abstand haben, wie 1 und 5 oder 2 und 6
6, even if that same distance is something other than four as we're used to.
Selbst wenn dieser abstand nicht umbedingt 4 sein muss, wie wir das gewohnt sind.
Keeping things general, the distance between two numbers shouldn't change if you add the
Um die Dinge allgemeinen zu halten sollte sich Abstand zwischen zwei Zahlen nicht ändern wenn Sie
same amount to both of them.
zu beiden die Selbe Zahl addieren
Let's call this property “shift invariance”.
Lassen Sie uns diese Eigenschaft „shift Invarianz“ nennen.
There are other properties that you want your notion of distance to have as well, like the
Es gibt noch andere Eigenschaften, die man haben möchte, die der Begriff der Entfernung auch hat, wie die
triangle inequality, but before we start worrying about those, let's start imagining what notion
Dreiecksungleichung, aber bevor wir uns darum sorgen überlegen wir was für ein Begriff für die Distanz
of distance could possibly make powers of 2 approach 0, and which is shift invariant.
möglicherweise den Abstand zwischen zweier Potenzen null annähern lässt, und shift invariant ist.
At first you might toil for a while to find a frame of mind where this doesn’t feel
Zuerst wirst du dich vielleicht abmühen einen Bezugsrahmen zu finden in dem Sich dies nicht
like utter nonsense, but with enough time and a bit of luck you might think to organize
wie völliger Unsinn anfühlt, aber mit genug Zeit und ein bisschen Glück könnte man sich überlegen
your numbers into rooms, sub-rooms, sub-sub-rooms, and so on.
seine Zahlen in Räume, Unterräume, Unter - Unter -Zimmer, und so weiter zu unterteilen.
You think of 0 as being in the same room as all the powers of 2 greater than 1, as being
Du denkst von 0, als im selben Raum wie alle Potenzen von 2 die größer als 1 sind,
in the same sub-room as all powers of 2 greater than 2, as being in the same sub-sub-room
in dem gleichen Unterraum wie alle Potenzen von 2 die größer als 2 sind, wie in dem gleichen Unter-Unter-Raum
as powers of 2 greater than 4, and so on, with infinitely many smaller and smaller rooms.
wie Potenzen von 2 größer als 4, und so weiter, mit unendlich vielen kleineren und kleineren Räumen.
It's pretty hard to draw infinitely many things, so I'm only going to dwar four different sizes,
Es ist ziemlich schwer, unendlich viele Dinge zu zeichnen, also werde ich nur vier verschiedene Größen zeichnen,
but keep in the back of your mind that this process should be able to go on forever.
aber halten Sie im Hinterkopf, dass dieser Prozess unendlich weiter gehen könnte.
If we think of every number as lying in a hierarchy of rooms, not just 0, shift-invariance
Wenn wir uns jede Zahl als in Hierarchisch gegliederten Räumen vorstellen und nicht nur die 0. Wird und die "Shift Invarianz"
will tell us where all of numbers must fall. For instance, 1 should be as far away from
verraten wo alle Zahlen liegen müssen. Zum Beispiel sollte 1 so weit entfernt von
3 as 2 is from 0.
3 wie 2 von 0 sein.
Likewise the distance between 0 and 4 should be the same as that between 1 and 5, 2 and
Ebenso soll der Abstand zwischen 0 und 4 der gleiche sein wie der zwischen 1 und 5, 2 und
6, and 3 and 7.
6 und 3 und 7.
Continuing like this, you will see which rooms, sub-rooms, sub-sub-rooms and so on successive
Wenn Sie so weiter machen, sehen Sie, in welchen Räumen, Unterräumen, Unter-Unter-Räumen und so weiter aufeinanderfolgende
number must fall into.
Zahlen seien müssen
You can also deduce where negative integers must fall, where for example -1 has to be
Sie können auch ableiten wo negative Zahlen liegen müssen. Wo zum beispiel -1 sein muss.
in the same room as 1, in the same sub-room as 3, the same sub-sub-room as 7, and so on,
im gleichen Raum wie 1, in dem gleichen Unterraum wie 3, der gleiche Unter-Unter-raum wie 7, und so weiter,
always in smaller and smaller rooms with numbers one less than a power of 2, because 0 is in
immer in immer kleineren Räumen mit Zahlen eins weniger als eine Zweierpotenz, weil die 0 in
smaller and smaller rooms with the powers of 2.
immer kleineren und kleineren Räumen mit den Zweierpotenzen liegt
So how do you turn this general idea of closeness based on rooms and sub-rooms into an actual
Also, wie macht man aus dieser allgemeinen Idee der Nähe basierend auf Räumen und Unterräumen in eine tatsächliche
distance function?
Distanzfunktion?
You can’t take this drawing too literally, since it makes 1 look very close to 14, and
Du darfst diese Zeichnung nicht allzu wörtlich nehmen, da sieht es aus als währe die 1 sehr nah an der 14 und
0 very far from 13, even though shift-invariance should imply that they are the same distance
die 0 sehr weit von der 13, obwohl die Shift-Invarianz sagt, dass sie den gleichen Abstand haben sollen.
away. Again, in the actual process of discovery you might toil away, scribbling through many
Auch hier in dem tatsächlichen Prozess der Entdeckung Könnten Sie sich lange
sheets of paper, but if you have the idea that the only thing which should matter in
durch verschiedene Lösungsansätze quälen. Das das einzige, was entscheiden sollte
determining the distance between two objects is the size of the smallest room they share,
wie weit zwei Zahlen entfernt sind ist die Größe des kleinsten Raumes den Sie teilen.
you might come up with the following: any numbers lying in different large yellow rooms
Man könnte auf die folgende Idee kommen: Zahlen die in unterschiedlichen großen gelben Räumen liegen
are a distance 1 from each other; those which are in the same large room, but not the same
haben ein Abstand von 1 voneinander; solche die in dem gleichen großen Raum sind, abder nicht in dem selben
orange sub-room, are a distance ½ from each other; those that are in the same orange sub-room
Orangenen Teilraum, haben einen Abstand von ½ zueinander; diejenigen, die in den gleichen orangefarbenen Unter-Raum sind
but not in the same sub-sub-room are a distance ¼ from each other.
aber nicht in dem gleichen Unter-Unter-Zimmer haben einen Abstand von ¼ zueinander.
And you continue like this, using the reciprocal of larger and larger powers of two to indicate
Und Sie machen so weiter, und nehmen immer den Kehrwert von größeren und größeren Zweierpotenzen
closeness.
um ihre nähe zu beschreiben.
We won’t do it in this video, but see if you can reason about which rooms other rational
Wir werden das in diesem Video nicht tun, aber versuche mal ob du nachvollziehen kannst in welchen Räumen andere rationale
numbers like 1/3 and ½ should fall into, and see if you can prove why this notion of
Zahlen wie 1/3 und ½ fallen sollten, und versuche zu beweisen ob dieser Begriff der
distance satisfies many of the nice properties we expect from a distance function, like the
der Distanz andere Eigenschaften die wir erwarten würden erfüllt, wie zum beispiel die
triangle inequality.
Dreiecksungleichung.
Here I’ll just say that this notion of distance is a perfectly legitimate one, we call it
Hier werde ich nur sagen, dass dieser Begriff des Abstandes vollkommen legitim ist, nennen wir ihn
the “2-adic metric”, and falls into a general family of distance-functions called
die 2-adische Metrik, sie gehört zu einer Allgemeinen Familie der Abstandsfunktionen und zwar der
the “p-adic metrics”, where p stands for any prime number.
„p-adische Metriken“, wobei P für irgendeine Primzahl steht.
These metrics each give rise to a completely new type of number, neither real nor complex,
Diese Metriken führen jede zu einer vollständig neuen Art der Zahl, weder real noch komplex,
and have become a central notion in modern number theory.
und haben sich zu einem zentralen Begriff in der Modernen Zahlentheorie entwickelt .
Using the 2-adic metric, the fact that the sum of all powers of 2 equals -1 actually
Unter Verwendung der 2-adischen Metrik, macht die Tatsache, dass die Summe aller Potenzen von 2 gleich -1 ist tatsächlich
makes sense, because the numbers 1, 3, 7, 15, 31 and so on genuinely approach -1.
Sinn, weil die Zahlen 1, 3, 7, 15, 31 und so weiter wirklich -1 annähern.
This parable does not actually portray the historical trajectory of discoveries, but,
Dieses Gleichnis porträtiert nicht die eigentliche historische Entwicklung von Entdeckungen, aber,
nevertheless, I still think it’s a good illustration of a recurring pattern in the
Dennoch denke ich, dass es immer noch eine gute Darstellung eines wiederkehrenden Musters in der
discovery of math.
Entdeckung von Mathematik ist.
First nature hands you something that is ill-defined, or even nonsensical. Then you define new concepts
Erst gibt die Natur einem etwas, das schlecht definiert ist, oder sogar unsinnig. Dann definiert man neue Konzepte
that make this fuzzy discovery make sense, and these new concepts tend to yield genuinely
die dazu führen, dass diese komischen Entdeckungen Sinn machen, und diese neuen Konzepte sind in der Regel tatsächlich
useful math and broaden your mind about traditional notions.
nützliche Mathematik und erweitern einem das Verständnis traditioneller Vorstellungen.
So, in answer to the age-old question of whether math is invention or discovery, my personal
Also, in Antwort auf die uralte Frage, ob Mathe eine Erfindung ist oder Entdeckung, mein persönlicher
belief is that discovery of non-rigorous truths is what leads us to the construction of rigorous
Glaube ist, dass die Entdeckung von nicht-strengen Wahrheiten das ist, was uns zur Konstruktion von rigorosen begriffen leitet,
terms that are useful, opening the door for more fuzzy discoveries, continuing the cycle.
die nützlich sind, und die Tür für weitere Entdeckungen führt, was den gesamten Kreislauf fortsetzt.
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